5.7 二次函数的应用 同步练习题 2025-2026学年 青岛版（2012）九年级数学下册

5.7 二次函数的应用 同步基础练习 一．选择题 1．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为20米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（　　） A．2 B．4 C．5 D．20 2．在2023年国家医保药品目录调整的现场谈判环节中，某药品售价为25元，经过两次“灵魂砍价”，若每次降价的百分率都为x，最终以y元的价格进入医保药品目录，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝25（1﹣x）2 B．y＝25（1+2x） C．y＝25（1﹣2x） D．y＝25（1+x）2 3．如图，在加工太阳镜时为了美观会将眼镜下半部分轮廓制作成抛物线的形状，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝2cm，BD＝4cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 4．在校运动会上，小明同学进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线，如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是，则该同学此次投掷实心球的成绩是（　　） A．8m B．9m C．10m D．11m 5．童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系y＝﹣x2+50x﹣500，若要想获得最大利润，则销售单价x为（　　） A．25元 B．20元 C．30元 D．40元 6．在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（　　） A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q 7．如图1，这是某公园一座抛物线型拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到函数，在正常水位时，水面宽AB为30米，当水位上升7米时，水面宽CD为（　　） A．5米 B．米 C．10米 D．米 8．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（　　） A．160W B．180W C．200W D．220W 9．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2 10．用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（　　） A．9 B．8 C．6 D．不能确定 二．填空题 11．如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水面宽度减少1米时，水位上升　 　 米． 12．“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价　 　 元，才能使每日利润最大． 13．将一条长为16米绳子截成两条绳子，分别用这两条围成两个正方形，求这两个正方形面积和的最小值　 　 ． 14．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价20%的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出（350﹣10x）件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是　 　 ，自变量x的取值范围为　 　 ． 15．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　 　 m． 16．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD．当AB＝5时，花圃面积为　 　 m2，花圃ABCD面积的最大值为　 　 m2． 三．解答题 17．如图所示，一场“浙BA”篮球比赛中，杭州队队员甲的一次投篮命中，篮球运行轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点A与篮筐的水平距离为5m，篮筐距地面的高度为3m，当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.6m． （1）求篮球出手位置点A的高度． （2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起拦截，已知乙的拦截高度为3.12m，那么他能否获得成功？并说明理由． 18．兰州牛肉面以其独特的风味闻名全国，是兰州历史文化的重要组成部分． 如图所示的是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽BC＝28cm，碗深OA＝9.8cm，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，碗中汤面的水平宽度为多少？（碗的厚度不计） 19．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出400个，调查表明：该台灯的售价不超过50元（售价为整数），台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，该商场决定把售价上涨x元． （1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出　 　 个台灯（用含x的代数式表示）； （2）为了实现平均每月5250元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ （3）台灯售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 20．问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长． 21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝﹣x+3经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式． （2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接PC，PB，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标． （3）在第一象限内的抛物线上是否存在一点E，过点E作EF⊥x轴，交x轴于点F，使△BEF与△AOC相似？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）．若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：∠CFE＝∠AFE； （3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有，请求出所有合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C A B D D C C 二．填空题 11．． 12．8． 13．8平方米． 14．y＝﹣10x2+560x﹣7350，21≤x≤25.2． 15．． 16．45，． 三．解答题 17．解：（1）由题意得，抛物线的顶点为：（3，3.6），抛物线过点（5，3）， 设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）2+3.6， 将（5，3）代入上式得：3＝a（5﹣3）2+3.6， 解得：a＝﹣0.15， 则抛物线的表达式为：y＝﹣0.15（x﹣3）2+3.6， 当x＝0时，y＝﹣0.15（0﹣3）2+3.6＝2.25， 即点A的高度为2.25m； （2）获得成功，理由： 当x＝1时，y＝﹣0.15（x﹣3）2+3.6＝﹣0.15（1﹣3）2+3.6＝3＜3.12， 故能获得成功． 18．解：设抛物线表达式为y＝ax2， 将（14，9.8）代入解析式得9.8＝a×142， ∴， ∴抛物线表达式为． ∵当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时， ∴碗中汤面高度为9.8﹣6.6＝3.2cm， 当 y＝3.2时，则， ∴x＝±8， ∴碗中汤面的水平宽度为16cm． 19．解：（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出（400﹣10x）个台灯； 故答案为：（400﹣10x）； （2）为了实现平均每月5250元的销售利润， （40+x﹣30）（400﹣10x）＝5250， 解得x＝5或x＝25， 当x＝5时，x+40＝45＜50，符合题意， 当x＝25时，x+40＝65＞50，不符合题意， ∴x＝5， 答：这种台灯的售价应定为45元； （3）设月销售利润为W元， W＝（40+x﹣30）（400﹣10x） ＝4000+400x﹣100x﹣10x2 ＝﹣10x2+300x+4000 ＝﹣10（x﹣15）2+6250， ∵该台灯的售价不超过50元（售价为整数）， ∴40+x≤50， 解得x≤10， ∵﹣10＜0， ∴当x＜15时，W随x增大而增大， ∴当x＝10时，W最大，最大值为﹣10（10﹣15）2+6250＝6000， ∴此时40+x＝50， 答：台灯售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是6000元． 20．解：（1）以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为（80，60）， 设抛物线的函数解析式为：y＝a（x﹣80）2+60， ∵图象过原点， ∴a（0﹣80）2+60＝0， 解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点（0，75）， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当y＝0时，， 解得：x1＝200，x2＝﹣40（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm． 21．解：（1）在y＝﹣x+3中，当x＝0时，y＝3， 当y＝0时，x＝3， ∴B（3，0），C（0，3）， 将点B（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c， 则有， 解得， ∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3； （2）设P（x，﹣x2+2x+3），过P作PD∥y轴，交直线BC于点D，如图， 则D（x，﹣x+3）， ∴PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x， ∴， ∵，且0＜x＜3， ∴当时，△PBC的面积最大， 此时， ∴； （3）存在， 如图， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1， 又∵B（3，0），由对称性得A（﹣1，0），则OA＝1， 当x＝0时，可有y＝3，即C（0，3）， ∴OC＝3， 设E（n，﹣n2+2n+3），（0＜n＜3）， 则OF＝n，EF＝﹣n2+2n+3，BF＝3﹣n， 当△AOC∽△BFE时，则，即， 整理得n2﹣5n+6＝0，解得n1＝2，n2＝3（舍去）， 此时，﹣n2+2n+3＝﹣22+2×2+3＝3， ∴E（2，3）； 当△AOC∽△EFB时，则，即， 整理得3n2﹣7n﹣6＝0，解得n1＝3（舍去），（舍去）． 综上所述，当E点的坐标是（2，3）时，△BEF与△AOC相似时． 22．（1）解：抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）．设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将点A，点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴此抛物线的解析式为 ； （2）证明：过点A作AM∥x轴，交FC于点M，交对称轴于点N， ∵抛物线的解析式可变形为， ∴抛物线对称轴是直线x ＝4，顶点D的坐标为（4，﹣2）．则AN＝4， 设直线AC的解析式为y＝k1x+b1， 则有， 解得， ∴直线AC的解析式为， 当x＝4时，， ∴点E的坐标为（4，4）， ∵点F与E关于点D对称，则点F的坐标为（4，﹣8）， 设直线FC的解析式为y＝k2x+b2， ， 解得：， ∴直线AC的解析式为， ∵AM与x轴平行，则点M的纵坐标为6， 当y＝6时，则有， 解得：x＝8， ∴AM＝8，MN＝AM—MN＝4， ∴AN＝MN， ∵FN⊥AM， ∴∠ANF＝∠MNF， 又∵NF＝NF， ∴△ANF≌△MNF（SAS）， ∴∠CFE＝∠AFE； （3）解：在y轴上存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似；理由如下： ∵C的坐标为（7，），F坐标为（4，﹣8）， ∴， ∵又A的坐标为（0，6），则， 又∵DF＝6， 若△AFP∽△DEF， ∵EF∥AO，则有∠PAF＝∠AFE， 又∵由（2）可知∠DFC＝∠AFE， ∴∠PAF＝∠DFC， 若△AFP1∽△FCD， 则，即， 解得：P1A＝8， ∴OP1＝8﹣6＝2， ∴P1的坐标为（0，﹣2）； 若△AFP2∽△FDC， 则，即， 解得：P2A， ∴OP26， ∴P2的坐标为（0，）， 综上所述，符合条件的点P的坐标有两个，分别是P1（0，﹣2），P2（0，）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/24 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