1.3 解直角三角形 同步练习题 2025-2026学年 浙教版九年级数学下册

1.3 解直角三角形 同步练习题 一．选择题 1．如图，云南省博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（　　） A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米 2．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AC＝4，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（　　） A．米 B．米 C．120tan10°米 D．120sin10°米 4．定义：如果一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形叫作“妙角三角形”．若等腰△ABC是“妙角三角形”，且腰长为1，则其底角的余弦值为（　　） A． B． C．或 D．或 5．如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB＝1.6m，则OC的长为（　　） A． B． C．0.8sin20° D．0.8cos20° 6．小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点P的俯角为37°，那么此时热气球离着落点P的距离约是（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　　） A．75米 B．80米 C．100米 D．米 7．为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板AB的中点，支柱OC垂直于地面，垂足为C，AC＝0.9m，当跷跷板的一端A着地时，跷跷板AB与地面的夹角∠OAC＝α，此时另一端B离地面的距离是（　　） A． B．0.9tanα m C． D．1.8tanα m 8．九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方，它是由9个正方形组成的图案，如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC 的值为（　　） A． B． C． D． 9．如图，某公园内有一斜坡AB，坡度，AB＝60米，斜坡AB上有一古树OP，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为60°，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为15°，则古树OP的高为（　　）米． A． B．30 C． D． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝1，延长CA到点D，使AD＝AB，连接BD．利用此图，可算出tan75°的值是（　　） A． B．2 C． D． 二．填空题 11．在等腰△ABC中，AB＝AC，如果AB：BC＝3：2，那么cos∠ABC的值是　 　 ． 12．检修校园的摄像头时，将梯子AB斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为60°时，梯子底端A离墙根的垂直距离AC＝3米，则梯子顶端B距地面的垂直高度BC的值为　 　 米． 13．如果一传送带和地面所成斜坡的坡比为1：2.4，要把物体从地面送到离地面10米高的地方，物体所经过的路程为 　 　 米． 14．雪上项目占据了2022年北京冬奥会的大部分比赛项目，由自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如图，某滑雪运动员在坡比为1：2.4的雪道上下滑78米，则该滑雪运动员沿竖直方向下滑的高度为　 　 ． 15． 2025年10月31日23时44分43秒，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．当火箭上升到点A处时，位于海平面点B处的雷达测得点B与点A之间的距离为c千米，仰角为α，则此时火箭距离海平面的高度AC为　 　 千米． 三．解答题 16．如图6，在△ABC中，BC＝28，tanB，cosC，求△ABC的面积． 17．学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内．点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE的高度． （参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin42°，cos42°，tan42°） 18．综合与实践活动中，要用测角仪测量山AB的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山AB的对面有一座小山CD，CD的顶部有一座通讯塔CE，且点E，C，D在同一条直线上．从B处测得塔底C的仰角（∠CBD）为37°，测得塔顶E的仰角（∠EBD）为48°，CE＝30.6m，又在A处测得塔顶E的俯角（∠FAE）为45°． （Ⅰ）求两座山之间水平距离BD的长（结果保留小数点后一位）； （Ⅱ）求这座山AB的高度（结果保留小数点后一位）． 参考数据：tan37°≈0.75，tan48°≈1.11． 19．图1是一款厨房常用的防烫取碗夹，图2是其侧面示意图．经测量：支架AB＝AC＝20cm，∠BAC的最大张角为75度． （1）当∠BAC＝60°时，求A到BC的距离； （2）若一长方形的盘子（盘子的厚度忽略不计）的长为24cm，请判断此时能否用取碗夹夹起这个盘子？（sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.73，tan37.5°≈0.77） 20．如图，A，B分别是两个港口，C，D是海上两座小岛景点，D在A正北方向20千米处，C在D北偏东60°方向，CD＝30千米，A在B的南偏西60°方向，且C在B北偏西75°方向．（参考数据： （1）求港口B和小岛C的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； （2）一艘货船从A港口出发沿AB前往B港口，同时一艘观光船也从A港口出发，沿路线A﹣D﹣C前往小岛C，货船的速度与观光船的速度之比为4：3，出发1.5小时后观光船在由D到C的途中且离A港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从A港口出发多少小时后到达B港口（结果保留小数点后一位）． 21．如图，某学校地理探究实验小组周末去爬山，组长小勇带领组员在出发前学习相关知识并做了爬山攻略．他们所爬的山海拔高度为1680米，点A，B，C，M在同一平面内．爬山方案（一）：直接爬到山顶．方案（二）：首先从山脚下的点A处步行800米到达点B处，AB的坡角为30°，然后乘坐缆车从点B处到达山顶点C处，缆车的轨道与水平面的夹角为53°．小勇和组员共有6人，其中有3个人选择方案（一），其余3个人选择方案（二），他们在登山缆车出发点B处合影留念．（1）请问他们6人合影留念时，距离山脚水平面的高度是多少？ （2）已知登山缆车的行驶速度为360米/分钟，请问选择方案（二）的同学们从点B处乘坐登山缆车到达山顶点C处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1分钟） （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33） 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D D C C D B A A 二．填空题 11．． 12．3． 13．26． 14．30． 15．csinα． 三．解答题 16．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ACD中， ∵cosC，设CD＝12k，AC＝13k， ∴AD5k． 在Rt△ABD中， ∵tanB， ∴BDAD＝2k． ∵BD+CD＝BC＝28， ∴2k+12k＝28． ∴k＝2． ∴AD＝10． ∴S△ABCBC•AD28×10＝140． 17．解：如图：过点E作EF⊥AB，垂足为F， 由题意得：EF＝BD，BF＝DE，BC＝15米，AG∥EF， ∴∠GAE＝∠AEF＝22°， 设CD＝x米，则EF＝BD＝BC+CD＝（x+15）米， 在Rt△DCE中，∠ECD＝42°， ∴DE＝CD•tan42°x（米）， ∴DE＝BFx米， 在Rt△AEF中，∠AEF＝22°， ∴AF＝EF•tan22°（x+15）米， ∵AF+BF＝AB， ∴（x+15）x＝19， 解得：x＝10， ∴DEx＝9（米）， ∴博学楼DE的高度约为9米． 18．解：（Ⅰ）由题意得：ED⊥BD， 设BD＝xm， 在Rt△BCD中，∠CBD＝37°， ∴CD＝BD•tan37°≈0.75x（m）， 在Rt△BED中，∠EBD＝48°， ∴ED＝BD•tan48°≈1.11x（m）， ∵EC+CD＝ED， ∴30.6+0.75x＝1.11x， 解得：x＝85.0， ∴BD＝85.0m， ∴两座山之间水平距离BD的长约为85.0m； （Ⅱ）延长DE交AF于点G， 由题意得：DG⊥AF，AG＝BD＝85m，AB＝DG， 在Rt△AEG中，∠GAE＝45°， ∴EG＝AG•tan45°＝85（m）， 由（Ⅰ）可得：DE＝CD+EC＝94.35（m）， ∴AB＝DG＝EG+ED＝85+94.35≈179.4（m）， ∴这座山AB的高度约为179.4m． 19．解：（1）如图2，AB＝AC＝20cm，∠BAC＝60°，连接BC，过点A作AG⊥BC于点G， ∴，∠AGB＝90°， ∴， 即A到BC的距离为； （2）此时能用取碗夹夹起这个盘子；理由如下： 图2中，∠AGB＝90°， ∵AB＝AC＝20cm，∠BAC的最大张角为75度， 此时，BC＝2BG， 在Rt△ABG中，， ∴BG＝ABsin∠BAG＝20×sin37.5°≈20×0.61＝12.2（cm）， 则BC＝2BG＝2×12.2＝24.4（cm）＞24（cm）， ∴此时能用取碗夹夹起这个盘子． 20．解：（1）过点C作CF⊥AB于点F，作DE⊥AB于点E，如图1所示： ∵C在D北偏东60°方向，D在A的正北方，∠A＝60°， ∴CD∥AB， 故四边形CDEF为矩形， ∵AD＝20km， ∴DE＝sin60°×AD＝10（km）， ∴CF＝DE＝10（km）， 又∵∠CBF＝45°， ∴BC10×2.45＝24.5（km）． （2）设货船速度为4vkm/h，观光船速度为3vkm/h， 出发1.5小时后，货船行驶路程4v×1.5＝6vkm，观光船行驶路程为3v×1.5＝4.5vkm，AD＝20千米， 所以DC段行驶了（4.5v﹣20）km，即DP＝（4.5v﹣20）km（记观光船此时处于点P）， ∵观光船P在由D到C的途中且离A港口的直线距离与离货船Q的直线距离正好相等， 即PA＝PQ，AQ＝6v， 作PG⊥AD交AD的延长线于点G，PH⊥AB于点H，如图2所示， ∴AH＝HQ＝3v． 由（1）可知PH＝CF＝10， ∴DGDP，PGDG（）， AG＝AD+DG＝20+（）， 在Rt△AGP中，AP2＝AG2+PG2＝（）2+[（）]2， 在Rt△AHP中，AP2＝AH2+PH2＝（3v）2+（10）2， ∴（）2+[（）]2＝（3v）2+（10）2， 整理化简得：（v﹣4）2， 解得v， 当v时，4.5v＝30＞20， 当v时，4.5v＝6＜20，不符合题意，舍去， 故货船速度为4v（km/h）， 由（1）知AB＝AF+EF+BF＝10+30+101040（km）， ∴货船从A港口到B港口用时为2.1（h）， 故货船从A港口出发2.1小时后到达B港口． 21．解：（1）过B作BH⊥AM于H， ∵∠A＝30°，AB＝800米， ∴BH400（米）， 答：距离山脚水平面的高度是400米； （2）过C作CE⊥AM于E，过B作BK⊥CE于K， 则EK＝BH＝400米， ∵CE＝1680米， ∴CK＝CE﹣EK＝1280米， ∵∠CKB＝90°，∠CBK＝53°， ∴BC666.67（米）， ∵666.67÷360≈1.9（分钟）， 答：选择方案（二）的同学们从点B处乘坐登山缆车到达山顶点C处大约需要1.9分钟． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $