河北省唐山市第二中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026唐山二中高二上学期12月月考 一、单选题 1．椭圆：的焦点坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知空间向量且，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知数列中，，，则（    ） A．1 B． C．－1 D．－2 4．已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（    ） A．3 B． C． D．2 5．以为圆心，4为半径的圆的方程为　　 A． B． C． D． 6．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 7．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知圆锥的轴截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 10．已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，过分别作准线的垂线，垂足依次为．若长的最小值为4，则（   ） A．若，则 B．若的倾斜角为，点在第一象限，则 C．若，则的斜率为1 D．若点在抛物线上，且，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，点P是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则（   ） A．当P，B，C不共线时，三棱锥体积的最大值为1 B．AB与所成角的最小值为 C．当与底面ABCD所成的角为时，BP的最小值为 D．当时，点P的轨迹长度为 三、填空题 12．已知数列的通项公式为，则110是该数列的第______.项 13．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则的面积为 . 14．已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，点为抛物线E：上的任意一点，在轴上的射影为，则的最小值为 . 四、解答题 15．已知是等差数列，其中，. (1)求的通项公式； (2)求的值. 16．已知数列的前项和为 (1)求的最小值，并求此时的值： (2)求出的通项公式 17．已知双曲线的离心率为，且其焦点到渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为PB的中点． (1)证明：． (2)点F在棱BC上，且直线AF与平面PAB所成角的正弦值为． （ⅰ）求线段BF的长； （ⅱ）M为PD的中点，求点M到平面AEF的距离． 19．已知抛物线的焦点为，过点的直线（斜率为正数）与由左至右交于、两点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)当的内切圆半径时，求的取值范围． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026唐山二中高二上学期12月月考 一、单选题 1．椭圆：的焦点坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】先化为标准方程，求得，判断焦点位置，写焦点坐标. 【详解】因为椭圆：， 所以标准方程为， 解得， 因为焦点在y轴上， 所以焦点坐标为，. 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 2．已知空间向量且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】，且，则，解得. 故选：C. 3．已知数列中，，，则（    ） A．1 B． C．－1 D．－2 【答案】D 【分析】由题目所给的递推公式可得周期，从而可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以是以3为周期的数列， 所以. 故选：D. 4．已知圆与圆相交于两点，则点到直线的距离是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用两圆的公共弦方程结合点到直线的距离计算即可. 【详解】由题意可得直线的方程为， 即0，则点到直线的距离是. 故选：B 5．以为圆心，4为半径的圆的方程为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的标准方程的性质求解． 【详解】以为圆心，4为半径的圆的方程为： ． 故选C． 【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用． 6．已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，结合题意以及抛物线定义建立方程，可得答案. 【详解】由抛物线，则焦点，准线， 由题意可得，且， 则点到准线的距离，解得， 所以焦点. 故选：D. 7．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的渐近线方程结合两直线垂直斜率关系得到，再由离心率的齐次式计算可得. 【详解】由题意，得双曲线的渐近线方程为． 因为双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以渐近线为，且，解得， 所以双曲线的离心率． 故选：B． 8．如图，已知圆锥的轴截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过角度关系求出特定角的大小，然后建立空间直角坐标系，确定各点坐标，进而得到异面直线对应向量的坐标，最后利用向量的夹角公式求出异面直线所成角的余弦值. 【详解】，且，所以， 连接，则平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设圆的半径为，则、、、， ，， 设异面直线与所成的角为， 则：， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A．    二、多选题 9．已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 【答案】AC 【分析】选项A，利用等差数列性质求出，进而求出公差；选项B，根据通项公式求出；选项C，根据公差的正负判断数列单调性；选项D，利用通项公式求解特定项的项数. 【详解】选项A，，则，所以，所以A正确； 选项B，，则通项公式为，所以B错误； 选项C，由选项A知，所以C正确； 选项D，由选项B知，则当时，解得，而，所以D错误. 故选：AC. 10．已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，过分别作准线的垂线，垂足依次为．若长的最小值为4，则（   ） A．若，则 B．若的倾斜角为，点在第一象限，则 C．若，则的斜率为1 D．若点在抛物线上，且，则 【答案】BD 【分析】根据通径为焦点弦最短弦列式求得，利用焦点弦的性质，判断A；联立直线与抛物线，利用韦达定理，结合焦半径公式判断B；根据焦半径公式列式求解判断C；利用向量坐标运算得，进而利用焦半径公式求解判断D. 【详解】由题意得抛物线的焦点，准线方程为， 因为长的最小值为4，所以，解得， 所以抛物线的方程为，则焦点，准线方程为， 对于A：由焦点弦的性质，将代入， 解得，故A错误； 对于B： 设直线的方程为，，， 联立，得， 所以，， 所以， ， 由抛物线的定义可得，， ，若的倾斜角为，则， 所以，，所以，，所以，， 所以，，所以，故B正确； 对于C：若，则，所以， 所以，所以，所以， 解得，所以直线的斜率为1或，故C错误； 对于D：设，， 由，得为的重心， 所以，， 所以，故D正确. 故选：BD. 11．如图，在棱长为2的正方体中，点P是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则（   ） A．当P，B，C不共线时，三棱锥体积的最大值为1 B．AB与所成角的最小值为 C．当与底面ABCD所成的角为时，BP的最小值为 D．当时，点P的轨迹长度为 【答案】BC 【分析】建立合适的空间直角坐标系，分析出面积最大时，三棱锥体积最大即可判断A；根据线线角的向量表示并结合函数单调性即可判断B；找到点的轨迹即可得到最小值；根据计算得，则得到其轨迹长. 【详解】对A，如图，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 设点的坐标为，则． 当点在上时，的面积最大，为， 所以三棱锥体积的最大值为，A错误； 对B，， 又， 所以， 当，时取等号，所以与所成角的最小值为，B正确； 对C，连接，由平面，知为与底面所成的角． 由，得，所以点在以点为圆心，2为半径的圆上， 所以的最小值为，C正确； 对D，由，得，整理得，令，则，令，则， 所以点的轨迹长度为，D错误． 故选：BC． 三、填空题 12．已知数列的通项公式为，则110是该数列的第______.项 答案：第11项 13．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则的面积为 . 【答案】6 【分析】根据题意和双曲线标准方程可推出椭圆的值，根据椭圆与双曲线定义可求出的值，根据三边关系即可求出面积. 【详解】由题可知，的离心率为2，则的离心率为，则. 根据对称性，不妨设在第一象限，则，解得， 则，所以为直角三角形， 则的面积为. 故答案为：6. 14．已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，点为抛物线E：上的任意一点，在轴上的射影为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由动点P满足的条件得点P的轨迹为圆，根据抛物线的定义，将转化为，观察图形得的最小值. 【详解】 设，已知，， 则， 化简整理得，所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆， 抛物线E：的焦点，准线方程为， ， 当且仅当A，P，M，F（P，M两点在A，F两点之间）四点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】动点P满足为“阿波罗尼斯圆”的定义，可知点的轨迹为圆. 四、解答题 15．已知是等差数列，其中，. (1)求的通项公式； (2)求的值. 【答案】(1) (2)-50 【分析】（1）利用等差数列的基本量的运算即得； （2）利用等差数列的求和公式即得． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为， 所以， 所以，， 所以. （2）因为是等差数列， 所以，是首项为，公差为的等差数列，共有10项，. 16．已知数列的前项和为 (1)求的最小值，并求此时的值： (2)求出的通项公式 【答案】(1)最小值为，此时或8； (2). 【分析】（1）利用前n项和的函数性质求最值，并确定对应的值； （2）应用的关系求通项公式. 【详解】（1）由，， 故或时，取最小值为； （2）当时，， 当时，， 显然不满足上式，故. 17．已知双曲线的离心率为，且其焦点到渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由点到直线的距离公式、离心率公式以及平方关系再结合已知即可求解. （2）当直线的斜率存在时，不妨设，且.动直线与相切可得即，再由弦长公式、点到直线的距离公式表示出三角形面积，结合即可得解. 【详解】（1）设右焦点为，一条渐近线方程为， 所以该焦点到渐近线的距离为. 因为，所以. 故的方程为. （2） 当直线的斜率不存在时，的方程为，此时. 当直线的斜率存在时，不妨设，且. 联立方程组得. 由，得. 联立方程组，得. 不妨设与的交点分别为，则. 同理可求，所以. 因为原点到的距离，所以. 因为，所以. 故的面积为定值，定值为. 18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为PB的中点． (1)证明：． (2)点F在棱BC上，且直线AF与平面PAB所成角的正弦值为． （ⅰ）求线段BF的长； （ⅱ）M为PD的中点，求点M到平面AEF的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）由底面ABCD为正方形，底面ABCD，先证明平面PAB，进而证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，设，由线面角的向量求法列方程解出即可； （ii）由点到平面的距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）因为底面ABCD，且底面ABCD，所以． 因为底面ABCD为正方形，所以， 又因为，且PA，平面PAB，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以． （2）如图，以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系Axyz， 则，，，，，． （ⅰ）设，则，． 易知平面PAB的一个法向量为， 设直线AF与平面PAB所成的角为θ，则，解得， 即． （ⅱ），，设平面AEF的法向量为， 则  取， 又，所以点M到平面AEF的距离为． 19．已知抛物线的焦点为，过点的直线（斜率为正数）与由左至右交于、两点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)当的内切圆半径时，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设直线的方程为，设点、，，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算，即可证得结论成立； （2）由（1）可知，的内切圆圆心在轴上，设圆心的坐标为，则，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出直线的方程，利用内切圆圆心的几何性质可得出，进而可得出的取值范围，再利用弦长公式结合韦达定理可求得的取值范围. 【详解】（1）解：易知抛物线的焦点为， 若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、，， 则，由得，， 由韦达定理可得，， 则 ，所以． （2）解：由（1）可知：的内切圆圆心在轴上， 所以设圆心，则，设直线的方程为，且， 由得，，且，则， 由韦达定理可得，， 所以， 所以直线的方程为，即． 因为点到直线的距离等于点到直线的距离，所以， 所以，，， 则，上述两个等式作差可得，可得， 所以， 因为在上单调减，所以． 所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 试卷第16页，共16页 试卷第1页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $