期末复习专题3 分式的加法与减法和整数指数幂（11大题型） 2025-2026学年人教版八年级数学上册期末备考冲刺

期末复习专题3 分式的加法与减法和整数指数幂（11大题型） 知识点+题型专练+解题技巧+培优提升 【题型1 同分母分式加减法】 1 【知识点2 异分母分式的加减】 2 【题型2 异分母分式加减法】 2 【题型3 整式与分式相加减】 3 【题型4 已知分式恒等式，确定分子或分母】 3 【题型5 分式加减混合运算】 3 【题型6 分式加减的实际应用】 5 【知识点3 分式的混合运算】 6 【题型7 分式加减乘除混合运算】 6 【题型8 分式化简求值】 7 【知识点4 幂的运算的扩大】 7 【题型9 负整数指数幂】 8 【知识点5 科学记数法的扩大】 9 【题型10 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 9 【题型11 还原用科学记数法表示的小数】 10 【培优提升】 10 【知识点1 同分母分式的加减】 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；符号表示为：. 1. “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误； 2. 分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【题型1 同分母分式加减法】 解题技巧：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，然后将分子进行因式分解，约分化简即可。 【典例1】．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．计算： ． 【变式1-2】．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【变式1-3】．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点2 异分母分式的加减】 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为：. 1. 分式与整式相加减时，可以把整式看成分母是1的分式，然后由异分母分式加减法的法则进行计算； 2. 异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③合并，分子去括号、合并同类项；④约分，将最终结果化成最简分式. 【题型2 异分母分式加减法】 解题技巧：异分母的分式加减运算，先通分，变为同分母的分式，再加减；熟练掌握运算法则，正确计算是解题的关键 【典例2】．化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】．计算的结果是 ． 【变式2-2】．计算： 【变式2-3】．计算：． 【题型3 整式与分式相加减】 解题技巧：分式与整式相加减时，可以把整式看成分母是1的分式，然后由异分母分式加减法的法则进行计算； 【典例3】．计算：的结果是 ． 【变式3-1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】．计算： 【变式3-3】．计算： (1)． (2)． 【题型4 已知分式恒等式，确定分子或分母】 解题技巧：将等式左右两边的分母或分子化为相同的多项式。 【典例4】．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】．若，则 ． 【变式4-2】．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】．已知，则 ． 【题型5 分式加减混合运算】 解题技巧：解题的关键是熟练掌握分式加减的运算法则． 【典例5】．甲是容积为立方分米无盖的长方体盒子．如图，甲盒子底面是边长为分米的正方形，这个盒子的高是 分米；这个盒子的表面积是 平方分米．（用含有的式子表示） 【变式5-1】．计算： (1)． (2)． 【变式5-2】．计算： (1) (2) (3) (4)； (5)先化简，再求值：，其中． 【变式5-3】．计算： (1) (2) (3) (4) 【题型6 分式加减的实际应用】 【典例6】．一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】．甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束，则下列判断错误的是（　　） A．乙瓶中红墨水所占体积的比例为 B．甲瓶中蓝墨水的总量是毫升 C．甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同 D．甲瓶中混入的蓝墨水和乙瓶中混入的红墨水体积不相同 【变式6-2】．照相机成像时，照相机镜头的焦距f，物体到镜头的距离u，胶片（像）到镜头的距离v，满足（）（）．已知f，u，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】．【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 【知识点3 分式的混合运算】 分式的混合运算顺序：分式的混合运算顺序与分数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1. 在分式的运算过程中，可以用运算律，会使得运算简便点； 2. 分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面. 【题型7 分式加减乘除混合运算】 解题技巧：与实数运算类似，分式的混合运算应先乘方、后乘除、最后加减，有括号时，先算括号里面的，并恰当运用运算律简化运算。一个分式与一个整式相加减时，可以把整式视为分母为1的分式，以免通分漏项。 【典例7】．计算： (1) (2) 【变式7-1】．计算下列各题 (1)； (2)． 【变式7-2】．计算： (1)； (2)． 【变式7-3】．计算： (1)； (2)． 【题型8 分式化简求值】 解题技巧：常见的题型有两种： （1）先化简，再求值。先将分式化简为整式或最简分式，再代入字母的值计算； （2）对于末给出单个字母取值的化简问题，将分式变形为已知条件的形式，再利用整体法求值。 【典例8】．先化简，然后从，，0，1，2中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【变式8-1】．先化简，再求值：，且x为满足的整数 【变式8-2】．化简求值：，请从两人的对话中确定，的值． 【变式8-3】．先化简，再求值： ，其中 ． 【知识点4 幂的运算的扩大】 1）前面已学习： ①，（m，n是正整数） ②，（m，n是正整数） ③，（m是正整数） ④，（a≠0，m、n是正整数，m>n） ⑤，（n是正整数） ⑥ 若按照④运算，当m<n时。如： 根据指数幂的定义 2）针对这种现象，我们规定，当n为正整数时，（a≠0） 注：无意义 3）幂的运算性质扩大 当a≠0时 ①，（m，n是整数）（公式1、4的扩展） ②，（m，n是整数）（公式2的扩展） ③，（m是正整数）（公式3与公式5的扩展） 4）利用负指数化除为乘，设m，n为正整数，a≠0， 根据定义 还可转化为乘法： 【题型9 负整数指数幂】 解题技巧：一般，当n是正整数时，（a≠0），也就是说是的倒数。引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数。 【典例9】．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【变式9-1】．在0，，，四个数中，最大的数是（ ） A．0 B． C． D． 【变式9-2】．化简：． 【变式9-3】．，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：　　　　；　　　　； (2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　； (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值． 【知识点5 科学记数法的扩大】 1）前面学习科学记数法表示比10大的数。a×，其中， 引入（a≠0）后，科学记数法也可表示较小的数： ；。因此，一个数乘相当于把这个数缩小10n倍。 故我们可以用a×的形式表示比较小的数 2）一般，一个小于1的数可以表示为a×的形式，其中 3）步骤：确定a值的大小。； 确定n的值。原数变为a后，小数点向前移动x位，则原数相应扩大了10x倍。故n=-x 【题型10 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 解题技巧：负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【典例10】．人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】．利用微纳技术制造的某零件直径为米，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】．一片小小的芯片内集成了大量的晶体管，而芯片技术的核心在于持续突破晶体管尺寸缩小的物理极限和工艺瓶颈，以便获得更强的算力以及更低的功耗．我国某品牌手机使用了自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】．我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将0.000000008用科学记数法表示为 ． 【题型11 还原用科学记数法表示的小数】 解题技巧：科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数，据此求解即可． 【典例11】．已知一粒米的质量约千克，则数据用小数表示为（ ） A． B． C． D． 【变式11-1】．的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 【变式11-2】．将数写成小数的形式为 ． 【变式11-3】．巨噬细胞是人体的清道夫，一直在为我们的身体做清洁工作，它是由单核细胞演变而来，直径可达米，将用小数表示为（    ） A． B． C． D． 【培优提升】 1．“荷花”是湖南省“省花”，其花粉直径约0.000083米，这里“0.000083”用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知：，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．若运算的结果不是分式，则不可能的是（    ） A． B． C． D． 6．若，则的值是（　　） A．8 B．7 C． D． 7．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D． 9．若，则代数式的值为 10．已知，且，则 11．若，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在段 处（请从①②③④中选择正确答案填在横线上） 12．已知公式（），则表示的公式是 ． 13．已知，则 ． 14．A，B为常数，如果，则 ， 15．计算： (1)； (2)． 16．化简求值：．从范围内选取x满足的一个整数值． 17．下面的分式化简题呈现了小明的正确解答过程，但部分算式被遮挡． (1)请求出被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小颖认为“原算式的值不可能为7”，请你回答下面的两个问题并说明理由： ①你知道小颖为什么这样判断吗？ ②小颖的说法全面吗？ 18．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以，即，所以 所以 根据材料解答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值； 19．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想及“倒数法”解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)计算： (3)已知，，，求的值．（可用“倒数法”求解） 20．我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如、这样的分式就是假分式；再如、这样的分式就是真分式．假分数可以化成即带分数的形式．类似的，假分式也可以化为带分式整式与真分式的和或差的形式． 如： 再如： 解决问题： (1)分式是______填“真分式”或“假分式”； (2)将分式化成带分式； (3)将分式化成带分式； (4)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若m的平方能被n整除，求满足条件的两位数 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题3 分式的加法与减法和整数指数幂（11大题型） 知识点+题型专练+解题技巧+培优提升 【知识点1 同分母分式的加减】 1 【题型1 同分母分式加减法】 1 【知识点2 异分母分式的加减】 4 【题型2 异分母分式加减法】 4 【题型3 整式与分式相加减】 6 【题型4 已知分式恒等式，确定分子或分母】 8 【题型5 分式加减混合运算】 10 【题型6 分式加减的实际应用】 15 【知识点3 分式的混合运算】 19 【题型7 分式加减乘除混合运算】 19 【题型8 分式化简求值】 22 【知识点4 幂的运算的扩大】 25 【题型9 负整数指数幂】 26 【知识点5 科学记数法的扩大】 29 【题型10 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 30 【题型11 还原用科学记数法表示的小数】 31 【培优提升】 32 【知识点1 同分母分式的加减】 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；符号表示为：. 1. “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误； 2. 分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【题型1 同分母分式加减法】 解题技巧：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，然后将分子进行因式分解，约分化简即可。 【典例1】．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减，掌握知识点是解题的关键． 两个分式分母相同，直接合并分子后因式分解并约分即可． 【详解】解： ． 故选A． 【变式1-1】．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式的减法，分式的化简，掌握其运算规则是解题的关键．根据题意，分母不变，分子相减，然后将分子进行因式分解，约分化简即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式1-2】．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）直接将分子相减即可； （2）直接将分子相加并约分即可； （3）将原式变形后把分子相加减，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式1-3】．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式加法或减法运算，熟练掌握分式加法或减法运算法则，是解题的关键． （1）根据同分母减法运算法则，进行计算即可； （2）根据同分母加法运算法则，进行计算即可； （3）根据同分母加法运算法则，进行计算即可； （4）根据同分母减法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【知识点2 异分母分式的加减】 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为：. 1. 分式与整式相加减时，可以把整式看成分母是1的分式，然后由异分母分式加减法的法则进行计算； 2. 异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③合并，分子去括号、合并同类项；④约分，将最终结果化成最简分式. 【题型2 异分母分式加减法】 解题技巧：异分母的分式加减运算，先通分，变为同分母的分式，再加减；熟练掌握运算法则，正确计算是解题的关键 【典例2】．化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了异分母分式的加法运算．通过通分将两个分式合并，利用平方差公式分解分母，然后相加化简，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：B 【变式2-1】．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的减法运算，首先将分母因式分解，然后通分，合并分子后约分得到结果，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2-2】．计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法、分式的乘法，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）根据分式的加法法则计算即可； 【详解】解： ； 【变式2-3】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了异分母的分式加减运算，熟练掌握运算法则，正确计算是解题的关键．先将后面分式化简，再进行同分母分式减法计算即可． 【详解】解： ． 【题型3 整式与分式相加减】 解题技巧：分式与整式相加减时，可以把整式看成分母是1的分式，然后由异分母分式加减法的法则进行计算； 【典例3】．计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3-1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 【变式3-2】．计算： 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的减法． 先将分式通分，再按同分母分式的加减法法则计算，然后约分化简即可． 【详解】解：原式 【变式3-3】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式加减运算法则进行计算即可； （2）根据分式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题主要考查了分式加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． 【题型4 已知分式恒等式，确定分子或分母】 解题技巧：将等式左右两边的分母或分子化为相同的多项式。 【典例4】．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：． 【变式4-1】．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减运算，解二元一次方程组，对等式的右边进行通分相加，然后根据等式左右两边的分母相同，得到分子相同．根据两个多项式相等，则其同类项的系数应当相等，得到关于的方程，再解方程组即可． 【详解】解：∵ ， 而， ∴， ∴ ， 解得：， 故答案为： 【变式4-2】．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查异分母分式加法，解二元一次方程组．熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据异分母分式加法运算法则计算出，结合题意得到，解二元一次方程组即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得：． 故选：B． 【变式4-3】．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，通分是解题的关键． 通过通分计算，利用多项式相等，求出常数A、B、C的值，然后代入计算表达式． 【详解】 , ,解得， ． 故答案为：． 【题型5 分式加减混合运算】 解题技巧：解题的关键是熟练掌握分式加减的运算法则． 【典例5】．甲是容积为立方分米无盖的长方体盒子．如图，甲盒子底面是边长为分米的正方形，这个盒子的高是 分米；这个盒子的表面积是 平方分米．（用含有的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查列代数式，熟记长方体体积公式、表面积求法是解决问题的关键． 由长方体体积公式得到盒子的高，再由表面积结构求解即可得到答案． 【详解】解：甲盒子底面是边长为分米的正方形， 盒子的底面积为平方分米， 则这个盒子的高是分米，这个盒子的表面积是平方分米， 故答案为：，． 【变式5-1】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式5-2】．计算： (1) (2) (3) (4)； (5)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)， 【分析】本题主要考查了分式的加减混合运算，以及分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减的运算法则． （1）（2）（3）（4）利用分式的加减运算法则进行计算即可； （5）先利用分式的加减计算法则进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： 将代入上式得， 原式． 【变式5-3】．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)a+1 (3)x (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算规则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再按照分式乘除法即可求解； （2）根据分式乘除法运算法则计算即可； （3）根据分式加减法运算法则计算即可； （4）先对括号里进行通分相减，再把除法运算化为乘法运算，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ． 【题型6 分式加减的实际应用】 【典例6】．一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式以及分式的基本运算，能够读懂题意列出分式是解题关键； 设工作总量为1，根据甲、乙单独完成的天数表示各自的工作效率，合作效率为两者之和，再求合作所需天数． 【详解】解：设工作总量为1， ∵ 甲单独完成需天， ∴ 甲的工作效率为， ∵ 乙单独完成需天， ∴ 乙的工作效率为， ∴ 甲、乙合作的工作效率为， ∴ 合作所需天数为． 故选：A． 【变式6-1】．甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束，则下列判断错误的是（　　） A．乙瓶中红墨水所占体积的比例为 B．甲瓶中蓝墨水的总量是毫升 C．甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同 D．甲瓶中混入的蓝墨水和乙瓶中混入的红墨水体积不相同 【答案】D 【分析】本题考查了用浓度和溶液表示溶质的等量关系，列代数式；用到的知识点为：纯墨水的体积总体积相应的浓度．算出第一次倒出溶液后乙瓶中相应墨水的比例，进而得到混入相应墨水的体积，比较即可． 【详解】解： 甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（）， 此时乙瓶中红墨水所占体积的比例为，乙瓶中蓝墨水所占体积的比例为，故A正确； 又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束， 此时甲瓶中蓝墨水的总量是毫升，乙瓶中红墨水有：毫升， 故B正确，D不正确； 甲瓶中盛有毫升红墨水，乙瓶中盛有毫升蓝墨水，先是从甲瓶中倒出毫升墨水到乙瓶里（），搅匀后，又从乙瓶中倒出毫升墨水到甲瓶里结束， 甲瓶中的墨水总量与乙瓶中的墨水总量相同，故C正确； 故选：D． 【变式6-2】．照相机成像时，照相机镜头的焦距f，物体到镜头的距离u，胶片（像）到镜头的距离v，满足（）（）．已知f，u，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减是解题的关键．利用分式的基本性质，把等式（）变形即可求解． 【详解】解：（）， ， ， 故选：C． 【变式6-3】．【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 【答案】（1）若．理由见解析；（2）；（3）①乙试验田的小麦的单位面积产量高，理由见解析；②乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍 【分析】本题考查了完全平方公式，分式减法运算及实际应用； （1）由判断即可； （2）作差比较大小即可； （3）①分别表示出两块试验田的产量，再作差比较大小即可 ②根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”得到，计算化简即可． 【详解】解：（1）若， 理由：， ， ， ； （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）①甲试验田的面积为：， 乙试验田的面积为：， ， ， ， ， ， 乙试验田的小麦的单位面积产量高； ② ， 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍． 【知识点3 分式的混合运算】 分式的混合运算顺序：分式的混合运算顺序与分数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1. 在分式的运算过程中，可以用运算律，会使得运算简便点； 2. 分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面. 【题型7 分式加减乘除混合运算】 解题技巧：与实数运算类似，分式的混合运算应先乘方、后乘除、最后加减，有括号时，先算括号里面的，并恰当运用运算律简化运算。一个分式与一个整式相加减时，可以把整式视为分母为1的分式，以免通分漏项。 【典例7】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算： （1）先通分，然后根据同分母分式的运算法则计算即可； （2）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式7-1】．计算下列各题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算、分式的混合运算等知识点，掌握分式的相关运算法则是解题的关键． （1）直接运用分式的加减运算法则求解即可； （2）直接运用分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ＝ ＝ ＝． （2）解： ＝ ＝． 【变式7-2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）先计算乘方，再计算乘除即可； （2）先计算括号里的减法，再计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用分式的性质，分式的乘除法则计算即可； （2）运用分式的性质，分式混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型8 分式化简求值】 解题技巧：常见的题型有两种： （1）先化简，再求值。先将分式化简为整式或最简分式，再代入字母的值计算； （2）对于末给出单个字母取值的化简问题，将分式变形为已知条件的形式，再利用整体法求值。 【典例8】．先化简，然后从，，0，1，2中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】；当时，原式，（或当时，原式） 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ． ∵ ∴当时，原式． 当时，原式． 【变式8-1】．先化简，再求值：，且x为满足的整数 【答案】，当时，原式=．当时，原式= 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∵且， ∴且， ∵， 所以，当时，原式=．当时，原式=． 【变式8-2】．化简求值：，请从两人的对话中确定，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简与求值、相反数的定义、算术平方根的估算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据分式的运算法则化简式子，再根据相反数的定义以及算术平方根的估算得到，，代入求值即可解答． 【详解】解： ， 由题意得，且是整数， ∴， ∴原式． 【变式8-3】．先化简，再求值： ，其中 ． 【答案】，． 【分析】先利用平方差公式、单项式乘多项式化简整式部分，再对分式部分通分、因式分解后化简，最后计算的值并代入求值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查了平方差公式、整式的混合运算、分式的混合运算、零指数幂与算术平方根的运算，熟练掌握公式（平方差公式）的应用、因式分解及分式的约分通分是解题的关键． 【知识点4 幂的运算的扩大】 1）前面已学习： ①，（m，n是正整数） ②，（m，n是正整数） ③，（m是正整数） ④，（a≠0，m、n是正整数，m>n） ⑤，（n是正整数） ⑥ 若按照④运算，当m<n时。如： 根据指数幂的定义 2）针对这种现象，我们规定，当n为正整数时，（a≠0） 注：无意义 3）幂的运算性质扩大 当a≠0时 ①，（m，n是整数）（公式1、4的扩展） ②，（m，n是整数）（公式2的扩展） ③，（m是正整数）（公式3与公式5的扩展） 4）利用负指数化除为乘，设m，n为正整数，a≠0， 根据定义 还可转化为乘法： 【题型9 负整数指数幂】 解题技巧：一般，当n是正整数时，（a≠0），也就是说是的倒数。引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数。 【典例9】．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方运算，负整数指数幂，零指数幂等知识，根据相关知识分别计算出，，，再比较大小，问题得解． 【详解】解：，，， ∴． 故选：B． 【变式9-1】．在0，，，四个数中，最大的数是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方计算；计算各数的值后比较大小，即可求解． 【详解】∵； ∵； ∵（任何非零数的0次幂等于1）； ∴四个数分别为、、、； ∵， ∴最大的数是，即选项B． 故选：B． 【变式9-2】．化简：． 【答案】． 【分析】本题考查实数的运算，正确化简每个式子是解题关键． 非负数的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数．任何除0以外的数的零次幂都等于1．负二次幂就是把底数取倒数后再平方． 【详解】解：． 【变式9-3】．，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算：　　　　；　　　　； (2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　； (3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值． 【答案】(1)， (2)3， (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，正确理解题意是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据题意可得，则，解之即可；根据题意可得，则，解之即可； （3）由可推出，结合，都是整数讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，为整数， 当时，； 当时，； 当时， 【知识点5 科学记数法的扩大】 1）前面学习科学记数法表示比10大的数。a×，其中， 引入（a≠0）后，科学记数法也可表示较小的数： ；。因此，一个数乘相当于把这个数缩小10n倍。 故我们可以用a×的形式表示比较小的数 2）一般，一个小于1的数可以表示为a×的形式，其中 3）步骤：确定a值的大小。； 确定n的值。原数变为a后，小数点向前移动x位，则原数相应扩大了10x倍。故n=-x 【题型10 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 解题技巧：负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【典例10】．人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】． 故选：C． 【变式10-1】．利用微纳技术制造的某零件直径为米，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值小于1的数用科学记数法表示，科学记数法要求形式为，其中，n为整数．理解绝对值小于1的数 的值为负整数；绝对值大于等于10的数，n的值为正整数是解题的关键．按照科学记数法的记数要求求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式10-2】．一片小小的芯片内集成了大量的晶体管，而芯片技术的核心在于持续突破晶体管尺寸缩小的物理极限和工艺瓶颈，以便获得更强的算力以及更低的功耗．我国某品牌手机使用了自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 将数字0.000000007用科学记数法表示，需使系数在1到10之间，通过移动小数点确定指数． 【详解】解：， 选故：B． 【变式10-3】．我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将0.000000008用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型11 还原用科学记数法表示的小数】 解题技巧：科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数，据此求解即可． 【典例11】．已知一粒米的质量约千克，则数据用小数表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法． 【详解】解：， 故选：D． 【变式11-1】．的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 【答案】5 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，将科学记数法表示的较小的数还原，即可得出答案． 【详解】解：， ∴的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0． 故答案为：5． 【变式11-2】．将数写成小数的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法表示的数还原为原数的运用，科学记数法的表示形式为，值的取值方法是：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解： 故答案为： ． 【变式11-3】．巨噬细胞是人体的清道夫，一直在为我们的身体做清洁工作，它是由单核细胞演变而来，直径可达米，将用小数表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查将科学记数法表示的数转换为小数形式．科学记数法中，当为负数时，需将小数点向左移动位．将转换为小数时，指数表示需将数值8的小数点向左移动5位得到0.00008． 【详解】解：， 故选B． 【培优提升】 1．“荷花”是湖南省“省花”，其花粉直径约0.000083米，这里“0.000083”用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，对于绝对值小于1的数，可以用科学记数法表示为形式，其中，n为第一个非0数前面所有0的个数，据此即可求解﹒ 【详解】解：． 故选：C 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的除法、零指数幂、负整数指数幂、幂的乘方），解题的关键是熟练掌握各幂运算的法则，逐一验证选项的运算正确性． 根据同底数幂的除法、零指数幂、负整数指数幂、幂的乘方的法则，分别计算每个选项的结果，判断其是否正确． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、（非零数的零次幂为1），此选项不符合题意； C、（负整数指数幂是其正整数指数幂的倒数），此选项不符合题意； D、，此选项符合题意； 故选：D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、约分及负整数指数幂的运算规则，逐一分析选项的运算正确性． 【详解】A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确． 故选D． 4．已知：，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的大小比较方法，解答此题的关键要明确：正数大于零，负数小于零，正数永远大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．分别计算，，的值，利用负指数法则，注意指数优先级，利用零指数法则，然后根据实数大小的比较方法，判断出，，大小关系即可． 【详解】解：，，， ， 故选：． 5．若运算的结果不是分式，则不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的除法，因式分解，先将原表达式化简为，要求结果不是分式，即该表达式为整式，故分母必须被分子中的因子约去，因此必须含有因子，选项A、B、C均含因子，而D选项不含因子，故不可能使结果为整式 ． 【详解】解： ∵运算的结果不是分式， ∴为整式， ∴必须含因子，使分母被约去， 选项A：，含，代入后为整式； 选项B：，含，代入后为整式； 选项C：，含，代入后为整式； 选项D：，不含，代入后得，仍为分式， ∴不可能的是D， 故选：D． 6．若，则的值是（　　） A．8 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了代数式的求值和乘法公式． 由已知方程变形得到，再利用完全平方公式求即可． 【详解】解：∵ ，且， ∴ 两边除以得 ， 即， 又∵ ， ∴ ， 故选：B 7．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式化简求值．由已知条件可得，即．将所求表达式的分子和分母分别用表示，并代入化简． 【详解】解：∵， ∴，即 ， 所求表达式为 ， 分子：， 分母：， ∴， 故选：A． 8．对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A． B．2023 C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算，根据题意找到规律是解题的关键． 利用函数性质 ，将求和中的项配对，每对和为1，最后单独计算 即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴有 ， 即， ， ， ， ， 这样的组合共有 对， 又 ， ∴ 原式 = ． 故选：A． 9．若，则代数式的值为 【答案】2025 【分析】本题考查了代数式求值，平方差公式的运用，掌握整式，分式的混合运算，平方差公式是关键． 根据题意得到，根据整式，分式的混合运算将原式变形得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴原式， 故答案为： ． 10．已知，且，则 【答案】或 【分析】本题考查分式的基本性质，换元法，分式化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件出发，将原式分子分母同除以，变形为，设 ，将原式转化为关于 的方程，求解得到 的值，再将所求表达式进行相同的变形，将 的值代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 即， 设 ， 则原式变形为， ∴ ， ， 解得， 或 ， ； 当 时， ； 当 时， ． 故答案为：或． 11．若，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在段 处（请从①②③④中选择正确答案填在横线上） 【答案】② 【分析】本题考查了分式的化简求值．把变形得，代入即可求出分式的值，再看该值的点落在的位置． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴表示的点落在段②处， 故答案为：②． 12．已知公式（），则表示的公式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，根据已知可得，进而得出． 【详解】解：． 移项得：． ∴． ∴． 故答案为：． 13．已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 变形已知条件可得，然后整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即． ∴． 故答案为：4． 14．A，B为常数，如果，则 ， 【答案】 4 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值． 【详解】解：对左边通分：， 因为左边等于右边，所以分子需相等， ， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得方程组： ， 解得：，． 故答案为：． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； （2）先计算括号内减法，再计算乘法． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 16．化简求值：．从范围内选取x满足的一个整数值． 【答案】；当时，原式；当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简与求值、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式混合运算法则化简，然后取分式有意义的x的值，最后代入代数式求值即可． 【详解】解： ， 由题意得，， ∵，且是整数， ∴x可以取2，， 当时，原式； 当时，原式． 17．下面的分式化简题呈现了小明的正确解答过程，但部分算式被遮挡． (1)请求出被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小颖认为“原算式的值不可能为7”，请你回答下面的两个问题并说明理由： ①你知道小颖为什么这样判断吗？ ②小颖的说法全面吗？ 【答案】(1) (2)①小颖认为“该分式的值不可能为”的判断依据是分式的分母不能为0；见解析；②小颖的说法不全面，见解析 【分析】该题考查了分式的混合运算以及分式有意义，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）设被遮挡部分表示的式子为，根据题意可知，，计算即可解答； （2）①根据分式有意义解答即可；②根据分式有意义解答即可； 【详解】（1）解：设被遮挡部分表示的式子为， 根据题意可知，， ∴； （2）解：①小颖认为“该分式的值不可能为”的判断依据是分式的分母不能为0． 理由：∵该分式有意义时，的取值范围为且， ∴且， ∴当时，， ∴小颖认为“该分式的值不可能为”； ②小颖的说法不全面， 理由：∵， ∴， 即该分式的值也不可能为． 18．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用分式的化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以，即，所以 所以 根据材料解答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值； 【答案】(1)322 (2)11 【分析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式变形求值． （1）模仿例题．取倒数，再化简，即可求解，然后根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）先把已知条件变形，得，已知条件取倒数得，根据完全平方公式变形求值得，再代入原式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 即， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， 即， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想及“倒数法”解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)计算： (3)已知，，，求的值．（可用“倒数法”求解） 【答案】(1) (2)2024 (3) 【分析】（1）令，代入计算即可； （2）令，，代入计算即可； （3）首先求出，然后求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：令， ∴ ； 故答案为：； （2）解：令，， ∴ ； 故答案为：2024； （3）解：∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了因式分解，有理数的混合运算，分式的求值，整体思想的应用，解题的关键是掌握整体思想． 20．我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如、这样的分式就是假分式；再如、这样的分式就是真分式．假分数可以化成即带分数的形式．类似的，假分式也可以化为带分式整式与真分式的和或差的形式． 如： 再如： 解决问题： (1)分式是______填“真分式”或“假分式”； (2)将分式化成带分式； (3)将分式化成带分式； (4)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若m的平方能被n整除，求满足条件的两位数 【答案】(1)假分式 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的加减和分式的定义，解题关键是理解已知条件中的新定义，熟练掌握分式的加减法则． （1）根据真假分式的定义，观察分子和分母的次数，进行判断即可； （2）把分式的分子拆成的形式，把分式写成一个整式加一个分式的形式即可； （3）利用完全平方公式将分子拆成的形式，把分式写成一个整式加一个分式的形式即可； （4）通过设未知数，表达三位数m和两位数n，计算时用完全平方公式，根据整除的意义分情况讨论即可． 【详解】（1）解：因为分式的分子和分母的次数都是1， 此分式是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：； （4）解：设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为，n的十位数字为a，个位数字为b， 则：， 所以 ， 由题意得，，且a、b均为整数， 因为m的平方能被n整除， 所以为整数， 当时，，没有满足题意的b的值； 当时，，没有满足题意的b的值； 当时，，； 当时，，没有满足题意的b的值． 综上，满足条件的两位数n为36． 故答案为：36． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $