期末复习专题2 分式的乘法与除法（6大题型） 2025-2026学年人教版八年级数学上册期末备考冲刺

期末复习专题2 分式的乘法与除法（6大题型） 知识点+题型专练+解题技巧+培优提升 【知识点 分式的乘除法法则】 1 【题型1 分式乘法】 2 【题型2 分式除法】 4 【题型3 分式乘除混合运算】 5 【题型4 分式乘方】 8 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 9 【题型6 分式的化简求值】 12 【培优提升】 15 【知识点 分式的乘除法法则】 分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似： 1. 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母； 2. 用字母表示为； 3. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； 4. 用字母表示为. （1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式； （2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘； （3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分； （4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式. 5. 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（n为正整数.） （1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成； （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负； （3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分； （4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体，如 注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式 【题型1 分式乘法】 解题技巧：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。 【典例1】．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握分式乘法运算法则，是解题的关键．根据分式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式1-1】．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘法，熟练掌握分式的乘法运算是解题的关键；先计算的立方运算，然后与进行分式的乘法，进而问题可求解． 【详解】解：； 故答案为． 【变式1-2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，熟知分式的乘法计算法则是解题的关键． （1）先把乘号后面的分式的分母分解因式，再约分即可得到答案； （2）先把乘号后面的分式的分子分解因式，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，先根据完全平方公式以及平方差公式进行整理，再化简，即可作答． 【详解】解： ． 【题型2 分式除法】 解题技巧：正确掌握相关运算法则是解题的关键．先把除法化为乘法，再进行化简 【典例2】．计算的结果是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的除法，掌握相关知识是解决问题的关键．先将分式除法转化为乘法后约分即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式2-1】．化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．先把除法化为乘法，再进行化简，即可作答． 【详解】解： ． 【变式2-2】．化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的除法，化简原式，利用平方差公式分解分子和分母，约分后得到表达式 ．要求结果为整式，则必须能被分子中的某个因子约掉，即 必须是、 或之一进行判断即可． 【详解】解：原式 ， ∵结果为整式， ∴必为分子因子之一，即、 或． ∵不是分子因子， 故不可能是； 故选A． 【变式2-3】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1). (2). 【分析】对于分式的除法运算，根据分式除法法则，将除法转化为乘法，即除以一个分式等于乘以它的倒数，然后进行约分计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查分式的乘除运算，掌握分式除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分是解题的关键． 【题型3 分式乘除混合运算】 解题技巧：根据分式乘除混合运算的法则按运算顺序计算即可；分式的乘除混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【典例3】．化简：＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，先将除法运算转化为乘法运算，再约分化简． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ ＝ 故答案为： 【变式3-1】．计算： ； 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除运算． 先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可． 【详解】解：原式= = = = 【变式3-2】．计算： ． 【答案】． 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握因式分解和分式乘除运算法则是解题的关键． （1）先对分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算． （2）先利用平方差公式对因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算． 【详解】解： ． 【变式3-3】．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型4 分式乘方】 解题技巧：分子、分母分别乘方。= 【典例4】．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先根据分式的乘方计算，再计算分式的乘法即可． 【详解】解：． 【变式4-1】．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的乘方，根据分式的乘方法则：把分式的分子和分母分别乘方即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-2】．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键． 先计算乘方，再计算乘法约分即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式4-3】． ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘方运算，根据分式的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 解题技巧：运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。 【典例5】．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘方及除法运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；先算乘方，然后再进行分式的除法运算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式5-1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算．先运算乘方，然后把除法转化为乘法，再约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 【变式5-2】．计算： ； 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，注意完全平方公式和平方差公式的应用． （1）根据分式的乘方，再计算分式的乘除可以解答本题； （2）根据完全平方公式和平方差公式将式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； 【变式5-3】．计算： 【答案】 先进行幂的运算，然后将除法转化为乘法后约分即可； 【详解】 解：， ， ； 【题型6 分式的化简求值】 解题技巧：分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的乘方、乘除运算法则以及因式分解的方法，准确对原式进行化简，再代入求值． 【典例6】．已知，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算和乘法公式，掌握分式的乘除混合运算法则是解题的关键．根据分式的乘除混合运算和乘法公式化简后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式6-1】．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的乘方、乘除运算法则对原式进行化简，再将给定的、值代入化简后的式子求值． 【详解】解：①先计算分式的乘方： ②进行分式的乘除运算： ． ③代入求值： 当，可得： 原式． 故答案为：，． 【变式6-2】．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题根据绝对值和算术平方根的非负性，得出关于、的方程组，求解得到、的值；再根据分式的乘除运算法则，结合因式分解约分，对原式进行化简，最后将、的值代入化简后的式子计算，即可解决分式化简求值问题． 【详解】解：， 解得 原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查了绝对值与算术平方根的非负性、分式的化简求值，掌握绝对值和算术平方根的非负性以及分式的乘除运算法则，包括因式分解、将除法转化为乘法、约分等操作是解题的关键． 【变式6-3】．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的乘方、乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘方、乘除运算法则，同时结合因式分解进行约分，对原式进行化简，得到最简分式的结论，再代入求值，即可解决分式的化简求值问题． 【详解】解：原式， 当时，原式． 【培优提升】 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的运算，乘法公式． 根据分式的运算法则结合乘法公式逐一计算后判断即可． 【详解】解：对于A：，错误； 对于B：，错误； 对于C：，正确； 对于D：，，错误； 故选：C． 2．计算：（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，先把除法变成乘法，再约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 3．在下列四个算式中： ①；②；③；④；最后计算结果是分式的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算，以及分式的判断． 计算每个算式化简后的结果，判断是否为分式（分母中含有字母）．①和④的结果分母含字母，是分式；②和③的结果为常数，不是分式． 【详解】解：①，分母含字母，是分式； ②，结果为常数，不是分式； ③，结果为常数，不是分式； ④，分母含字母，是分式； 故选：A． 4．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 根据分式的乘方运算法则，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项式子不成立，不符合题意； B、，故此选项式子不成立，不符合题意； C、，故此选项式子成立，符合题意； D、，故此选项式子不成立，不符合题意； 故选：C． 5．长春公园为美化校园种植了一批树苗，已知树苗总数为棵，若平均分给个班级，则每个班级分得的树苗数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解与分式的除法运算，熟练掌握因式分解与分式的除法是解题关键． 先对树苗总数的多项式进行因式分解，再除以班级数即可得到每个班级的树苗数． 【详解】解：∵ 树苗总数 ，班级数为 ， ∴ 每个班级分得的树苗数为 （其中 ）． 故选B． 6．淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序流程图、分式的混合运算，能通过计算发现从第1次显示的结果开始按循环是解题的关键．根据题意，依次求出每次显示的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为最初输入， 所以第1次显示结果为； 第2次显示结果为； 第3次显示结果为； 第4次显示结果为； ， 由此可见，从第1次显示的结果开始按循环． 又因为，， 所以，， 则． 故选：B． 7．嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则，是解题的关键．先求出，即可得出被撕下部分的式子． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴被撕下部分的式子可能是． 故选：A． 8．有一道题目，“化简：．”甲、乙两同学的解答过程如下： 甲 乙 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙两同学的解答都正确 B．甲、乙两同学的解答都不正确 C．只有甲同学的解答正确 D．只有乙同学的解答正确 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．甲同学直接利用平方差公式因式分解后约分，乙同学通过分子分母同乘构造平方差公式后再约分，但不能确定是否为0，甲同学的解法正确；乙同学的解法没有考虑所乘式子可能为0的情况，过程不正确． 【详解】解：∵ ， ∴ 甲同学：，过程正确； 乙同学：，但不能确定是否为0，过程不正确； ∴ 甲同学的解答正确，乙同学的解答不正确． 故选：C． 9．设，，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方，完全平方公式，算术平方根，由，得，通过，然后整体代入求得，又，则，最后通过算术平方根即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算顺序和运算法则．先将分子、分母因式分解，再约分即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 11．如图①，“惠民1号”玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的出水沟剩下的部分；如图②，“惠民2号”玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆剩下的部分，两块试验田都收获了的玉米．“惠民1号”玉米试验田的单位面积产量是“惠民2号”玉米试验田的 倍． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积公式以及分式的运算相关知识点，掌握圆的面积公式以及分式的除法运算是解题的关键． 本题根据圆的面积公式分别得出两个试验田的面积；再结合“单位面积产量 = 总产量面积”，得出两个试验田的单位面积产量；最后通过分式除法运算即可解决倍数的问题． 【详解】解：“惠民1号”试验田的面积：， “惠民2号”试验田的面积：， ∵两块试验田都收获了kg玉米， ∴“惠民1号”试验田的单位面积产量：， “惠民2号”试验田的单位面积产量：， ， ， ， ． 故答案为：． 12．正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、分式乘法，根据新定义运算规则，把原式转化成分式运算是解题关键． 根据新定义运算，把原式化成分式乘法，按法则计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为：． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）除法变乘法，约分化简即可； （2）除法变乘法，约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算． （1）先乘方，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）分子分母先因式分解，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式乘除混合运算． 对分子和分母进行因式分解，将除法转化为乘法，约去公因式即可． 【详解】解： ． 16．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除法以及乘法公式．熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）按照分式的乘除法运算法则和乘法公式，进行计算即可； （2）按照分式的乘除法运算法则和乘法公式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．先化简，再从数中选一个合适的数代入进行计算． 【答案】， 【分析】首先对分式进行运算与化简：先因式分解，除法变乘法，约分化简，然后选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】解：原式． 根据分式有意义的条件可知， 且， 从数中的值只能取． 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的化简与分式的分母不能为零是解题的关键． 18．现有两个圆，A圆的半径为，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的 倍． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，解题的关键是熟记圆的面积公式． 利用圆的面积公式列式求解即可． 【详解】解：由题意，得． 故答案为：． 19．（1）计算：______；______． （2）观察上面的式子和结果的特点，总结一个新的乘法公式，并用含的字母表示：______． （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（    ） A．        B． C．        D． （4）利用所学知识以及（2）所得公式，化简代数式． 【答案】（1）   （2） （3）A （4）． 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则计算即可； （2）由（1）的原式和结果可得新的乘法公式； （3）只要符合（2）中的公式即可； （4）先利用新的乘法公式及平方差公式与完全平方差公式将分式的分子和分母进行因式分解，约分化简即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：用含的字母表示为：． （3）解：给出的各式，只有符合新公式的特点，能用乘法公式进行计算 （4）解： ． 【点睛】 本题主要考查了立方和公式的推导与应用，综合考查了整式乘法、因式分解和分式化简． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题2 分式的乘法与除法（6大题型） 知识点+题型专练+解题技巧+培优提升 【知识点 分式的乘除法法则】 1 【题型1 分式乘法】 2 【题型2 分式除法】 2 【题型3 分式乘除混合运算】 3 【题型4 分式乘方】 3 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 4 【题型6 分式的化简求值】 5 【培优提升】 5 【知识点 分式的乘除法法则】 分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似： 1. 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母； 2. 用字母表示为； 3. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； 4. 用字母表示为. （1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式； （2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘； （3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分； （4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式. 5. 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（n为正整数.） （1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成； （2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负； （3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分； （4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体，如 注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式 【题型1 分式乘法】 解题技巧：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。 【典例1】．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】．计算： ． 【变式1-2】．计算： (1)； (2)． 【变式1-3】．计算：． 【题型2 分式除法】 解题技巧：正确掌握相关运算法则是解题的关键．先把除法化为乘法，再进行化简 【典例2】．计算的结果是（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式2-1】．化简： 【变式2-2】．化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】．计算： (1)． (2)． 【题型3 分式乘除混合运算】 解题技巧：根据分式乘除混合运算的法则按运算顺序计算即可；分式的乘除混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【典例3】．化简：＝ ． 【变式3-1】．计算： ； 【变式3-2】．计算： ． 【变式3-3】．计算 (1) (2) 【题型4 分式乘方】 解题技巧：分子、分母分别乘方。= 【典例4】．计算：． 【变式4-1】．计算： ． 【变式4-2】．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】． ． 【题型5 含乘方的分式乘除混合运算】 解题技巧：运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。 【典例5】．计算： 【变式5-1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】．计算： ； 【变式5-3】．计算： 【题型6 分式的化简求值】 解题技巧：分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的乘方、乘除运算法则以及因式分解的方法，准确对原式进行化简，再代入求值． 【典例6】．已知，．求的值． 【变式6-1】．先化简，再求值：，其中． 【变式6-2】．已知，求的值． 【变式6-3】．先化简，再求值：，其中． 【培优提升】 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算：（   ） A．1 B． C． D． 3．在下列四个算式中： ①；②；③；④；最后计算结果是分式的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 4．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 5．长春公园为美化校园种植了一批树苗，已知树苗总数为棵，若平均分给个班级，则每个班级分得的树苗数为（   ） A． B． C． D． 6．淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（   ） A． B． C． D． 8．有一道题目，“化简：．”甲、乙两同学的解答过程如下： 甲 乙 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙两同学的解答都正确 B．甲、乙两同学的解答都不正确 C．只有甲同学的解答正确 D．只有乙同学的解答正确 9．设，，则的值等于 ． 10．化简： ． 11．如图①，“惠民1号”玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的出水沟剩下的部分；如图②，“惠民2号”玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆剩下的部分，两块试验田都收获了的玉米．“惠民1号”玉米试验田的单位面积产量是“惠民2号”玉米试验田的 倍． 12．正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则 ． 13．计算： (1)； (2)． 14．计算： (1)； (2)． 15．计算：． 16．计算下列各式： (1)； (2)． 17．先化简，再从数中选一个合适的数代入进行计算． 18．现有两个圆，A圆的半径为，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的 倍． 19．（1）计算：______；______． （2）观察上面的式子和结果的特点，总结一个新的乘法公式，并用含的字母表示：______． （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（    ） A．        B． C．        D． （4）利用所学知识以及（2）所得公式，化简代数式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $