期末复习专题1 分式及其基本性质（12大题型） 2025-2026学年人教版八年级数学上册期末备考冲刺

期末复习专题1 分式及其基本性质（12大题型） 知识点+题型专练+解题技巧+培优提升 【知识点1 分式的定义】 1 【题型1 分式的判断】 2 【知识点2 分式的判定】 4 【题型2分式无意义的条件】 4 【题型3分式有意义的条件】 7 【题型4 分式值为0的条件】 9 【题型5 分式值为正（负）时未知数的范围】 11 【知识点3 分式的基本性质】 13 【题型6 判断分式变形是否正确】 13 【题型7 求使分式变形成立的条件】 16 【题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 18 【知识点4 分式的约分与通分】 21 【题型9 约分】 21 【题型10 最简分式】 24 【题型11 最简公分母】 26 【题型12 通分】 28 【培优提升】 31 【知识点1 分式的定义】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。 注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。 ②整式B作为分母，则整式B0 ③只要最终能转化为形式即可。如：2 ④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式 【题型1 分式的判断】 解题技巧：考查分式的定义，涉及知识点：分式是分母中含有字母的式子（注意π是常数）．根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式．逐一判断每个式子即可． 【典例1】．下列各式中：，，，，中，分式的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】∵分式是分母中含有字母的式子， ∴分母含字母，是分式； 分母含字母，是分式； 是整式，不是分式； 分母含字母，是分式； 分母是常数，不是分式． ∴分式有3个． 故选：C． 【典例2】．下列各式，，，，，属于分式的有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式．逐一判断各式中分母是否含有字母即可． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母， ∴，分母无字母，不是分式； 分母为常数2，无字母，不是分式； 分母含有字母，是分式； 分母含有字母，是分式； 分母为常数2，无字母，不是分式． ∴属于分式的有2个． 故选：C． 1．下列式子，，，， 中，不是分式的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解题的关键．分式定义为分母中含有字母的式子，否则不是分式，据此回答即可． 【详解】解：∵ 分式需分母含字母， 分母为数字，不是分式； 分母为数字，不是分式； 分母π为常数，不是分式； 而分母v为字母，是分式； 分母含字母，是分式。 ∴ 不是分式的有3个． 故选：C． 2．下列各式中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键，分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是分式，故A符合题意； B、是多项式，是整式不是分式，故B不符合题意； C、分母不含字母，不是分式，故C不符合题意； D、分母不含有字母，不是分式，故D不符合题意， 故选：A． 3．下列各式中：，，，，，，其中分式的个数有（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解决本题的关键． 根据分式的定义与为整式，，且中含有字母，形如的式子称为分式），根据定义判定即可． 【详解】解： 与为整式、且中含有字母， 形如的式子称为分式 ∴是分式；，是整式， ∴分式有4个． 故选：B． 【知识点2 分式的判定】 1）分式无意义的条件：分母为0，即B=0 2）分式有意义的条件：分母不为0，即B0 2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B0 3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0 4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0 【题型2分式无意义的条件】 解题技巧：分式无意义的条件：分母为0，即B=0。因此，解此类题型，我们只需要列写B=0的等式，并求解出取值范围即可。 【典例1】．对于分式下列说法不正确的是（   ） A．时，分式值为 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值为、为正数、为负数、无意义的条件，解题的关键是熟知分式在分母为时无意义．根据分式的性质，分别代入的值计算分式的值或判断分式是否有意义即可． 【详解】解：∵ 当 时，，∴ A正确，故不符合题意； ∵ 当 时，分母 ，分式无意义，∴ B正确，故不符合题意； ∵ 当 时，，值为正数，∴ C不正确，故符合题意； ∵ 当 时，，值为正数，∴ D正确，故不符合题意． 故选：C． 【典例2】．小彤发现一个关于x的分式满足下表信息，则分式可以为（　　） x的取值 … 2 … … 分式的值 … 0 … 无意义 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为0的条件，根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0）和无意义的条件（分母为0），分别验证各选项是否满足时值为0和时无意义． 【详解】解：当时，分式值为0， 分子为0且分母不为0； 当时，分式无意义， 分母为0， 对于选项A：当时，分子，分母， 分式值不为0，不符合题意； 对于选项B：当时，分母， 分式有意义，不符合题意； 对于选项C：当时，分母， 分式无意义，不符合题意； 对于选项D：当时，分子，分母， 分式值为0； 当时，分母， 分式无意义， 故选D． 1．若分式无意义，则应该满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义时，分母不为零，是解题的关键．根据要使分式无意义，，进行求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：． 故选：B． 2．若分式无意义，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义，分母等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意可得出， 解得：， 故选：D． 3．若分式的值不存在，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是分式无意义的条件，根据分式无意义，分母为0求解即可． 【详解】解：∵分式的值不存在， ∴分式中分母的值为0， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型3分式有意义的条件】 解题技巧：分式有意义的条件：分母不为0，即B0。因此，解此类题型，我们只需要列写B≠0的不等式，并求解出取值范围即可。 【典例1】．不论取何值，下列分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分析各选项分母是否可能为零即可解答． 【详解】解：由分式有意义的条件是分母不为零， A、分母，当时，，分式无意义，不符合题意； B、分母，始终不为零，分式总有意义，符合题意； C、分母，当时，，分式无意义，不符合题意； D、分母，当时，，分式无意义，不符合题意． 故选：B． 【典例2】．若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分母不能为零，是基础题． 分式有意义的条件是分母不为零，因此分母，解出的取值范围即可． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母， ∴． 故选：A． 1．若分式有意义，则x的取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零求解即可． 【详解】解：∵ 分式有意义， ∴ 分母， ∴的取值是， 故选：B． 2．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：C． 3．无论x取什么值时，下列各式一定有意义的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分式有意义的条件是分母不为零，分析各选项分母的取值范围，判断是否可能为零． 【详解】解：选项A的分母为， 当时， 分母为零， 分式无意义； ∵选项B的分母为，由于， ∴，分母恒不为零，分式总有意义； 选项C的分母为， 当时， 分母为零， 分式无意义； 选项D的分母为， 当时， 分母为零， 分式无意义； ∴只有选项B一定有意义， 故选：B． 【题型4 分式值为0的条件】 解题技巧：分式值为0的条件：分母不为0，且分子为0，即B0，且A=0。因此，解此类题型，我们往往先求解A=0的条件，在判断A=0的条件下，是否满足B≠0.若满足，则此条件成立，若不满足，则这个解舍去。 【典例1】．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为零，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得：， 故选：A． 【典例2】．如果分式的值为0，那么的值为（    ） A． B． C．1 D．1或0 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为0需分子为0且分母不为0． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴． 故选：C． 1．对于分式，当时，分式的值为零，当时，分式无意义，则 ， ． 【答案】 0 【分析】此题主要考查了分式值为零的条件和分式无意义的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 根据分式无意义的条件，当时，分母为零；根据分式值为零的条件，当时，分子为零．分别代入得到关于a和b的方程，解方程组即可． 【详解】∵对于分式，当时，分式的值为零， ∴ ∴， ∴， ∵当时，分式无意义， ∴ ∴ ∴联立①②得， 解得． 故答案为：0，． 2．要使分式的值为0，则与应满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 3．已知分式，当x 时，分式无意义；当x 时，分式的值为0． 【答案】 2 【分析】本题考查分式无意义以及为0的条件，掌握分式无意义以及为0的条件是解题的关键． 分式无意义：分母为0；分式是值为0：分子为0，分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：要使无意义，则，解得； 要使的值为0，则，解得； 故答案为：；． 【题型5 分式值为正（负）时未知数的范围】 解题技巧：分式值为正（负）的条件：分母不为0，且分子与分母的乘积为正（负），即AB＞0（AB＜0）（因为AB大于或小于0，则AB不可能为0，则B不为0）。因此，解此类题型，先求解出B不等于0的情况。然后在列写AB＞0（AB＜0）的不等式并求解出取值范围即可。 【典例1】．已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式值的正负性，解一元一次不等式等知识点，若对于分式（）时，说明分子、分母同号；分式（）时，分子、分母异号． 根据分式的值是非负数，分母恒为正数，因此只需分子是非负数即可． 【详解】解：∵，的值是非负数， ∴，即． ∴的取值范围是． 故选：B． 【典例2】．若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得或，然后进行求解即可． 【详解】解：由分式的值是负数，可分： 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，满足条件x的取值范围为：或 故选C． 1．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是正数，且， ∴， ∴， 故选：A． 2．当的值为 时，分式的值为非正数． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，求不等式组的解集，根据分式的值为非正数，得到或，进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为非正数， ∴， ∴或， 解得：； 故答案为： 【知识点3 分式的基本性质】 1）分数的性质（特点）如下： ①分母不能为零 ②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变 ③分数的通分与约分（短除法） 2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）： ①分式分母也不能为零 ②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即： ，其中：A、B、C为整式，B0，C0 ③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解 【题型6 判断分式变形是否正确】 解题技巧：（1）此类题型，常要求讲分子和分母都变为整数。因此，解决这类问题，我们通常把分子、分母各项系数同乘一个非零常数，使各项系数变为整数。 （2）还有些题型，要求处理分子分母之间正负号的关系，我们有：（相当于分子分母同乘-1）；即：分式分子、分母、分式3个符号中，同时改变其中2个符号，分式值不变。 【典例1】．下列从左到右的分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，即分子分母同乘或同除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A． ，原变形错误； B．当时，无意义，原变形错误； C． ，原变形正确； D． 无法通过分式的基本性质变为，原变形错误； 故选：C． 【典例2】．已知，下列等式中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的性质，解题关键在于需要掌握分式的性质． 由已知比例关系，可设参数表示变量，代入各选项验证是否恒成立即可判断． 【详解】解：∵， ∴设，， A、（当），但时分母为零，故不一定成立，不符合题意； B、，需且特定值才相等，故不一定成立，不符合题意； C、，恒成立，符合题意； D、，不成立，不符合题意． 故选C． 1．下列等式中，成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质以及分式的加减法，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． 根据分式的基本性质以及分式的加法运算法则进行判断即可． 【详解】解：A．，故此选项错误，不符合题意； B．，故此选项正确，符合题意； C．，故此选项错误，不符合题意； D．，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断分式变形是否正确，解题关键是掌握分式变形并能运用求解． 通过提取分母中的负号，将原分式变形为负的分式形式． 【详解】解：∵， ∴原分式可变形为，即选项C， 故选：C． 3．下列各式从左至右的变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，需注意分子分母只能同时乘或除，不能同时加或减．根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变；逐一判断各选项的变形是否正确. 【详解】解：∵分式的基本性质要求分子分母同时乘以或除以同一个非零整式，值不变； 对于A：，分子分母同时加c，但c可能不为零，且变形后值可能改变（如时，左边=，右边=，不相等）， ∴A不正确， 对于B：，分式的值不变， ∴B正确， 对于C：，分子分母均有负号，负负得正， ∴C正确， 对于D：，分子分母同时除以 （），得， ∴D正确， 故选：A. 【题型7 求使分式变形成立的条件】 解题技巧：根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可. 【典例1】．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可. 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故选：C. 【典例2】．要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个不为零的整式，分式的值不变．变形中乘以了，因此需满足． 【详解】解：∵左边分式变形为右边分式是通过分子和分母同时乘以得到的， ∴根据分式的基本性质，必须保证，即， 故选：D． 1．在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：（1）；（2）；括号内应填 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质进行变形即可； （2）根据分式的基本性质进行变形即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． 2．在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，对分式的分子和分母同时乘以6，即可得出结论． 【详解】解：． 故答案为：． 3．已知，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、分式的基本性质等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先用a表示b，然后代入运用分式的基本性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 【题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 解题技巧：根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可. 【典例1】．把分式中的、都扩大倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大倍 C．扩大倍 D．缩小倍 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握相关知识是解决问题的关键．将分式中的 和 都扩大 3 倍后代入，约分后与原式比较． 【详解】解：∵ 和 都扩大 3 倍， ∴ 新分式为 ， ∴ 分式的值不变． 故选：A． 【典例2】．把分式分母乘4，要使分式的值不变，分子应该（） A．加4 B．减4 C．乘4 D．除4 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握知识点是解题的关键． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的数，分式的值不变．本题中分母乘4，因此分子也需乘4才能使分式的值保持不变． 【详解】解：∵原分式为，分母乘4后变为， ∴要使分式的值不变，分子也需乘4，即分子变为， ∴分子应该乘4． 故选C． 1．若分式，则m的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，即， 又∵， ∴； 故选：C． 2.如果把分式中的和都扩大为原来的10倍，那么分式的值（    ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不变 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的基本性质，把分式中的x和y都扩大为原来的倍，求出比值，然后与之前分式的值对比，即可得出答案． 【详解】解：分式中的x和y都扩大为原来的倍，形成的新分式为： ， 即分式的值不变． 故选：D． 3．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 (3)变为原来的倍 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题； （3）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍； （3）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍． 【知识点4 分式的约分与通分】 1）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。 2）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数） 注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。 例：= 3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。 步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数； ②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数 ③分子对应扩大相同倍数 4）最大公约数与最小公倍数的求法（短除法） 例：求与3的最大公约数与最小公倍数。 最大公约数=33 最小公倍数=3 【题型9 约分】 解题技巧：分子和分母同时进行因式分解，再根据分式的基本性质，把一个分式分子与分母的公因式约去。 【典例1】．化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查约分，熟练掌握分式的性质是解题的关键；将分子和分母分别因式分解，然后约去公因式即可． 【详解】解：． 故答案为． 【典例2】．化简： （结果化为最简形式）． 【答案】/ 【分析】本题考查的是分式的约分，分子利用平方差公式分解因式，然后与分母约分，得到最简结果即可． 【详解】解：分子是平方差形式，可分解为 ， 因此原式为， 约去公因式，得， 故答案为：． 1．约分： （其中）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的约分，确定分子、分母的最大公因式是解题的关键．通过约去分子和分母的最大公因式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 2．约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的约分，掌握分式的约分是解题的关键． （1）分式的分子分母约去公因式即可； （2）分子分母先因式分解，再约去公因式； （3）分子分母先因式分解，再约去公因式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 3．约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的约分，掌握分式的约分是解题的关键． （1）将分子分母约去公因式即可； （2）分子先因式分解，再约去公因式即可； （3）分子分母先因式分解，再约去公因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 【题型10 最简分式】 解题技巧：最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【典例1】．下列式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式． 结合最简分式的定义求解即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、是最简分式，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【典例2】．下列各分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意． 【详解】解：A、，故原式不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，故原式不是最简分式，不符合题意； D、，故原式不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 1．下列各式：①；②；③；④，最简分式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查最简分式的判断，需熟练掌握因式分解和相反数性质，注意常数因子的处理． 判断分式是否最简，需检查分子与分母是否有公因式． 【详解】解：最简分式指分子与分母无公因式的分式， ①分母，分子，无公因式，是最简分式； ②，原式化为，有公因式，不是最简分式； ③分子，分母，无公因式，是最简分式； ④分子，分母（π为常数），不是分数； ∴最简分式有①、③，共2个． 故选：A． 2．下列分式中不是最简分式的是：（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简分式，熟练掌握最简分式的概念是解题的关键；因此此题可根据最简分式的定义进行排除选项即可． 【详解】解：A：是最简分式，故不符合题意； B：是最简分式，故不符合题意； C：，不是最简分式，故符合题意； D：是最简分式，故不符合题意； 故选C． 3．若是一个最简分式，则可以表示的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，先把分母因式分解，然后根据最简分式的定义进行判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 根据题意可得可以表示的式子是， 故选：C． 【题型11 最简公分母】 解题技巧：最简公分母是分母系数的最小公倍数与各变量最高次幂的乘积． 【典例1】．把分式与通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．最简公分母是分母系数的最小公倍数与各变量最高次幂的乘积． 【详解】解：分母和的系数4和6的最小公倍数为12，变量的最高次幂为，变量的最高次幂为， 最简公分母为， 故选：A． 【典例2】．分式与通分时，分子、分母要同时乘（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的通分（找最简公分母），解题的关键是先对两个分式的分母因式分解，再确定最简公分母． 先对两个分式的分母进行因式分解，找出最简公分母，再确定通分时需要乘的式子． 【详解】解：第一个分式的分母， 第二个分式的分母， 最简公分母需包含所有唯一因式：，即最简公分母为． 因此，通分时分子、分母要同时乘． 故选：C． 1．分式、、的最简公分母为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简公分母、平方差公式，首先利用平方差公式分解因式，可得：，再根据最简公分母的找法：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式，据此求解即可． 【详解】解：分式、、的分母分别为、、， 三个分式的最简公分母为． 故选： C． 2．分式与分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的概念解答． 【详解】解：， 分式与分式的最简公分母是， 故选：C 3．分式，，的最简公分母为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了最简公分母的确定，熟练掌握最简公分母的确定方法是解题的关键． 先对分母进行因式分解，再根据最简公分母的确定方法求出最简公分母． 【详解】解：因为， 所以分式，，的最简公分母为（或）． 故答案为：． 【题型12 通分】 解题技巧：根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【典例1】．把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 【典例2】．若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了通分，需掌握最简公分母的求法：取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积．通分的关键是确定最简公分母，分式和的公分母为 ，据此计算即可． 【详解】解：∵最简公分母为：， ∴分式的分子和分母需同乘， ∴分子变为． 故选：A． 1．把，，通分后，各分式的分子之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分． 先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母为，再通分得到各分式的分子，最后将分子相加并化简． 【详解】解：各分母分解因式： ， ， ， 可知最简公分母为． 的分子通分后为， 的分子通分后为， 的分子通分后为， 分子之和为： ． 故答案为：． 2．通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分． （1）找出最简公分母，进而通分即可； （2）找出最简公分母，进而通分即可； （3）找出最简公分母，进而通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是，，； （2）解：最简公分母是，，； （3）解：最简公分母是，，，． 3．通分： (1)，； (2)，，． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键 （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ， ． 【培优提升】 1．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)或0 【分析】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题目给出的定义是解决问题的关键． （1）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （2）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （3）先把分式化为真分式，再根据值为整数，x的值为整数确定x的值． 【详解】（1）解： ， 答案为：； （2）解： ； （3）解：． 分式的值为整数，且为整数， ， 或0． 2．某校有两块草坪，草坪甲是边长为的正方形，中间有一个边长为2的正方形喷水池，草坪乙是长为，宽为的长方形，其中，设两块草坪的面积分别为． (1)请用含的式子分别表示，并比较与的大小； (2)求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，因式分解的应用，分式的化简，根据图形分别表示出甲、乙两图中草坪的面积即可得到答案． （1）根据题意分别表示出，然后作差求解即可； （2）列式根据分式的性质化简即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：． 3．阅读理解“约去”指数：如你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？ (1)仔细观察式子，我们可作如下猜想：______； (2)试证明（1）中猜想的正确性．[供参考：] 【答案】(1)（或） (2)见解析 【分析】本题考查了约分，读懂题目信息，理解立方和公式并分解因式是解题的关键． （1）通过观察给定算式的规律猜想一般性公式； （2）再利用立方和公式对分子分母进行因式分解，通过化简证明猜想的正确性． 【详解】（1）解∶依题意得（或） 故答案为：（或） （2）证明： （或）， ∴（1）中猜想是正确的． 4．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 5．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3)或； (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和是解题的关键． （1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料整理得即可求解； （3）根据材料整理得，由题意得，据此求解即可； （4）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵分式的值为整数， ∴， ∴或； （4）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题1 分式及其基本性质（12大题型） 知识点+题型专练+解题技巧+培优提升 【知识点1 分式的定义】 1 【题型1 分式的判断】 2 【知识点2 分式的判定】 2 【题型2 分式无意义的条件】 2 【题型3 分式有意义的条件】 3 【题型4 分式值为0的条件】 4 【题型5 分式值为正（负）时未知数的范围】 4 【知识点3 分式的基本性质】 5 【题型6 判断分式变形是否正确】 5 【题型7 求使分式变形成立的条件】 6 【题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 7 【知识点4 分式的约分与通分】 7 【题型9 约分】 8 【题型10 最简分式】 9 【题型11 最简公分母】 9 【题型12 通分】 10 【培优提升】 11 【知识点1 分式的定义】 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。 注：①分式可以理解为两个整式相除的商，分母是除数，分子是被除数，分数线是除号。 ②整式B作为分母，则整式B0 ③只要最终能转化为形式即可。如：2 ④B中若无字母，则变成系数乘A，为整式 【题型1 分式的判断】 解题技巧：考查分式的定义，涉及知识点：分式是分母中含有字母的式子（注意π是常数）．根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式．逐一判断每个式子即可． 【典例1】．下列各式中：，，，，中，分式的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】．下列各式，，，，，属于分式的有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 1．下列式子，，，， 中，不是分式的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列各式中是分式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中：，，，，，，其中分式的个数有（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【知识点2 分式的判定】 1）分式无意义的条件：分母为0，即B=0 2）分式有意义的条件：分母不为0，即B0 2）分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0，即A=0且B0 3）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0 4）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0 【题型2 分式无意义的条件】 解题技巧：分式无意义的条件：分母为0，即B=0。因此，解此类题型，我们只需要列写B=0的等式，并求解出取值范围即可。 【典例1】．对于分式下列说法不正确的是（   ） A．时，分式值为 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 【典例2】．小彤发现一个关于x的分式满足下表信息，则分式可以为（　　） x的取值 … 2 … … 分式的值 … 0 … 无意义 … A． B． C． D． 1．若分式无意义，则应该满足（   ） A． B． C． D． 2．若分式无意义，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 3．若分式的值不存在，则 ． 【题型3 分式有意义的条件】 解题技巧：分式有意义的条件：分母不为0，即B0。因此，解此类题型，我们只需要列写B≠0的不等式，并求解出取值范围即可。 【典例1】．不论取何值，下列分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．若分式有意义，则x的取值是（   ） A． B． C． D． 2．若分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 3．无论x取什么值时，下列各式一定有意义的是（） A． B． C． D． 【题型4 分式值为0的条件】 解题技巧：分式值为0的条件：分母不为0，且分子为0，即B0，且A=0。因此，解此类题型，我们往往先求解A=0的条件，在判断A=0的条件下，是否满足B≠0.若满足，则此条件成立，若不满足，则这个解舍去。 【典例1】．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【典例2】．如果分式的值为0，那么的值为（    ） A． B． C．1 D．1或0 1．对于分式，当时，分式的值为零，当时，分式无意义，则 ， ． 2．要使分式的值为0，则与应满足的条件是 ． 3．已知分式，当x 时，分式无意义；当x 时，分式的值为0． 【题型5 分式值为正（负）时未知数的范围】 解题技巧：分式值为正（负）的条件：分母不为0，且分子与分母的乘积为正（负），即AB＞0（AB＜0）（因为AB大于或小于0，则AB不可能为0，则B不为0）。因此，解此类题型，先求解出B不等于0的情况。然后在列写AB＞0（AB＜0）的不等式并求解出取值范围即可。 【典例1】．已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【典例2】．若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 1．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．当的值为 时，分式的值为非正数． 【知识点3 分式的基本性质】 1）分数的性质（特点）如下： ①分母不能为零 ②分数分子分母同乘除不为零的数，分数的大小不变 ③分数的通分与约分（短除法） 2）分式是分数的拓展延伸，分式有与分数类似的性质（特点）： ①分式分母也不能为零 ②分式分子分母同乘除一个不为零的整式，分式大小不变。即： ，其中：A、B、C为整式，B0，C0 ③分式的通分与约分在知识点4中详细讲解 【题型6 判断分式变形是否正确】 解题技巧：（1）此类题型，常要求讲分子和分母都变为整数。因此，解决这类问题，我们通常把分子、分母各项系数同乘一个非零常数，使各项系数变为整数。 （2）还有些题型，要求处理分子分母之间正负号的关系，我们有：（相当于分子分母同乘-1）；即：分式分子、分母、分式3个符号中，同时改变其中2个符号，分式值不变。 【典例1】．下列从左到右的分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．已知，下列等式中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 1．下列等式中，成立的是（    ）． A． B． C． D． 2．分式可变形为（   ） A． B． C． D． 3．下列各式从左至右的变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型7 求使分式变形成立的条件】 解题技巧：根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可. 【典例1】．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 【典例2】．要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 1．在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：（1）；（2）；括号内应填 ； ． 2．在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为 ． 3．已知，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．5 【题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 解题技巧：根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可. 【典例1】．把分式中的、都扩大倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大倍 C．扩大倍 D．缩小倍 【典例2】．把分式分母乘4，要使分式的值不变，分子应该（） A．加4 B．减4 C．乘4 D．除4 1．若分式，则m的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 2.如果把分式中的和都扩大为原来的10倍，那么分式的值（    ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不变 3．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【知识点4 分式的约分与通分】 1）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。 2）分式的约分：与分数的约分类似，约去分式分子、分母中的公因式（最大公约数） 注：有时，分式分子、分母需进行一定的转换才有公因式。 例：= 3）分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。 步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数； ②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数 ③分子对应扩大相同倍数 4）最大公约数与最小公倍数的求法（短除法） 例：求与3的最大公约数与最小公倍数。 最大公约数=33 最小公倍数=3 【题型9 约分】 解题技巧：分子和分母同时进行因式分解，再根据分式的基本性质，把一个分式分子与分母的公因式约去。 【典例1】．化简： ． 【典例2】．化简： （结果化为最简形式）． 1．约分： （其中）． 2．约分： (1)； (2)； (3)． 3．约分： (1)； (2)； (3)． 【题型10 最简分式】 解题技巧：最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【典例1】．下列式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．下列各分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 1．下列各式：①；②；③；④，最简分式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列分式中不是最简分式的是：（　　） A． B． C． D． 3．若是一个最简分式，则可以表示的式子是（   ） A． B． C． D． 【题型11 最简公分母】 解题技巧：最简公分母是分母系数的最小公倍数与各变量最高次幂的乘积． 【典例1】．把分式与通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．分式与通分时，分子、分母要同时乘（   ） A． B． C． D． 1．分式、、的最简公分母为（   ） A． B． C． D． 2．分式与分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 3．分式，，的最简公分母为 ； 【题型12 通分】 解题技巧：根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【典例1】．把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【典例2】．若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 1．把，，通分后，各分式的分子之和为 ． 2．通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 3．通分： (1)，； (2)，，． 【培优提升】 1．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 2．某校有两块草坪，草坪甲是边长为的正方形，中间有一个边长为2的正方形喷水池，草坪乙是长为，宽为的长方形，其中，设两块草坪的面积分别为． (1)请用含的式子分别表示，并比较与的大小； (2)求的值（用含的式子表示）． 3．阅读理解“约去”指数：如你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？ (1)仔细观察式子，我们可作如下猜想：______； (2)试证明（1）中猜想的正确性．[供参考：] 4．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 5．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $