精品解析：福建省福州市鼓楼区文博中学2025-2026学年上学期九年级期中考数学试卷

2025-2026学年福建省福州市鼓楼区文博中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列交通标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 3. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，点、是圆上两点，且，则(　　) A. B. C. D. 5. 在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，除颜色外其他都相同，小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则布袋中黄球可能有（　　） A. 12个 B. 14个 C. 18个 D. 28个 6. 若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数与的图象与过且平行于轴的直线分别交于两点和两点，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 点关于原点对称的点的坐标是________． 12. 已知二次函数的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解________． 13. 如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是___． 14. 如图，绕点逆时针旋转一定角度后得到，点在上，，则的度数为 ______ ． 15. 如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为__________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根为1，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 19. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点． （1）求和的值； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 20. 正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 21. 如图，点O在的平分线上，与相切于点C． （1）求证：直线与相切； （2）的延长线与交于点E．若的半径为3，．求弦的长． 22. 某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲，要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首． 游戏规则如下：在—个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b，若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》，否则，演奏《彩云之南》． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数； （2）你认为这个游戏公平不？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？ 23. 如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，． （1）求证：； （2）若，，求阴影部分的面积． 24. 已知二次函数． （1）若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； （2）求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； （3）若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 25. 在平面直角坐标系中，等边的顶点在y轴正半轴上，顶点B，顶点C分别在第三象限和第四象限，且． （1）如图1，当时． ①点B的坐标为______，点C的坐标为______； ②点P在x轴上，点Q是平面内任意一点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形，求P点坐标； （2）当时，点M是等边边上的动点，若点M绕O点顺时针旋转得到点，直接写出所有点组成图形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年福建省福州市鼓楼区文博中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列交通标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 3. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据函数解析式确定该函数是反比例函数，根据反比例函数的性质即可得答案． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴该函数为反比例函数，图像为双曲线， ∵， ∴图像在一、三象限， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 4. 如图，是的直径，点、是圆上两点，且，则(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据邻补角的定义求出的度数，然后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，除颜色外其他都相同，小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则布袋中黄球可能有（　　） A. 12个 B. 14个 C. 18个 D. 28个 【答案】B 【解析】 【分析】设需要往盒子里再放入x个黄球， “在大次数的实验中，当某事件发生的频率逐渐稳定下来，在某个常数周围作小幅波动时，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，利用公式P=即可求出． 【详解】设布袋中黄球可能为x个，， x=0.35×40=14个， 故选择：B． 【点睛】熟悉某事件发生的概率与频率间的关系：“在大次数的实验中，当某事件发生的频率逐渐稳定下来，在某个常数周围作小幅波动时，我们就说这个常数是该事件发生的概率”是解答本题． 6. 若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，熟悉掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 利用反比例函数的图象性质进行比较即可． 【详解】解：∵，图象经过一三象限，在每一象限内随的增大而减小， ∵， ∴， ∵在第一象限，在第三象限， ∴， ∴， 故选：D． 7. 根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，熟悉二次函数的图象与性质是解题的关键．通过观察表格中函数值的变化，当时函数值为负，时函数值为正，根据函数性质，所对应的方程的根在． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程必有一个根满足，。 故选：C． 8. 如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360º即可求解． 【详解】由旋转的性质得：∠BAD=，∠ABC=∠ADE， ∵∠ABC+∠ABE=180º， ∴∠ADE+∠ABE=180º， ∵∠ABE+∠BED+∠ADE+∠BAD=360º，∠BAD= ∴∠BED=180º-， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、四边形的内角和是360º，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 9. 如图，二次函数与的图象与过且平行于轴的直线分别交于两点和两点，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意分别求出A，B，C，D的坐标，从而求得和的长，即可求得与的比值． 【详解】根据题意：， 解得：， ， ， 根据题意得：， 解得：， ， ， 故选：A． 10. 将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先求得，代入即可得出答案． 【详解】∵ ， ∴ ∴ ∴ 又 ∵ ， ∴ ∴ 故选 B. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 12. 已知二次函数的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解________． 【答案】 【解析】 【分析】函数的对称轴为：，则另外一个交点在：，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个解， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数与轴的另一个交点坐标为， ∴方程另一个解． 13. 如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是___． 【答案】3 【解析】 【分析】根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当时，的值最小．连接，在直角三角形中由勾股定理即可求得的长度． 【详解】解：当时，的值最小， 则， 如图所示，连接， 在中，，， 则根据勾股定理知， 即的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、垂径定理．解题的关键是注意两点之间，垂线段最短． 14. 如图，绕点逆时针旋转一定角度后得到，点在上，，则的度数为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及旋转性质、等腰三角形的判定与性质、平角定义等知识，数形结合，灵活运用旋转性质、等腰三角形性质及平角定义是解决问题的关键． 先由旋转性质得到，再由等腰三角形的判定与性质得到，进而有，最后由平角定义得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：绕点逆时针旋转一定角度后得到， ， ， 则， ， ， ， 解得， 故答案为：． 15. 如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm． 【答案】 【解析】 【分析】先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理 即可出圆锥的高． 【详解】圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长为4cm ∴圆锥的底面半径为=2， 故圆锥的高为=4cm 故答案为：4 【点睛】此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合问题，正方形的性质，全等三角形的性质与判定；作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点，由函数解析式确定的坐标是，的坐标是，根据全等三角形的判定和性质得出，，，结合图形得出的坐标是，的坐标是．进而求得，得出，求解即可． 【详解】解：作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点， 在中， 令，解得：， 即的坐标是． 令，解得：， 即的坐标是． 则，． ∵， ∴， 又∵直角中，， ∴， 在和中， ， ∴（）， 同理，， ∴，， 故的坐标是，的坐标是． 代入得：， 则函数的解析式是：． ∴， 则的纵坐标是， 把代入得：．即的坐标是， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握公式法、分解因式法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． （1）先计算判别式，判定一元二次方程有两个不相等的实数根，利用求根公式计算即可得到答案； （2）先移项、合并同类项，再由分解因式法求解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， 则， ； 【小问2详解】 解：， ， 即， ， 则或， ． 18. 已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根为1，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）；（2）证明：∵， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）直接把x=1代入方程求出m的值； （2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可． 【详解】解：（1）根据题意，将x=1代入方程， 得：， 解得：m=． （2）略 19. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点． （1）求和的值； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 【答案】（1）-1；（2）7.5；（3）x＞1或﹣4＜x＜0 【解析】 【分析】（1）把点坐标分别代入反比例函数，一次函数，求出、的值，再把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可得出答案； （2）求出直线与轴的交点的坐标，分别求出和的面积，然后相加即可； （3）根据、的坐标结合图象即可得出答案． 【详解】解：（1）把点分别代入反比例函数，一次函数， 得，， 解得，， 点也在反比例函数的图象上， ； （2）如图，设直线与轴的交点为， 当时，， ， ； （3），， 根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，解题的关键是利用数形结合思想求解． 20. 正方形的边长为3，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵由旋转知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴F、C、M三点在同一条直线上． ∵， ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由旋转可得，，可得，再由，得出，得出； （2）设，由，正方形的边长为3，得，，得到，利用勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设． ∵， ∴． 在中， 由勾股定理得， 即． 解得，， ∴． 21. 如图，点O在的平分线上，与相切于点C． （1）求证：直线与相切； （2）的延长线与交于点E．若的半径为3，．求弦的长． 【答案】（1） 证明：连接，过点作，交于点，如图所示： ∵与相切于点C， ∴， ∵点O在的平分线上， ∴， ∴点在上， ∴与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，过点作，交于点，根据角平分线的性质，可得，即可得到与相切； （2）设交于点，连接，证明，求出的长，利用相似比，得到，再利用勾股定理，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于点，连接， 则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为3，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在中：，即：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合应用，主要考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 22. 某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲，要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首． 游戏规则如下：在—个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b，若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》，否则，演奏《彩云之南》． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数； （2）你认为这个游戏公平不？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？ 【答案】（1） 列表如下： 1 2 3 4 1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1) 2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2) （a，b）所有可能出现的结果总数有8种； （2） 游戏公平，理由： 由表格知a+b为奇数的情况有4种，为奇数的情况也有4种， 概率相同，都是，所以游戏公平． 【解析】 【分析】（1）列表列出所有等可能结果即可； （2）由和为偶数的有8种情况，而和为奇数的有4种情况，即可判断． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查游戏的公平性及概率的计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 23. 如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，． （1）求证：； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵，则， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论； （2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使， ∵O为正方形中心， ∴，，而， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴，， 而正方形的边长， ∴， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 而， ∴． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 24. 已知二次函数． （1）若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； （2）求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； （3）若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 【答案】（1）；顶点坐标为； （2） 证明：△， 二次函数图象与轴总有两个公共点． （3） 【解析】 【分析】（1）二次函数的图象经过，即可求得，得到抛物线为，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）依据题意，由△，又对于任意的都有，从而可以判断△的大小，进而可以得解； （3）依据题意，由，在二次函数图象上，从而对称轴直线，故，即，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合可得，再解绝对值不等式即可． 【小问1详解】 解：二次函数图象经过， ， ， 抛物线为， ， 顶点坐标为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点，都在二次函数图象上， 对称轴为直线， ，，． ， ， 抛物线过， ，即， ， ， 解得，即， 抛物线开口向上， 当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小． ， ， 即，则有或， 解得：或， 综上所述：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 25. 在平面直角坐标系中，等边的顶点在y轴正半轴上，顶点B，顶点C分别在第三象限和第四象限，且． （1）如图1，当时． ①点B的坐标为______，点C的坐标为______； ②点P在x轴上，点Q是平面内任意一点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形，求P点坐标； （2）当时，点M是等边边上的动点，若点M绕O点顺时针旋转得到点，直接写出所有点组成图形的面积． 【答案】（1）①，；②或或或 （2） 【解析】 【分析】（1）①设与轴交于点，先证出点是三边的垂直平分线的交点，点也是的三个内角的角平分线的交点，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出的长，据此解答即可得； ②设点的坐标为，先求出，再分四种情况：①当在点构成的矩形中，时，②当在点构成的矩形中，时，③当在点构成的矩形中，时，利用勾股定理建立方程，解方程即可得； （2）先利用等边三角形的性质求出的面积，再分别将，，绕点顺时针旋转得到，，，连接，，，证出当点在等边的边上运动时，则点绕点顺时针旋转得到点一定在的边上，然后证出，根据全等三角形的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：①如图，设与轴交于点， ∵，，， ∴，点是三边的垂直平分线的交点， ∴， ∵轴， ∴轴， ∵是等边三角形， ∴，点也是的三个内角的角平分线的交点， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 又∵顶点，顶点分别在第三象限和第四象限， ∴，． 故答案为：，． ②由题意，设点的坐标为， ∵， ∴， ， ， 如图，当在点构成的矩形中，时，连接， 在中，，即， 解得， ∴此时点的坐标为； 如图，当在点构成的矩形中，时，连接， 在中，，即， 解得， ∴此时点的坐标为； 如图，当在点构成的矩形中，时， 在中，，即， 解得或， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【小问2详解】 解：如图，设与轴交于点， 同（1）可得：，，，， ∴，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 如图，分别将，，绕点顺时针旋转得到，，，连接，，， ∴点在轴负半轴上，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴线段绕点顺时针旋转得到线段， 同理可得：，， ∴线段绕点顺时针旋转得到线段，线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴当点在等边的边上运动时，则点绕点顺时针旋转得到点一定在的边上， ∴所有点组成图形的面积为， 在和中， ， ∴， ∴， 即所有点组成图形的面积为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、勾股定理、一元二次方程的应用、含30度角的直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握分类讨论思想和相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $