第01讲 空间向量及利用向量法证明平行垂直问题（思维导图+5大知识点+8大题型+过关测试）-2025-2026学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版）

该高中数学讲义通过思维导图系统梳理空间向量知识体系，将空间向量的线性运算、数量积、坐标运算及法向量应用等五个知识点按逻辑递进呈现，用框架图明确概念、运算与应用的内在联系，突出平行垂直证明等重难点。 亮点在于“题型归纳，举一反三”设计，如三点共线、四点共面题型培养推理能力，向量法证明平行垂直问题强化应用意识，例题配变式题满足分层需求，过关测试助力自主复习，为教师实施精准教学提供系统支持。

第01讲 空间向量及利用向量法证明平行垂直问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：空间向量及其加减运算 4 知识点二：空间向量的数乘运算 4 知识点三：空间向量的数量积运算 5 知识点四：空间向量的坐标运算及应用 6 知识点五：法向量的求解与简单应用 7 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：空间向量线性运算 8 题型二：空间向量的模长、数量积、夹角运算 10 题型三：空间向量运算的坐标表示 13 题型四：空间向量平行、垂直坐标表示 15 题型五：三点共线问题 16 题型六：四点共面问题 18 题型七：利用向量法证明平行问题 21 题型八：利用向量法证明垂直问题 26 05 过关测试 31 知识点一：空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 知识点二：空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 知识点三：空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 知识点四：空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； ． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 知识点五：法向量的求解与简单应用 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 几点注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 题型一：空间向量线性运算 【例1】（2025·高二·天津静海·期中）如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，用，，表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在平行六面体中，是的中点， 所以. 故选：A. 【变式1-1】（2025·高二·湖北十堰·期中）如图：在平行六面体中，为与的交点.若，，，则可以表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，. 故选：B. 【变式1-2】（2025·高二·河南濮阳·期中）在平行六面体中，点E，F分别为棱，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点E，F分别为棱，的中点， 所以 . 故选：A.    【变式1-3】（2025·高二·河南·期中）在四面体中，是的重心.记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接并延长交于， 因为是的重心，所以为的中点， 所以， ， 所以， 所以. 故选：B. 题型二：空间向量的模长、数量积、夹角运算 【例2】（2025·高二·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 【解析】（1）因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． （2）因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 【变式2-1】（2025·高二·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 【解析】（1）由题意可知：，，， 因为， 则 ， 即，所以的长为. （2）设，则 可得 ， 若，则，解得， 所以，即的长为2. 【变式2-2】（2025·高二·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 【解析】（1）因为分别是棱的中点， 所以是的中位线，则， 得到， 同理可得，而四面体的所有棱长都等于2， 得到，故. （2）因为分别是棱的中点， 所以 ， 而， 同理可得， 可得 ，故. 【变式2-3】（2025·高二·安徽·期中）如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，. (1)用向量，，表示，. (2)为何值时，最小，最小值是多少？ (3)当时，证明：平面ABCD. 【解析】（1）由题意得，，，， 可知， 则 . （2）因，，，， 则 ， 则当时，有最小值，最小值为. （3）当时，， 则， ， 所以，， 因为AB，平面ABCD，，平面ABCD.， 所以平面ABCD. 题型三：空间向量运算的坐标表示 【例3】（多选题）（2025·高二·重庆·期中）已知向量，，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】对于A：由模长公式得，，A正确； 对于B：由题意得，因为，则存在实数，使得，即， ，B正确； 对于C：由题知，C错误； 对于D：向量在向量上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 【变式3-1】（多选题）（2025·高二·江西萍乡·期中）已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】AD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，，所以，故B错误； 对于C，假设，则存在实数使得，则，无解，所以假设错误，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量为，故D正确. 故选：AD. 【变式3-2】（多选题）（2025·高二·福建三明·期中）已知空间向量，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量在上的投影向量的坐标 【答案】BCD 【解析】对于A，因为，， 所以，由空间向量的模长公式得，故A错误， 对于B，因为，，所以，故B正确， 对于C，因为，，所以，故C正确， 对于D，由模长公式得， 由投影向量的坐标公式得，向量在上的投影向量的坐标如下， 为，故D正确. 故选：BCD 【变式3-3】（多选题）（2025·高二·内蒙古包头·期中）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】对于A：，因为，所以不平行，故A错误； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C：， ，则，故C正确； 对于D：与夹角的余弦值为，故D正确； 故选：BCD. 题型四：空间向量平行、垂直坐标表示 【例4】（2025·高二·广西玉林·期末）已知，，且，则 . 【答案】6 【解析】因为，所以，，解得. 故答案为：6. 【变式4-1】（2025·高二·浙江温州·期末）已知，若共线，则 . 【答案】3 【解析】，向量与共线， ， 解得， 则 故答案为： 【变式4-2】（2025·高二·陕西西安·期中）已知空间向量，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】由题意，， 因为，所以，即， 化简可得，所以. 故答案为：. 【变式4-3】（2025·高二·天津和平·期中）已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为 .（用坐标表示） 【答案】 【解析】因为，所以，所以，则， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 题型五：三点共线问题 【例5】（2025·高二·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为 ． 【答案】； 【解析】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得， 即，解得． 故答案为：. 【变式5-1】（2025·高二·山东潍坊·期中）已知四面体中，点在面内，若，则实数的值为 . 【答案】 【解析】由空间向量共面定理即可得，解得. 故答案为： 【变式5-2】（2025·高二·全国·单元测试）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则 ． 【答案】0 【解析】方法一、因为，，， 所以． 因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数y，使得， 即， 即，解得． 方法二、因为向量，，不共面，所以可假设为空间的一个单位正交基底， 则在此基底下的坐标为，同理，， 则， 若A，C，D三点共线，则， 即，解得． 故答案为：0. 【变式5-3】（2025·高二·江苏常州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为 ． 【答案】 【解析】如图，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， 设，，则， 故，所以， 则， 因为为钝角，而三点不共线， 故， 解得，即的取值范围为. 故答案为：. 题型六：四点共面问题 【例6】（2025·高二·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则 .    【答案】 【解析】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 故答案为： 【变式6-1】（2025·高二·天津和平·期中）设，已知为空间四边形，空间内一点满足，若，，共面，则 . 【答案】 【解析】若，，共面，则四点共面， 因为，则，解得. 故答案为：. 【变式6-2】（2025·高二·上海杨浦·期中）已知空间四点、、、． (1)求与同向的单位向量的坐标； (2)若、、、四点共面，求实数的值． 【解析】（1）由题意可得，则， 所以的单位向量为. （2）由题意可得，，， 因为、、、四点共面，则、、共面， 设，即， 即，解得，故. 【变式6-3】（2025·高二·全国·期中）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【解析】取，，，结合题图及已知， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与，共面，即四点共面. 题型七：利用向量法证明平行问题 【例7】（2025·高二·北京平谷·期中）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是线段上一点，且.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线平面，说明理由. 【解析】（1）因为平面，平面，则， 又因为底面是矩形，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，    则， 可得，，， 因为，则， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 由题意可知：平面的法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）存在，理由如下： 设，则， 若直线平面，则， 可得，解得， 所以存在点，使得直线平面，此时点为的中点. 【变式7-1】（2025·高二·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【解析】（1）以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 【变式7-2】（2025·高二·陕西榆林·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，底面是梯形，，，，，E是的中点．请用空间向量知识解答下列问题． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)线段上是否存在点Q，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：取中点F，连接， ，，E是的中点，， 则以E为原点，以、、所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，， ，，，， ，， ，，即． （2）由（1）可得，，，，，， ，， 设平面的一个法向量为，则 令，则，，， 依题意平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，由图知，为锐角， ， 即二面角的余弦值为． （3）在线段上不存在点Q，使得平面， 理由如下： 假设存在点Q，使得平面，设，， ， 由（2）可知，平面的一个法向量为， 则，解得， 故在线段上不存在点Q，使得平面． 【变式7-3】（2025·高二·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，，分别为，的中点，.    (1)求证：平面； (2)若，，，为线段的中点.求证：. 【解析】（1）    取，连接， 因为，由平行六面体的性质可得， 取中点，连接，则由中位线的性质可得， 又为中点，由平行六面体的性质可得且相等， 所以四边形为平行四边形，可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. （2）设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底，用它们表示，，则 ，， 所以 ， 所以． 题型八：利用向量法证明垂直问题 【例8】（2025·高二·江苏无锡·期中）如图，在平行六面体中，，，．    (1)求的长； (2)求证：直线平面． 【解析】（1）以，，为空间向量的基底， 则， 则； （2）由， 所以， 所以，即， 又， 所以， 所以，即， 又，，平面， 所以直线平面. 【变式8-1】（2025·高二·山东聊城·期中）棱长为2的正方体中，分别为棱上的动点，且. (1)若，求与所成的角的余弦值； (2)证明：平面平面. 【解析】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图. ， . 所以， . 所以. 故与所成的角的余弦值为. （2）设，则， . 设平面的一个法向量， 由则 令，则，所以平面的一个法向量. 同理可得平面的一个法向量. 因为. 所以平面平面. 【变式8-2】（2025·高三·安徽·期中）如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）如图，过点作，交于点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，． 又为的中点，点在上，且满足，则 ，，，， , 所以， 所以． （2）由（1）知，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量． ，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量 因为， 所以， 所以平面平面． 即平面平面． （3）假设存在，，，四点共面，即点在平面内，则． 又（，），，，， 所以， ， 解得． 又因为，，三点共线，所以，所以，， 故存在，，，四点共面，且，即． 因为， 所以，即的值为2． 【变式8-3】（2025·高二·山东青岛·期末）如图，在平行六面体中，且. (1)求的长度； (2)求证：平面. 【解析】（1）设， 由于，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； （2）因为， 所以， 所以，同理可证， 又因为平面． 所以平面. 1．（2025·高二·辽宁·期末）设，向量，，，且，∥，则等于（ ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【解析】由，∥，得，解得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：C. 2．（2025·高三·安徽·期中）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，，则或． 当时，则，所以，充分性成立； 当时，即时，和可能平行，可能相交，也可能线在面内，必要性不成立． 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3．（2025·高二·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】设，即， ，此方程组无解，，，不共面，可构成基底，正确. 设，即， ，此方程组有解，，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解，，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解，，，共面，不可构成基底，错误. 故选：. 4．（2025·高二·河北张家口·期中）设，向量，且，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，所以， 所以， 故选：B. 5．（2025·高二·福建·月考）九章算术是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵平面，平面， ∴，，又底面是正方形， ∴，则两两垂直， 以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 由，，分别为，的中点， 则， 设平面的法向量为，则， 令，得，设，则， ∵平面， ∴，则，即， 解得，故． 故选：D． 6．（2025·高二·广东东莞·月考）已知，，，若共面，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，，且共面， 则存在实数满足，即， 所以，解得． 故选：B 7．（2025·高二·北京·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B．8 C．-4 D．4 【答案】C 【解析】因为，， 所以 . 故选：C. 8．（2025·高二·湖北孝感·期中）如图，三棱锥中，为线段OA上靠近的三等分点，，点为MN的中点，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接ON，由，则是的中点，又点为MN的中点， 所以， 所以. 故选：B 9．（多选题）（2025·高二·云南·期中）关于空间向量，以下命题正确的是（    ） A．若为平面外任意一点，，则四点一定共面 B．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．若平面的法向量分别为，且，则 D．若向量（是不共面的向量，则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】ACD 【解析】对于A选项：因为，所以四点共面，故A正确； 对于B选项，若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，易得，即，则有，故B错误； 对于C选项：因为，所以，所以，所以C正确； 对于D选项：由题意得，设， 则，解得，则在基底下的坐标为正确， 故选：ACD. 10．（多选题）（2025·高二·陕西延安·期中）如图，在正方体中，记平面与平面的交线为，则下列结论正确的是（   ）    A．平面 B． C．与所成角大小为 D． 【答案】ACD 【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，且设边长为2， 则，，，，，，, 可得，， 设平面的法向量为，得到， 令，解得，则， 易得平面的法向量为， 而平面与平面的交线为，可得， 设的方向向量为，则， 令，解得，，可得， 而，， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，可得， 对于A，由已知得，且由题意得， 显然不在面内，则平面，故A正确， 对于BD，由,则，,则不成立，成立，故B错误，D正确， 对于C，由题意得，设与所成角为， 则，而，可得，故C正确. 故选：ACD 11．（多选题）（2025·高二·云南昆明·期中）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】在平行六面体中，为空间的一个基底， 则，， ， 对于A，， ，A正确； 对于B，，则 ，因此，B正确； 对于C，，则， ，而， 因此向量与夹角是，C正确； 对于D，，则 ，而 ，， ，D错误. 故选：ABC 12．（多选题）（2025·高二·云南昆明·月考）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B．已知两个向量，，且，则 C．已知两个向量，，且，则 D．若平面的法向量，，则点到平面的距离是2 【答案】BC 【解析】对于A选项，若、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以，，且， 因为对空间中任意一点，有，且， 故、、、四点不共面，A错； 对于B选项，已知两个向量，，且， 设，即，则，解得，故，B对； 对于C，因为，所以，得，正确， 对于D，因为平面的法向量，， 所以点到平面的距离是，D错误； 故选：BC 13．（多选题）（2025·高二·吉林·期中）如图，在平行六面体中，，则（    ） A．不能构成空间的一个基底 B． C．平面 D．直线与直线所成的角为 【答案】BCD 【解析】对于A，因为在平面内，平面，所以不共面.能构成空间的一个基底，故A不正确； 对于B，， ，故B正确； 对于C，因为， 所以.，所以，所以. 又四边形为菱形，所以. 又，平面，所以平面.故C正确； 对于D，因为， 所以，所以， 所以直线与直线所成的角为.故D正确 故选：BCD. 14．（多选题）（2025·高二·云南昭通·月考）下列说法中，正确的有（　　） A．若平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面平行 B．若平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面垂直 C．若直线的方向向量，直线的方向向量，则异面直线与所成角为 D．若直线的方向向量，直线的方向向量，则异面直线与所成角为 【答案】BD 【解析】对于AB，，故共线，则直线l与平面垂直，故A错误，B正确； 对于CD，因为，又异面直线l与m所成角的取值范围是， 其夹角为，故C错误，D正确， 故选：BD 15．（2025·高二·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量 . 【答案】 【解析】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为： 16．（2025·高二·陕西·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，．      (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【解析】（1）已知，，， 得：，，． （2）设， 又， 则，且， 则， 得， 即， 同理可得， 因为，，平面，平面，且， 所以平面． 17．（2025·高二·河南平顶山·月考）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【解析】（1），， ，， . （2）设与的夹角为，则，     ，，     ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 18．（2025·高二·江苏南通·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且. (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 【解析】（1） ； （2） （3）因为， 所以 . . 由正四面体的棱长为2，可得， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 空间向量及利用向量法证明平行垂直问题 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：空间向量及其加减运算 4 知识点二：空间向量的数乘运算 4 知识点三：空间向量的数量积运算 5 知识点四：空间向量的坐标运算及应用 6 知识点五：法向量的求解与简单应用 7 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：空间向量线性运算 8 题型二：空间向量的模长、数量积、夹角运算 9 题型三：空间向量运算的坐标表示 10 题型四：空间向量平行、垂直坐标表示 11 题型五：三点共线问题 11 题型六：四点共面问题 12 题型七：利用向量法证明平行问题 13 题型八：利用向量法证明垂直问题 15 05 过关测试 17 知识点一：空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 知识点二：空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 知识点三：空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 知识点四：空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； ． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 知识点五：法向量的求解与简单应用 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 几点注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 题型一：空间向量线性运算 【例1】（2025·高二·天津静海·期中）如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，用，，表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高二·湖北十堰·期中）如图：在平行六面体中，为与的交点.若，，，则可以表示为（   ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·河南濮阳·期中）在平行六面体中，点E，F分别为棱，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高二·河南·期中）在四面体中，是的重心.记，若，则（    ） A． B． C． D． 题型二：空间向量的模长、数量积、夹角运算 【例2】（2025·高二·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 【变式2-1】（2025·高二·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 【变式2-2】（2025·高二·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 【变式2-3】（2025·高二·安徽·期中）如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，. (1)用向量，，表示，. (2)为何值时，最小，最小值是多少？ (3)当时，证明：平面ABCD. 题型三：空间向量运算的坐标表示 【例3】（多选题）（2025·高二·重庆·期中）已知向量，，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 【变式3-1】（多选题）（2025·高二·江西萍乡·期中）已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【变式3-2】（多选题）（2025·高二·福建三明·期中）已知空间向量，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量在上的投影向量的坐标 【变式3-3】（多选题）（2025·高二·内蒙古包头·期中）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 题型四：空间向量平行、垂直坐标表示 【例4】（2025·高二·广西玉林·期末）已知，，且，则 . 【变式4-1】（2025·高二·浙江温州·期末）已知，若共线，则 . 【变式4-2】（2025·高二·陕西西安·期中）已知空间向量，，且，则实数的值为 ． 【变式4-3】（2025·高二·天津和平·期中）已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为 .（用坐标表示） 题型五：三点共线问题 【例5】（2025·高二·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为 ． 【变式5-1】（2025·高二·山东潍坊·期中）已知四面体中，点在面内，若，则实数的值为 . 【变式5-2】（2025·高二·全国·单元测试）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则 ． 【变式5-3】（2025·高二·江苏常州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为 ． 题型六：四点共面问题 【例6】（2025·高二·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则 .    【变式6-1】（2025·高二·天津和平·期中）设，已知为空间四边形，空间内一点满足，若，，共面，则 . 【变式6-2】（2025·高二·上海杨浦·期中）已知空间四点、、、． (1)求与同向的单位向量的坐标； (2)若、、、四点共面，求实数的值． 【变式6-3】（2025·高二·全国·期中）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 题型七：利用向量法证明平行问题 【例7】（2025·高二·北京平谷·期中）如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是线段上一点，且.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线平面，说明理由. 【变式7-1】（2025·高二·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【变式7-2】（2025·高二·陕西榆林·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，底面是梯形，，，，，E是的中点．请用空间向量知识解答下列问题． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)线段上是否存在点Q，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】（2025·高二·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，，分别为，的中点，.    (1)求证：平面； (2)若，，，为线段的中点.求证：. 题型八：利用向量法证明垂直问题 【例8】（2025·高二·江苏无锡·期中）如图，在平行六面体中，，，．    (1)求的长； (2)求证：直线平面． 【变式8-1】（2025·高二·山东聊城·期中）棱长为2的正方体中，分别为棱上的动点，且. (1)若，求与所成的角的余弦值； (2)证明：平面平面. 【变式8-2】（2025·高三·安徽·期中）如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式8-3】（2025·高二·山东青岛·期末）如图，在平行六面体中，且. (1)求的长度； (2)求证：平面. 1．（2025·高二·辽宁·期末）设，向量，，，且，∥，则等于（ ） A． B． C．3 D．9 2．（2025·高三·安徽·期中）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·高二·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（2025·高二·河北张家口·期中）设，向量，且，，则（   ） A． B． C．4 D．3 5．（2025·高二·福建·月考）九章算术是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·广东东莞·月考）已知，，，若共面，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·北京·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B．8 C．-4 D．4 8．（2025·高二·湖北孝感·期中）如图，三棱锥中，为线段OA上靠近的三等分点，，点为MN的中点，记，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025·高二·云南·期中）关于空间向量，以下命题正确的是（    ） A．若为平面外任意一点，，则四点一定共面 B．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．若平面的法向量分别为，且，则 D．若向量（是不共面的向量，则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 10．（多选题）（2025·高二·陕西延安·期中）如图，在正方体中，记平面与平面的交线为，则下列结论正确的是（   ）    A．平面 B． C．与所成角大小为 D． 11．（多选题）（2025·高二·云南昆明·期中）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 12．（多选题）（2025·高二·云南昆明·月考）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B．已知两个向量，，且，则 C．已知两个向量，，且，则 D．若平面的法向量，，则点到平面的距离是2 13．（多选题）（2025·高二·吉林·期中）如图，在平行六面体中，，则（    ） A．不能构成空间的一个基底 B． C．平面 D．直线与直线所成的角为 14．（多选题）（2025·高二·云南昭通·月考）下列说法中，正确的有（　　） A．若平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面平行 B．若平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面垂直 C．若直线的方向向量，直线的方向向量，则异面直线与所成角为 D．若直线的方向向量，直线的方向向量，则异面直线与所成角为 15．（2025·高二·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量 . 16．（2025·高二·陕西·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，．      (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 17．（2025·高二·河南平顶山·月考）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 18．（2025·高二·江苏南通·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且. (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $