精品解析：新疆维吾尔自治区2026年普通高考适应性检测第一次分学科模拟考试数学试题

新疆维吾尔自治区2026年普通高考适应性检测分学科 第一次模拟考试 数学 （卷面分值：150分考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡的相应位置上. 2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 若焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 2 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.若与的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点P是圆上的一点，过点P作圆M：的切线，切点分别为A，B，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正四面体的棱长为6，点D，E分别为，的中点，则（ ） A. 直线与相交 B. 直线与所成的角为 C. D. 点D到直线的距离为 10. 设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于点，，且的最小值为4，则（ ） A. B. 的中点到轴距离的最小值为2 C. 当时， D. 抛物线在点，处的切线交于点，则 11. 的周长为6，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. 若，则 B. C. D. 若的面积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 5个班分别从3个研学基地中选择1个基地进行综合实践活动，则不同的选择方法有_____种. 13. 已知，且，则____. 14. 若函数有两个零点，则实数a的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求在上的最大值与最小值； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 16. 已知正项数列满足，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列中第2项，第4项，，第项构成新数列，记的前项和为，求. 17. 如图，在四棱锥中，平面，在梯形中，，，，点C在平面的投影恰好是的重心G. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，，分别为左右焦点，过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，当轴时，. （1）求双曲线G的方程； （2）过点A作直线的垂线，垂足为D. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 19. 小霞十分喜欢吃糖，为了让小霞减少糖的摄入量，小霞妈妈做了4支棒棒糖模型，其外观、手感与质量与棒棒糖完全一致，并将2支棒棒糖和2支棒棒糖模型放在纸盒中.妈妈与小霞约定好：每当小霞想吃糖时即在该纸盒中随机抽取一支，若抽到棒棒糖模型时，重新放回原处；若抽到棒棒糖时，吃完后，妈妈补放1支棒棒糖模型.如此操作，直到2支棒棒糖被吃完. （1）求小霞在第1次抽到棒棒糖模型的条件下，第4次恰好吃完2支棒棒糖的概率； （2）在抽取2次后，纸盒中棒棒糖模型的支数恰好为，求的分布列与数学期望； （3）记“恰好抽取次时纸盒中2支棒棒糖刚好吃完”的概率为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆维吾尔自治区2026年普通高考适应性检测分学科 第一次模拟考试 数学 （卷面分值：150分考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡的相应位置上. 2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由真数大于0得到不等式，求出，利用交集概念求出答案. 【详解】由题意得，解得，故， 又，故. 故选：A 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘方与除法法则计算出，再计算出模长. 【详解】， 故，故. 故选：B 3. 若焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据渐近线方程得到，再利用求出离心率. 【详解】设双曲线方程为，则渐近线方程为， 则，所以，离心率为. 故选：C 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】取特值并根据充分条件和必要条件的定义可得答案. 【详解】当时，不能推出， 当时，不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先得到的一个周期为6，从而得到，赋值得到，得到答案. 【详解】，故， 两式相减得，故的一个周期为6， ， 中，令得， 又，故，所以 故选：C 6. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性，判断函数单调性，进而解出不等式即可. 【详解】已知，定义域为R， 可知，令，即，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，即，即， 化简得，解得或； 所以实数的取值范围为. 故答案为：C. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.若与的图象关于点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简，进而得到，由与的图象关于点对称可得，进而得到，进而求解即可. 【详解】由， 则， 因为与的图象关于点对称，所以， 而， 则， 即对于任意恒成立， 所以，或（舍去）， 则，又，则的最小值为. 故选：D 8. 已知点P是圆上的一点，过点P作圆M：的切线，切点分别为A，B，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】设，数形结合得到，表达出，令，则，构造函数，求导，得到单调性，进而求出最小值. 【详解】设，，， 由对称性可知，， 因为，所以， 显然，当最小时，最小，此时最大， 当最大时，最大，此时最小， 连接与圆交于，此时最小， 最小值为，此时， ，故， 延长交圆于，此时最大， 最大值为，此时， ，故， 所以， 故， 令，则， 令，，则， 令得，令得， 故在上单调递减， 所以在处取得最小值， 此时，所以的最小值为6. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正四面体的棱长为6，点D，E分别为，的中点，则（ ） A. 直线与相交 B. 直线与所成的角为 C. D. 点D到直线的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，证明出平面，故直线与不相交，A错误；B选项，直线与所成角即为直线与 所成的角，根据等边三角形得到夹角；C选项，作出辅助线，得到线面垂直，得到⊥，又， 故，C正确；D选项，作出辅助线，得的长即为点D到直线的距离，由勾股定理进行求解，D正确. 【详解】A选项，因为点D，E分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 故直线与不相交，A错误； B选项，因为，故直线与所成角即为直线与所成的角， 由于为等边三角形，故， 即直线与所成角大小为，直线与所成的角为，B正确； C选项，取的中点，连接， 因为，故⊥，⊥， 又，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 又，故，C正确； D选项，取的中点，连接， 其中，⊥，⊥， 由勾股定理得，故⊥， 故的长即为点D到直线的距离， 由勾股定理得，D正确. 故选：BCD 10. 设抛物线C：的焦点为，直线与抛物线交于点，，且的最小值为4，则（ ） A. B. 的中点到轴距离的最小值为2 C. 当时， D. 抛物线在点，处的切线交于点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】设，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理可得.由直线与抛物线相交的弦长公式计算可判断AC；由中点坐标公式计算可判断B；根据导数的几何意义求得切线，进而可得点，由向量垂直坐标运算计算可判断D. 【详解】设，直线与抛物线联立方程组， 则，， 由韦达定理可得， 对于A，抛物线的焦点， 因为满足直线， 所以直线经过抛物线的焦点， 所以， 当时，有最小值为4，所以，故A正确； 对于B，的中点到轴的距离为， 当时，有最小值为，即的中点到轴距离的最小值为，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，， 故抛物线C在点处的切线斜率为， 即在点处切线方程为，而， 代入化简可得， 同理可得在点处切线方程为， 联立， 因为，， 所以方程组的解为，，即， 因为，，， 所以，故D正确. 故选：AD 11. 的周长为6，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. 若，则 B. C. D. 若的面积为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由正弦定理得，结合周长得到，得到；B选项，由基本不等式得到，求出，且，故，故，B正确；C选项，由余弦定理得到，故；D选项，由三角形面积公式得，结合B可知，，由正弦定理得到. 【详解】A选项，，由正弦定理得， 又，故， 所以，，A正确； B选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 又，故，即， 又，，故， 所以，即，解得， 又，故，故，B正确； C选项，由余弦定理得 ， 又，故，C错误； D选项，由题意得，即，解得， 由B可知，，故，解得， 故，由正弦定理得， 故，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 5个班分别从3个研学基地中选择1个基地进行综合实践活动，则不同的选择方法有_____种. 【答案】243 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，直接求出结果即可. 【详解】由题意可知5个班分别从3个研学基地中选择1个基地进行综合实践活动，共有种不同方法. 故答案为：243. 13. 已知，且，则____. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系和凑角法得到，进而得到，利用正切二倍角公式进行求解. 【详解】，故， ，则， 故 ， 所以，， 故. 故答案为： 14. 若函数有两个零点，则实数a的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数零点和方程的解的关系，进行参数分离变形，构造函数，根据函数导数判断函数单调性，进而求出参数的范围. 【详解】函数定义域为， 函数有两个零点即方程在上有两个不同的实数解， 即方程在上有两个不同的实数解， 设，则， 令，则， 令，即，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 在时，函数取得极大值，也是最大值，， 可知在上，恒成立； 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，函数取得极大值，也是最大值，， 当时，，当时，， 所以当方程在上有两个不同的实数解时. 即实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求在上的最大值与最小值； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值为17，最小值为1； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，得到函数单调性，进而得到极值和端点值，比较后得到最值； （2）求导，参变分离得到在上恒成立，由基本不等式求出最值，得到答案. 【小问1详解】 时，，， ， 在区间上，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 其中，，， 所以在上的最大值为17，最小值为1； 【小问2详解】 ， 在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立 故，从而实数的取值范围为. 16. 已知正项数列满足，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列中第2项，第4项，，第项构成新数列，记的前项和为，求. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式得到为等差数列，设公差为，从而得到方程，求出公差，求出通项公式； （2）由题得到，分组求和，结合等比数列求和公式得到答案. 【小问1详解】 因为，故为等差数列，设公差为， 又，所以，，， ，，成等比数列，故，解得或4， 由于为正项数列，所以， ； 【小问2详解】 由题意，， . 17. 如图，在四棱锥中，平面，在梯形中，，，，点C在平面的投影恰好是的重心G. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）设是的中点，连接， 因为，所以， 又 ，所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以⊥平面， 所以⊥平面， 又 平面，所以平面⊥平面； （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到，并证明出⊥平面，进而推出⊥平面，从而得到面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，则，，根据线线垂直得到数量积为0，从而得到方程，求出，从而求出平面的法向量，利用线面角的正弦向量公式求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，， 又⊥，故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 设，则，因为为的重心， 故，即，故， 又C在平面的投影恰好是 的重心G. 所以⊥平面，即⊥，又， 所以，解得，负值舍去， 故，，， 设平面 的一个法向量为， 其中， 则， 解得 ，令，则，故， 设直线与平面 所成角大小为， 则， 所以直线与平面 所成角的正弦值为. 18. 已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，，分别为左右焦点，过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，当轴时，. （1）求双曲线G的方程； （2）过点A作直线的垂线，垂足为D. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明：由题意得，故， 过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，故过的直线斜率不为0， 设过的直线方程为，联立得， 设，， 故，， 需满足，解得， ，故直线的斜率为，直线方程为， 由对称性分析可知直线过的定点在轴上， 故中，令得 ， 又，将其代入上式中得， 故直线过定点； （ii） 【解析】 【分析】（1）求出渐近线方程，根据垂直关系得到方程，求出，再根据通径长得到方程，求出，得到答案； （2）（i）设过的直线方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，并得到，，表达出直线的方程，由对称性分析可知直线过的定点在轴上，又，从而求出，故直线过定点； （ii）在（i）基础上，得到，换元得到，，根据单调性求出最值. 【小问1详解】 的两渐近线方程为， 由题意得，故， ，中，令得，故， 又，故，结合得， 所以双曲线G的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii），由于直线过定点，， 其中， 所以 ， 令，因为，所以，故，， 所以，由于在上单调递减， 故在上单调递增，故当时，取得最小值， 最小值为. 19. 小霞十分喜欢吃糖，为了让小霞减少糖的摄入量，小霞妈妈做了4支棒棒糖模型，其外观、手感与质量与棒棒糖完全一致，并将2支棒棒糖和2支棒棒糖模型放在纸盒中.妈妈与小霞约定好：每当小霞想吃糖时即在该纸盒中随机抽取一支，若抽到棒棒糖模型时，重新放回原处；若抽到棒棒糖时，吃完后，妈妈补放1支棒棒糖模型.如此操作，直到2支棒棒糖被吃完. （1）求小霞在第1次抽到棒棒糖模型的条件下，第4次恰好吃完2支棒棒糖的概率； （2）在抽取2次后，纸盒中棒棒糖模型的支数恰好为，求的分布列与数学期望； （3）记“恰好抽取次时纸盒中2支棒棒糖刚好吃完”的概率为，求. 【答案】（1）； （2）分布列如下： 2 3 4 ； （3）. 【解析】 【分析】（1）设小霞第1次抽到棒棒糖模型为事件，第4次恰好吃完2支棒棒糖为事件，利用条件概率公式进行求解； （2）写出的可能取值和对应的概率，得到分布列，并计算出数学期望； （3）求出第（）次抽到第一支棒棒糖，第次抽到第2支棒棒糖的概率，结合等比数列求和公式得到答案. 【小问1详解】 设小霞第1次抽到棒棒糖模型为事件，第4次恰好吃完2支棒棒糖为事件， 所以事件意味着第1次抽到棒棒糖模型，第4次抽到棒棒糖， 则第2次和第3次中有一次抽到1次棒棒糖，1次棒棒糖模型， 则，， 故； 【小问2详解】 的可能取值为2，3，4， ，即两次均抽到棒棒糖模型，， ，即两次中，1次抽到棒棒糖模型，1次抽到棒棒糖，， ，两次均抽到棒棒糖，， 所以分布列如下： 2 3 4 故数学期望为； 【小问3详解】 恰好抽取次时纸盒中2支棒棒糖刚好吃完， 设第（）次抽到第一支棒棒糖，则第次抽到第2支棒棒糖的概率为 ， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $