精品解析：四川省绵阳市游仙区2025-2026学年上学期九年级一诊考试数学试题

初中2023级第一次学业监测 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、考号． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无． 3．考试结束后将答题卡收回． 第I卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形， 根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：因为图A是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图C是轴对称图形，也是中心对称图形，所以符合题意； 因为图D不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意． 故选：C． 2. 平面直角坐标系内与点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　） A. （3，﹣2） B. （2，3） C. （2，﹣3） D. （﹣3，﹣3） 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数即可． 【详解】解：由题意，得 点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）， 故选C． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 3. 如果关于x方程是一元二次方程，那么k的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，方程需满足：①未知数的最高次数为2；②二次项系数不为0．由条件可得关于k的方程，即可求解． 【详解】解：∵关于x方程是一元二次方程， ∴，且， 解得， 故选：A． 4. 将抛物线经过下列哪种变换可以得到抛物线（ ） A. 先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查是二次函数图象的平移，根据函数图象平移的法则解答即可；原抛物线应为，通过平移得到，根据平移规律，左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】解：∵ 的顶点为，而的顶点为， ∴ 需向右平移5个单位，再向下平移1个单位． 故选：D． 5. 如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分总面积为，设小路宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握用含有未知数的式子将草坪面积表示出来是解题的关键． 小路宽为，可得草坪的总长度为，总宽度为，根据矩形的面积列方程，化简成一般形式，即可求解． 【详解】解：小路宽为，草坪的总长度为，总宽度为， 根据题意，可得，化简得 ． 故选：C． 6. 如图，是的切线，是切点，分别交线段于两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线长定理，全等三角形的性质和判定，四边形内角和定理， 连接根据切线的性质和切线长定理得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据四边形内角和定理求出，最后根据得出答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵是的切线，点A，B，E是切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7. 已知函数的图像上有、、三点，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由二次函数解析式可知，抛物线开口向下，对称轴为 ，比较三点到对称轴的距离，距离越小，函数值越大． 【详解】解： ， ，抛物线开口向下，对称轴 ， 三点坐标为：，， 计算点到对称轴的距离： ， ， 点距离最小，点次之，点距离最大， 开口向下， ． 故选： B． 8. 如图，一个六角亭，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆的内接正六边形的性质及等边三角形的判定与性质，三角函数，注意掌握辅助线的作法是解题的关键． 连接，，可求出圆心角的度数，则可得是等边三角形，再由等边三角形的性质即可求出的长，继而求得正六边形的周长． 【详解】如图，连接，，则， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式， 需考虑方程可能为一次或二次方程：当时，方程为一次方程，直接求解；当时，方程为二次方程，利用判别式求范围． 【详解】解：当时，原方程为， 解得 ，有实数根， ∴符合条件； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∵方程有实数根， ∴， 即， ∴. 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 10. 如图，菱形的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理， 连接，作，根据菱形的性质可知是等边三角形，进而说明，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：连接，过点作于点E， 根据题意可知， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， ∴点的坐标是． 故选：A． 11. 如图，腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小直角三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，再进行分类讨论，根据三角形面积公式进行列式化简，即可作答． 【详解】解：∵腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止． ①时，两个等腰直角三角形重叠面积为小等腰直角三角形的面积， ∴； ②当时， 依题意，，， 移动距离， 则 ∴ ∴重叠的面积=边长为的等腰直角三角形的面积， 即， 此时是开口方向向上的二次函数， ③当时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0， 故选A． 12. 如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质. 取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点，设直线交于点，证明，推出，得到点在直线上运动，当在线段上即时，此时线段有最小值，据此即可求解. 【详解】解：如图，取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点， 设直线交于点， ∵点是中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵P为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当在线段上即时，此时线段有最小值， 同理可得四边形是矩形， ∴， 故选：D. 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13. 如果关于x的多项式是完全平方式，则常数k的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据完全平方公式的特点，常数项等于一次项系数一半的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵一个完全平方式， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟知完全平方式中常项数等于一次项系数一半的平方是解题的关键． 14. 如图，将边长为的正方形绕点A逆时针旋转后，得到正方形，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质， 连接，根据正方形的性质和旋转的性质证明，可得，然后根据直角三角形的性质得，再根据勾股定理求出，可求，则此题可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形，且绕点A逆时针旋转得到四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， 所以阴影部分的面积是． 故答案为：． 15. 如图，如果将一个半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径是___________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，圆锥的底面半径， 先根据公式求出扇形的弧长，再根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，进而得出半径． 【详解】解：扇形弧长， ∴圆锥底面半径 ． 故答案为：． 16. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和代数式求值，准确计算是解题的关键． 利用一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入代数式求解． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， , ， ； 故答案为． 17. 如图，D是的外接圆上的一点，是的弦，且经过的中点P．若，则的长的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆周角，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 连接，，根据已知条件得到是等边三角形，求得，得到，求得，当时，连接，由勾股定理得到，由垂径定理得，当是过点的直径时，，于是得到结论． 【详解】解：连接，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ∵经过的中点P， ， 当时，连接， ， ， 当是过点的直径时，， 的长的取值范围是， 故答案为：． 18. 已知：抛物线（均为常数）与x轴交于点和点，且，抛物线与y轴的正半轴的交点在的下方，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及过特殊点时系数，，所满足的关系是解题的关键． 根据抛物线与轴的交点和点，且，以及与轴交点在下方，利用根与系数的关系确定，，的符号和关系，逐一分析各结论． 【详解】解：抛物线与轴交于点和点， 和是方程的两个根， 根据根与系数的关系有：，， 抛物线与轴正半轴交于点且在下方， 且， 由且，得， ， 且， ， ， ，， ，故正确； ，， ，， ， ， ，故正确； ， ，， ，故错误； ， 由得，即， ，故正确； 故答案为． 三、解答题：（本大题共7个小题，共90分．） 19. （1）解方程：； （2）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为是绕点B顺时针旋转后得到的图形． ①直接写出的坐标； ②在所给的平面直角坐标系中画出，并求出的面积； 【答案】（1），；（2）①，；②5 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，画旋转图形，以及求网格三角形的面积． （1）利用因式分解法解方程； （2）①作出旋转后的图形，即可写出坐标；②由①即可得到旋转后的图形，利用割补法求面积即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解：①如图，画出， ∴，； ②如上图，的面积为： 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）根据根与系数之间的关系，得到，结合，得到关于的方程进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴； ∴ 无论取何值，方程总有两个不等实根； 【小问2详解】 解：由题意，，， ∴， ∴， ∴， ． 21. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为15元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为20元时，销售量为34本；当销售单价为24元时，销售量为30本． （1）当文具店每周销售这种纪念册获得224元利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）22元 （2）销售单价定为30元时，利润最大，最大利润为360元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的销售利润问题，一元二次方程的销售盈利问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设，再结合当销售单价为20元时，销售量为34本；当销售单价为24元时，销售量为30本，得出，根据利润等于单价利润乘数量，进行列式计算，即可作答． （2）根据利润等于单价利润乘数量，得，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，设， 由题意得 解得 ，， 故， ∵文具店每周销售这种纪念册获得224元的利润 ∴ 则， ∴ 解得， ∵要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元， ∴， ∴， ∴当文具店每周销售这种纪念册获得224元的利润时，每本纪念册的销售单价是元． 【小问2详解】 解：依题意， 则开口方向向下，对称轴为直线， 故越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∵要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元， ∴， 当时， 即销售单价定为30元时，利润最大，最大利润为360元． 22. 在数学的研究中，我们常常利用类比联想的思想方法，可以对一些问题进行引申拓展研究，达到“解一题，知一类”的目的． 【题根分析】例如：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系．解题思路：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点共线，易证之间的数量关系为． 【类比引申】 （1）如图2，中，，点是边上两点，．试猜想之间的数量关系．（直接写出你的猜想，不必写出证明过程） 【联想拓展】 （2）如图3，在中，，点均在边上，且，若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理， 对于（1），将绕点A逆时针旋转得到，连接，根据“边角边”证明，可得，再根据勾股定理得出答案； 对于（2），将绕逆时针旋转得△，由旋转的性质得，，再根据，可得，作，交延长线于点G，可求，再勾股定理得，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：． 将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， 即； （2）解：将△绕逆时针旋转得△， 则，， 同理（1）得， ∴． 过点F作，交的延长线于点G， 则， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理，得． 根据勾股定理，得． 23. 如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升，水面宽． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】（1） （2）能 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）先设 ，点，再根据得出答案； （2）先求出船航行所用时间，再求出水面上涨的距离，并与比较得出答案． 【小问1详解】 解：设 ，点， 代入得 ， ∵， ∴， 解得， ∴ ； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴ 船能安全通过． 24. 如图，是的直径且，点C是的中点，过点C作交延长线于点E． （1）证明：是切线； （2）如图1，连接交于点，点F在直径上，若，求的长． （3）如图2，的角平分线交于点F，延长交于点G，连接，点H是外一点，交于点P，连接，已知，延长交的垂线于点M，垂足为G，连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理结合已知证明，由垂径定理得到，则，即可证明是切线； （2）过点作于点，连接，先证明平分，则，可得四边形是矩形，则，，然后得到，在中，由勾股定理得，证明，则，，求出，最后在中，由勾股定理求解即可； （3）过点作于点，先得到点四点共圆，则，然后导角得到为等腰直角三角形，则由勾股定理得，同理为等腰直角三角形，则，那么在中，由勾股定理求得，则，然后得到为等腰直角三角形，则，，，然后在中由勾股定理求解得到，最后证明，则． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵在中，点C是的中点 ∴ ∴， ∴ 又是的半径 ∴是的切线； 【小问2详解】 解：过点作于点，连接， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴平分， ∵ ∴， ∵结合（2）可得， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，为半径， ∴， ∵ ∴在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，； 【小问3详解】 解：过点作于点， ∵是的直径， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴由勾股定理得， ∵是直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵ ∴， ∴在中， ∴， ∵， ∴由点四点共圆得，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，涉及圆周角定理，圆的切线的判定，勾股定理，垂径定理，矩形的判定与性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，难度很大，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 25. 如图所示，抛物线的解析式为． （1）若抛物线经过点，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标； （3）如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值． 【答案】（1）该抛物线的解析式为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合、旋转的性质、勾股定理、轴对称的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、旋转的性质、勾股定理、轴对称的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）把点代入函数进行求解即可； （2）设直线与y轴的交点为D，过点D作于点E，由（1）可得，然后可得，则有，进而可得，则可求出直线的解析式为，最后联立函数关系式即可求解； （3）由题意易得，则有，，然后可得的和可看作是动点到定点距离之和，且动点在直线上运动，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线与y轴交点为D，过点D作于点E，如图所示： 由（1）可知：抛物线的解析式为，点， ∴令时，则有，解得：， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线的解析式得：， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可联立得：， 解得：， ∴， ∴，， ∴根据两点距离公式的几何意义可知：的和可看作是动点到定点距离之和，且动点在直线上运动，如图， 作点关于直线的对称点H，根据轴对称的性质可知直线垂直平分，所以，即点，连接，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当动点是直线与线段的交点时，有最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中2023级第一次学业监测 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、考号． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无． 3．考试结束后将答题卡收回． 第I卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系内与点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　） A. （3，﹣2） B. （2，3） C. （2，﹣3） D. （﹣3，﹣3） 3. 如果关于x方程是一元二次方程，那么k的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 1或 4. 将抛物线经过下列哪种变换可以得到抛物线（ ） A. 先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 5. 如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分总面积为，设小路宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是切线，是切点，分别交线段于两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图像上有、、三点，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个六角亭，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 无法确定 10. 如图，菱形的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小直角三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13. 如果关于x的多项式是完全平方式，则常数k的值为________． 14. 如图，将边长为的正方形绕点A逆时针旋转后，得到正方形，则图中阴影部分的面积是________． 15. 如图，如果将一个半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径是___________m． 16. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为________． 17. 如图，D是的外接圆上的一点，是的弦，且经过的中点P．若，则的长的取值范围是________． 18. 已知：抛物线（均为常数）与x轴交于点和点，且，抛物线与y轴的正半轴的交点在的下方，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是________． 三、解答题：（本大题共7个小题，共90分．） 19. （1）解方程：； （2）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为是绕点B顺时针旋转后得到的图形． ①直接写出的坐标； ②在所给的平面直角坐标系中画出，并求出的面积； 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 21. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为15元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为20元时，销售量为34本；当销售单价为24元时，销售量为30本． （1）当文具店每周销售这种纪念册获得224元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 22. 在数学的研究中，我们常常利用类比联想的思想方法，可以对一些问题进行引申拓展研究，达到“解一题，知一类”的目的． 【题根分析】例如：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系．解题思路：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点共线，易证之间的数量关系为． 【类比引申】 （1）如图2，中，，点是边上两点，．试猜想之间的数量关系．（直接写出你的猜想，不必写出证明过程） 联想拓展】 （2）如图3，在中，，点均在边上，且，若，求长． 23. 如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升，水面宽． （1）按如图所示直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 24. 如图，是的直径且，点C是的中点，过点C作交延长线于点E． （1）证明：是切线； （2）如图1，连接交于点，点F在直径上，若，求的长． （3）如图2，的角平分线交于点F，延长交于点G，连接，点H是外一点，交于点P，连接，已知，延长交的垂线于点M，垂足为G，连接，求的长． 25. 如图所示，抛物线的解析式为． （1）若抛物线经过点，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于两点（点A在点B的左侧），若将直线绕点A按顺时针方向旋转后与抛物线相交于点P，求点P的坐标； （3）如图1所示，若直线与抛物线相交于两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $