2 任意角（教学课件）数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦“任意角”核心内容，涵盖角的概念推广（正角、负角、零角）、象限角及终边相同角的表示。通过温故初中静态角定义，结合体操转体、扳手旋转等生活情境，引导学生发现角的旋转本质，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以生活实例（如转体720°）培养用数学眼光观察现实世界，通过动手画30°与390°角探究终边关系发展数学思维，用集合符号表示终边相同角体现数学语言表达。例题解析与当堂检测结合的总结方式，助学生巩固概念，教师可直接用于教学提升效率。

2 任意角 第一章 三 角 函 数 北师大版必修第二册·高一 温故知新 问题1：初中对角的定义是什么呢？ （静态定义）具有公共顶点的两条射线组成的图形 问题2：初中学习过的角有哪些？ 问题3：角的范围是多少？ 　0°<α<360° 学 习 目 标 1 2 3 通过实例，理解角的概念推广的必要性，掌握任意角的概念及分类：正角、负角、零角. 能够利用平面直角坐标系来讨论任意角，掌握象限角的定义，掌握终边相同的角的表示方法. 利用象限角和终边相同角的概念解决简单的问题. 读教材 阅读课本P5-P8，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“任意角”吧！ 1.在初中怎样定义角的？为什么要进行角的推广？ 2.什么是任意角？任意角是如何分类的？ 3.如何更好的研究任意角？如何定义象限角？怎样理解终边相同角？ 单击此处添加备注 4 学习过程 01 03 02 目录 1 角的概念的推广 3 当堂检测 2 象限角及其表示 单击此处添加备注 5 情境导入 情境一：体操比赛中我们经常听到转体720˚，转体1080˚这样的动作名称 情境二：在生活中,拧紧螺丝时,需要将扳手顺时针方向旋转；拧松螺丝时,需要将扳手逆时针方向旋转,可以旋转一圈,也可以旋转多圈. 新知探究 情境一： 转体720˚，转体1080˚ 情境二：拧一圈360˚， 拧两圈720˚ “生活中的角” “数学中的角”呢？ 从生活中的角，你发现了什么？ 发现：角是由“旋转”而来的！ 抽象概括 定义 任意角：平面内一条射线OA绕着端点O按照箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α． 其中，点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边. （2）角的记法 “角α”或“∠α”可以简记为“α” （1）角的构成要素 始边、终边、旋转方向 O A B 顶点 始边 终边 α 新知探究 思考：如图，若主动轮旋转两周，你能准确描述出被动轮旋转的现象吗？ 主动轮 被动轮 主动轮和被动轮的旋转方向是相反的，但题中未给明主动轮旋转方向，故同样不能判断被动轮旋转方向，无法准确描述被动轮旋转现象. 追问：如图，如何区分主动轮、被动轮旋转形成的不同方向的角？ 抽象概括 角的分类：按一条射线绕其端点的旋转方向，角可以分为三类： 正角：按逆时针方向旋转形成的角，如图∠α； 负角：按顺时针方向旋转形成的角，如图∠β； 零角：没有做任何旋转形成的角. O A B α 正角 O1 A1 B1 β 负角 注意：用图像表示角时，箭头的方向体现角的正负，因此箭头不能少. 牛刀小试 练习1.时钟慢了15分钟，只需要将分针旋转_____˚即可校准； 时钟快了1小时15分针，只需要将分针旋转______˚即可校准。 -90 450 解析：时钟慢了15分钟，需要顺时针旋转15分钟，即需要旋转 时钟快了1小时15分钟，需要逆时针旋转1小时15分钟， 即需要旋转 牛刀小试 练习2：:分别作出750°、210°、-150°、-660°. 同样度数的角，可不同的同学作出的图形有区别，为什么有区别？如何能够统一？ 学习过程 01 03 02 目录 1 角的概念的推广 3 当堂检测 2 象限角及其表示 单击此处添加备注 13 情境导入 如图，将一个圆周角进行12等分，分点分别记为Ai，其中i=1,2,3,…,12． 如何比较α、β、γ的大小？ γ 思考：实数可比较大小，任意角可以比较大小吗？ 为方便研究，有必要将角放在一个统一的标准下讨论！ 新知探究 将任意角放到平面直角坐标系中讨论 统一标准 角的顶点与坐标原点重合， 角的始边与x轴的非负半轴重合. 终边落在第几象限就是第几象限角 终边 终边 终边 终边 练习1：判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）. （1）第一象限的角一定是正角.( ) （2）第二象限角是钝角.( ) （3）锐角都是第一象限角.( ) （4）第一象限角一定是锐角.（ ） 牛刀小试 × × √ × 牛刀小试 练习2.下列各角是第三象限角的是(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.15° B.105° C.215° D.315° C 练习3.（1）角430°属于第 象限角， （2）角640°属于第 象限角 一 四 新知探究 动手：在直角坐标系中画出,这些角有在坐标系中有什么特点？ 始边 这些角有什么内在联系？ 这些角的终边相同 归纳: 与 30°角终边相同的角｛β︱β= 30°＋ k·360°,k∈Z｝ 角相差k个（k∈Z）个周角，即相差360°的整数倍 抽象概括 定义 终边相同角 一般地，给定一个角，所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合 S={ β | β=α+k·360º, k∈Z } 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和. 在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置。因此，在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律。 实例分析 例1 判断下列各角是第几象限角： （1）；（2）；（3） 解：(1)因为的终边在第四象限，所以为第四象限角. (2)因为所以与终边相同，而角的终边在第三象限，所以为第三象限角. (3)因为而角的终边在第二象限，所以为第二象限角. 实例分析 例2.写出终边在平面直角坐标系轴上的角的集合. 解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角(如图)， 因此，所有与90°角终边相同的角构成集合 S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}， 而所有与270°角终边相同的角构成集合 S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}， 实例分析 于是，终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2 ＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z} ∪{β|β＝90°＋180°＋2k·180°，k∈Z} ＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z} ∪{β|β＝90°＋(2k＋1)180°，k∈Z} ＝{β|β＝90°＋k·180°，k∈Z}. 例2.写出终边在平面直角坐标系轴上的角的集合. 实例分析 例3.写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合－360°≤β<720°的元素β写出来. 解：S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}. S中适合－360°≤β<720°的元素应满足－360°≤60°＋k·360°<720°， 解得：又k∈Z，所以k＝－1，0，1， 所求元素分别是60°＋(－1)×360°＝－300°， 60°＋0×360°＝60°， 60°＋1×360°＝420°. 学习过程 01 03 02 目录 1 角的概念的推广 3 当堂检测 2 象限角及其表示 单击此处添加备注 24 当堂检测 1.写出满足下列条件的角的集合： （1）第一象限角； （2）第二象限角； （3）第三象限角； （4）第四象限角. 2.若角 与 角的终边相同，则 ( ). 当堂检测 B A. ， B. ， C. ， D. ， 解:因为角 与 角的终边相同，所以， ， 得 ， .故选B． 当堂检测 3.写出终边在直线 上的角的集合. 解：终边在射线上的角的集合是 ， }； 终边在射线上的角的集合是 ， }. 因此，终边在直线上的角的集合是 ， ， ， 即 ， ， ， }. 故终边在直线上的角的集合是 ， }. 课堂小结 任意角 任意角 象限角 正角、负角、零角 终边相同的角： {β |β＝ α ＋ k·360°，k∈Z } 感谢聆听! $