27.2.1（第3课时）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（培优教学课件）数学人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理，通过复习全等三角形SAS方法引导学生类比猜想，搭建从已知到未知的学习支架，衔接相似三角形判定的前后知识脉络。 其亮点在于结合画图比较角大小等探究活动培养几何直观与空间观念，例题涵盖“手拉手”“一线三等角”等模型发展推理能力与模型意识，当堂检测分层巩固提升应用意识。助力学生发展抽象能力，为教师提供系统教学资源。

第27章 相似 人教版 数学 九年级 下册 BY YUSHEN BY YUSHEN 27.2.1 两边成比例且 夹角相等的 两个三角形相似 （第3课时） BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？ 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：如果两个三角形有两条边成比例，它们一定相似吗？ 有两条边成比例， 但不相似. B C A 3 4 B′ C′ A′ 6 8 只有两条边成比例的两个三角形，不一定相似. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：把探究一中的条件增加：如果成比例的这两边的夹角相等，那么它们一定相似吗？ 画△ABC与△A′B′C′，使∠A=∠A′， =k. 设法比较∠B与∠B′(或∠C与∠C′)的大小. 当k=时 B C A B′ C′ A′ 6 8 3 4 ∠B=∠B′ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E. ∵ DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′. B A C D E B' A' C' ∴ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 ∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A. ∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC. ∵ A′D=AB， ∴ B A C D E B' A' C' BY YUSHEN BY YUSHEN 知识清单 三角形相似的判定定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′， B A C B' A' C' ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：对于△ABC 和 △A′B′C′，如果 ∠B = ∠B′， 这两个三角形一定会相似吗？试着画画看. 不一定，如下图，显然∠C和∠C'不相等 结论：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由： ∠A=40°，AB=8，AC=15. ∠A' =40°，A'B' =16，A'C' =30. 解：∵ . ∴ =. 又∵∠A=∠A′， ∴ △ABC∽△A'B'C′. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 如图，D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，且AD=6,AB=15,AE=4, AC=10.求证：△ADE∽△ABC. 证明： ∵AD=6,AB=15, ∴， ∵AE=4,AC=10, ∴， ∴ 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 解：∵ ∠AOD=∠BOC ， . ∴ △AOD∽△BOC (两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似)， 如图所示，是用卡钳测量容器内径的示意图. 现量得卡钳上A，D两端点的距离为5cm，.求容器的内径BC. D A O B C ∴ ，即 ∴ BC=2×5=10 (cm). 答：容器的内径BC为10cm. BY YUSHEN BY YUSHEN 线段的乘积式通常转化为比例式 典例精析 例4 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC，求证: △ABC ∽△AED. 证明：∵ AB · AD = AE·AC， ∴ 又∵ ∠DAB =∠CAE， ∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ， 即∠DAE =∠BAC， ∴ △ABC ∽△AED. A B C D E 这是“手拉手”的相似模型 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 如图，在正方形ABCD中，P为CD的中点，Q为BC上一点，已知AB=4,CQ=1. 求证：△PCQ∽△ADQ. 证明：∵四边形ABCD为正方形,AB=4, ∴∠D=∠C=90°,AD=CD=AB=4, ∵P为CD的中点， ∴PD=PC=CD=2, ∵==, ∴ = , ∴△PCQ∽△ADQ. 这是“一线三等角”的相似模型 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 如图，双曲线经过Rt△AOB斜边的中点P，交直角边AB于点Q, 连接OQ,点A的坐标为(8,4). (1)求双曲线的解析式； 解：(1)∵Rt△AOB斜边的中点是点P， 点A的坐标为(8,4)， ∴P(4,2)， ∵双曲线经过点P，∴ ∴双曲线的解析式 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 (2)求证：△BOQ∽△BAO. (2)证明：∵Rt△AOB,∴AB∥x轴， ∵点A的坐标为(8,4)，∴Q(2,4)，∴BQ=2,BO=4,BA=8, ∵=, = , ∴, 又∵ ∠OBQ =∠ABO， ∴△BOQ∽△BAO. BY YUSHEN BY YUSHEN 有几种可能的情况？ 典例精析 例7 如图，在△ABC 中，AB=10 cm，BC=20 cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 cm/s 的速度移动.如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，经过几秒钟后，△PBQ 与△ABC 相似? 对应关系不明确,勿忘分类讨论 本题没有明确两个三角形的对应元素,所以要分情况过论. 由于∠B 是公共角,所以点B 和点B 是对应点,要分两种情况讨论. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 解：设经过 t s 后，△PBQ 与 △ABC 相似， 那么 AP= 2 t cm，BQ=4t cm，BP=(10-2t) cm. 因为∠PBQ =∠ABC，所以有两种情况： (1)当 时，△PBQ∽△ABC，此时 ， 解得 t =2.5.所以经过 2.5 s 后，△PBQ 与△ABC 相似. (2)当 时，△PBQ∽△CBA，此时 ， 解得 t=1，所以经过 1 s 后，△PBQ 与△ABC 相似. 综上所述，经过 1 s 或 2.5 s 后，△PBQ 与△ABC 相似. BY YUSHEN BY YUSHEN 两边成比例且 夹角相等的 两个三角形相似 归纳总结 内容 利用两边及夹角判定三角形相似 运用 相似三角形的判定定理的运用 B A C B' A' C' BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1．下列条件能判断△ABC和△A′B′C′相似的是( 　 ) C　 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 A．3组 B．2组 C．1组 D．0组 2.如图，在△ABC 中，D,E,F分别是边AB,BC,AC上的点，且AB=3DB,BC=3EC,CF=AF,则图中的相似三角形有( ) A 3.如图，∠B=90°，AB=BC=CD=DE,则下列结论中正确的是( ) A．∠1+∠2+∠3=125° B．△ABD∽△EBA C．△ACD∽△ECA D．以上结论都不对 C　 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 6.如图，不等长的两条对角线AC,BD相交于点O,若 ，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中， 一定相似的有             ． 甲和丙 4.如图，在△ABC中，D，E分别为AC，AB上的点，且∠ADE＝∠B，AE＝3，BE＝4，则AD·AC＝_______. 21 E A C B D 5.如图，在△ABC与△A’B’C’中，∠A＝40°,AB=8,AC=15, ∠A’＝40°,A’B’=16,A’C’=30,可证△ABC∽△A’B’C’， 其判定依据是 . BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7. 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由. ∠A = 120° ，AB = 7 cm ，AC = 14 cm， ∠A′ = 120° ，A′B′ = 3 cm ，A′C′= 6 cm， 解：相似. 理由如下： ∵ ∴ ∴△ABC ∽ △A′B′C′. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.如图，在△ABC中，D为CA边上一点，AD=,CD=2,CB=3. 求证：△CDB∽△CBA. 证明：∵在△ABC中，AD= ,CD=2,CB=3, ∴ = = , ∵ , ∴ = . 又∵∠BCD=∠ACB, ∴△CDB∽△CBA. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 9.如图，AD=3，AE=4，BE=5，CD=9 ，△ADE与△ABC相似吗？说明理由. 解：△ADE∽△ABC ,理由如下： ∵ =, ∴ 又∵∠EAD=∠CAB, ∴△ADE∽△ABC. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 10.如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2， BC=3，且 = ，求DE的长. B C A D E 解： ∵ AE=1.5，AC=2， ∴ =. ∵ =, 又∵∠EAD=∠CAB ∴△ADE∽△ABC. ∴= =. ∴ = . ∵BC=3， ∴DE= BC= . BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 解：当 △ADP ∽△ACB 时， AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ， 解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时， AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ， 解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和△ABC 相似． 11. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，求当 AP 的长度为多少时，△ADP 和 △ABC 相似. A B C D P P BY YUSHEN BY YUSHEN $