陕西省咸阳市武功县普集高级中学2025-2026学年高二上学期第三次（12月）月考数学试题

2025-2026学年度高二年级第三次月考数学参考答案 题号 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 C B C C A D A D ABD ACD 题号 11 答案 ABC 12.-4或1. 13. 10.2[2,3] 1.C 【分析】根据直线一般方程平行的关系得3×1-(m-2)m=0,进而解方程并检验即可. 【详解】直线：3x+(m-2)y+2=0与l2:x+y+6=0平行， 则3x1-(m-2)m=0,解得m=3或-1， 经检验，当m=3时，1：3x+y+6=0,12:3x+y+6=0,1,12重合，舍去， 当m=-1,1:3x-3y-2=0,12:-x+y+6=0,满足题意 所以实数m的值为-1 故选：C. 2.B 【分析】将圆方程化为标准形式得到圆心坐标，根据圆心在直线x+y=0上求得参数，然 后可得圆的半径 【详解】由题意，得圆的方程为x+ (号+6-矿-3,所以同心坐标为5 ）2 半径为r=4 3 因为圆心在直线+y=0上，所以号5=0，解得a=25,所以半径r-6, 故选：B. 3.C 【分析】利用抛物线的定义将PF转化为点P到准线的距离，结合几何意义，求得PF+PA 的最小值为点A到抛物线准线的距离。 【详解】抛物线C:y2=-8x的准线方程为x=2. 设P到准线的距离为d,A到准线的距离为h, 答案第1页，共11页 则PF+PA=d+PA≥h=2-(-4)=6, 则P+PA的最小值为6. 故选：C X=2 4.C 【分析】根据数列的递推式，即可求得前面几项，可知数列为周期数列，由此可得答案 【详解】由愿意可得a,=1--1-2=-14,=1-1=1-f1上2a,=1-11-1, g 22, 数列{a}是周期为3的周期数列，“.a=a=-1, 故选：C. 5.A 【分析】确定圆心和半径，将题目转化为点(x,y)和点A(-1,0)直线的斜率，画出图像，计 算角度，计算斜率得到答案 【详解】(x-1)2+y2=3表示圆心为M(1,0),半径R=√5的圆， =x中表示点(c)和点A(-10)直线的斜率， 如图所示：直角△ADM中MM=2,|D=R=5,放sin∠DAM= 2 D1Me0引，敌∠nMM-胥，同理可得∠B4M-于对应的斜车为6和-5 故=[8同 故选：A 6.D 【分析】设2在第一象限，结合条件，由双曲线的定义得Pg=a+cPRl=子0-a, 答案第2页，共11页 再结合条件及ab,c间的关系可得_35，即可求解 a 7 【详解】如图，不妨设P在第一象限，则P-PR=2a①，又PR+Pr==c②， 0@得到Pr-a+3cP-c-a,又由题知∠RPR-号 5 16 所以6心-在，则号即之，所以双曲线B的商近践为行 a 7 7t, 故选：D 7.A 【分析】由空间向量的和差整理得到OM与OA,OB,OC的关系式，由四点共面求得系数m的 值，然后由向量的数量关系求得OA.OB,OA.OC,OB.OC,代入OM即可求得结果 【详解】由4d-0A+o8+mod,得o-0=o+o5+moc, 4 所以OM=}oA+o8+moc. 由A,B,C,M四点共面，知 +4+m=1,解得m=} 1.1 4 又0a,0B=0a.0c=2cos1,0丽.0c=4cos3-2, :o-0A+0丽+400-aa+o丽+oc),， ÷|bM-1V2oi+o丽+oc可 44oi+o丽r+0f+400+4o10元+20丽.o -4+44+4+414= 2 故选：A. 8.D 答案第3页，共11页 【分析】依据规律找出每一层小球数构成的数列的递推关系，利用累加法求出通项，从而求 出第15项即可： 【详解】设第n层的小球个数为a., 依题意，4=1，a2=3,4=6,4,=10，且当n22时，a。-a-1=n, 当n≥2时，a,=a+(a,-4)+(a-4)+-+(a,-a)=1+2+3++n=n+D 2 a=1满足上式，因此a=0+) 2 所以4=1516=120，即第15层有120个小球， 2 故选：D 9.ABD 【分析】对于A:根据三点共线的结论分析判断；对于B:利用空间向量共面定理判断；对 于C:举反例分析判断：对于D:根据空间向量共面的推论判断！ 【详解】对于A:因为oc=O1+2o,且2+3=1， 4 44 所以A,B,C三点共线，故A正确： 对于B:由空间向量共面定理可知，对于空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确： 对于c:例如x=3满足x之0，由a=1,3),b=(3,39)可知6=3a 即a,b共线同向，即a与b的夹角为0，故C错误： 对于D:因0=aA+05+0元，且2+2+ 3 6 13+6+61, 根据空间向量共面的推论知P,A,B,C四点共面，故D正确。 故选：ABD 10.ACD 【分析】根据直线与圆的相关知识和位置关系进行逐项求解即可. 【详解】对于A:将直线1变形为(3x+y-5)+x+y-3=0,则有 「3.x+y-5=0 (x+v-3=0,解得 y=2'所以直线过定点D(1,2), x=1 而(1+1)+(2-2)<36，所以该定点在圆C的内部，所以直线1与圆C相交，A正确： 答案第4页，共11页 对于B:将直线l变形为(3.x+y-5)m+x+y-3=0,则有 f3.x+y-5=0 x=1 r+y-3=0,解得 y=2’ 所以直线过定点(1,2)，B错误： 对于C:因为圆心C到y轴的距离为1，所以该圆被y轴截得的弦长为236-1=2√35，C 正确； 对于D:由B可知直线过定点D(1,2),所以当圆被直线I截得的弦长最短时，I⊥CD 因为k如0，所以直线与y轴平行， 所以m=-1,那么此时直线I的方程为x=1,所以D正确. 故选：ACD. 11.ABC 【分析】利用已知条件，结合椭圆的定义和性质，求出椭圆的长半轴长，短半轴长，进而分 析判断各选项， 【详解】设圆柱的底面圆半径为，则r=√3，截面与底面夹角α= 61 之截面稀圆的短半辅6=，V5,长半制4=0。 一三 =2 cosa√3， 2 选项A:椭圆的长轴长等于2a=4≠2，故A错误： 选项B:椭圆的标准方程为+少 4+31,不是 4+少=1，故B错误： 选项C:椭圆的离心率e=9-五4-3_1}，故C错误： Γ22 4 选项D:椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为a+c=2+1=3,故D正确. 故选：ABC. 12.-4或1. 【分析】根据向量垂直，则数量积为0，可得到关于x的方程，解之即可. 【详解】解：因为向量a=(3,x2+2,3),五=(x-4,2,x),a16,所以3(x-4)+2(x2+2) +3x=0,整理得到x2+3x-4=0,解得x=-4或1. 故答案为：-4或1. 13./02 答案第5页，共11页 【分析】根据椭圆的定义以及离心率计算公式求得正确答案。 【详解】由√x+y+1+2+y-1=10,得点P到(0，-1)，(0,1)这两个点的距离之和为 10. 由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以(0，-1)，(0,1)为焦点，10为长轴长的椭圆， 则c=1,2a=10,a=5,所以点P的轨迹的离心率为C=} a 5 故答案为：5 14.[2,3] 【分析】根据椭圆方程求得F(-1,0),F(1,0),利用向量的坐标运算表示PF·P瓦，根据P在 椭圆上，将式子代换为x,再根据P横坐标的取值范围，即可求得结果. 【详解】C:+二=1，g=4B=3.c=1,焦点坐标F(10L0 43 设Pc川，P点在椭国上所以=-) 且-2≤x≤2， 属丽=1x)0-x列归(1-刘0-刘+-1+y=-1+》 化简可得：P丽P项=寻+2， 又-2≤x≤2，+2[2，列，即厘P厘的取值范围为[2,3] 故答案为：[2,3] 15.(1)x=2或3x-4y+10=0 (2)(x-4)2+y2=1 【分析】(1)考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案： (2)先设出点Q和点P的坐标，再根据向量关系得到坐标之间的关系，最后将点P的坐标 代入圆C的方程，从而得到点Q的轨迹方程 【详解】(1)因为22+42=20>4，所以点A在圆外， 若直线1的斜率不存在，则直线1的方程为x=2, 此时圆心C到直线的距离为2，所以直线1与圆C相切，符合题意： 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y-4=k(x-2),即x-y-2k+4=0, 因为直线1与圆C相切，所以圆心C(0,0)到直线1的距离等于半径， 答案第6页，共11页 即上2+42，解得太=2 Vk2+1 4 所以直线的方程为y-4x-2),即3x-4y+10=0。 综上所述，直线1的方程为x=2或3x-4y+10=0, (2)设(x,y),P(x%）,M(8,0),则PM=(8-,-),2M=(8-x-y). 风为丽，内六》，即收 y,=2y 又因为点P(x,%)在圆C:x2+y2=4上，所以x6+=4. x=2x-8 将 (%=2y 代入x号+哈=4可得(2x-82+(2)}=4, 整理得(x-42+y2=1,即点Q的轨迹方程为(x-4)2+y2=1. [11,n=1 16.(1)4.= -22+11,n≥2 (2)T= 「-n2+10n+2,(1≤n≤5) 1m-10n+52,(n26) 【分析】(1)由a。与Sn的关系即可求解； (2)结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可 求解。 【详解】(1)当n=1时，4=S=11, 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2n+11, 11,n=1 所以an= -2n+11,n≥29 (2)由a。=-2n+11可知当n≤5时，a,≥0，当n≥6时，a.<0. 当n≤5时，Tn=Sn=-n2+10m+2, 当n≥6时，T,=S,-(Sn-S)=2S-Sn=n2-10n+52, -n2+10n+2,(1≤n≤5) 所以T=〈 2-10n+52,(n26) 17.(1)证明见详解； 答案第7页，共11页 (3)存在， BO 1 BD 2 【分析】(1)取PA中点E,连接EM、EB,可得四边形EMCB为平行四边形，所以MC/IEB, 再根据线面平行的判定定理，即可证明： (2)根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面PAB和平面PCD的法向量，再结 合面面角的向量求法，即可求解； (3)假设存在点Q,且 聪=元，根据空间点到面的距离的向量求法，列出方程，求解即 BD 可 【详解】(1)取PA中点E,连接EM、EB, E D 的 又M是PD的中点，所以BM/AD,且=4D, 又AD/1BC,BC=1,AD=2,所以EM//BC,且EM=BC, 所以四边形EMCB为平行四边形，所以MC/1EB, 又EBC平面PAB,MCa平面PAB, 所以CM/I平面PAB: (2)因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,ADC平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD, 又AB⊥AD,所以以A为坐标原点，以AP为二轴，以AB为x轴，以AD为y轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， ZA D 答案第8页，共11页 则P(0,0,1),A(0,0,0,B(5,0,0）,C(V51,0）,D(0,2,0), 所以AP=(0,0,1),AB=(5,0,0）,PC=(V3,1-1，PD=(0,2,-1), 令平面PAB的法向量为i=(化y）,则n亚=0，即3=0 m=0即{x-0 令y=1,则x=0,二=0，所以平面PAB的法向量为i=(0,1,0), m PC=0 令平面PCD的法向量为m=(x,y,),则 N3x+y-=0 m PD=0' 即 2y-5=0 令y=1,则x= ,z=2,所以平面PAB的法向量为= 3 设平面PAB与平面PcD所成角为60<8<5) 0x3 +1×1+0×2 n.m 3 1 所以cos8= 网园 4 4 √02+12+02× +12+22 3 3 所以平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为y3 (3)设22且0≤≤1，则80=BD,由(2)可得，=(N5,00),BD=(5,20), BD AP=(0,0,1), 所以A0=AB+B0=AB+BD=（N3-V3,21,0), 元·AP=0 [-=0 设平面PAQ的法向量为元=(x,y,=),则 ,即 2·AQ=0 V5-5小x+2y=0 令x=5,则y=32-3, 22==0,所以平面PA。的法向量为3,22之，0 又PD=(0,2-),点D到平面P40的距离为2 7 PD2 0xV5+2×31-3 21 (-1)x0 2W21 所以 即 > 7， 解得2= 2 所以在线段BD上存在点Q,使得点D到平面PA0的距离为2NI,且吧=号 7 BD 2 答案第9页，共11页 18.(17分)(1)m=1 【分析】(1)根据双曲线的离心率公式求解即可： (2)根据双曲线的离心率公式的运用，计算求解即可： （3)联立直线y=x+1与双曲线C,消去y解一元二次方程，再由双曲线C与直线y=x+1相 交于互异两点列出不等式组，求解即可： 【详解】(1)由已知e=2,可得，1+3=2 解得m=1: (2②)白已知B≤e≤5，可餐6≤+≤5： 解得子≤m 3 4 x2 =1 (3)3m3 y=x+1 消去y,得(3-m)x2-2x-4m=0 双曲线C与直线y=x+1相交于互异两点， m>0 等价于不等式组{3-m≠0 4m2+16u(3-m)>0 解得0<<3或3<m<4: 依题意：k= 3 √ 当0<m<3时，k>1;当3<m<4时， 5<k<1: 所以k的取值范围是 U(1,+) 19. y =1: 164 (24. 【分析】(1)根据给定条件，结合离心率的意义求出4，b即可得椭圆方程. 答案第10页，共11页普集高中2025-2026学年度第一学期高二年级第三次月考 数学试题 命题人： 段玲莉 审题人：刘益华 总分值：150分 试题范围：选择性必修一全册及必修二数列部分 考试时间：120分钟 注意事项： 、 答题前填写资当己的证拟，姓名，考号，座位号等信息。 2、请将答案填写在答题卡上。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.若直线(：3x+(m-2)y+2m=0与l2:mx+y+6=0平行，则实数m的值为() A.3 B.-1或3 C.-1 D.0 2.若方程x2+y2+ax-2√3y=0表示圆心在直线x+y=0上的圆，则该圆的半径为() A.3 B.6 C.25 D.5 3.已知P为抛物线C:y2=-8x上的动点，F为C的焦点，点A(-4,2),则PF+PA的最小值为() A.4 B.5 C.6 D.7 4在数列a中，日= 201=1- a ，则a5=() A.2 B.3 C.-1 D. 5.已知实数X,y满足：化-1)2+y2=3,则少的取值范围为（) x+1 A-万，周B25.2wc【-951 29.25 3， 曲线E:二-：=1(Q>0,b>0)的左、右焦点分别为R,R,点P是以B为直径的 双曲线E的-个交点，若PF+PF=F,则双曲线E的渐近线为() 4 A 3 B.y=± y=士 C.y=t > D.y=± 3 -x 4 7 1.已知四面体0ABC中，OA=1,OB=2,0C=2,∠A0B=∠40C=∠B0C= 行空间一点M满足 瓜=-0+O丽+m0C,若4B.C,M四点共面，则0=() A.6 B.5 2 c.5 2 D.5 8.南宋数学家杨辉在《详解九章算法商功》一书中记载的三角垛如图所示，最顶层 有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第15层小球的个数 为() A.100 B.240 C.128 D.120 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的有（) A.若空间中点0,4，B,C满足OC=OA+O丽，则A,B,C三点共线 B.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C.a=L,6=(民x),若x>高，则a与6的夹角为锐角 D.对空同任意一点0和不共线三点4,8，C,若OP-号O1+后0+若0C,则P,4,B,C共面 10.己知圆C:(x+1)2+(y-2)2=36,直线1：(3m+1)x+(m+1)y-5m-3=0,则() A.直线I与圆C相交 B.直线1过定点(2，) C.圆C被y轴截得的弦长为2√35 D.当圆C被l截得的弦长最短时，1的方程为x=1 11.如图所示，用一个与圆柱底面成30的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为√5，则下 列结论不正确的是(，) A,椭圆的长轴长等于2B.椭圆的标准方程可以是父 +y2=1 4 C.椭圆的离心率为！ D,椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为3 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.已知向量ā=(3，x2+2,3),b=(x-4,2,x)若a16,则实数x的值是 13.设动点P(x,y)满足√x2+0+1)+2+0-1旷=10，则点P的轨迹的离心率为 14已知幅圆C:苦+号1的左右焦点分别为尽，5，若点P为插圆C上的动点。则所丽的取值 3 范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分)已知圆C:x2+y2=4,直线1过点A(2,4) ()若直线/与圆C相切，求直线1的方程： (2)若P为圆C上任意一点，M(8,0),点Q满足PM=2OM,求点Q的轨迹方程. 16.(15分)已知数列{a}的前n项和Sn=-n2+10n+2(neN) (1)求数列{an}的通项公式： (2)设Tn=la+ai+a+…+la,求T. 17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD/1BC,AB⊥AD,PA=1,AB=√5，BC=1, AD=2,M是PD的中点 (1)求证：CM/平面PAB: (2)求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值： D (3)在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为2I?若存在， 7 求出器的值：若不存在，请说明理由。 1817分)已知双商线c:关号1(m>≥0) (I)若双曲线的离心率e=2,求实数m的值： (2)若双曲线的离心率e的取值范围为e∈[V5,V5],求实数m的取值范围： (3)直线y=x+1与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围 19.(17分)在平面直角坐标系Oy中，椭圆C: =1(a>b>0)的离心率e= x2 y2 2,且短轴长为4. (1)求椭圆C的方程： (2)斜率为-1的直线与椭圆C相交于A,B两点，求△4OB面积的最大值.