第5章　平行四边形 2026年广东中考数学一轮专题复习课件

该初中数学中考复习课件聚焦“平行四边形”核心考点，严格对接中考说明，系统梳理性质（边、角、对角线、对称性）和判定（4大定理），结合2025年清远、广州等多地模拟真题，分析考点权重，归纳选择、填空、证明、计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题精讲+技巧突破”模式，如重点突破中例2通过全等推理和几何直观，示范性质与判定综合证明思路，培养学生推理意识和空间观念。新题速递融入坐标几何与函数结合题型，帮助学生掌握解题技巧，提升得分率，为教师提供系统复习框架，助力学生中考冲刺。

第一轮　基础复习　 第二部分　空间与图形 第五章　平行四边形 第22讲　矩形与菱形 知识点1　 矩形的性质与判定 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）性质 （3）判定 （4）面积＝AB·BC，周长＝2（AB＋BC）. 知识梳理 一轮复习精讲 1. （1）（2025·漯河模拟）如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点 O. 若OC＝5，则BD的长为（　C　） A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 12.5 第1题（1）图　　　　 C （2）（2025·泸州）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不 能判定▱ABCD为矩形的是（　D　） A. ∠A＝90° B. ∠B＝∠C C. AC＝BD D. AC⊥BD D 知识梳理 一轮复习精讲 （3）（2025·内蒙古）如图，ABCD是一个矩形草坪.对角线AC，BD相 交于点O，H是BC边的中点，连接OH，且OH＝20m，AD＝30m，则 该草坪的面积为（　C　） A. 2400m2 B. 1800m2 C. 1200m2 D. 600m2 第1题（3）图 C （4）（2025·绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个 交角为60°.则这个矩形的面积是（　B　） A. 25 B. 25 C. 25 D. 50 B 知识梳理 一轮复习精讲 （5）（2025·韵关模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边 BC上，且BE＝CF，求证：AF＝DE. （5）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°. ∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE. 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE（SAS）. ∴AF＝DE. （5）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°. ∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE. 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE（SAS）. ∴AF＝DE. 知识梳理 一轮复习精讲 知识点2　 菱形的性质与判定 （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （2） 性质 （3）判定 知识梳理 一轮复习精讲 （4）面积公式 知识梳理 一轮复习精讲 2. （1）（2025·广州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，AC＝10，BD＝24，则菱形的边长为 ，面积为 ⁠. 第2题（1）图　　　　 13 120 知识梳理 一轮复习精讲 （2）（2025·黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，请添加一个条件 ⁠，使平行四 边形ABCD为菱形. 第2题（2）图　　　　 （答案不唯一）AC⊥BD 知识梳理 一轮复习精讲 （3）（2025·湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂 直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　C　） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 第2题（3）图 C （4）（2025·泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是（　A　） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 A 知识梳理 一轮复习精讲 重点1　矩形的性质与判定 [例 1]（2025·北京）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中 点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC. （1）求证：四边形DFCG是矩形； （1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ∴DE∥BC. ∵DG＝FC， ∴四边形DFCG是平行四边形. 又∵DF⊥BC， ∴∠DFC＝90°. ∴平行四边形DFCG是矩形. （1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ∴DE∥BC. ∵DG＝FC， ∴四边形DFCG是平行四边形. 又∵DF⊥BC， ∴∠DFC＝90°. ∴平行四边形DFCG是矩形. 重点突破 一轮复习精讲 （2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长. [例 1]（2025·北京）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中 点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC. 重点突破 一轮复习精讲 解：（2）∵DF⊥BC， ∴∠DFB＝90°. ∵∠B＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形. ∴BF＝DF＝3. ∵DG＝FC＝5， ∴BC＝BF＋FC＝3＋5＝8. 由（1），可知DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形， ∴DE＝ BC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°. ∴EG＝DG－DE＝5－4＝1. 解：（2）∵DF⊥BC， ∴∠DFB＝90°. ∵∠B＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形. ∴BF＝DF＝3. ∵DG＝FC＝5， ∴BC＝BF＋FC＝3＋5＝8. 由（1），可知DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形， ∴DE＝ BC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°. ∴EG＝DG－DE＝5－4＝1. ∴CE＝ ＝ ＝ . ∵E为AC的中点， ∴AC＝2CE＝2 . ∴CE＝ ＝ ＝ . ∵E为AC的中点， ∴AC＝2CE＝2 . 重点突破 一轮复习精讲 重点2　菱形的性质与判定 [例 2]（2025·遂宁）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在 对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD. （1）求证：△ABF≌△CDE； （1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CDE. ∵AF⊥AB，CE⊥CD， ∴∠BAF＝∠DCE＝90°. ∵BE＝EF＝FD， ∴BE＋EF＝FD＋EF，即BF＝DE. 在△ABF和△CDE中， ∴△ABF≌△CDE（AAS）. （1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CDE. ∵AF⊥AB，CE⊥CD， ∴∠BAF＝∠DCE＝90°. ∵BE＝EF＝FD， ∴BE＋EF＝FD＋EF，即BF＝DE. 在△ABF和△CDE中， ∴△ABF≌△CDE（AAS）. 重点突破 一轮复习精讲 （2）连接AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状， 并说明理由. [例 2]（2025·遂宁）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在 对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD. 解：（2）四边形AECF是菱形.理由如下： 如图，连接AE，CF. ∵∠ABD＝30°，AB∥CD， ∴∠CDB＝∠ABD＝30°. ∵BE＝EF，∠BAF＝90°， ∴AE＝ BF. 在Rt△ABF中，∠ABD＝30°， ∴AF＝ BF. ∴AE＝AF＝ BF. 解：（2）四边形AECF是菱形.理由如下： 如图，连接AE，CF. ∵∠ABD＝30°，AB∥CD， ∴∠CDB＝∠ABD＝30°. ∵BE＝EF，∠BAF＝90°， ∴AE＝ BF. 在Rt△ABF中，∠ABD＝30°， 同理，可得CE＝CF＝ DE. ∵BF＝DE， ∴AE＝AF＝CE＝CF. ∴四边形AECF是菱形. 同理，可得CE＝CF＝ DE. ∵BF＝DE， ∴AE＝AF＝CE＝CF. ∴四边形AECF是菱形. ∴AF＝ BF. ∴AE＝AF＝ BF. 重点突破 一轮复习精讲 1. （2025·韶关模拟）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E， sin ∠ADE＝ ，则tan∠BDC的值为（　B　） A. B. 2 C. D. B 新题速递 一轮复习精讲 2. （2025·广州一模）如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，BD＝5，BC ＝4DE，则线段CE的长为 ⁠. ​ 新题速递 一轮复习精讲 3. （人教八下P64改编）（2025·汕头一模）综合探究. 素材：一张矩形纸片ABCD，AD＝6，AB＝8. 操作：在边CD上取一点E，把△ADE沿AE折叠，使点D的对应点D'落 在矩形纸片ABCD的内部. （1）如图1，将矩形纸片对折，使DC与AB重合，得折痕MN，当D'落 在MN上，求∠DAE的度数； 教材变式新考法 一轮复习精讲 解：（1）如图1，连接DD'. 由折叠得，AD＝AD'，MN垂直平分AD，∠DAE＝ ∠D'AE. ∵D'在MN上， ∴D'A＝D'D. ∴D'A＝D'D＝AD. ∴△ADD'是等边三角形. ∴∠DAD'＝60°. ∵∠DAE＝∠D'AE， ∴∠DAE＝30°. 解：（1）如图1，连接DD'. 由折叠得，AD＝AD'，MN垂直平分AD，∠DAE＝∠D'AE. ∵D'在MN上， ∴D'A＝D'D. ∴D'A＝D'D＝AD. ∴△ADD'是等边三角形. ∴∠DAD'＝60°. ∵∠DAE＝∠D'AE， ∴∠DAE＝30°. 教材变式新考法 一轮复习精讲 3. （人教八下P64改编）（2025·汕头一模）综合探究. 素材：一张矩形纸片ABCD，AD＝6，AB＝8. 操作：在边CD上取一点E，把△ADE沿AE折叠，使点D的对应点D'落 在矩形纸片ABCD的内部. （2）如图2，当D'落在对角线BD上时，求DE的长； 解：（2）根据题意，得AE⊥DD'， ∴∠EDD'＋∠ADD'＝∠EAD＋∠ADD'＝90°. ∴∠EDD'＝∠EAD. ∴tan∠EDD'＝tan∠EAD＝ ＝ . ∴DE＝ AD＝ ×6＝ . 解：（2）根据题意，得AE⊥DD'， ∴∠EDD'＋∠ADD'＝∠EAD＋∠ADD'＝90°. ∴∠EDD'＝∠EAD. ∴tan∠EDD'＝tan∠EAD＝ ＝ . ∴DE＝ AD＝ ×6＝ . 教材变式新考法 一轮复习精讲 3. （人教八下P64改编）（2025·汕头一模）综合探究. 素材：一张矩形纸片ABCD，AD＝6，AB＝8. 操作：在边CD上取一点E，把△ADE沿AE折叠，使点D的对应点D'落 在矩形纸片ABCD的内部. （3）连接CD'，矩形纸片ABCD在折叠的过程中，线段CD'的长度是否 有最小值？若有，请描述线段CD'长度最小时点D'的位置，并求出此时 DE的长.若无，请说明理由. 教材变式新考法 一轮复习精讲 解：（3）有.当点D'落在对角线AC上时，线段CD'长度最 小，理由如下： 由三角形三边关系可得，CD'≥AC－AD'，当A，C，D'三 点共线时，线段CD'长度最小，如图2. 在Rt△ADC中，AC＝ ＝10， 由折叠，得ED＝ED'，∠AD'E＝90°，AD＝AD'＝6， 设DE＝x，则EC＝8－x，D'C＝10－6＝4. 根据勾股定理，得ED'2＋CD'2＝CE2. 则x2＋42＝（8－x）2. 解得x＝3. ∴线段CD'长度最小时，DE的长为3. 解：（3）有.当点D'落在对角线AC上时，线段CD'长度最小，理由如下： 由三角形三边关系可得，CD'≥AC－AD'，当A，C，D'三点共线时， 线段CD'长度最小，如图2. 在Rt△ADC中，AC＝ ＝10， 由折叠，得ED＝ED'，∠AD'E＝90°，AD＝AD'＝6， 设DE＝x，则EC＝8－x，D'C＝10－6＝4. 根据勾股定理，得ED'2＋CD'2＝CE2. 则x2＋42＝（8－x）2. 解得x＝3. ∴线段CD'长度最小时，DE的长为3. 教材变式新考法 一轮复习精讲 $ 第一轮　基础复习　 第二部分　空间与图形 第五章　平行四边形 第21讲　平行四边形 知识点1　 平行四边形的性质 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 性质 面积公式：S＝ah；周长公式：C＝2（a＋b）. 知识梳理 一轮复习精讲 1. （1）（2025·清远一模）如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，BC＝5， AC＝3，则CD的长为 ⁠. 第1题（1）图　　　　　 ​ （2）（2025·广州模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝ AC，∠B＝50°，则∠CAD的度数为 ⁠. 第1题（2）图 50° 知识梳理 一轮复习精讲 （3）（2025·广州二模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是 BC，AD上的点，且BE＝DF. 求证：AE＝CF. （3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D. ∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF. ∴AE＝CF. （3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D. ∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF. ∴AE＝CF. 知识梳理 一轮复习精讲 知识点2　 平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别 的四边形是平行四边形； （3）对角线互相 的四边形是平行四边形； （4）一组对边 的四边形是平行四边形. 相等 平分 平行且相等 知识梳理 一轮复习精讲 2. （1）如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 （　D　） A. AB∥DC，AD∥BC B. AB＝DC，AD＝BC C. AO＝CO，BO＝DO D. AB∥DC，AD＝BC D 知识梳理 一轮复习精讲 （2）（2025·广州模拟）如图，AB∥DE，∠BFA＝∠ECD，AF＝ DC. 求证：四边形ABDE是平行四边形. （2）证明：∵AB∥DE， ∴∠BAF＝∠CDE. 又∵AF＝DC，∠BFA＝∠ECD， ∴△ABF≌△DEC. ∴AB＝DE. ∴四边形ABDE是平行四边形. （2）证明：∵AB∥DE， ∴∠BAF＝∠CDE. 又∵AF＝DC，∠BFA＝∠ECD， ∴△ABF≌△DEC. ∴AB＝DE. ∴四边形ABDE是平行四边形. 知识梳理 一轮复习精讲 重点1　平行四边形的性质 [例 1]（2025·广州模拟）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD交BA的 延长线于点E，CE与AD交于点F. 已知AF＝2，BC＝6，则DC的长为 （　A　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 例1题图　　　　　 A 重点突破 一轮复习精讲 [变式 1]（2025·广东一模）如图，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放 在一起，转动其中一张，使重合部分构成一个四边形，则下列结论中不 一定成立的是（　C　） A. AB＝CD B. AD∥BC C. AB＝BC D. ∠ABC＝∠ADC 变式1题图 C 重点突破 一轮复习精讲 重点2　平行四边形的性质与判定综合 [例 2]（2025·苏州）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB， CD∥BE. （1）求证：△DAC≌△ECB； （1）证明：∵CD∥BE， ∴∠DCA＝∠B. ∵点C是线段AB的中点， ∴AC＝CB. 在△DAC和△ECB中， ∴△DAC≌△ECB（ASA）. （1）证明：∵CD∥BE， ∴∠DCA＝∠B. ∵点C是线段AB的中点， ∴AC＝CB. 在△DAC和△ECB中， ∴△DAC≌△ECB（ASA）. 重点突破 一轮复习精讲 （2）连接DE，若AB＝16，求DE的长. [例 2]（2025·苏州）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB， CD∥BE. 解：（2）∵AB＝16， ∴AC＝CB＝ AB＝8. 由（1），可知△DAC≌△ECB， ∴CD＝BE. 又∵CD∥BE， ∴四边形BCDE是平行四边形. ∴DE＝BC＝8. 解：（2）∵AB＝16， ∴AC＝CB＝ AB＝8. 由（1），可知△DAC≌△ECB， ∴CD＝BE. 又∵CD∥BE， ∴四边形BCDE是平行四边形. ∴DE＝BC＝8. 重点突破 一轮复习精讲 [变式2]（2025·佛山模拟）如图，在四边形ABCD中，点E是AB的中 点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC. （1）求证：四边形AFCD为平行四边形； （1）证明：∵点E是AB的中点， ∴AE＝BE. ∵DF＝BF， ∴EF是△ABD的中位线. ∴EF∥AD. ∴CF∥AD. ∵AF∥DC， ∴四边形AFCD为平行四边形. （1）证明：∵点E是AB的中点， ∴AE＝BE. ∵DF＝BF， ∴EF是△ABD的中位线. ∴EF∥AD. ∴CF∥AD. ∵AF∥DC， ∴四边形AFCD为平行四边形. 重点突破 一轮复习精讲 [变式2]（2025·佛山模拟）如图，在四边形ABCD中，点E是AB的中 点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC. （2）若∠EFB＝90°，tan ∠FEB＝3，EF＝1，求BC 的长. 解：（2）由（1），得EF是△ABD的中位线， ∴AD＝2EF＝2. ∵∠EFB＝90°，∴tan∠FEB＝ ＝3， ∴BF＝EF ·tan∠FEB＝3. ∵四边形AFCD为平行四边形， ∴CF＝AD＝2. 又∵∠CFB＝90°， ∴BC＝ ＝ . 解：（2）由（1），得EF是△ABD的中位线， ∴AD＝2EF＝2. ∵∠EFB＝90°，∴tan∠FEB＝ ＝3， ∴BF＝EF ·tan∠FEB＝3. ∵四边形AFCD为平行四边形， ∴CF＝AD＝2. 又∵∠CFB＝90°， ∴BC＝ ＝ . 重点突破 一轮复习精讲 1. （2025·湖北）如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点.若A （－1，2），则点C的坐标是（　C　） A. （2，－1） B. （－2，1） C. （1，－2） D. （－1，－2） 第1题图　　　　 C 新题速递 一轮复习精讲 2. （2025·安徽）在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的 中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足 AF＝CH，则下列为定值的是（　C　） A. 四边形EFGH的周长 B. ∠EFG的大小 C. 四边形EFGH的面积 D. 线段FH的长 第2题图　　　　 C 新题速递 一轮复习精讲 3. （2025·深圳模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点 O，E是DC延长线上的一点，连接OE交BC于点F. 若AB＝6，BC＝ 8，CE＝3，则CF的长为（　C　） A. 1 B. C. 2 D. 第3题图 C 新题速递 一轮复习精讲 4. （2025·湛江模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC 在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y＝ （x＞0）的图象经过 点A（3，4）和点M. （1）求k的值和点M的坐标； 解：（1）∵点A（3，4）在y＝ 的图象上， ∴k＝12. ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AM＝MC. ∴点M的纵坐标为2. ∵点M在y＝ 的图象上， ∴M（6，2）. 解：（1）∵点A（3，4）在y＝ 的图象上， ∴k＝12. ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AM＝MC. ∴点M的纵坐标为2. ∵点M在y＝ 的图象上， ∴M（6，2）. 新题速递 一轮复习精讲 4. （2025·湛江模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC 在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y＝ （x＞0）的图象经过 点A（3，4）和点M. （2）求▱OABC的周长. 解：（2）∵AM＝MC，A（3，4），M（6，2）， ∴C（9，0）. ∴OC＝9，OA＝ ＝5. ∴平行四边形OABC的周长为2×（5＋9）＝28. 解：（2）∵AM＝MC，A（3，4），M（6，2）， ∴C（9，0）. ∴OC＝9，OA＝ ＝5. ∴平行四边形OABC的周长为2×（5＋9）＝28. 新题速递 一轮复习精讲 5. （2025·陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°. 动点M，N分别在边AB，AD上，且AM＝AN，以MN为边作等边三角 形MNP，使点P始终在▱ABCD的内部或边上.当△MNP的面积最大 时，DN的长为 ⁠. 5 教材变式新考法 一轮复习精讲 $ 第一轮　基础复习　 第二部分　空间与图形 第五章　平行四边形 第23讲　正方形 知识点1　 正方形的定义和性质 定义 有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形叫做正方形 周长 周长公式：C＝4a（a表示边长） 面积 面积公式：S＝a2（a表示边长）＝ m2（m表示对角线的长） 知识梳理 一轮复习精讲 性质 （1）既具有矩形的性质，又具有菱形的性质； （2）正方形的四个角都是 ，四条边都 ⁠； （3）两条对角线 且相等，每条对角线平分一 组对角（对角线与边的夹角为45°）； （4）正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有 ⁠ 对称轴，对称中心是对角线的交点； （5）两条对角线分成的四个等腰直角三角形全等 直角 相等 互相垂直平分 4条 知识梳理 一轮复习精讲 1. （1）如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点O，OC＝2.下列判 断错误的是（　C　） A. 图中有8个45°角，8个直角 B. OC＝OD＝OA＝OB C. 正方形的面积为16 D. 正方形的周长为8 第1题（1）图　　　　　　　 C 知识梳理 一轮复习精讲 （2）（2025·东莞模拟）如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上 一点，若∠AEB＝65°，则∠CBE的度数为（　D　） A. 45° B. 25° C. 15° D. 20° 第1题（2）图　　　　　　　 D 知识梳理 一轮复习精讲 （3）（2025·北京）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上， CF⊥BE，垂足为F. 若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积 为 ⁠. 第1题（3）图 ​ 知识梳理 一轮复习精讲 （4）（教材母题改编）如图，四边形ABCD是一个正方形花园，E，F 是它的两个门，且DE＝CF. 要修建两条路BE和AF，这两条路等长 吗？它们有什么位置关系？为什么？ 解：（4）BE＝AF，BE⊥AF. 理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴BA＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝90°. ∴AE＋DE＝DF＋CF. 又∵DE＝CF，∴AE＝DF. 在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF（SAS）. 解：（4）BE＝AF，BE⊥AF. 理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴BA＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝90°. ∴AE＋DE＝DF＋CF. 又∵DE＝CF，∴AE＝DF. 在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF（SAS）. ∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF. ∵∠BAG＋∠DAF＝∠BAE＝90°， ∴∠BAG＋∠ABE＝90°. ∴BE⊥AF. ∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF. ∵∠BAG＋∠DAF＝∠BAE＝ 90°， ∴∠BAG＋∠ABE＝90°. ∴BE⊥AF. 知识梳理 一轮复习精讲 知识点2　 正方形的判定 判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形；　　　　 判定2：有一个角是直角的菱形是正方形. 2. （1）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC 与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正 方形，则还需增加一个条件是 ⁠. （答案不唯一）∠ABC＝90° 知识梳理 一轮复习精讲 （2）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在 对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA. 求证：四边形AECF是正方形. （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD. ∵BE＝DF，∴OE＝OF. ∴四边形AECF是菱形. ∵OE＝OA， ∴OE＝OF＝OA＝OC. ∴EF＝AC. ∴四边形AECF是正方形. （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD. ∵BE＝DF，∴OE＝OF. ∴四边形AECF是菱形. ∵OE＝OA， ∴OE＝OF＝OA＝OC. ∴EF＝AC. ∴四边形AECF是正方形. 知识梳理 一轮复习精讲 重点1　正方形的性质 [例 1]（2025·广安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两 点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF. （1）求证：△ADE≌△CBF； （1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝BC，BC∥AD. ∴∠ADE＝∠CBF. 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）. （1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝BC，BC∥AD. ∴∠ADE＝∠CBF. 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）. （2）若四边形AECF的周长为4 ，求EF的长. 重点突破 一轮复习精讲 解：（2）如图，连接AC交BD于点O. ∵四边形ABCD为正方形，BD＝10， ∴BD垂直平分AC，OA＝OC＝OB＝OD＝ BD＝5. ∴AF＝CF，AE＝CE. 由（1）可知△ADE≌△CBF. ∴AE＝CF. ∴AF＝CF＝AE＝CE. ∴四边形AECF是菱形. ∴OF＝OE. ∴EF＝2OF. ∵四边形AECF的周长为4AF＝4 ， 解：（2）如图，连接AC交BD于点O. ∵四边形ABCD为正方形，BD＝10， ∴BD垂直平分AC，OA＝OC＝OB＝OD＝ BD＝5. ∴AF＝CF，AE＝CE. 由（1）可知△ADE≌△CBF. ∴AE＝CF. ∴AF＝CF＝AE＝CE. ∴四边形AECF是菱形. ∴OF＝OE. ∴EF＝2OF. ∵四边形AECF的周长为4AF＝4 ， ∴AF＝ . 在Rt△AOF中，由勾股定理，得 OF＝ ＝ ＝3， ∴EF＝2OF＝6，即EF的长为6. ∴AF＝ . 在Rt△AOF中，由勾股定理， 得OF＝ ＝ ＝3， ∴EF＝2OF＝6，即EF的长为6. 重点突破 一轮复习精讲 重点2　正方形的判定 [例 2]（2025·东莞市三模）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝ BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点.连接AE. 过点C作 CF⊥AE于点F. （1）求证：四边形ABCD是正方形； （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD为菱形. 又∵AB⊥BC， ∴菱形ABCD为正方形. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD为菱形. 又∵AB⊥BC， ∴菱形ABCD为正方形. 重点突破 一轮复习精讲 （2）当点F是AE的中点，且CE＝8 时，求四边形ABCD的面积. [例 2]（2025·东莞市三模）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝ BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点.连接AE. 过点C作 CF⊥AE于点F. 解：（2）如图，连接AC. ∵CF⊥AE于点F，点F为AE的中点， ∴CF为线段AE的垂直平分线. ∴AC＝CE＝8 . ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2， ∴AD2＝ AC2＝ ×（8 ）2＝64. ∴四边形ABCD的面积为AD2＝64. 解：（2）如图，连接AC. ∵CF⊥AE于点F，点F为AE的中点， ∴CF为线段AE的垂直平分线. ∴AC＝CE＝8 . ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°. 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得AD2＋CD2＝AC2， ∴AD2＝ AC2＝ ×（8 ）2＝64. ∴四边形ABCD的面积为AD2＝64. 重点突破 一轮复习精讲 1. （2024·陕西）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD 上，AF与DC交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为（　B　） A. 2 B. 3 C. D. 第1题图　　　　 B 新题速递 一轮复习精讲 2. （2025·内江）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在 x轴上，点B的坐标为（1，0），点E在边CD上.将△ADE沿AE折叠， 点D落在点F处.若点F的坐标为（0，3），则点E的坐标为 ⁠ ⁠. 第2题图　　　　 （－1.5， 5） 新题速递 一轮复习精讲 3. （2025·广州模拟）如图，在边长为8的正方形ABCD中，对角线 AC，BD交于点O，折叠正方形纸片，使AD落在BD上，点A恰好与 BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接 GF，给出下列结论，①∠AED＝67.5°；②四边形AEFG是菱形；③ S△EFB＝2S△OGF；④ ＝ ，其中正确的是 .（填序号） 第3题图 ①②③④ 新题速递 一轮复习精讲 4. （2025·广东三模）【问题背景】如图1，在矩形ABCD中，点P为线 段AC上的一动点，点E是点C关于点P的对称点，过点E作EF⊥AB于 点F，连接BP并延长，交FE的延长线于点G. 【特例探究】（1）求证：PG＝PB； （1）证明：∵点E是点C关于点P的对称点， ∴PC＝PE. 在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，即AB⊥BC. ∵EF⊥AB，∴GF∥CB. ∴∠G＝∠CBG. ∵∠GPE＝∠BPC， ∴△GPE≌△BPC. ∴PG＝PB. （1）证明：∵点E是点C关于点P的对称点， ∴PC＝PE. 在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，即AB⊥BC. ∵EF⊥AB，∴GF∥CB. ∴∠G＝∠CBG. ∵∠GPE＝∠BPC， ∴△GPE≌△BPC. ∴PG＝PB. 教材变式新考法 一轮复习精讲 4. （2025·广东三模）【问题背景】如图1，在矩形ABCD中，点P为线 段AC上的一动点，点E是点C关于点P的对称点，过点E作EF⊥AB于 点F，连接BP并延长，交FE的延长线于点G. （2）如图2，若GF＝ AP，求证：四边形ABCD为正方形； （2）证明：∵PG＝PB， ∴GB＝2BP. 如图，过点P作PH⊥AB于点H， 设AP＝x，则GF＝ AP＝ x. ∵GF⊥AB，PH⊥AB， ∴∠PHB＝∠GFB＝90°. ∵∠PBH＝∠GBF， ∴△PHB∽△GFB. ∴ ＝ ＝ ＝ . （2）证明：∵PG＝PB， ∴GB＝2BP. 如图，过点P作PH⊥AB于点H， 设AP＝x，则GF＝ AP＝ x. ∵GF⊥AB，PH⊥AB， ∴∠PHB＝∠GFB＝90°. ∵∠PBH＝∠GBF， ∴△PHB∽△GFB. ∴ ＝ ＝ ＝ . 教材变式新考法 一轮复习精讲 ∴ ＝ . ∴PH＝ x. ∴ sin ∠PAH＝ ＝ ＝ . ∴∠PAH＝45°. ∴tan∠CAB＝ ＝tan45°＝1. ∴BC＝AB. ∵四边形ABCD为矩形， ∴四边形ABCD为正方形. ∴ ＝ . ∴PH＝ x. ∴ sin ∠PAH＝ ＝ ＝ . ∴∠PAH＝45°. ∴tan∠CAB＝ ＝tan45°＝1. ∴BC＝AB. ∵四边形ABCD为矩形， ∴四边形ABCD为正方形. 教材变式新考法 一轮复习精讲 4. （2025·广东三模）【问题背景】如图1，在矩形ABCD中，点P为线 段AC上的一动点，点E是点C关于点P的对称点，过点E作EF⊥AB于 点F，连接BP并延长，交FE的延长线于点G. 【拓展探究】（3）如图3，若BC＝6，AB＝8，过点B作BQ∥AC交直 线GF于点Q，当四边形BCEQ为菱形时，求tanG的值. 教材变式新考法 一轮复习精讲 解：（3）在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8， ∴AC＝ ＝10. 当四边形BCEQ为菱形时，EQ＝BQ＝BC＝CE＝6， 由（1），知△PEG≌△PCB， ∴PC＝PE＝ CE＝3，GE＝BC＝6. ∴AE＝AC－EP－PC＝10－3－3＝4. ∴ sin ∠EAF＝ ＝ . ∴ ＝ ，解得EF＝ . 解：（3）在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8， ∴AC＝ ＝10. 当四边形BCEQ为菱形时，EQ＝BQ＝BC＝CE＝6， 由（1），知△PEG≌△PCB， ∴PC＝PE＝ CE＝3，GE＝BC＝6. ∴AE＝AC－EP－PC＝10－3－3＝4. ∴ sin ∠EAF＝ ＝ . ∴ ＝ ，解得EF＝ . ∵ cos ∠EAF＝ ＝ ， ∴ ＝ ，解得AF＝ . ∴GF＝GE＋EF＝6＋ ＝ ，BF＝AB－AF＝8－ ＝ . ∴tanG＝ ＝ ＝ . ∵ cos ∠EAF＝ ＝ ， ∴ ＝ ，解得AF＝ . ∴GF＝GE＋EF＝6＋ ＝ ， BF＝AB－AF＝8－ ＝ . ∴tanG＝ ＝ ＝ . 教材变式新考法 一轮复习精讲 $