第4章　三角形 2026年广东中考数学一轮专题复习课件

该初中数学中考复习课件系统覆盖线与角、相交线与平行线、角平分线与垂直平分线等核心考点，对接中考说明，结合2025年广东、广西等地模拟真题，分析考点权重，归纳基本事实应用、角的度量换算、平行线性质判定等常考题型，凸显备考针对性。 课件以“知识梳理+真题训练+重点突破”为特色，通过平行线性质求角、判定与性质综合应用等例题，培养学生推理意识与几何直观，详解逻辑推理过程与解题技巧。系统的考点梳理与真题资源，助力教师高效规划复习，提升学生中考应试能力。

第一轮　基础复习　 第二部分　空间与图形 第四章　三角形 第20讲　解直角三角形的应用 知识点1　 仰角与俯角 （1）在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的是仰角，如仰 角α. （2）在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线下方的是俯角，如俯 角β. 知识梳理 一轮复习精讲 1. （2025·湖北）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼A处看乙楼顶部 B的仰角为35°，A到地面的距离为18m，则乙楼的高约为 ⁠. （参考数据：tan35°≈0.7） 39 m 知识梳理 一轮复习精讲 知识点2　 方位角 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向线旋转 到目标方向线的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西） ××度. （1）点A在点O北偏东60°方向上； （2）点B在点O北偏西60°方向上； （3）点C在点O南偏西20°方向上； （4）点D在点O南偏东60°方向上. 知识梳理 一轮复习精讲 2. （2025·上海二模）一次游学活动中，小杰从营地A出发，沿北偏东 60°方向走了500 m到达B处，然后再沿北偏西30°方向走了500 m到 达目的地C处（如图所示），那么A，C两地的距离是（　D　） A. 1 000 m B. 1 500 m C. 500 m D. 1 000 m D 知识梳理 一轮复习精讲 知识点3　 坡角、坡度（坡比） （1）坡角的正切值，即坡面的垂直高度（AC）与水平宽度（BC）的比 叫做坡度（坡比），记作i.如图的坡度（坡比）为i＝tan α＝ . （2）坡面与水平线的夹角α叫做坡角.坡度越大，坡角就越大，坡面 就越陡. 知识梳理 一轮复习精讲 3. （2025·通辽二模）河堤横断面如图所示，堤高BC＝7m，迎水坡AB 的坡比为1∶ ，则AC的长为（　D　） A. 14 m B. 21m C. 14m D. 7 m D 知识梳理 一轮复习精讲 重点1　仰角、俯角和方位角的应用 [例 1]（2025·长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点 M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品 质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D. 经测得景点C位 于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点 B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB＝800m. （1）求∠ACB的度数； 解：（1）如图，∠CBE＝60°，∠CAF＝30°， ∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM. ∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝ 30°. ∴∠ACB＝∠BCM－∠ACM＝60°－30°＝ 30°. 解：（1）如图，∠CBE＝60°，∠CAF＝30°， ∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM. ∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°. ∴∠ACB＝∠BCM－∠ACM＝60°－30°＝30°. 重点突破 一轮复习精讲 [例 1]（2025·长沙）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点 M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品 质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D. 经测得景点C位 于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点 B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB＝800m. （2）求景点C与景点D之间的距离.（结果保留根号） 解：（2）∵∠CBE＝60°， ∴∠CBM＝90°－∠CBE＝90°－60°＝30°. 由（1），得∠ACB＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°. 又∵AB＝800m， ∴AC＝AB＝800m. 重点突破 一轮复习精讲 解：（2）∵∠CBE＝60°， ∴∠CBM＝90°－∠CBE＝90°－60°＝30°. 由（1），得∠ACB＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°. 又∵AB＝800m， ∴AC＝AB＝800m. 在Rt△ACM中， sin ∠ACM＝ ， cos ∠ACM＝ ， ∴AM＝AC· sin ∠ACM＝800× sin 30°＝800× ＝400（m）， CM＝AC· cos ∠ACM＝800× cos 30°＝800× ＝400 （m）. ∴BM＝BA＋AM＝800＋400＝1200（m）. ∵∠BDM＝45°，BM⊥DM， ∴DM＝BM＝1200m. ∴DC＝DM－CM＝（1200－400 ）m. ∴景点C与景点D之间的距离为（1200－400 ）m. 重点突破 一轮复习精讲 [变式 1]（2025·天津）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近 世纪钟建筑AB的高度.某学习小组设计了一个方案：如图，点A，E， C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝ 1.7m.在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建 筑顶部B的仰角为31°，CE＝32m.根据该学习小组测得的数据，计算 世纪钟建筑AB的高度（结果取整数，参考数据：tan22°≈0.4， tan31°≈0.6） 重点突破 一轮复习精讲 解：如图，延长DF与AB相交于点G. 根据题意，得四边形GAEF和四边形FECD是矩 形，∠GDB＝22°，∠GFB＝31°，∠DGB＝ 90°， ∴AG＝EF＝CD＝1.7m，DF＝CE＝32m. 在Rt△FGB中，tan∠GFB＝ ， ∴GF＝ . 在Rt△DGB中，tan∠GDB＝ ， ∴GD＝ . 解：如图，延长DF与AB相交于点G. 根据题意，得四边形GAEF和四边形FECD是矩 形，∠GDB＝22°，∠GFB＝31°，∠DGB＝90°， ∴AG＝EF＝CD＝1.7m，DF＝CE＝32m. 在Rt△FGB中，tan∠GFB＝ ， ∴GF＝ . 在Rt△DGB中，tan∠GDB＝ ， ∴GD＝ . 答：世纪钟建筑AB的高度约为40m. ∵GF＋DF＝GD， ∴ ＋32＝ . ∴GB＝ ≈ ＝38.4（m）. ∴AB＝AG＋GB≈1.7＋38.4≈40（m）. 答：世纪钟建筑AB的高度约为40m. 重点突破 一轮复习精讲 重点2　解直角三角形其他的应用 [例 2]（2025·广州模拟）某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安 装了一个遮阳棚.如图所示，遮阳棚AB长为1.56m，与墙面AD的夹角 ∠BAD＝67.4°，靠墙端A离地高AD为2.4m，遮阳棚前段下摆的自然 垂直长度BC＝0.2m. （1）如图1，求遮阳棚上的B点到墙面AD的距离； 解：（1）如图，过点B作BK⊥AD于点K. ∵AB＝1.56m， sin ∠BAD＝ sin 67.4°≈ ， ∴ ＝ ≈ ， ∴BK≈1.44 m. 答：遮阳棚上的B点到墙面AD的距离约为1.44m. 解：（1）如图，过点B作BK⊥AD于点K. ∵AB＝1.56m， sin ∠BAD＝ sin 67.4°≈ ， ∴ ＝ ≈ ， ∴BK≈1.44 m. 答：遮阳棚上的B点到墙面AD的距离约为1.44m. 重点突破 一轮复习精讲 [例 2]（2025·广州模拟）某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安 装了一个遮阳棚.如图所示，遮阳棚AB长为1.56m，与墙面AD的夹角 ∠BAD＝67.4°，靠墙端A离地高AD为2.4m，遮阳棚前段下摆的自然 垂直长度BC＝0.2m. （2）如图2，当太阳光线EF与地面DG的夹角为53°时，求阴影DF 的长. （参考数据： sin 67.4°≈ ， cos 67.4°≈ ，tan67.4°≈ ， sin 53°≈ ， cos 53°≈ ，tan53°＝ ） 重点突破 一轮复习精讲 解：（2）如图，过点C作CH⊥DG于点H. AK＝ ＝ ＝0.6（m）， ∴DK＝AD－AK＝2.4－0.6＝1.8m. ∴BH＝DK＝1.8m. ∵BC＝0.2m， ∴CH＝1.8－0.2＝1.6（m）. ∵∠CFH＝53°， ∴tan∠CFH＝ ＝ . ∴ ＝ ，解得FH＝1.2 m. 解：（2）如图，过点C作CH⊥DG于点H. AK＝ ＝ ＝0.6（m）， ∴DK＝AD－AK＝2.4－0.6＝1.8m. ∴BH＝DK＝1.8m. ∵BC＝0.2m， ∴CH＝1.8－0.2＝1.6（m）. ∵∠CFH＝53°， ∴tan∠CFH＝ ＝ . ∴ ＝ ，解得FH＝1.2 m. ∵DH＝BK≈1.44m. ∴DF＝DH－FH≈1.44－1.2＝0.24（m）. ∴阴影DF的长约为0.24m. ∵DH＝BK≈1.44m. ∴DF＝DH－FH≈1.44－1.2＝0.24（m）. ∴阴影DF的长约为0.24m. 重点突破 一轮复习精讲 1. （2025·东莞模拟）如果斜坡的坡度i＝1∶ ，那么斜坡的坡角等于 （　B　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° B 2. （2025·台湾）如图是某种螺丝钉上螺纹的示意图，图中的虚线皆为水 平线或铅垂线，图上标示出角度，也标示出水平线间或铅垂线间的距离. 根据图中的标示，此种螺丝钉的螺纹深度是螺纹间距的（　D　） A. B. C. D. D 新题速递 一轮复习精讲 3. （教材母题改编）（2025·湛江三模）项目式学习. 项目背景 中庙又名忠庙、太姥庙，位于安徽巢湖市的中庙镇，如图1 所示.某学校数学兴趣小组在详细研究了中庙的结构设计 后，想用所学知识测量这座庙的高度，其示意图如图2所 示.为了更好地测量中庙的高度，小组需完成两个任务. 教材变式新考法 一轮复习精讲 图示及说明 如图2所示，在垂直地面的这座庙PO侧方有一平台广场， 小明在平台广场A处测得庙顶端P的仰角为53°，AP＝ 88m，走上侧边阶梯BC，阶梯BC的坡度i＝1∶2，阶梯BC 的坡面长度为30m. 教材变式新考法 一轮复习精讲 任务1 （1）求阶梯BC的垂直高度，即点C到直线AB的距离； （结果保留整数） 解：（1）如图，分别延长AB和PO交于点N，过点C作 CM⊥AN，交AN于点M. ∴∠ONM＝∠NMC＝∠NOC＝90°. ∴四边形ONMC是矩形. ∴CM＝ON，OC＝MN. 阶梯BC的坡度i＝1∶2，即 ＝ ， ∴设CM＝x，则BM＝2x. ∵CM2＋BM2＝BC2，即x2＋（2x）2＝302， ∴x＝6 ≈13. 解：（1）如图，分别延长AB和PO交于点N，过点C作CM⊥AN，交 AN于点M. ∴∠ONM＝∠NMC＝∠NOC＝90°. ∴四边形ONMC是矩形. ∴CM＝ON，OC＝MN. 阶梯BC的坡度i＝1∶2，即 ＝ ， ∴设CM＝x，则BM＝2x. ∵CM2＋BM2＝BC2，即x2＋（2x）2＝302， ∴x＝6 ≈13. 答：阶梯BC的垂直高度，即点C到直线AB的距离约为13m. 答：阶梯BC的垂直高度，即点C到直线AB的距离约为13m. 教材变式新考法 一轮复习精讲 任务2 （2）求这座庙PO的高度.（结果保留整数） 参考数据 sin 53°≈0.8， cos 53°≈0.6，tan53°≈ ， ≈2.2. 解：（2） sin A＝ ， ∴PN＝AP· sin A＝88× sin 53°≈70.4（m）. ∵ON＝CM≈13m， ∴PO＝PN－ON≈70.4－13≈57（m）. 答：这座庙PO的高度约为57m. 解：（2） sin A＝ ， ∴PN＝AP· sin A＝88× sin 53°≈70.4（m）. ∵ON＝CM≈13m， ∴PO＝PN－ON≈70.4－13≈57（m）. 答：这座庙PO的高度约为57m. 教材变式新考法 一轮复习精讲 $ 第一轮　基础复习　 第二部分　空间与图形 第四章　三角形 第15讲　三角形与多边形 知识点1　 三角形的基本性质 知识梳理 一轮复习精讲 1. （1）下列图形中具有稳定性的是（　A　） A. 三角形 B. 平行四边形 C. 长方形 D. 正方形 （2）（2025·连云港）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形 的是（　B　） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 （3）（2025·南充）如图，把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上， 则∠α的度数是（　D　） A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° A B D 知识梳理 一轮复习精讲 知识点2　 三角形中的重要线段 图形 性质 中线 ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD＝ ⁠， S△ABD＝S△ACD＝S△ABC 角平分线 ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC， AD上任一点到AB和AC的距离相等 BC ​ 知识梳理 一轮复习精讲 图形 性质 高 ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝ ⁠ 中位线 ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥ 且DE＝ ⁠ 90° BC BC 知识梳理 一轮复习精讲 2. （1）（2025·肇庆模拟）如图，在△ABC中，边BC上的高为线段 （　A　） A. AF B. CE C. DB D. AB 第2题（1）图　　　　　　 A 知识梳理 一轮复习精讲 （2）（2025·广东）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点， ∠A＝70°，则∠EDF＝（　C　） A. 20° B. 40° C. 70° D. 110° 第2题（2）图　　　　　　 C 知识梳理 一轮复习精讲 （3）（2025·广东模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的 中点.若△BDE的面积是1，则△ACD的面积是（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第2题（3）图 B 知识梳理 一轮复习精讲 知识点3　三角形的垂心、重心、内心、外心 垂心 重心 三角形三条 ⁠的交点 三角形三条 ⁠的 交点 内心 外心 三角形三条 ⁠ 的交点，内心到三角形三边距离相等 三角形三边 ⁠ 的交点，外心到各 顶点的距离相等 高 中线 角平分线 垂直平分 线 知识梳理 一轮复习精讲 3. （1）【易错】下列说法正确的是（　D　） A. 三角形的高、中线、角平分线都是射线 B. 三角形三条高所在直线的交点都在三角形内部 C. 三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三边的距离相等 D. 三角形三条中线的交点称为三角形的重心 D 知识梳理 一轮复习精讲 （2）（教材母题改编）如图，点O是△ABC的内心，∠A＝70°，则 ∠BOC的度数为 ⁠. 第3题（2）图　　　　 125° （3）（2026·原创）如图，BE，CD分别是△ABC的中线，两线交于点 O，CD＝6，则OD＝ ⁠. 第3题（3）图 2 知识梳理 一轮复习精讲 知识点4　 多边形的内角和与外角和 （1）多边 形的性质 知识梳理 一轮复习精讲 （2）正多 边形的性质 知识梳理 一轮复习精讲 4. （1）（2025·佛山模拟）若一个多边形的内角和为1800°，则这个多 边形的边数为（　D　） A. 5 B. 7 C. 10 D. 12 （2）（2025·湛江一模）一个多边形的每一个外角都等于60°，则该多 边形的边数为（　C　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 （3）（2025·汕尾模拟）正多边形的一个内角是135°，则它的边数 是 ⁠. D C 8 知识梳理 一轮复习精讲 重点1　三角形的内角和外角 [例 1]（2025·茂名一模）如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，∠C ＝∠F＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，点A在DE上.若DF∥AB， 则∠CAD的度数为（　D　） A. 60° B. 45° C. 30° D. 15° 例1题图　　　　 D 重点突破 一轮复习精讲 [变式1]（2025·汕尾一模）将一副三角板按照如图所示方式摆放，点B， C，D共线，∠CDF＝18°，则∠AFE的度数为（　C　） A. 89° B. 83° C. 93° D. 103° 变式1题图 C 重点突破 一轮复习精讲 重点2　多边形的内角与外角 [例 2]（2025·吉林）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于 点F，则∠F的大小为 度. 例2题图　　　　　 36 重点突破 一轮复习精讲 A. 140° B. 150° C. 160° D. 170° 变式2题图 [变式2]（2025·自贡）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝ （　B　） B 重点突破 一轮复习精讲 1. （2025·广东模拟）一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可 以是（　B　） A. 1 B. 2 C. 6 D. 9 2. （2025·江西）如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形 的内角和为 度. 第2题图　　　　　 B 720 新题速递 一轮复习精讲 3. （2025·凉山州）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这 个多边形的一个顶点处可以引 条对角线. 4. （2025·甘肃）如图，一个多边形纸片的内角和为1620°，按如图所示 的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为 ⁠. 第4题图 7 12 新题速递 一轮复习精讲 5. （教材母题改编）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°， AE，AD分别是角平分线和高.求∠DAE的度数. 解：在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－60°＝80°. ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠EAC＝ ∠BAC＝ ×80°＝40°. ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°. ∴在△ADC中，∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－90°－60°＝ 30°. ∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝40°－30°＝10°. 解：在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－60°＝80°. ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠EAC＝ ∠BAC＝ ×80°＝40°. ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°. ∴在△ADC中，∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－90°－60°＝ 30°. ∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝40°－30°＝10°. 新题速递 一轮复习精讲 6. （教材母题改编）【问题背景】在生活中，我们经常可以看到由 各种形状的地砖铺成的漂亮地面.在这些地面上，相邻的地砖平整地 贴合在一起，整个地面没有一点空隙.从数学角度来看，当一个顶点 周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既 不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面 镶嵌问题.图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方 形和正六边形镶嵌的图案. 教材变式新考法 一轮复习精讲 【探究发现】（1）填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数 60° ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ … ⁠ ⁠ （2）如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边 形有 ；（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形； ④正七边形；⑤正八边形； 90° 108° 120° ​ ①③ 教材变式新考法 一轮复习精讲 【拓展应用】 （3）如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有 x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值. 解：（3）根据题意，得x，y是满足60x＋120y＝360的正整数解， 二元一次方程60x＋120y＝360的正整数解为 或 ∴x和y的值为 或 解：（3）根据题意，得x，y是满足60x＋120y＝360的正整数解， 二元一次方程60x＋120y＝360的正整数解为 或 ∴x和y的值为 或 教材变式新考法 一轮复习精讲 $ 第一轮　基础复习　 第二部分　空间与图形 第四章　三角形 第18讲　图形的相似 知识点1　 成比例线段与黄金分割 （1）定义：在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另 外两条线段的比，如 ＝ （或a∶b＝c∶d），那么这四条线段叫做成比 例线段，简称比例线段. （2）比例性质：① ＝ ⇒ad＝bc；② ＝ ⇒ ＝ . 知识梳理 一轮复习精讲 （3）黄金分割：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞ BC），如果 ＝ ，那么就说线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段 AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，且 ＝ ≈0.618.一 条线段有两个黄金分割点，简记为 ＝ ＝ .　 知识梳理 一轮复习精讲 1. （1）（2026·原创）下列四组线段中，不构成成比例线段的一组是 （　D　） A. 1，2，3，6 B. 2，3，4，6 C. 1， ， ， D. 1，2，3，4 （2）（2025·深圳二模）已知 ＝ ，那么 ＝ 　​ 　. D ​ 知识梳理 一轮复习精讲 （3）（2025·清远模拟）黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的 正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观.已知一条分 割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“远” 字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，即 ＝ .若NP＝ 2cm，则BC的长为 cm（结果保留根号）. （ －1） 知识梳理 一轮复习精讲 知识点2　 平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的 对应线段成比例. 知识梳理 一轮复习精讲 2. （1）（2025·清远模拟）如图是某景区大门部分建筑，已知 AD∥BE∥CF，AC＝16m，当DF∶DE＝4∶3时，AB的长是（　C　） A. 10m B. 11m C. 12m D. 13m 第2题（1）图　　　　　 C 知识梳理 一轮复习精讲 （2）（2025·深圳模拟）如图，DE∥BC，BD∶CE＝4∶3，AD＝12，则 AE的长为（　D　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 第2题（2）图 D 知识梳理 一轮复习精讲 知识点3　 相似的概念与性质 （1）相似的概念：形状相同（大小不一定相同）的图形称为相似图形. （2）相似三角形的性质：①对应角相等，对应边的比等于相似比；②周 长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方；③对应高之比、对应 中线之比、对应角平分线之比都等于相似比. 知识梳理 一轮复习精讲 3. （1）若两个相似三角形的对应边的比为2∶3，则对应高的比 为 ，周长比为 ，面积比为 ⁠. （2）（2025·惠州模拟）如图，在▱ABCD中，点E为边AD上一点，连 接BE交对角线AC于点G. 若 ＝ ，AD＝9，则DE的长为（　C　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 第3题（2）图　　　　　　　 2∶3 2∶3 4∶9 C 知识梳理 一轮复习精讲 （3）（2025·东营）如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，点D为AC中 点，点E在AB上，当AE为 时，△ABC与以点A，D，E为顶 点的三角形相似. 第3题（3）图 3或 知识梳理 一轮复习精讲 知识点4　相似三角形的判定 （1）判定1：两角分别相等的两个三角形相似； （2）判定2：三边成比例的两个三角形相似； （3）判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； （4）判定4：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角 形与原三角形相似. 知识梳理 一轮复习精讲 4. （1）（2025·河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长 BA，BC，分别交直线DE于点M，N. 若添加下列一个条件后，仍无法 判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　D　） A. ∠B＋∠4＝180° B. CD∥AB C. ∠1＝∠4 D. ∠2＝∠3 D 知识梳理 一轮复习精讲 （2）（2025·广州模拟）如图，在△ABC中，D在AB边上，连接CD， AC＝4，AD＝2，BD＝6，求证：△ACD∽△ABC. （2）证明：∵D在AB边上，AC＝4，AD＝2，BD＝6， ∴AB＝AD＋BD＝2＋6＝8. ∵ ＝ ＝ . 且∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. （2）证明：∵D在AB边上，AC＝4，AD＝2，BD＝6， ∴AB＝AD＋BD＝2＋6＝8. ∵ ＝ ＝ . 且∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. 知识梳理 一轮复习精讲 知识点5　 位似的概念与性质 （1）位似的概念：两个多边形不仅 ，而且对应点的连线相交 于 ，对应边互相平行或在同一直线上，这样的相似叫做位 似，这个交点叫做位似中心. （2）位似的性质：①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比 等于 ⁠； ②坐标：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出 一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形 上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为 ⁠ 或 ⁠. 相似 同一点 相似比 （kx，ky） （－kx，－ky） 知识梳理 一轮复习精讲 5. （1）（2025·广东）如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与 △COD的相似比是 ⁠. （2）在平面直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0）.以原点O 为位似中心，相似比为 ，把线段AB缩短，则点A的对应点A'的坐标 为 ⁠. 1∶3 （2，1）或（－2，－1） 知识梳理 一轮复习精讲 （3）（2025·广州模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶 点坐标分别为A（－2，1），B（－1，4），C（－3，2）. ①画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； ②以原点O为位似中心，位似比为2∶1，在y轴的左侧，画出△ABC放大 后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标. 解：（3）①如图，△A1B1C1即为所求； 解：（3）②如图，△A2B2C2为所作，C2点的坐标为（－6，4）. 知识梳理 一轮复习精讲 重点1　相似三角形的实际应用 [例 1]（2025·深圳模拟）如图是“小孔成像”的原理示意图，蜡烛到挡 板距离与挡板到屏幕距离之比是1∶2，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB 的高是 ⁠. 例1题图　　　　　　 8 cm 重点突破 一轮复习精讲 [变式1]（2025·深圳模拟）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的 示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时AB∥CD），相关数据如 图（单位：cm）.从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减 少了（　B　） 变式1题图 A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm B 重点突破 一轮复习精讲 重点2　相似三角形的性质与判定 [例 2]（2025·珠海一模）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角 线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连 接DE. （1）求证：EB2＝EF·EG； （1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，AB∥CD. 又∵AE＝AE， ∴△ABE≌△ADE. ∴ED＝EB，∠ABE＝∠ADE. ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠EGD. ∴∠EGD＝∠ADE. ∵∠FED＝∠DEG， ∴△EDF∽△EGD. （1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，AB∥CD. 又∵AE＝AE， ∴△ABE≌△ADE. ∴ED＝EB，∠ABE＝∠ADE. ∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠EGD. ∴∠EGD＝∠ADE. ∵∠FED＝∠DEG， ∴△EDF∽△EGD. ∴ ＝ . ∴ED2＝EF·EG. ∴EB2＝EF·EG. ∴ ＝ . ∴ED2＝EF·EG. ∴EB2＝EF·EG. 重点突破 一轮复习精讲 （2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE∶EC＝1∶3，求BG 的长. [例 2]（2025·珠海一模）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角 线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连 接DE. 重点突破 一轮复习精讲 解：（2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AD∥BC. ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形. ∴AC＝AB＝4. 如图，连接BD交AC于O， 则AC⊥BD，OA＝OC＝ AC＝2. ∴OB＝ ＝2 . ∵AE∶EC＝1∶3， ∴AE＝ AC＝1. ∴OE＝OA－AE＝1. ∴BE＝ ＝ . ∵AD∥BC， ∴∠EAF＝∠ECB，∠EFA＝∠EBC. ∴△EAF∽△ECB. ∴ ＝ ＝ . ∴EF＝ BE＝ . 由（1），得EB2＝EF·EG， ∴OE＝OA－AE＝1. ∴BE＝ ＝ . ∵AD∥BC， ∴∠EAF＝∠ECB，∠EFA＝∠EBC. ∴△EAF∽△ECB. ∴ ＝ ＝ . ∴EF＝ BE＝ . 由（1），得EB2＝EF·EG， ∴EG＝ ＝3 . ∴BG＝BE＋EG＝4 . ∴EG＝ ＝3 . ∴BG＝BE＋EG＝4 . 重点突破 一轮复习精讲 1. （2025·潮州四模）图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看 作一个三角形，液面宽度为6cm，其他数据如图所示，喝掉一部分后的 数据如图2所示，此时液面宽度为 cm. 第1题图　　　　　　 3 新题速递 一轮复习精讲 2. （2025·广州模拟）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB ＝2OA，点A在反比例函数y＝ 的图象上.若点B在反比例函数y＝ 的 图象上，则k的值为（　D　） A. 4 B. －4 C. 8 D. －8 第2题图 D 新题速递 一轮复习精讲 3. （教材母题改编）根据以下材料，完成探究任务. 利用相似三角形测高 发现、 提出 问题 期末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角 形测高”的综合实践活动.如图，在公园某处，他们发现一个 简易工具房前有一堵围墙AB，同学们提出问题如下：围墙AB 的高度是多少米？ 教材变式新考法 一轮复习精讲 分析问 题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下 操作： ①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进地面F点时，测 得OF＝5m； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点D处射进地面点E时，测得 OE＝0.8m.此外，测得窗高CD＝1.5m，窗户距地面的高度 OD＝1m. 教材变式新考法 一轮复习精讲 解：（1）如图，连接CD. ∵AB⊥BF，DO⊥BF，∠BEA＝∠OED， ∴△ABE∽△DOE. ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴AB＝ OB＋1. 同理，可得△ABF∽△COF. ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴AB＝ OB＋ . 解：（1）如图，连接CD. ∵AB⊥BF，DO⊥BF，∠BEA＝∠OED， ∴△ABE∽△DOE. ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴AB＝ OB＋1. 同理，可得△ABF∽△COF. ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴AB＝ OB＋ . 解决问题 （1）求OB的长； 解 OB＋1＝ OB＋ ，得OB＝2 m. 解 OB＋1＝ OB＋ ，得OB＝2 m. 教材变式新考法 一轮复习精讲 解决问题 （2）请利用上述数据，求出围墙AB的高度. 解：（2）由（1），知OB＝2m，AB＝ OB＋ ， ∴AB＝ m. ∴围墙AB的高度为 m. 解：（2）由（1），知OB＝2m，AB＝ OB＋ ， ∴AB＝ m. ∴围墙AB的高度为 m. 教材变式新考法 一轮复习精讲 $ 第一轮　基础复习　 第二部分　空间与图形 第四章　三角形 第19讲　锐角三角函数 知识点1　 锐角三角函数的概念 （1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A的正弦 sin A＝ ＝ ， ∠A的余弦 cos A＝ ＝ ，∠A的正切tan A＝ ＝ . （2）锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数. 知识梳理 一轮复习精讲 1. （1）（2025·佛山模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC ＝6，则 sin A＝（　A　） A. B. C. D. （2）（2025·广东三模改编）如图，△ABC的顶点A，B，C均在边长为 1的正方形网格格点上，则 cos A的值为 ⁠. A ​ 知识梳理 一轮复习精讲 知识点2　 特殊角的三角函数值 　　　　α 三角函数　　　 30° 45° 60° sin α ​ ​ ​ cos α ​ ​ ​ tan α ​ 1 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 1 ​ 知识梳理 一轮复习精讲 2. （1）计算： sin 45°＝ 　​ 　， cos 2 30°＝ 　​ 　，（2025·广东） 20－2 sin 30°＝ ⁠. （2）（2025·中山二模）若 cos A＝ ，则锐角∠A＝ ⁠. （3）（2025·东莞模拟）如图是一个直角三角尺，其中∠B＝30°，∠C ＝90°，则 sin A＝ ⁠. ​ ​ 0 60° ​ （4）（2026·原创）若∠α为锐角， sin （α＋15°）＝ ，则∠α的度数 为 ⁠. 45° 知识梳理 一轮复习精讲 知识点3　 解直角三角形 （1）三边关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）. （2）两锐角关系：∠A＋∠B＝90°. （3）边角关系： sin A＝ cos B＝ ， cos A＝ sin B＝ ，tan A＝ ，tan B＝ . （4）解直角三角形的定义： 直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直 角三角形中的已知元素，求其余元素的过程，叫做解直角三角形，知道 其中的两个元素（至少有一条边），就可以求其余三个未知元素. 知识梳理 一轮复习精讲 3. （1）（2025·中山模拟）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8， sin A ＝ ，则BC的长为（　A　） A. 6 B. 7.5 C. 8 D. 12.5 （2）（2025·江门模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5， sin B＝ ， 则BC的长是（　B　） A B A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 知识梳理 一轮复习精讲 （3）（2025·肇庆模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝ ， BC＝a，则AB的长为（　C　） A. a B. 2a C. a D. a C 知识梳理 一轮复习精讲 重点1　换角求锐角三角函数值 [例 1]（2025·湛江三模）如图，边长为1的小正方形网格中，☉O的圆心 在格点上，则∠AED的余弦值是（　D　） D A. B. 1 C. D. 例1题图　　　　　　 重点突破 一轮复习精讲 [变式1]（2025·梅州三模）5个全等的方块如图放置在Rt△ABC中，则 tanC的值是 ⁠. 1 变式1题图 重点突破 一轮复习精讲 重点2　利用锐角三角函数求边长 [例 2]（2025·广州模拟）如图1，是护眼灯的实物图，图2是它的侧面示 意图，其中CD长为4 cm，BC长为12cm，∠B＝60°，∠C＝45°. （1）点D到BC的距离为 ⁠； 4cm （2）求点D到AB的距离. 解：（2）如图，过点D作DG⊥AB，垂足为G，过点D作DF⊥BC，垂 足为F，过点F作FM⊥AB，垂足为M，过点D作DN⊥FM，垂足为N. ∵∠CFD＝90°，∠C＝45°， ∴CF＝DF＝4cm. ∵BC＝12cm， ∴BF＝BC－CF＝12－4＝8（cm）. 重点突破 一轮复习精讲 解：（2）如图，过点D作DG⊥AB，垂足为G，过点D 作DF⊥BC，垂足为F，过点F作FM⊥AB，垂足为 M，过点D作DN⊥FM，垂足为N. ∵∠CFD＝90°，∠C＝45°， ∴CF＝DF＝4cm. ∵BC＝12cm， ∴BF＝BC－CF＝12－4＝8（cm）. 在Rt△FMB中，FM＝BF sin 60°＝8× ＝4（cm）. ∵∠FMB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠BFM＝90°－∠ABC＝30°. ∴∠DFM＝∠DFB－∠BFM＝90°－30°＝60°. 在Rt△FDN中，FN＝FD cos 60°＝4× ＝2（cm）. ∴MN＝FM－FN＝（4 －2）cm. ∵∠DGB＝∠FMG＝∠DNM＝90°， ∴四边形DNMG是矩形. ∴DG＝MN＝（4 －2）cm. ∴点D到AB的距离为（4 －2）cm. ∵∠DGB＝∠FMG＝∠DNM＝90°， ∴四边形DNMG是矩形. ∴DG＝MN＝（4 －2）cm. ∴点D到AB的距离为（4 －2）cm. 重点突破 一轮复习精讲 1. （2025·东营）如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC＝α， AC＝5m.现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1m，则地毯的长度需要 （　B　） A. m B. （5tanα＋5）m C. m D. m 第1题图　　　　　 B 新题速递 一轮复习精讲 2. （2025·广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB， 已知 cos ∠CAD＝ ，AB＝26，则点B到AD的距离为 ⁠. 第2题图　　　　　 10 新题速递 一轮复习精讲 3. （2025·湛江二模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B， C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的 正弦值为（　D　） A. B. C. D. 第3题图 D 新题速递 一轮复习精讲 4. （2025·广安）计算：｜ －3｜＋2 sin 30°－（π－2 025）0＋ . 解：原式＝3－ ＋2× －1＋3＝3－ ＋1－1＋3＝6－ . 解：原式＝3－ ＋2× －1＋3＝3－ ＋1－1＋3＝6－ . 新题速递 一轮复习精讲 5. （教材母题改编）（2025·汕头模拟）小明从科普读物中了解到，光从 真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值 叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光在介质中传 播时，介质对光作用的一种特征. （1）若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且 cos α＝ ，β ＝30°，求该介质的折射率； 教材变式新考法 一轮复习精讲 解：（1）∵ cos α＝ ， ∴构造如图，设b＝ x，则c＝4x. 由勾股定理，得a＝ ＝3x， ∴ sin α＝ ＝ ＝ . 又∵β＝30°， ∴ sin β＝ sin 30°＝ . ∴折射率为 ＝ ＝ . 解：（1）∵ cos α＝ ， ∴构造如图，设b＝ x，则c＝4x. 由勾股定理，得a＝ ＝3x， ∴ sin α＝ ＝ ＝ . 又∵β＝30°， ∴ sin β＝ sin 30°＝ . ∴折射率为 ＝ ＝ . 教材变式新考法 一轮复习精讲 5. （教材母题改编）（2025·汕头模拟）小明从科普读物中了解到，光从 真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值 叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光在介质中传 播时，介质对光作用的一种特征. （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图1所示，点A， B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2的对 角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图2，已知α＝ 60°，CD＝10cm，求截面ABCD的面积. 教材变式新考法 一轮复习精讲 解：（2）由题意，可得α＝60°，折射率为 ， ∴ ＝ ＝ . ∴ sin β＝ . ∵四边形ABCD是矩形，点O是AD中点， ∴AD＝2OD，∠D＝90°. 又∵∠OCD＝β， ∴ sin ∠OCD＝ sin β＝ . 解：（2）由题意，可得α＝60°，折射率为 ， ∴ ＝ ＝ . ∴ sin β＝ . ∵四边形ABCD是矩形，点O是AD中点， ∴AD＝2OD，∠D＝90°. 又∵∠OCD＝β， ∴ sin ∠OCD＝ sin β＝ . 在Rt△ODC中，设OD＝ x，OC＝3x， 由勾股定理，得CD＝ ＝ x， ∴tanβ＝ ＝ . ∴OD＝10× ＝5 . ∴AD＝2OD＝10 . ∴截面ABCD的面积为AD×CD＝10 ×10＝100 （cm2）. 在Rt△ODC中，设OD＝ x，OC＝3x， 由勾股定理，得CD＝ ＝ x， ∴tanβ＝ ＝ . ∴OD＝10× ＝5 . ∴AD＝2OD＝10 . ∴截面ABCD的面积为AD×CD＝10 ×10＝100 （cm2）. 教材变式新考法 一轮复习精讲 $ 第一轮　基础复习　 第二部分　空间与图形 第四章　三角形 第17讲　特殊三角形 知识点1　 等腰三角形和等边三角形 等腰三角形 等边三角形 判 定 （1）有两条边相等的三角形是等腰 三角形； （2）有两个角相等的三角形是等腰 三角形. （1）三条边都相等的三角形 是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形 是等边三角形； （3）有一个角是60°的 ⁠ 三角形是等边三角形. 等 腰 知识梳理 一轮复习精讲 等腰三角形 等边三角形 性 质 （1）两腰相等，两底角相等（等边 对等角）； （2） 、 ⁠ 、 ⁠相互重合 （简称“三线合一”）； （3）等腰三角形是轴对称图形，有 一条对称轴. （1）三边相等； （2）三个内角都相等且每一 个内角都等于60°； （3） “三线合一”，且内 心、外心重合； （4）等边三角形是轴对称图 形，有三条对称轴. 底边上的中线 顶角角 平分线 底边上的高 知识梳理 一轮复习精讲 1. （1）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝70°，则∠B的度数 为 ⁠. （2）（2025·扬州）在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC 上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（　B　） A. ∠ADB＝∠ADC B. ∠B＝∠C C. BD＝CD D. AD平分∠BAC 第1题（2）图　　　　 55° B 知识梳理 一轮复习精讲 （3）（2025·陆丰一模）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的 等边△ABC上，若∠1＝24°，则∠2的度数为（　B　） A. 24° B. 36° C. 48° D. 56° 第1题（3）图 B （4）满足下列条件的三角形一定是等边三角形的是 .（填 序号） ①AB＝5，BC＝5，AC＝5；②∠A＝60°，∠B＝60°；③AB＝AC ＝5，∠C＝60°；④AB＝BC＝5. ①②③ 知识梳理 一轮复习精讲 知识点2　 直角三角形 判 定 （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）两个内角互余的三角形是直角三角形； （3）一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形； （4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c， 且满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 知识梳理 一轮复习精讲 性 质 （1）直角三角形的两个锐角互余； （2）斜边上的中线等于斜边的一半； （3） 30°角所对的直角边等于斜边的一半； （4）如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c， 那么a2＋b2＝c2（勾股定理）. 勾 股 数 满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数，如①3，4，5；②6， 8，10；③5，12，13. 知识梳理 一轮复习精讲 2. （1）（2025·福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是 斜梁AB，AC的中点.若AB＝AC＝8m，则DE的长为 m. 第2题（1）图　　　　　　 （2）（2025·深圳模拟）在直角三角形中，两直角边长为3和4，则斜边 上的高为（　A　） A. 2.4 B. 5 C. 6 D. 7.2 4 A 知识梳理 一轮复习精讲 （3）（2025·惠州模拟）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为 a，b，c，下列所给数据中，不能判断△ABC是直角三角形的是 （　D　） A. ∠A＋∠B＝90° B. a∶b∶c＝5∶12∶13 C. a2＋b2＝c2 D. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D 知识梳理 一轮复习精讲 （4）（2025·安徽）如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边 AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC. 若DE＝ ，则AC的 长是（　B　） A. 4 B. 6 C. 2 D. 3 第2题（4）图 B 知识梳理 一轮复习精讲 知识点3　 等腰直角三角形 （1）定义：两锐角相等或两锐角都等于45°的直角三角形. （2）性质：①两直角边相等；②两锐角相等，且都等于45°；③“三线 合一”；④等腰直角三角形是轴对称图形，有一条对称轴. 知识梳理 一轮复习精讲 3. （1）（2025·广西）如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝ 2，BD＝CD＝ ，则AD＝ 　 －1　. 第3题（1）图　　　　　 －1 （2）（2025·茂名一模）如图，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪 刀与纸片的夹角∠ABC＝45°时，已知AB＝4cm，则剪下来的图形的周 长为（　C　） 第3题（2）图 A. 4 cm B. 16cm C. 16 cm D. 32cm C 知识梳理 一轮复习精讲 重点1　等腰等边三角形的性质与判定 [例 1]（2025·襄阳模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是三角形 ABC的高，用尺规作图的方法作出射线CP交AB于点E，交BD于点O. （1）判断用尺规作出的CP是 ⁠； 过点C的AB的垂线 （2）求证：BE＝CD. （2）证明：∵CE，BD是△ABC的高， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°. ∵AB＝AC， ∴∠EBC＝∠DCB. ∵BC＝CB， ∴△EBC≌△DCB（AAS）. ∴BE＝CD. （2）证明：∵CE，BD是△ABC的高， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°. ∵AB＝AC， ∴∠EBC＝∠DCB. ∵BC＝CB， ∴△EBC≌△DCB（AAS）. ∴BE＝CD. 重点突破 一轮复习精讲 [变式1]（2025·福建）如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点， CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点 A，BE交CD于点G. （1）求∠DCE的大小； 解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°. ∵D是AB的中点， ∴∠DCB＝∠DCA＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°. ∵CE⊥BC， ∴∠BCE＝90°. ∴∠DCE＝∠BCE－∠DCB＝60°. 解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°. ∵D是AB的中点， ∴∠DCB＝∠DCA＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°. ∵CE⊥BC， ∴∠BCE＝90°. ∴∠DCE＝∠BCE－∠DCB＝60°. 重点突破 一轮复习精讲 [变式1]（2025·福建）如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点， CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点 A，BE交CD于点G. （2）求证：△CEG是等边三角形. （2）证明：由平移可知：CD∥EF， ∴∠EAC＝∠DCA＝30°. 又∵∠ECA＝∠BCE－∠ACB＝30°， ∴∠EAC＝∠ECA. ∴AE＝CE，∠AEC＝120°. 又∵AB＝CB，∴BE垂直平分AC. ∴∠GEC＝ ∠AEC＝ ×120°＝60°. 由（1）知，∠GCE＝60°， ∴∠EGC＝60°. （2）证明：由平移可知：CD∥EF， ∴∠EAC＝∠DCA＝30°. 又∵∠ECA＝∠BCE－∠ACB＝30°， ∴∠EAC＝∠ECA. ∴AE＝CE，∠AEC＝120°. 又∵AB＝CB，∴BE垂直平分AC. ∴∠GEC＝ ∠AEC＝ ×120°＝60°. 由（1）知，∠GCE＝60°， ∴∠EGC＝60°. ∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC. ∴△CEG是等边三角形. ∴∠GEC＝∠GCE＝∠EGC. ∴△CEG是等边三角形. 重点突破 一轮复习精讲 重点2　直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定 [例 2]（2025·唐山二模）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三 角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F ＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10. （1）求BC的长； 解：（1）在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝ 60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°. ∴AB＝2AC＝20. ∴BC＝ ＝ ＝10 . 解：（1）在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°. ∴AB＝2AC＝20. ∴BC＝ ＝ ＝10 . 重点突破 一轮复习精讲 （2）求CD的长. 解：（2）如图，过点B作BM⊥FD于点M， ∵AB∥CF， ∴∠BCM＝∠ABC＝30°. ∴BM＝ BC＝5 ，CM＝ ＝15. 由题意，得∠EDF＝45°. ∴MD＝BM＝5 . ∴CD＝CM－MD＝15－5 . 解：（2）如图，过点B作BM⊥FD于点M， ∵AB∥CF， ∴∠BCM＝∠ABC＝30°. ∴BM＝ BC＝5 ，CM＝ ＝15. 由题意，得∠EDF＝45°. ∴MD＝BM＝5 . ∴CD＝CM－MD＝15－5 . [例 2]（2025·唐山二模）三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三 角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F ＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10. 重点突破 一轮复习精讲 [变式2]（教材母题改编）两张等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所 示的位置放置，直角顶点重合在点O处，保持纸片AOB不动，将纸片 COD绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2所示. （1）利用图2，求证：AC⊥BD； （1）证明：如图，延长BD交OA于点G，交AC于点 E. 由题意知，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC ＝OD， ∴∠AOC＝∠BOD. ∴△AOC≌△BOD（SAS）. ∴∠CAO＝∠DBO. ∵∠AOB＝90°，∠OGB＝∠AGE， ∴∠AEG＝∠AOB＝90°. ∴AC⊥BD. （1）证明：如图，延长BD交OA于点G，交AC于点E. 由题意知，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD， ∴∠AOC＝∠BOD. ∴△AOC≌△BOD（SAS）. ∴∠CAO＝∠DBO. ∵∠AOB＝90°，∠OGB＝∠AGE， ∴∠AEG＝∠AOB＝90°. ∴AC⊥BD. 重点突破 一轮复习精讲 [变式2]（教材母题改编）两张等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所 示的位置放置，直角顶点重合在点O处，保持纸片AOB不动，将纸片 COD绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2所示. （2）如图3，当BD与CD在同一直线上时，AB＝25，AC＝7，求CD 的长. 解：（2）∵∠OCD＝∠ODC＝45°， ∴∠ODB＝135°. 同（1）可证△AOC≌△BOD， ∴∠ACO＝∠BDO＝135°，BD＝AC＝7. ∴∠ACB＝∠ACO－∠OCD＝90°. ∴BC＝ ＝ ＝24. ∴CD＝BC－BD＝24－7＝17. 解：（2）∵∠OCD＝∠ODC＝45°， ∴∠ODB＝135°. 同（1）可证△AOC≌△BOD， ∴∠ACO＝∠BDO＝135°，BD＝AC＝7. ∴∠ACB＝∠ACO－∠OCD＝90°. ∴BC＝ ＝ ＝24. ∴CD＝BC－BD＝24－7＝17. 重点突破 一轮复习精讲 1. （2025·湛江二模）如图，七巧板被誉为“东方魔板”，它由五块等腰 直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.已知图1是边 长为8的大正方形，图2是小红同学将七巧板摆拼而成的“奔跑者”图 案，则图2中阴影部分的面积为 ⁠. 第1题图　　　　 24 新题速递 一轮复习精讲 2. （2025·深圳模拟）如图，可折叠工具箱共有三层，工具箱打开前，连 接装置与水平方向的夹角为30°，连接装置转动90°后箱子完全打开， 每一根连接装置长15cm（可看作一条线段），当三层工具箱完全打开 后，整体高度比打开前增加（　2.C） A. 15 cm B. 30 cm C. （15 －15） cm D. （ － ） cm 第2题图 C 新题速递 一轮复习精讲 3. （教材母题改编）（2025·清远模拟）综合与实践. 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为8cm，高14cm的纸筒卷，一张长30cm，宽 20cm的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把 剪刀，一瓶固体胶. 教材变式新考法 一轮复习精讲 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴 合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2 所示的环保笔筒. 教材变式新考法 一轮复习精讲 【实践探索】 （1）求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留π） 解：（1）裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积： S＝8π×14＝112π（cm2）. 答：裁剪出的包装纸的面积为112πcm2. 解：（1）裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积： S＝8π×14＝112π（cm2）. 答：裁剪出的包装纸的面积为112πcm2. 教材变式新考法 一轮复习精讲 解：（2）如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接 AD，BE， AC为圆柱的底面周长8πcm， CD为圆柱高的 ，即14× ＝7（cm）， 由勾股定理，得AD＝ ＝ ＝ （cm），BE＝AD＝ cm. ∴所需绳子的最短长度为2 cm. 解：（2）如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接AD，BE， AC为圆柱的底面周长8πcm， CD为圆柱高的 ，即14× ＝7（cm）， 由勾股定理，得AD＝ ＝ ＝ （cm），BE＝AD＝ cm. ∴所需绳子的最短长度为2 cm. （2）如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B 点，求所需绳子的最短长度.（结果保留π和根号） 教材变式新考法 一轮复习精讲 $ 第一轮　基础复习　 第二部分　空间与图形 第四章　三角形 第14讲　线、角、相交线与平行线 知识点1　直线、射线、线段 （1）直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线. （ 点确定一条直线） （2）线段的基本事实：两点的所有连线中， 最短.（两点之 间，线段最短） （3）两点距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. 两 线段 （4）线段的中点：点P把线段AB分成相等的两条线段AP与PB，则点 P叫做线段AB的中点，即AP＝PB＝ AB. 知识梳理 一轮复习精讲 1. （1）（教材母题改编）经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔 直的墨线，而且只能弹出一条这样的墨线，能解释这一实际应用的数学 知识是（　A　） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 过一点只有一条直线 D. 两点之间，线段最短 （2）如图，点A，B，C在直线l上，则图中共有 条线段， ⁠ 条射线. A 3 6 （3）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若AB＝4 cm，则点C与点D之间的距离为 ⁠. 1 cm 知识梳理 一轮复习精讲 知识点2　角的有关概念 （1）角的分类：锐角（0°＜α＜90°），直角（α＝90°），钝角 （90°＜α＜180°），平角（α＝180°），周角（α＝360°）. （2）度、分、秒之间的换算：1°＝60'，1'＝60″. （3）①余角：如果两个角的和等于 ，那么这两个角互余.同角 （等角）的余角 ⁠. ②补角：如果两个角的和等于 ，那么这两个角互补.同角（等 角）的补角 ⁠. 90° 相等 180° 相等 知识梳理 一轮复习精讲 2. （1）0.2°＝ '，150'＝ °，35.4°＝ ° '. （2）（2025·广东一模）若一个角的余角是42°，则这个角的度数 是 ⁠. （3）（2025·江门模拟）已知∠A＝37°16'，则∠A的补角的度数 为 ⁠. （4）（2025·惠州模拟）若一个角的余角比它的补角的 少40°，则这个 角的度数为（　A　） A. 30° B. 36° C. 42° D. 48° 12 2.5 35 24 48° 142°44' A 知识梳理 一轮复习精讲 知识点3　 相交线 （1）两直线相交，对顶角 ，邻补角 ⁠. （2）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. （3）垂线段最短. （4）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度. 相等 互补 知识梳理 一轮复习精讲 3. （1）（2025·广西）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池 留下的脚印如图所示.测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩（最近着 地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（　A　） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 两直线平行，内错角相等 第3题（1）图　　　　　　 A 知识梳理 一轮复习精讲 （2）（2025·东莞模拟）如图，直线a，b相交，∠1＝40°，则∠2－ ∠3＝ ⁠. 第3题（2）图　　　　　　 100° （3）（2025·东莞模拟）如图，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直 线上.若∠1＝26°，则∠2的度数为 ⁠. 第3题（3）图 116° 知识梳理 一轮复习精讲 知识点4　 平行线 （1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. （2）基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （3）平行线的性质与判定： ①两直线平行⇔同位角 ⁠； ②两直线平行⇔内错角 ⁠； ③两直线平行⇔同旁内角 ⁠. 相等 相等 互补 （4）平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线 的 的长度；平行线间的距离处处相等. 垂线段 知识梳理 一轮复习精讲 4. （1）（2025·东莞模拟）如图，在音符中，AB∥CD，若∠BAC＝ 95°，则∠ACD的度数为（　A　） A. 85° B. 88° C. 92° D. 95° 第4题（1）图　　　　　　 A 知识梳理 一轮复习精讲 （2）（2025·东莞三模）一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时 AB∥CD，∠1＝73°，则∠2的度数为（　C　） A. 73° B. 93° C. 107° D. 117° 第4题（2）图　　　　　　 C 知识梳理 一轮复习精讲 （3）（2025·广州二模）如图，能判定EC∥AB的条件是（　A　） A. ∠B＝∠ECD B. ∠A＝∠ECD C. ∠B＝∠ACE D. ∠A＝∠ACB 第4题（3）图 A 知识梳理 一轮复习精讲 知识点5　角平分线与线段的垂直平分线 （1）角平分线：①性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；②判 定：角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上. （2）线段的垂直平分线：①性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点 的距离相等；②判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂 直平分线上. 知识梳理 一轮复习精讲 5. （1）（2025·广州模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，CD＝3，AB＝10，则△ABD的 面积是 ⁠. 第5题（1）图　　　　　　　 15 知识梳理 一轮复习精讲 （2）（2025·达州）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段 AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为 （　C　） A. 21 B. 14 C. 13 D. 9 第5题（2）图 C 知识梳理 一轮复习精讲 重点1　利用平行线的性质求角的度数 [例 1]（2025·深圳模拟）如图所示是某射箭运动员射箭瞬间的示意图.已 知AB∥CD，AF∥DE，∠1＝90°，∠2＝110°，∠C＝135°，则 ∠CBE的度数是 ⁠. 例1题图　　　　　　　　　　 65° 重点突破 一轮复习精讲 [变式1]（2025·烟台）如图所示是一款儿童小推车的示意图，若 AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数为（　A　） A. 40° B. 35° C. 30° D. 20° 变式1题图 A 重点突破 一轮复习精讲 重点2　平行线的性质与判定综合应用 [例 2]如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C. （1）求证：∠BDF＝∠A； （1）证明：∵DE∥BC， ∴∠C＝∠AED. ∵∠EDF＝∠C， ∴∠AED＝∠EDF， ∴DF∥AC. ∴∠BDF＝∠A. （1）证明：∵DE∥BC， ∴∠C＝∠AED. ∵∠EDF＝∠C， ∴∠AED＝∠EDF， ∴DF∥AC. ∴∠BDF＝∠A. （2）若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC 的形状. 解：（2）△ABC是等腰直角三角形. 重点突破 一轮复习精讲 [变式2]如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2. （1）求证：DG∥BA； （1）证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴∠EFB＝∠ADB＝90°. ∴EF∥AD. ∴∠1＝∠BAD. 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠BAD. ∴DG∥BA. （1）证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴∠EFB＝∠ADB＝90°. ∴EF∥AD. ∴∠1＝∠BAD. 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠BAD. ∴DG∥BA. （2）若∠B＝45°，AE＝6 ，则EF与AD之间的距离为 ⁠. 6 重点突破 一轮复习精讲 1. （2025·广州模拟）如图，将一块含有45°角的三角板的两个顶点放在 直尺的一组对边上.如果∠2＝65°，那么∠1的度数为（　B　） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 第1题图　　　　 B 新题速递 一轮复习精讲 2. （2025·江门三模）光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反 射，在射入水中后会发生折射现象.如图，入射光线AP在射入水面P点 的反射光线为PQ，折射光线为PB，若反射光线与折射光线的夹角为 80°，入射光线与折射光线的夹角为160°，则入射光线与水平面的夹角 为（　C　） A. 40° B. 20° C. 30° D. 35° 第2题图　　　　 C 新题速递 一轮复习精讲 3. （2025·汕头模拟）如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交 于点D，连接BD，CD，若∠A＝50°，则∠BDC＝（　A　） A. 100° B. 110° C. 90° D. 50° 第3题图 A 新题速递 一轮复习精讲 4. （教材母题改编）（2025·汕头模拟）利用如图所示的方法（图下方的 ①，②，③，④表示折的顺序），可以折出“过已知直线外一点和已知 直线平行”的直线.关于其中的原理，下列说法错误的是（　A　） A. 对顶角相等 B. 同位角相等，两直线平行 C. 内错角相等，两直线平行 D. 同旁内角互补，两直线平行 A 教材变式新考法 一轮复习精讲 $ 第一轮　基础复习　 第二部分　空间与图形 第四章　三角形 第16讲　全等三角形 知识点1　 全等三角形的概念及性质 （1）概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （2）性质： ①全等三角形的对应角相等，对应边相等； ②全等三角形的周长相等，面积相等； ③全等三角形的对应角平分线、对应边上的中线、对应边上的高相等； （3）平移、对折、旋转前后的图形全等. 知识梳理 一轮复习精讲 1. （1）（2025·深圳模拟）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C ＝30°，∠DAC＝30°，则∠EAC的度数为（　A　） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 第1题（1）图　　　　　 A 知识梳理 一轮复习精讲 （2）（2025·汕头模拟）如图，若点A，D，B，E在同一条直线上， △ABC≌△DEF，BE＝3，AE＝8，则BD的长是 ⁠. 第1题（2）图 2 知识梳理 一轮复习精讲 知识点2　 全等三角形的判定 判定方 法 文字语言 图形 几何语言 边边边 （SSS） 三边对应相等的两个三角形全等 ∵AB＝DE，BC＝ EF，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF 边角边 （SAS） 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 ∵AB＝DE，∠B＝ ∠E，BC＝EF， ∴△ABC≌△DEF 知识梳理 一轮复习精讲 判定方法 文字语言 图形 几何语言 角边角 （ASA） 两角及其夹边对应 相等的两个三角形 全等 ∵∠A＝∠D，AB＝ DE，∠B＝∠E， ∴△ABC≌△DEF 角角边 （AAS） 两角及其中一组等 角的对边对应相等 的两个三角形全等 ∵∠C＝∠F，∠A＝ ∠D，AB＝DE， ∴△ABC≌△DEF 斜边、直角 边（HL） 斜边和一条直角边 对应相等的两个直 角三角形全等 ∵AB＝DE，AC＝DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF 知识梳理 一轮复习精讲 2. （1）（2025·山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中 点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO. 测得C，D两点之 间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间 的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是（　B　） A. SSS B. SAS C. ASA D. HL 第2题（1）图　　　　　　　　 B 知识梳理 一轮复习精讲 （2）（2025·佛山模拟）如图，AB平分∠CAD. 请添加一个条件 ⁠ ，使得△ABC≌△ABD. （要求：不添加辅助 线，只需填一个答案即可） 第2题（2）图 （答 案不唯一）AC＝AD 知识梳理 一轮复习精讲 （3）（2025·福建）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上， ∠CBE＝∠CDF，∠ACB＝∠ACD. 求证：AB＝AD. （3）证明：∵∠CBE＝∠CDF， ∴180°－∠CBE＝180°－∠CDF. ∴∠ABC＝∠ADC. 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（AAS）. ∴AB＝AD. （3）证明：∵∠CBE＝∠CDF， ∴180°－∠CBE＝180°－∠CDF. ∴∠ABC＝∠ADC. 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（AAS）. ∴AB＝AD. 知识梳理 一轮复习精讲 重点　全等三角形的性质与判定综合 [例题]（2025·内江）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC＝ DF，∠A＝∠D，AB∥DE. （1）求证：△ABC≌△DEF； （1）证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）. （1）证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）. 重点突破 一轮复习精讲 （2）若BF＝4，FC＝3，求BE的长. [例题]（2025·内江）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC＝ DF，∠A＝∠D，AB∥DE. 解：（2）由（1），可知△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF. ∴BF＋CF＝EC＋CF. ∴BF＝EC. ∵BF＝4，FC＝3，∴EC＝4. ∴BE＝BF＋FC＋EC＝4＋3＋4＝11. 解：（2）由（1），可知△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF. ∴BF＋CF＝EC＋CF. ∴BF＝EC. ∵BF＝4，FC＝3，∴EC＝4. ∴BE＝BF＋FC＋EC＝4＋3＋4＝11. 重点突破 一轮复习精讲 [变式]（2025·河北）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点 E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD. （1）求证：△ABC≌△AFD； 证明：（1）∵∠BAF＝∠EAD， ∴∠BAF－∠CAF＝∠EAD－∠CAF. ∴∠BAC＝∠FAD. 在△ABC和△AFD中， ∴△ABC≌△AFD（ASA）. 证明：（1）∵∠BAF＝∠EAD， ∴∠BAF－∠CAF＝∠EAD－∠CAF. ∴∠BAC＝∠FAD. 在△ABC和△AFD中， ∴△ABC≌△AFD（ASA）. 重点突破 一轮复习精讲 [变式]（2025·河北）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点 E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD. （2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD. 证明：（2）由（1），得△ABC≌△AFD， ∴AB＝AF. ∵BE＝FE， ∴AC⊥BF，即AC⊥BD. 证明：（2）由（1），得△ABC≌△AFD， ∴AB＝AF. ∵BE＝FE， ∴AC⊥BF，即AC⊥BD. 重点突破 一轮复习精讲 1. （2025·深圳模拟）用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形的示 意图如图所示，则说明△OCD≌△O'C'D'的依据是 ⁠. SSS 新题速递 一轮复习精讲 2. （2025·苏州模拟）如图，CB⊥AD，垂足为B，且AB＝BC，点E 在CD上，AE与BC相交于点F，且AF＝CD. （1）求证：AB－BD＝CF； （1）证明：∵CB⊥AD， ∴∠ABF＝∠CBD＝90°. 在Rt△ABF和Rt△CBD中， ∴Rt△ABF≌Rt△CBD（HL）. ∴BF＝BD. ∴AB－BD＝BC－BF＝CF. （1）证明：∵CB⊥AD， ∴∠ABF＝∠CBD＝90°. 在Rt△ABF和Rt△CBD中， ∴Rt△ABF≌Rt△CBD（HL）. ∴BF＝BD. ∴AB－BD＝BC－BF＝CF. 新题速递 一轮复习精讲 2. （2025·苏州模拟）如图，CB⊥AD，垂足为B，且AB＝BC，点E 在CD上，AE与BC相交于点F，且AF＝CD. （2）AE与CD有什么位置关系？说明理由. 解：（2）AE⊥CD. 理由如下： 由（1），得Rt△ABF≌Rt△CBD， ∴∠AFB＝∠D. ∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠D＝∠CFE. ∵∠C＋∠D＝90°， ∴∠CFE＋∠C＝90°. ∴∠FEC＝90°，即AE⊥CD. 解：（2）AE⊥CD. 理由如下： 由（1），得Rt△ABF≌Rt△CBD， ∴∠AFB＝∠D. ∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠D＝∠CFE. ∵∠C＋∠D＝90°， ∴∠CFE＋∠C＝90°. ∴∠FEC＝90°，即AE⊥CD. 新题速递 一轮复习精讲 3. （教材母题改编）（2025·高州二模）综合与实践. 【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计. 【项目背景】在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A，B两点间 的距离（AB无法直接测量）.如图1，现提供皮尺（量程30m）、测角仪 等工具，要求设计几何测量方案. 【实践操作】方案一（帽檐观测法）： ①如图2，在B点附近选取观测点C，使A，B，C三点共线； ②调整帽子帽檐（D），使视线通过帽檐上沿恰好对准A点；（忽略眼 睛与帽檐距离） ③保持头部姿势不变，原地旋转180°，此时视线通过帽檐上沿落在 点E处； ④用皮尺测得CE＝a m，BC＝b m. 教材变式新考法 一轮复习精讲 【问题解决】 （1）根据方案一，求A，B两点间的距离AB； 解：（1）在△ADC与△EDC中， ∴△ADC≌△EDC（ASA）. ∴CE＝AC＝a m. ∵BC＝b m， ∴AB＝AC－BC＝（a－b）m. 解：（1）在△ADC与△EDC中， ∴△ADC≌△EDC（ASA）. ∴CE＝AC＝a m. ∵BC＝b m， ∴AB＝AC－BC＝（a－b）m. 教材变式新考法 一轮复习精讲 （2）设计一个与方案一不同的测量方案，在图3中绘制几何图形，标 明需测量的数据（如角度∠1，∠2，线段长度d等），并推导AB的表 达式. 解：（2）如图，在池塘外取一点M，连接AM，BM， 延长AM到D，使MD＝AM，延长BM到E，使ME＝ BM，连接DE并测量出它的长度d m，DE的长度就是 A，B间的距离. 解：（2）如图，在池塘外取一点M，连接AM，BM，延长AM到D， 使MD＝AM，延长BM到E，使ME＝ BM，连接DE并测量出它的长度 d m，DE的长度就是A，B间的距离. 证明：∵MD＝MA，ME＝MB，∠EMD＝∠BMA， ∴△DME≌△AMB. ∴AB＝DE＝d m. 证明：∵MD＝MA，ME＝MB，∠EMD＝∠BMA， ∴△DME≌△AMB. ∴AB＝DE＝d m. 教材变式新考法 一轮复习精讲 $