第2章　方程（组）与不等式（组） 2026年广东中考数学一轮专题复习课件

该初中数学中考复习课件聚焦“一次方程（组）的解法及其应用”核心考点，严格对接中考说明，梳理方程概念、解法及应用三大模块，分析近三年中考中解法类占40%、应用题占50%的权重分布，归纳选择、填空、解答等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题精讲+素养培养”模式，如2025广东模拟球类购买应用题，示范列方程建模步骤，培养模型观念与运算能力。通过《九章算术》算筹图等题例，引导用数学眼光抽象数量关系，帮助学生掌握解题技巧，教师可依此高效规划复习，提升冲刺效果。

第一轮　基础复习　 第一部分　数与代数 第二章　方程（组）与不等式（组） 第5讲　一次方程（组）的解法及其应用 知识点1　 方程及方程的解的概念 （1）方程：含有 的等式叫做方程. （2）方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 未知数 1. （1）有下列式子：①x－5；②x－5＝0；③x－5＞0；④ ＝0.其中 是方程的是 .（填序号） （2）以下是方程x2＝1的解的是 .（填序号） ①x＝2；②x＝1；③x＝0；④x＝－1. （3）（2025·遂宁）已知x＝2是方程3a－2x＝2的解，则a＝ ⁠. ②④ ②④ 2 知识梳理 一轮复习精讲 知识点2　 等式的性质 （1）等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. （2）等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 2. （2025·广州模拟）若a＝b，则下列计算正确的有（　C　） ①a＋m＝b＋m；②a－m＝b－m；③am＝bm；④a＋b＝m＋m. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 知识梳理 一轮复习精讲 知识点3　 一元一次方程的概念及解法 （1）一元一次方程的定义：只含有 　个未知数（元），未知数的 次数是 ，等号两边都是 ，这样的方程叫做一元一次方程. （2）解一元一次方程的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同 类项；⑤系数化为1. 一 1 整式 3. （1）下列是一元一次方程的是（　D　） A. x－3 B. x2－3＝2 C. －3＝2 D. x－3＝2 （2）若关于x的方程xm－2＋10＝3是一元一次方程，则m＝ ⁠. D 3 知识梳理 一轮复习精讲 （3）解方程： ①6x－8＝8x－4； 解：（3）①移项，得6x－8x＝8－4. 合并同类项，得－2x＝4. 系数化为1，得x＝－2. ②（2025·眉山）2（x－1）＝2＋x. 解：（3）②解：去括号，得2x－2＝2＋x. 移项，得2x－x＝2＋2. 合并同类项，得x＝4. 解：（3）①移项，得6x－8x＝8－4. 合并同类项，得－2x＝4. 系数化为1，得x＝－2. 解：（3）②解：去括号，得2x－2＝2＋x. 移项，得2x－x＝2＋2. 合并同类项，得x＝4. 知识梳理 一轮复习精讲 知识点4　 二元一次方程（组） （1）二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次 数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. （2）二元一次方程组的解法：①代入消元法；②加减消元法. 注：方程组的解，写成 如方程组 的解为 知识梳理 一轮复习精讲 4. 解方程组： （1）（2025·广州模拟） 解：（1）把②代入①，得4x－（2x＋5）＝1，解得x＝3. 把x＝3代入②，得y＝11， ∴原方程组的解是 解：（1）把②代入①，得4x－（2x＋5）＝1，解得x＝3. 把x＝3代入②，得y＝11， ∴原方程组的解是 知识梳理 一轮复习精讲 4. 解方程组： （2）（2025·佛山模拟） 解：（2）解：①×2，得2x－4y＝8.③ ②－③，得7y＝－9，解得y＝－ . 将y＝－ 代入①，得x＝ . ∴原方程组的解为 解：（2）解：①×2，得2x－4y＝8.③ ②－③，得7y＝－9，解得y＝－ . 将y＝－ 代入①，得x＝ . ∴原方程组的解为 知识梳理 一轮复习精讲 知识点5　 一次方程（组）的应用 （1）列方程（组）解实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答. （2）应用题的常见类型： ①工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，工作总量＝各部分工作量 之和. ②行程问题：路程＝速度×时间，相遇：s甲＋s乙＝s总，追及：s快－s慢 ＝s原. ③航行问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水. ④利润问题：利润＝售价－进价，利润＝进价×利润率. 知识梳理 一轮复习精讲 5. （1）（2025·广州模拟）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一 道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹 大马能拉3片瓦，小马、大马各有多少匹？若设小马有x匹，大马有y 匹，则下列方程组中正确的是（　C　） A. B. C. D. C （2）（2026·原创）某商品售价300元，八折销售仍获利20％，则该商品 进价为 元. 200 知识梳理 一轮复习精讲 重点1　一元一次方程、二元一次方程组的解法 [例 1]解方程： －1＝ . 　　　　　　 解：去分母，得3（3y－1）－12＝2（5y－7）. 去括号，得9y－3－12＝10y－14. 移项、合并同类项，得－y＝1. 系数化为1，得y＝－1. 解：去分母，得3（3y－1）－12＝2（5y－7）. 去括号，得9y－3－12＝10y－14. 移项、合并同类项，得－y＝1. 系数化为1，得y＝－1. 重点突破 一轮复习精讲 [变式1]（2025·汕头模拟）解方程组： 解： ①－②×2，得13y＝－26，解得y＝－2. 将y＝－2代入②，得x＝1. ∴原方程组的解为 解： ①－②×2，得13y＝－26，解得y＝－2. 将y＝－2代入②，得x＝1. ∴原方程组的解为 重点突破 一轮复习精讲 重点2　一元一次方程（组）的应用 [例 2]（2025·广东模拟）【问题背景】某学校举办田径运动会，要购买 一批排球、足球和篮球共30个（每种球类都要有）作为奖励.经调查发 现，足球的单价比排球的单价贵15元.若买2个足球和5个排球共需要450 元.篮球则根据品牌有两种选择，价格如下表： 篮球品牌 A品牌 B品牌 单价 95元 105元 【知识运用】 （1）请计算排球和足球的单价分别是多少元？ 解：（1）设排球的单价是x元，则足球的单价是（x＋15）元. 根据题意，得2（x＋15）＋5x＝450， 解得x＝60. ∴x＋15＝60＋15＝75. 答：排球的单价是60元，足球的单价是75元. 重点突破 一轮复习精讲 答：排球的单价是60元，足球的单价是75元. （2）现在学校计划购买m个排球，且篮球的数量与排球的数量相同； ①请分别写出选择A品牌篮球和B品牌篮球所需费用；（用含m的代数式 表示） [例 2]（2025·广东模拟）【问题背景】某学校举办田径运动会，要购买 一批排球、足球和篮球共30个（每种球类都要有）作为奖励.经调查发 现，足球的单价比排球的单价贵15元.若买2个足球和5个排球共需要450 元.篮球则根据品牌有两种选择，价格如下表： 解：（2）①∵现在学校计划购买m个排球，且篮球的数量与排球的 数量相同， ∴学校计划购买m个篮球. ∴选择A品牌篮球所需费用为95m元，选择B品牌篮球所需费用为105m元. 篮球品牌 A品牌 B品牌 单价 95元 105元 重点突破 一轮复习精讲 ②若学校刚好用2370元去购买这三种球类，请分析说明选择哪种品牌篮球比较合适，购买方案是什么？ 解：（2）①∵现在学校计划购买m个排球，且篮球的数量与排球的 数量相同， ∴学校计划购买m个篮球. ∴选择A品牌篮球所需费用为95m元，选择B品牌篮球所需费用为 105m元. ②当选择A品牌篮球时，60m＋75（30－2m）＋95m＝2370，解得m ＝24. ∴30－2m＝30－2×24＝－18＜0，不符合题意，舍去. ②当选择A品牌篮球时，60m＋75（30－2m）＋95m＝2370，解得m＝24. ∴30－2m＝30－2×24＝－18＜0，不符合题意，舍去. [例 2]（2025·广东模拟）【问题背景】某学校举办田径运动会，要购买一批排球、足球和篮球共30个（每种球类都要有）作为奖励.经调查发现，足球的单价比排球的单价贵15元.若买2个足球和5个排球共需要450元.篮球则根据品牌有两种选择，价格如下表： （2）现在学校计划购买m个排球，且篮球的数量与排球的数量相同； 当选择B品牌篮球时，60m＋75（30－2m）＋105m＝2370，解得m ＝8. ∴30－2m＝30－2×8＝14. 答：选择B品牌篮球比较合适，购买方案是购买8个排球，14个足球，8个 B品牌篮球. 当选择B品牌篮球时，60m＋75（30－2m）＋105m＝2370，解得m＝8. ∴30－2m＝30－2×8＝14. 答：选择B品牌篮球比较合适，购买方案是购买8个排球，14个足球，8个 B品牌篮球. 篮球品牌 A品牌 B品牌 单价 95元 105元 重点突破 一轮复习精讲 [变式2]（1）（2025·自贡）某小区人行道地砖铺设图案如图所示.用10块 相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形，若大平行四边形短边 长40cm，则小地砖短边长（　B　） A. 7cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm B 重点突破 一轮复习精讲 （2）（2025·北京）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作 一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长 的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风 筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1∶1∶2.已知单根 膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条 长的 ，AB，CD的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高. 重点突破 一轮复习精讲 解：（2）设胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为 （5x－10）cm，BC＝ （5x－10）cm，AB＝CD＝xcm，头部高为x cm，尾部高为2xcm，这只风筝的骨架的总高为4xcm， 由AD＝AB＋BC＋CD， 得5x－10＝x＋ （5x－10）＋x，解得x＝20. ∴4x＝4×20＝80. 答：这只风筝的骨架的总高为80cm. 解：（2）设胸腹高为xcm，则单根膀条长为5xcm，门条AD的长度为 （5x－10）cm，BC＝ （5x－10）cm，AB＝CD＝xcm，头部高为x cm，尾部高为2xcm，这只风筝的骨架的总高为4xcm， 由AD＝AB＋BC＋CD， 得5x－10＝x＋ （5x－10）＋x，解得x＝20. ∴4x＝4×20＝80. 答：这只风筝的骨架的总高为80cm. 重点突破 一轮复习精讲 1. 已知 是方程ax＋by＝3的解，则代数式2a＋4b－5的值为 ⁠. 1 2. （2025·连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日 至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野 鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相 遇？”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（　A　） A. x＋ x＝1 B. x－ x＝1 C. 7x＋9x＝1 D. 9x－7x＝1 A 新题速递 一轮复习精讲 3. （2025·黑龙江）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元 购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，则购 买方案共有（　C　） A. 6种 B. 7种 C. 4种 D. 5种 C 新题速递 一轮复习精讲 4. （2025·台湾）商店中贩卖一款包含A，B两种图案的艺术纸片组合 包，形状分别为16cm×5cm，18cm×5cm的长方形，如图1. 小灿打算在不裁切纸片的情况下，将这两种艺术纸片以紧密相邻的方式 贴成图2的长方形，其中奇数层为A图案，偶数层为B图案，且最后一层 为A图案，而相同图案的艺术纸片皆为相同的方向. 请根据上述信息回答下列问题： （1）以上述方式贴成的长方形，第一层最少有几个A图案？ 解：（1）16与18的最小公倍数为144， 144÷16＝9（个）. 答：以上述方式贴成的长方形，第一层最少有9个A图案. 解：（1）16与18的最小公倍数为144， 144÷16＝9（个）. 答：以上述方式贴成的长方形， 第一层最少有9个A图案. 新题速递 一轮复习精讲 小灿打算在不裁切纸片的情况下，将这两种艺术纸片以紧密相邻的方式贴成图2的长方形，其中奇数层为A图案，偶数层为B图案，且最后一层为A图案，而相同图案的艺术纸片皆为相同的方向. 请根据上述信息回答下列问题： 解：（1）16与18的最小公倍数为144，144÷16＝9（个）.答：以上述方成的长方形，第一层最少有9个A图案. （2）已知每个组合包中A，B两种图案的艺术纸片数量比为4∶3，若小灿想购买一些组合包，贴成图2的长方形，其中第一层的A图案数量与（1）中求出之值相同，判断他是否可能恰好把购买的艺术纸片用完？请说明理由. 解：（2）不可能.理由如下： 设A图案的层数为m，B图案的层数为n. 根据题意，得 解得 ∵m，n为正整数，∴不可能. 解：（2）不可能.理由如下： 设A图案的层数为m，B图案的层数为n. 根据题意，得 解得 ∵m，n为正整数，∴不可能. 4. （2025·台湾）商店中贩卖一款包含A，B两种图案的艺术纸片组合包，形状分别为16cm×5cm，18cm×5cm的长方形，如图1. 新题速递 一轮复习精讲 5. （教材母题改编）（2025·广州模拟）《九章算术》中的算筹图是竖排 的，现在改为横排.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x， y的系数与相应的常数项.把如图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程 组形式表示出来，就是 在如图2所示的算筹图中有一个 图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆 盖的图形为（　C　） A. B. C. D. C 教材变式新考法 一轮复习精讲 $ 第一轮　基础复习　 第一部分　数与代数 第二章　方程（组）与不等式（组） 第8讲　一元一次不等式（组）的解法与应用 知识点1　 不等式的概念及性质 （1）不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式. （2）不等式的基本性质： ①若a＞b，则a±c＞b±c； ②若a＞b，c＞0，则ac＞bc ； ③若a＞b，c＜0，则ac＜bc . 知识梳理 一轮复习精讲 1. （1）（2025·广州模拟）已知a＞b，则下列各式中一定成立的是 （　B　） A. a－b＜0 B. ＞ C. ac2＞bc2 D. 2a－1＜2b－1 （2）（2025·广州模拟）若x＜y，且ax＜ay，则a的值可能是（　B　） A. 0 B. 1 C. －1 D. －2 B B 知识梳理 一轮复习精讲 知识点2　 一元一次不等式的概念及解法 （1）概念：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一 次不等式. （2）步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数 化为1. （3）解集 知识梳理 一轮复习精讲 2. （1）（2025·东莞模拟）关于x的不等式中，某个不等式的解集如图 所示，则这个不等式的解集为（　A　） A. x≥－1 B. x≤－1 C. x＞－1 D. x＜－1 （2）（2025·广州二模）不等式2x－1＜7的解集是 ⁠. （3）（2025·广东模拟）不等式－2x－3＞0的最大整数解是 ⁠. A x＜4 －2 知识梳理 一轮复习精讲 （4）解不等式： ①x－5（x＋1）≤7； 解：（4）①去括号，得x－5x－5≤7. 移项、合并同类项，得－4x≤12. 系数化为1，得x≥－3. ②（2025·凉山州） － ≤1. 解：（4）②解：去分母，得3x－2－2（x＋3）≤6. 去括号，得3x－2－2x－6≤6. 移项、合并同类项，得x≤14. 解：（4）①去括号，得x－5x－5≤7. 移项、合并同类项，得－4x≤12. 系数化为1，得x≥－3. 解：（4）②解：去分母，得3x－2－2（x＋3）≤6. 去括号，得3x－2－2x－6≤6. 移项、合并同类项，得x≤14. 知识梳理 一轮复习精讲 知识点3　 解一元一次不等式组的步骤 （1）分别求每个不等式的解集； （2）画数轴表示每个解集，确定公共部分； （3）写出不等式组的解集. 一元一次不等式组（a＜b） 图示 解集 规律 x＞b 同大取大 x＜a 同小取小 知识梳理 一轮复习精讲 一元一次不等式组（a＜b） 图示 解集 规律 a＜x＜b 大小小大中间找 无解 大大小小解不了 知识梳理 一轮复习精讲 3. （1）（2025·广东模拟）进行心肺复苏急救措施时，一般胸外心脏按 压速度x（单位：次/min）的范围如图所示，则x的取值范围可表示 为 ⁠. 100≤x≤120 知识梳理 一轮复习精讲 ①（2025·山西） 解：（2）①解不等式①，得x＞2. 解不等式②，得x≤3. ∴不等式组的解集为2＜x≤3. 解：（2）①解不等式①，得x＞2. 解不等式②，得x≤3. ∴不等式组的解集为2＜x≤3. ②（2025·东莞模拟） 解：（2）②解：解不等式①，得x＞4. 解不等式②，得x≥－5. ∴不等式组的解集为x＞4. 解：（2）②解：解不等式①，得x＞4. 解不等式②，得x≥－5. ∴不等式组的解集为x＞4. （2）解不等式组： 知识梳理 一轮复习精讲 知识点4　 一元一次不等式（组）的应用 （1）基本步骤：①审题；②设未知数；③列不等式（组）并求解；④检 验并写出答案. （2）解题中常见词语与对应符号：①“超过”“大于”等：＞；②“小 于”“低于”“少于”等：＜；③“至少”“不小于”“不少于”等： ≥；④“不超过”“最多”“不大于”等：≤. 知识梳理 一轮复习精讲 4. （1）（2025·汕头模拟）如图，书架长102cm，在该书架上按图示方 式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚1.2cm，每本语文书厚 1.5cm.如果书架上已摆放30本语文书，那么数学书最多还可以摆的本数 为（　C　） A. 45 B. 46 C. 47 D. 48 C （2）（2025·清远二模）某商场花费950元购买水果100斤，销售中有5％ 的水果正常损耗，为了避免亏本，销售单价至少应该定为 元/kg. 20 知识梳理 一轮复习精讲 重点1　不等式组的解法 [例 1]（2025·威海改编）解不等式组 把它的 解集表示在数轴上，并写出所有整数解. 解：解不等式①，得x＞－4. 解：解不等式①，得x＞－4. 解不等式②，得x≤3. ∴不等式组的解集为－4＜x≤3. 把解集表示在数轴上，如图： 由数轴，可知它的所有整数解为－3，－2，－ 1，0，1，2，3. 解不等式②，得x≤3. ∴不等式组的解集为－4＜x≤3. 把解集表示在数轴上，如图： 由数轴，可知它的所有整数解为－3，－2，－1，0，1，2，3. 重点突破 一轮复习精讲 重点2　不等式（组）的实际应用 [例 2]（2025·东营模拟）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销. 某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是 1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶 单价是B款哪吒玩偶的2倍. （1）A，B两款哪吒玩偶的单价分别是多少元？ 解：（1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是2x元. 根据题意，得 － ＝50，解得x＝8. 经检验，x＝8是所列方程的解，且符合题意. ∴2x＝2×8＝16（元）. 答：A款哪吒玩偶的单价是16元，B款哪吒玩偶的单价是8元. 重点突破 一轮复习精讲 [例 2]（2025·东营模拟）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销. 某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是 1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶 单价是B款哪吒玩偶的2倍. （2）为满足消费者需求，在A，B两款玩偶单价不变的条件下，该超市 准备再次购进A，B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪 吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 重点突破 一轮复习精讲 解：（2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进（100－m）个B款 哪吒玩偶. 根据题意，得 解得 ≤m≤ . 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35，36，37. ∴共有4种进货方案. 答：有4种进货方案. 解：（2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进（100－m）个B款 哪吒玩偶. 根据题意，得 解得 ≤m≤ . 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35，36，37. ∴共有4种进货方案. 答：有4种进货方案. 重点突破 一轮复习精讲 [变式]（2025·深圳模拟）【问题背景】嘉淇所在的班级开展知识竞赛， 需要去商店购买A，B两种款式的盲盒作为奖品. 素 材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元. 素 材2 若该商店开展甲、乙两种促销方案：①甲方案：用35元购买会员卡 成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八 折出售（已知嘉淇在此之前不是该商店的会员）；②乙方案：购买 商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售且包邮. 重点突破 一轮复习精讲 【问题解决】（1）该商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销 售单价各是多少元？ 解：（1）设该商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒 销售单价为y元， 根据题意，得 解得 答：该商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒销售单 价为8元. 解：（1）设该商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒 销售单价为y元， 根据题意，得 解得 答：该商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒销售单 价为8元. 重点突破 一轮复习精讲 （2）嘉淇计划在促销期间购买A，B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个 （0＜m＜40），求m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？ 解：（2）35＋0.8×10m＋0.8×8×（40－m）＝（1.6m＋291） （元）， 0.9×10m＋0.9×8×（40－m）＝（1.8m＋288）（元）， 由1.6m＋291＜1.8m＋288，得m＞15， ∴15＜m＜40. 答：当15＜m＜40时，采用甲方案购买更合算. 解：（2）35＋0.8×10m＋0.8×8×（40－m）＝（1.6m＋291）（元）， 0.9×10m＋0.9×8×（40－m）＝（1.8m＋288）（元）， 由1.6m＋291＜1.8m＋288，得m＞15， ∴15＜m＜40. 答：当15＜m＜40时，采用甲方案购买更合算. 重点突破 一轮复习精讲 1. （2025·湛江四模）不等式组 的解集在数轴上可表示为 （　A　） A B C D A 2. （2025·珠海一模）在平面直角坐标系中，点A（2a＋4，6－2a）在 第四象限，则a的取值范围是 ⁠. 3. （2025·黑龙江）关于x的不等式组 恰有3个整数解，则 a的取值范围是 ⁠. a＞3 －2≤a＜－1 新题速递 一轮复习精讲 4. （2025·清远二模）今年1月，受国际油价影响，加油成本不断升高.某 茶叶销售公司决定将公司的运输货车换装为新能源货车，换装后，公司 发现运输成本降低了.销售公司需要将旗下英红5号，英红9号两款产品定 期运往广州某大型超市代销，每次运输产品的箱数不变，两种商品原来 的运费和现在的运费（单位：元/箱）如下表所示： 品种 英红5号 英红9号 总运费 换车前运费 9 5 2400 换车后运费 6 4 1800 （1）请分别求出每次运送的英红5号，英红9号各有多少箱？ 解：（1）设每次运送的英红5号有x箱，英红9号有y箱， 根据题意，得 解得 ∴每次运送的英红5号有100箱，英红9号有300箱. 解：（1）设每次运送的英红5号有x箱，英红9号有y箱， 根据题意，得 解得 ∴每次运送的英红5号有100箱，英红9号有300箱. 新题速递 一轮复习精讲 （2）换车后，代销超市追加订单，每次运送的两种茶叶总箱数共增加 200箱，但增加箱数后，每次运送英红5号的运费不能超过英红9号的运 费，请问最多可以增加多少箱英红5号？ 解：（2）设运送的英红5号增加a箱，则英红9号增加（200－a）箱， 根据题意，得6（100＋a）≤4（300＋200－a）， 解得a≤140. ∴最多可以增加140箱英红5号. 解：（2）设运送的英红5号增加a箱，则英红9号增加（200－a）箱， 根据题意，得6（100＋a）≤4（300＋200－a）， 解得a≤140. ∴最多可以增加140箱英红5号. 4. （2025·清远二模）今年1月，受国际油价影响，加油成本不断升高.某 茶叶销售公司决定将公司的运输货车换装为新能源货车，换装后，公司 发现运输成本降低了.销售公司需要将旗下英红5号，英红9号两款产品定 期运往广州某大型超市代销，每次运输产品的箱数不变，两种商品原来 的运费和现在的运费（单位：元/箱）如下表所示： 品种 英红5号 英红9号 总运费 换车前运费 9 5 2400 换车后运费 6 4 1800 新题速递 一轮复习精讲 5. （2025·台湾）如图所示是金银河影城的价目表.某社团16人去此影城 看电影，打算以比赛奖金6000元购买电影票、爆米花与饮料.若要让每人 拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买爆米花（　C　） A. 3盒 B. 4盒 C. 5盒 D. 6盒 C 教材变式新考法 一轮复习精讲 $ 第一轮　基础复习　 第一部分　数与代数 第二章　方程（组）与不等式（组） 第6讲　一元二次方程的解法及其应用 知识点1　 一元二次方程及其解法 （1）一般形式：ax2＋bx＋c＝0 （其中a，b，c为常数，且a≠0）. 知识梳理 一轮复习精讲 （2）一元二次方程的解法. 方法 范围 举例 方程的解 直接开 平方法 x2＝m或（x＋n）2 ＝m形式的方程 x2＝9 x1＝3，x2＝－3 （x＋1）2＝4 x1＝1，x2＝－3 配方 法 易变形为a（x＋h）2＝k形式的方程 x2－2x－99＝0 x1＝11，x2＝－9 公式法 所有满足b2－4ac≥0 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 （a≠0，b2－4ac≥0） x＝ 因式分解法 易变形为（x－m） （x－n）＝0 形式的方程 （x－m）（x－n）＝0 x1＝m，x2 ＝n 知识梳理 一轮复习精讲 1. （1）（2025·深圳模拟）方程x（x－6）＝0的根是（　B　） A. x1＝0，x2＝－6 B. x1＝0，x2＝6 C. x＝6 D. x＝0 （2）（2025·东莞模拟）用配方法解方程x2－6x＋1＝0时，配方后正确 的是（　D　） A. （x＋3）2＝10 B. （x＋3）2＝8 C. （x－3）2＝10 D. （x－3）2＝8 B D （3）（2025·达州）已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则m 的值为 ⁠. 2 知识梳理 一轮复习精讲 （4）解方程： ①（2025·广州模拟）x2－6x＋8＝0； 解：（4）①因式分解，得（x－2）（x－4）＝0， ∴x－2＝0或x－4＝0. ∴x1＝2，x2＝4. 解：（4）①因式分解，得（x－2）（x－4）＝0， ∴x－2＝0或x－4＝0. ∴x1＝2，x2＝4. ②（2025·深圳模拟）2x2－3x－1＝0. 解：（4）②解：∵a＝2，b＝－3，c＝－1， ∴Δ＝b2－4ac＝（－3）2－4×2×（－1）＝17＞0. ∴x＝ ＝ . ∴x1＝ ，x2＝ . 解：（4）②解：∵a＝2，b＝－3，c＝－1， ∴Δ＝b2－4ac＝（－3）2－4×2×（－1）＝17＞0. ∴x＝ ＝ . ∴x1＝ ，x2＝ . 知识梳理 一轮复习精讲 知识点2　 一元二次方程根的判别式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式为b2－4ac，也把 它记作Δ＝b2－4ac. （1）Δ＞0⇔一元二次方程有两个 的实数根； （2）Δ＝0⇔一元二次方程有两个 的实数根； （3）Δ＜0⇔一元二次方程 ； （4）Δ≥0⇔一元二次方程有实数根. 注意：题中如果出现“一元二次方程有解”“有实数根”或“有两个 根”，则Δ≥0. 不相等 相等 无实数根 知识梳理 一轮复习精讲 2. （1）（2025·广东）不解方程，判断一元二次方程2x2＋x－1＝0的根 的情况是 ⁠. （2）（2025·内江）若关于x的一元二次方程（a－1）x2＋2x＋1＝0有 实数根，则实数a的取值范围是（　C　） A. a≤2 B. a＜2 C. a≤2且a≠1 D. a＜2且a≠1 方程有两个不相等的实数根 C 知识梳理 一轮复习精讲 知识点3　 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1 ＋x2＝－ ，x1x2＝ . 知识梳理 一轮复习精讲 3. （1）（2025·湖北）一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1， x2，下列结论正确的是（　D　） A. x1＋x2＝－4 B. x1＋x2＝3 C. x1x2＝4 D. x1x2＝3 （2）（2025·广东模拟）设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两 根，则 ＋ ＝（　C　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 （3）（2025·苏州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0 的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝ ⁠. D C －3 知识梳理 一轮复习精讲 知识点4　 一元二次方程的实际应用 常见类型 等量关系 增长率问题 设a为基础数量，x为平均增长（降低）率，b为增长 （降低）后的量，n为增长（降低）的次数，则a（1＋ x）n＝b或a（1－x）n＝b 利率问题 本息和＝本金＋利息，利息＝本金×年利率×年数 销售利润问题 利润＝售价－成本，利润率＝ ×100％ 面积问题 S矩形＝长×宽，S三角形＝ ×底×高 知识梳理 一轮复习精讲 握手问题（单 循环） 总次数＝ （n为参与握手的总人数） 互赠礼物问题 互赠礼物总份数＝n（n－1）（n为互赠礼物的总人 数） 知识梳理 一轮复习精讲 4. （1）（2025·广东）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制 造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万 元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长 率为x，可列出的方程为（　A　） A. 2500（1＋x）2＝9100 B. 2500（1－x）2＝9100 C. 2500（1－2x）2＝9100 D. 2500（1＋2x）2＝9100 （2）（2025·深圳模拟）在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都 要比赛一场，共比赛36场.则参赛的球队数为（　C　） A. 6个 B. 8个 C. 9个 D. 12个 A C 知识梳理 一轮复习精讲 重点1　一元二次方程的解法 [例 1]（2025·广州模拟）解方程：x（2x－3）＝2x－3. 　　　 解：移项，得x（2x－3）－（2x－3）＝0. 因式分解，得（2x－3）（x－1）＝0， ∴2x－3＝0，x－1＝0. 解得x1＝ ，x2＝1. [变式1]解方程：（2x＋1）2＝（x－3）2. 解：开平方，得2x＋1＝±（x－3）， 解：移项，得x（2x－3）－（2x－3）＝0. 因式分解，得（2x－3）（x－1）＝0， ∴2x－3＝0，x－1＝0. 解得x1＝ ，x2＝1. 解：开平方，得2x＋1＝±（x－3）， 解得x1＝－4，x2＝ . 解得x1＝－4，x2＝ . 重点突破 一轮复习精讲 重点2　一元二次方程的应用 [例 2]（2025·深圳模拟）某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件 50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商 家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多 卖出20件. （1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则每件 儿童服装应降价多少元？ 解：（1）设每件儿童服装应降价x元. 根据题意，得（80－50－x）（200＋20x）＝7500， 解得x1＝5，x2＝15. ∵尽可能让利于顾客， ∴x＝15. 答：每件儿童服装应降价15元. 解：（1）设每件儿童服装应降价x元. 根据题意，得（80－50－x）（200＋20x）＝7500， 解得x1＝5，x2＝15. ∵尽可能让利于顾客， ∴x＝15. 答：每件儿童服装应降价15元. 重点突破 一轮复习精讲 （2）该店铺每周可能盈利10000元吗？请说明理由. 解：（2）该店铺每周不可能盈利10000元.理由如下： 设该店铺每周可能盈利10000元，则（80－50－x）（200＋20x）＝ 10000， 整理，得x2－20x＋200＝0， ∵Δ＝（－20）2－4×200＝－400＜0， ∴所列方程没有实数根. 故该店铺每周不能盈利10000元. 解：（2）该店铺每周不可能盈利10000元.理由如下： 设该店铺每周可能盈利10000元，则（80－50－x）（200＋20x）＝10000， 整理，得x2－20x＋200＝0， ∵Δ＝（－20）2－4×200＝－400＜0， ∴所列方程没有实数根. 故该店铺每周不能盈利10000元. [例 2]（2025·深圳模拟）某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件 50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商 家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每件降低1元，每周可多 卖出20件. 重点突破 一轮复习精讲 [变式2]（2025·威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园.为 了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴 影部分）.小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小 路的宽度. 解：设小路的宽度为xm，则9块矩形地块可合成长为（20－4x）m，宽 为（14－4x）m的矩形. 根据题意，得（20－4x）（14－4x）＝24×9， 解：设小路的宽度为xm，则9块矩形地块可合成长为（20－4x）m，宽 为（14－4x）m的矩形. 根据题意，得（20－4x）（14－4x）＝24×9， 解得x1＝ ，x2＝8（不符合题意，舍去）. 答：小路的宽度为 m. 解得x1＝ ，x2＝8（不符合题意，舍去）. 答：小路的宽度为 m. 重点突破 一轮复习精讲 重点3　一元二次方程根的判别式及韦达定理 [例 3]（2025·惠州模拟）关于x的方程mx2＋（m＋2）x＋ －1＝0有两 个不相等的实数根. （1）求实数m的取值范围； 解：（1）根据题意，得 解得m＞－ 且m≠0. ∴实数m的取值范围为m＞－ 且m≠0. 解：（1）根据题意，得 解得m＞－ 且m≠0. ∴实数m的取值范围为m＞－ 且m≠0. 重点突破 一轮复习精讲 解：（2）不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0.理由 如下： 设关于x的方程mx2＋（m＋2）x＋ －1＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1＋x2＝－ ，x1x2＝ . ∴ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝0，解得m＝－2. 由（1），得m＞－ 且m≠0， ∴m＝－2不符合题意，舍去. ∴不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0. [例 3]（2025·惠州模拟）关于x的方程mx2＋（m＋2）x＋ －1＝0有两 个不相等的实数根. （2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在， 求出m的值；若不存在，请说明理由. 重点突破 一轮复习精讲 [变式3]已知关于x的一元二次方程x2－（2m－1）x－3m2＋m＝0. （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； 解：（1）证明：Δ＝[－（2m－1）]2－4（－3m2＋m）＝16m2－8m＋1 ＝（4m－1）2≥0. ∴无论m为何值，方程总有实数根. （1）证明：Δ＝[－（2m－1）]2－4（－3m2＋m）＝16m2－8m＋1 ＝（4m－1）2≥0. ∴无论m为何值，方程总有实数根. （2）若x1，x2是方程的两个实数根，且（x1＋1）（x2＋1）＝－6，求 m的值. 解：（2）由韦达定理，得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝－3m2＋m. ∵（x1＋1）（x2＋1）＝－6， ∴x1x2＋x1＋x2＋1＝－6，即－3m2＋m＋2m－1＋1＝－6. 解得m1＝－1，m2＝2. 故m的值为－1或2. 解：（2）由韦达定理，得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝－3m2＋m. ∵（x1＋1）（x2＋1）＝－6， ∴x1x2＋x1＋x2＋1＝－6，即－3m2＋m＋2m－1＋1＝－6. 解得m1＝－1，m2＝2. 故m的值为－1或2. 重点突破 一轮复习精讲 1. （2025·北京）若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的 实数根，则实数a的值为（　C　） A. －4 B. －1 C. 1 D. 4 2. （2025·梅州模拟）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中的a，b，c满 足a＋b＋c＝0，则方程必有根（　B　） A. x＝0 B. x＝1 C. x＝－1 D. x＝±1 C B 3. （2025·珠海三模）关于x的一元二次方程（x－1）2＝a有两个相等的 实数根，则a＝ ⁠. 4. （2025·广安）若方程x2－5x－24＝0的两根分别为a和b，则代数式 a2－4a＋b的值为 ⁠. 0 29 新题速递 一轮复习精讲 5. （2025·东莞二模）【问题情境】小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价 格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A， B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记 录如右下表： 【模型建立】（1）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价之间 的关系； 花卉店 售价/（元/盆） 日销售量/盆 A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 解：（1）观察表格可知日销售量是售价的一次函数. 设日销售量为y盆，售价为x元/盆，则有y＝kx＋b. 把（20，50），（30，30）代入y＝kx＋b， 得 解得 ∴日销售量与售价之间的关系为y＝－2x＋90. 解：（1）观察表格可知日销售量是售价的一次函数. 设日销售量为y盆，售价为x元/盆，则有y＝kx＋b. 把（20，50），（30，30）代入y＝kx＋b， 得 解得 ∴日销售量与售价之间的关系为y＝－2x＋90. 新题速递 一轮复习精讲 【拓广应用】（2）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，要使每 天获得400元的利润，应如何定价？ 5. （2025·东莞二模）【问题情境】小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价 格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A， B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记 录如右下表： 解：（2）∵要使每天获得400元的利润， ∴（x－15）（－2x＋90）＝400，解得x1＝25，x2＝35. ∴要使每天获得400元的利润，应定价为25元/盆或35元/盆. 解：（2）∵要使每天获得400元的利润， ∴（x－15）（－2x＋90）＝400， 解得x1＝25，x2＝35. ∴要使每天获得400元的利润，应定价为25元/盆或35元/盆. 花卉店 售价/（元/盆） 日销售量/盆 A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 新题速递 一轮复习精讲 6. （教材母题改编）（2025·深圳模拟）学校准备利用操场开元旦晚会， 师生坐在足球场区域，已知足球场宽度为72 m（观众席不一定要占满球 场宽度），其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众 席，并在观众席内按行、列摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m2 （如图所示），且观众席内的区域恰好都安排了座位. （1）若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求 x的最小值； 解：（1）∵移动围栏的总长为140m，且观 众席内有x行座椅， ∴每行的座椅数为（140－2x）个. ∵140－2x≤72，∴x≥34. ∴x的最小值为34. 解：（1）∵移动围栏的总长为140m，且观众席内有x行座椅， ∴每行的座椅数为（140－2x）个. ∵140－2x≤72，∴x≥34. ∴x的最小值为34. 教材变式新考法 一轮复习精讲 6. （教材母题改编）（2025·深圳模拟）学校准备利用操场开元旦晚会， 师生坐在足球场区域，已知足球场宽度为72 m（观众席不一定要占满球 场宽度），其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众 席，并在观众席内按行、列摆放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m2 （如图所示），且观众席内的区域恰好都安排了座位. （2）若全校师生共2400人，那么座位够坐吗？请说明理由. 解：（2）座位够坐.理由如下： 根据题意，得x（140－2x）＝2400， 整理，得x2－70x＋1200＝0， 解得x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝40. ∴若全校师生共2400人，那么座位够坐. 解：（2）座位够坐.理由如下： 根据题意，得x（140－2x）＝2400， 整理，得x2－70x＋1200＝0， 解得x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝40. ∴若全校师生共2400人，那么座位够坐. 教材变式新考法 一轮复习精讲 $ 第一轮　基础复习　 第一部分　数与代数 第二章　方程（组）与不等式（组） 第7讲　分式方程的解法及其应用 知识点1　 分式方程的概念及其解法 （1）分式方程的概念：分母中含有 的方程叫做分式方程. （2）分式方程的解法： 未知数 知识梳理 一轮复习精讲 1. （1）下列是分式方程的是（　B　） A. 2x－1＝3 B. ＝3 C. 22－1＝3 D. ＝3 （2）（2025·湖南）将分式方程 ＝ 去分母后得到的整式方程为 （　A　） A. x＋1＝2x B. x＋2＝1 C. 1＝2x D. x＝2（x＋1） B A 知识梳理 一轮复习精讲 （3）解方程： ①（2025·广州模拟） － ＝0； 解：（3）①方程两边都乘x（x－2），得2（x－2）－3x＝0， 解得x＝－4. 经检验，当x＝－4时，x（x－2）≠0， ∴x＝－4是原分式方程的根. 解：（3）①方程两边都乘x（x－2），得2（x－2）－3x＝0， 解得x＝－4. 经检验，当x＝－4时，x（x－2）≠0， ∴x＝－4是原分式方程的根. ②（2025·广州模拟） ＋1＝ . 解：（3）②解：方程两边都乘x－3，得2x＋x－3＝－6， 解得x＝－1. 经检验，当x＝－1时，x－3≠0， ∴x＝－1是原分式方程的根. 解：（3）②解：方程两边都乘x－3，得2x＋x－3＝－6， 解得x＝－1. 经检验，当x＝－1时，x－3≠0， ∴x＝－1是原分式方程的根. 知识梳理 一轮复习精讲 知识点2　 分式方程的应用 实际问题 列分式方程， 解方程 作答. （1）销 售问题 知识梳理 一轮复习精讲 （2）工程问题：工作时间＝ . （3）行程问题：时间＝ . 知识梳理 一轮复习精讲 2. （2025·深圳模拟）“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次他和 学生到离他们住的驿站30 km的书院参观，学生步行出发1 h后，孔子坐 牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设 学生步行的速度为每小时x km，则可列方程为（　A　） A. ＝ ＋1 B. ＝ C. ＝ －1 D. ＝ A 知识梳理 一轮复习精讲 重点1　分式方程的解法 [例 1]解方程： ＝ ＋1. 解：方程两边都乘3（x－2），得3＝x＋1＋3（x－2）， 解得x＝2. 经检验，当x＝2时，3x－6＝0， ∴x＝2是原分式方程的增根. ∴原方程无解. 解：方程两边都乘3（x－2），得3＝x＋1＋3（x－2）， 解得x＝2. 经检验，当x＝2时，3x－6＝0， ∴x＝2是原分式方程的增根. ∴原方程无解. 重点突破 一轮复习精讲 [变式1]（2025·汕头模拟）解方程： ＝ ＋1. 解：方程两边都乘（x＋1）（x－1）， 得（x－1）2＝3＋（x＋1）（x－1）， 则x2－2x＋1＝3＋x2－1. 解得x＝－ . 经检验，当x＝－ 时，（x＋1）（x－1）≠0， ∴x＝－ 是原分式方程的根. 解：方程两边都乘（x＋1）（x－1）， 得（x－1）2＝3＋（x＋1）（x－1）， 则x2－2x＋1＝3＋x2－1. 解得x＝－ . 经检验，当x＝－ 时，（x＋1）（x－1）≠0， ∴x＝－ 是原分式方程的根. 重点突破 一轮复习精讲 重点2　分式方程的应用 [例 2]（2025·扬州）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用 价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的 倍，且用100元 购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个.求这两款 书签的单价. 解：设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是 x元. 根据题意，得 － ＝3，解得x＝16. 经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意， ∴ x＝ ×16＝20. 答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元. 解：设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是 x元. 根据题意，得 － ＝3，解得x＝16. 经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意， ∴ x＝ ×16＝20. 答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元. 重点突破 一轮复习精讲 [变式2]（2025·东莞模拟）全球人工智能产业发展迅速，智能芯片市场需 求大增.某企业计划升级旗下A，B两种制程的智能芯片生产线，共40条. （1）当地政府有补贴政策，升级一条A制程生产线补贴4万元，升级一 条B制程生产线补贴3万元.完成升级后该企业共获145万元补贴，那么 A，B两种制程的生产线各有多少条； 解：（1）设A制程生产线有x条，则B制程生产线有（40－x）条， 根据题意，得4x＋3（40－x）＝145，解得x＝25. ∴40－x＝40－25＝15（条）. 答：A制程生产线有25条，B制程生产线有15条. 解：（1）设A制程生产线有x条，则B制程生产线有（40－x）条， 根据题意，得4x＋3（40－x）＝145，解得x＝25. ∴40－x＝40－25＝15（条）. 答：A制程生产线有25条，B制程生产线有15条. 重点突破 一轮复习精讲 [变式2]（2025·东莞模拟）全球人工智能产业发展迅速，智能芯片市场需 求大增.某企业计划升级旗下A，B两种制程的智能芯片生产线，共40条. （2）升级一条A制程生产线比B制程生产线多花8万元，用320万元升级A 制程生产线的数量与用300万元升级B制程生产线的数量相同.问拿到145 万元补贴后，完成40条生产线升级还需筹措多少资金？ 解：（2）设升级一条A制程生产线需花费y万元，则升级一条B制程生产 线需花费（y－8）万元， 根据题意，得 ＝ ，解得y＝128. ∴25y＋15（y－8）－145＝25×128＋15×（128－8）－145＝4855（万 元）. 答：完成40条生产线升级还需筹措4855万元资金. 解：（2）设升级一条A制程生产线需花费y万元，则升级一条B制程生产 线需花费（y－8）万元， 根据题意，得 ＝ ，解得y＝128. ∴25y＋15（y－8）－145＝25×128＋15×（128－8）－145＝4855（万元）. 答：完成40条生产线升级还需筹措4855万元资金. 重点突破 一轮复习精讲 1. （2025·汕尾模拟）若关于x的分式方程 ＝ 的解为x＝3，则m的 值为（　D　） A. －3 B. －9 C. 3 D. 9 D 2. （2025·佛山模拟）DeepSeek掀起了“人工智能”的热潮，某单位利 用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据.已知R2单 独处理数据的时间比R1少2 h，若两模型合作处理，仅需1.5 h即可完成. 设R2单独处理需要x h，则下列方程正确的是（　B　） A. ＋ ＝1.5 B. ＋ ＝ C. ＋ ＝1.5 D. ＋ ＝ B 3. （2025·惠州二模）若关于x的分式方程 ＝ 无解，则m的值为 ⁠. 0或2 新题速递 一轮复习精讲 4. （2025·深圳模拟）近日，在杭州市余杭区经济高质量发展大会上， Rokid创始人戴着一副AR＋AI眼镜站在演讲台上.他没有低头看讲稿，也 没有使用传统的提词器，就顺利完成了一场脱稿演讲.而当他说出“我的 发言稿就在眼镜里，翻页通过手上的戒指完成”之后，“AI眼镜”也瞬 间成为网络热词.请你根据以下素材，探索完成任务： 素 材1 某科技公司推出的AI智能眼镜“灵眸X”和“智视Pro”因其宛如 一台集摄像头、传感器、处理器和显示屏于一体的超迷你电脑， 成为爆款.某科技商店被授权出售这两款眼镜，“灵眸X”的标价 比“智视Pro”的标价贵700元，调查发现，商店不做活动时，用 6000元购买“灵眸X”的数量与用3200元购买“智视Pro”的数量 相同. 新题速递 一轮复习精讲 素 材2 某公司计划购买这两款眼镜共20副，作为优秀员工的奖励，预算 为20000元. 素 材3 AI眼镜还处于起步阶段，为了让AI眼镜走近千家万户，商店此时 正在降价促销：“灵眸X”按原价的八折出售，“智视Pro”比原 价优惠50元. 新题速递 一轮复习精讲 问题解决 任务1 （1）求每副“灵眸X”眼镜和“智视Pro”眼镜的标价； 解：（1）设每副“灵眸X”眼镜的标价为x元，则“智视Pro”眼镜的标 价为（x－700）元. 根据题意，得 ＝ ，解得x＝1500. 经检验，x＝1500是所列方程的解，且符合题意. ∴x－700＝800（元）. 答：每副“灵眸X”眼镜的标价为1500元，“智视Pro”眼镜的标价为 800元. 解：（1）设每副“灵眸X”眼镜的标价为x元，则“智视Pro”眼镜的标 价为（x－700）元. 根据题意，得 ＝ ，解得x＝1500. 经检验，x＝1500是所列方程的解，且符合题意. ∴x－700＝800（元）. 答：每副“灵眸X”眼镜的标价为1500元，“智视Pro”眼镜的标价为 800元. 新题速递 一轮复习精讲 问题解决 任务2 （2）最多能购买多少副“灵眸X”眼镜？ 解：（2）设能购买m副“灵眸X”眼镜，则能购买（20－m）副“智视 Pro”眼镜， 根据题意，得1500×0.8m＋（800－50）×（20－m）≤20000， 解得m≤ . ∵m为正整数，∴m的最大值为11. 答：最多能购买11副“灵眸X”眼镜. 解：（2）设能购买m副“灵眸X”眼镜，则能购买（20－m）副“智视 Pro”眼镜， 根据题意，得1500×0.8m＋（800－50）×（20－m）≤20000， 解得m≤ . ∵m为正整数，∴m的最大值为11. 答：最多能购买11副“灵眸X”眼镜. 新题速递 一轮复习精讲 5. （教材母题改编）（2025·东莞模拟）斑马线前“车让人”，不仅体现 着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口 的斑马线路段A－B－C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12m，在 绿灯亮时，小敏共用22 s通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过 AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是 ⁠. 1m/s 教材变式新考法 一轮复习精讲 $