专题16 期末复习（易错46个考点90题）（期末复习专项训练）九年级数学上学期人教版

专题16 期末复习（易错46个考点90题） 范围：九年级上册+九年级下册26章和27章 考点一．一元二次方程的定义（共1小题） 1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（　　） A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2 考点二．一元二次方程的一般形式（共1小题） 2．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，5，﹣1 B．3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1 考点三．一元二次方程的解（共1小题） 3．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝﹣1 D．k＝1或k＝﹣1 考点四．解一元二次方程-配方法（共2小题） 4．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A． B． C．2 D． 5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 考点五．解一元二次方程-因式分解法（共2小题） 6．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长． 7．解方程： （1）x2+2x﹣4＝0； （2）3x（2x+1）＝4x+2． 考点六．换元法解一元二次方程（共1小题） 8．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 考点七．根的判别式（共1小题） 9．关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k B．k C．k D．k 考点八．根与系数的关系（共8小题） 10．若实数a、b满足等式a2＝7﹣3a，b2＝7﹣3b，则代数式之值为（　　） A． B． C．2或 D．2或 11．已知α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根，则代数式（1+2024α+α2）（1+2025β+β2）的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 12．已知方程x2﹣5x﹣24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2﹣4a+b的值为 　 　 ． 13．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则的值为　 　 ． 14．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+1＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两根x1，x2满足x1+x2+3x1•x2m？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 15．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2+k＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 17．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0． （1）求证：该方程必有两个不相等的实数根． （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足，求k的值． 考点九．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 18．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A．100（1+x）2＝280 B．100（1+x）+100（1+x）2＝280 C．100（1﹣x）2＝280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280 考点十．反比例函数的图象（共1小题） 19．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A．B． C．D． 考点十一．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 20．已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数y的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 考点十二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题） 21．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 22．如图，直线y1＝﹣x+4，y2x+b都与双曲线y交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）直接写出当x＞0时，不等式x+b的解集； （3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标． 考点十三．反比例函数的应用（共2小题） 23．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1（Ω）（如图1），当人站上踏板时，电阻R1随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数U0换算为人的质量m（kg）．已知U0连R1的变化而变化（如图2），R1与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（　　） A．在一定范围内，U0越小，R1越大 B．当U0＝4V时，R1的阻值为30Ω C．当踏板上人的质量为95kg时，U0＝3V D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6），为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是110kg 24．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： （1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 考点十四．二次函数的性质（共1小题） 25．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m≠0），当﹣1≤x≤2时，函数有最小值2，则m的值是（　　） A．1 B． C．1或 D．1或 考点十五．二次函数图象与系数的关系（共3小题） 26．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 27．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中： ①0； ②am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）； ③3a+c＜1； ④若M（x1，y）、N（x2，y）是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤﹣3． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），则下列结论正确的个数是（　　） ①abc＜0； ②3b+2c＞0； ③对任意实数m，am2+bm≥a﹣b均成立； ④若点（﹣4，y1），（，y2）在抛物线上，则y1＜y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点十六．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 29．若A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 30．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 考点十七．二次函数图象与几何变换（共1小题） 31．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2 考点十八．二次函数的最值（共1小题） 32．当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（　　） A．2 B．±2 C．2或 D．2或 考点十九．待定系数法求二次函数解析式（共1小题） 33．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 考点二十．抛物线与x轴的交点（共1小题） 34．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是　 　 ． 考点二十一．二次函数的应用（共3小题） 35．2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 36．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价﹣进价） 37．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S米2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750米2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 考点二十二．二次函数综合题（共5小题） 38．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段PD的长． ②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标． （3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 39．如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）． （1）求抛物线的表达式； （2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积． 40．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C． （1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式； （2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值； （3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△NCM与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 41．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式； （2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值； （3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 42．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接AC，PB． （1）求该抛物线的解析式； （2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二十三．垂径定理的应用（共2小题） 43．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 　 　 cm． 44．王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为 　 　 cm． 考点二十四．圆周角定理（共2小题） 45．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若∠AOC＝62°，则∠B＝（　　） A．62° B．31° C．30° D．28° 46．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD，BC．若∠BAC＝30°，则∠D＝（　　） A．60° B．70° C．30° D．40° 考点二十五．点与圆的位置关系（共2小题） 47．已知⊙O的半径为4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定 48．如图，已知AB＝5，⊙B的半径为2，点C在⊙B上，连接AC，并将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD．当点C在⊙B上运动时，点D到直线AB距离的最大值是　 　 ． 考点二十六．切线的性质（共1小题） 49．如图，已知⊙P的半径为3，圆心P始终在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为　 　 ． 考点二十七．弧长的计算（共1小题） 50．如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰为BC边的中点，若AB＝1，则的长为（　　） A． B． C． D． 考点二十八．扇形面积的计算（共1小题） 51．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝4，∠BAD＝120°，则阴影部分的面积为 　 　 ． 考点二十九．圆锥的计算（共1小题） 52．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为120°扇形，则该圆锥的侧面面积为 　 　 cm2． 考点三十．旋转的性质（共3小题） 53．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　） A． B． C．4 D．6 54．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　 　 cm． 55．如图，长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1．正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为　 　 ． 考点三十一．中心对称图形（共1小题） 56．图中不是中心对称图形的是（　　） A．B．C．D． 考点三十二．关于原点对称的点的坐标（共1小题） 57．若点P（a﹣1，5）与点Q（5，1﹣b）关于原点成中心对称，则a+b＝　 　 ． 考点三十三．列表法与树状图法（共2小题） 58．在如图所示的电路图中，若闭合S1、S2、S3、S4中任意一个开关，则小灯泡发光的概率为（　　） A． B． C． D． 59．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次统计共抽查了　 　 名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）若某校有1000名学生，试估计最喜欢用“微信”沟通的人数； （4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率． 考点三十四．利用频率估计概率（共1小题） 60．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 　 　 只A种候鸟． 考点三十五．反比例函数的性质（共1小题） 61．反比例函数y的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的值可为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 考点三十六．反比例函数的应用（共2小题） 62．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂＝阻力×阻力臂） 动力臂（L/m） … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 … 动力（F/N） … 300 150 100 a 60 … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（　　） A．150N B．90N C．75N D．60N 63．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两个物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别是1200牛顿和0.5米，设动力为F（牛顿），动力臂为l（m）． （1）求动力F与动力臂l之间的函数关系式； （2）当撬动石头的动力为400牛顿时，动力臂为多少米？ 考点三十七．含30度角的直角三角形（共1小题） 64．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为　 　 ． 考点三十八．比例的性质（共1小题） 65．若，则的值是（　　） A．1 B．5 C．4 D．3 考点三十九．黄金分割（共2小题） 66．五角星是我们中华人民共和国国旗的元素，如图是从一个五角星中分离出来的等腰三角形ABC，已知∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则的值为（　　） A． B． C． D． 67．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 　 　 cm．（结果保留根号） 考点四十．平行线分线段成比例（共2小题） 68．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4，则EF的长是（　　） A． B． C．6 D．10 69．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为 　 　 ． 考点四十一．相似多边形的性质（共2小题） 70．两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 　 　 ． 71．装裱一幅宽40cm、长60cm的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的部分的上下的宽都为15cm，若装裱上去的左右部分的宽都为xcm，则x＝　 　 ． 考点四十二．相似三角形的性质（共2小题） 72．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PAPB的最小值为 　 　 ． 73．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求： （1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ （2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 考点四十三．相似三角形的判定（共3小题） 74．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（　　） A． B．C．D． 75．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，动点M以1cm/s的速度从A点出发， 沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在某一时刻t，使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 76．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE； （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长； （3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由． 考点四十四．相似三角形的判定与性质（共12小题） 77．如图，矩形ABCD中，点E是DC边上一点，点D关于直线AE的对称点点F恰好落在BC边上，给出如下三个结论： ①∠AFE＝90°； ②△EFC∽△AEF； ③若AB＝9，DE＝5，则AD＝15． 上述结论一定正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 78．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（　　） A． B．1 C． D． 79．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝AB，且∠CAD＝2∠BDE，过E作EF∥BC，EF交AD于点F，若AF＝4，CD＝5，S△ABD，则DF的长 　 　 ． 80．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CECD，连接OE交BC于点F，若BC＝8，则CF＝　 　 ． 81．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 　 　 ． 82．如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，BE，AD相交于点F． （1）求证△ABD≌△BCE； （2）求证AE2＝EF•EB． 83．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D、F分别在边AB、AC上． （1）求证：△BDE∽△CEF； （2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC． 84．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8． （1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K． ①求的值； ②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值； （2）若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长． 85．在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示） 86．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值． 87．【提出问题】 （1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN．求证：∠ABC＝∠ACN． 【类比探究】 （2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 88．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG． （1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝ 　 　 °； （2）证明：△AFC∽△AGD； （3）若，请求出的值． 考点四十五．相似三角形的应用（共1小题） 89．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的（　　） A． B． C． D． 考点四十六．位似变换（共1小题） 90．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 期末复习（易错46个考点90题） 范围：九年级上册+九年级下册26章和27章 考点一．一元二次方程的定义（共1小题） 1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（　　） A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2 【答案】C 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：m＝﹣2． 故选：C． 考点二．一元二次方程的一般形式（共1小题） 2．将一元二次方程3x2﹣1＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，5，﹣1 B．3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1 【答案】C 【解答】解：方程化为一般式为3x2﹣5x﹣1＝0， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣5，﹣1． 故选：C． 考点三．一元二次方程的解（共1小题） 3．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝﹣1 D．k＝1或k＝﹣1 【答案】C 【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0， 得k2﹣1＝0， 解得k＝﹣1或1； 又k﹣1≠0， 即k≠1； 所以k＝﹣1． 故选：C． 考点四．解一元二次方程-配方法（共2小题） 4．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0， ∴3x2+6x＝1， x2+2x， 则x2+2x+1，即（x+1）2， ∴a＝1，b， ∴a+b． 故选：B． 5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 【答案】D 【解答】解：x2﹣6x+8＝0， x2﹣6x＝﹣8， x2﹣6x+9＝﹣8+9， （x﹣3）2＝1， 故选：D． 考点五．解一元二次方程-因式分解法（共2小题） 6．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0， 解得：k≤2， 又因为k是二次项系数，所以k≠0， 所以k的取值范围是k≤2且k≠0． （2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0， 所以把x＝2代入方程，可得k， 所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0， 解得：x1＝2，x2， 所以BC的值是． 7．解方程： （1）x2+2x﹣4＝0； （2）3x（2x+1）＝4x+2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝4+1， （x+1）2＝5， x+1＝±， x11，x21； （2）3x（2x+1）＝4x+2， 3x（2x+1）＝2（2x+1）， 3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0， （3x﹣2）（2x+1）＝0， 3x﹣2＝0或2x+1＝0， x1，x2． 考点六．换元法解一元二次方程（共1小题） 8．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 【答案】A 【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0， ∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0， ∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0， ∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6． 当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0， ∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解． 当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7 故选：A． 考点六．换元法解一元二次方程（共1小题） 9．关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k B．k C．k D．k 【答案】A 【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根， ∴Δ＜0， ∴12﹣4×2×（﹣k）＜0， ∴1+8k＜0， ∴k． 故选A． 考点八．根与系数的关系（共8小题） 10．若实数a、b满足等式a2＝7﹣3a，b2＝7﹣3b，则代数式之值为（　　） A． B． C．2或 D．2或 【答案】C 【解答】解：当a＝b时，2； 当a≠b时， ∵a、b是方程x2+3x﹣7＝0的根， ∴a+b＝﹣3，ab＝﹣7， ∴； 综上所述，2或， 故选：C． 11．已知α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根，则代数式（1+2024α+α2）（1+2025β+β2）的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解答】解：∵α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根， ∴αβ＝1，α2+2023α+1＝0，β2+2023β+1＝0， （1+2024α+α2）（1+2025β+β2） ＝a•2β ＝2αβ ＝2×1 ＝2． 故选：C． 12．已知方程x2﹣5x﹣24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2﹣4a+b的值为 　29　 ． 【答案】29． 【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣24＝0中的两根分别为a、b， ∴a+b＝5，a2﹣5a﹣24＝0． ∴a2﹣5a＝24， ∴a2﹣4a+b＝a2﹣5a+a+b， ＝24+5， ＝29． 故答案为：29． 13．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则的值为　5　 ． 【答案】5 【解答】解：由题意，∵方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根分别为x1和x2， ∴根据根与系数的关系可得，，且x1+x2＝4， ∴， ∴ ， ＝1+4， ＝5， 故答案为：5． 14．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+1＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两根x1，x2满足x1+x2+3x1•x2m？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）m且m≠2；（2）m＝﹣3． 【解答】解：（1）由题意，∵一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+1＝0有实数根， ∴m﹣2≠0，且Δ＝9﹣4（m﹣2）≥0． ∴m且m≠2． （2）由题意，∵一元二次方程为（m﹣2）x2﹣3x+1＝0， ∴x1+x2，x1x2． 又∵x1+x2+3x1•x2m， ∴3m． ∴m＝5或﹣3． 又∵结合（1）可得m且m≠2， ∴m＝﹣3． 15．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k2+k＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足，求k的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2kx+k2+k＝0有实数根， ∴Δ＝4k2﹣4（k2+k）≥0． ∴k≤0． （2）由题意，∵方程x2+2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k2+k． ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝4k2﹣2k2﹣2k＝2k2﹣2k． ∵， ∴2k2﹣2k＝12，即k2﹣k﹣6＝0． ∴k＝﹣2或k＝3． 又∵结合（1）得，k≤0， ∴k＝﹣2． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值． 【答案】（1）k≤1；（2）． 【解答】解：（1）由题意，∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（2k﹣1）≥0． ∴k≤1． （2）由题意，∵方程x2﹣2x+2k﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝2k﹣1． ∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1． ∴2k﹣1+2+1＝﹣1． ∴． 17．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0． （1）求证：该方程必有两个不相等的实数根． （2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足，求k的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）k或k＝﹣1． 【解答】（1）证明：由题意，∵一元二次方程为x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0， ∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣1） ＝4k2﹣4k+1﹣4k2+4k ＝1＞0． ∴该方程必有两个不相等的实数根． （2）解：由题意，∵一元二次方程为x2+（2k﹣1）x+k（k﹣1）＝0， ∴x1+x2＝﹣2k+1，x1•x2＝k（k﹣1）＝k2﹣k． ∴． 又∵， ∴． ∴k或k＝﹣1． 考点九．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 18．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A．100（1+x）2＝280 B．100（1+x）+100（1+x）2＝280 C．100（1﹣x）2＝280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280 【答案】B 【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x， 则二月份生产机器为：100（1+x）， 三月份生产机器为：100（1+x）2； 又知二、三月份共生产280台； 所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2＝280． 故选：B． 考点十．反比例函数的图象（共1小题） 19．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：若a＞0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y（ab≠0）位于一、三象限， 若a＞0，b＜0， 则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数y（ab≠0）位于二、四象限， 若a＜0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数y（ab≠0）位于二、四象限， 若a＜0，b＜0， 则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数y（ab≠0）位于一、三象限， 故选：A． 考点十一．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 20．已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数y的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 【答案】B 【解答】解：∵点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y的图象上， ∴，，， ∵﹣2＜3＜6， ∴y3＜y2＜y1， 故选：B． 考点十二．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题） 21．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 【答案】B 【解答】解：∵正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2的图象相交于A、B两点， ∴A，B两点坐标关于原点对称， ∵点A的横坐标为2， ∴B点的横坐标为﹣2， ∵y1＜y2 ∴在第一和第三象限，正比例函数y1＝k1x的图象在反比例函数y2的图象的下方， ∴x＜﹣2或0＜x＜2， 故选：B． 22．如图，直线y1＝﹣x+4，y2x+b都与双曲线y交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）直接写出当x＞0时，不等式x+b的解集； （3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1＝﹣x+4，可得m＝﹣1+4＝3， ∴A（1，3）， 把A（1，3）代入双曲线y，可得k＝1×3＝3， ∴y与x之间的函数关系式为：y； （2）∵A（1，3）， ∴当x＞0时，不等式x+b的解集为：x＞1； （3）y1＝﹣x+4，令y＝0，则x＝4， ∴点B的坐标为（4，0）， 把A（1，3）代入y2x+b，可得3b， ∴b， ∴y2x， 令y＝0，则x＝﹣3，即C（﹣3，0）， ∴BC＝7， ∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分， ∴CPBC，或BPBC， ∴OP＝3，或OP＝4， ∴P（，0）或（，0）． 考点十三．反比例函数的应用（共2小题） 23．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1（Ω）（如图1），当人站上踏板时，电阻R1随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数U0换算为人的质量m（kg）．已知U0连R1的变化而变化（如图2），R1与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（　　） A．在一定范围内，U0越小，R1越大 B．当U0＝4V时，R1的阻值为30Ω C．当踏板上人的质量为95kg时，U0＝3V D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6），为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是110kg 【答案】D 【解答】解：∵图2中U0随R1的增大而减小， ∴在一定范围内，U0越大，R1越小． 故A正确，不符合题意； ∵图2中的图象经过点（30，4）， ∴当U0＝4V时，R1的阻值为30Ω． 故B正确，不符合题意； ∵当m＝95时，R1＝﹣2m+240＝50Ω，U0＝3V时，对应的是50Ω， ∴踏板上人的质量为95kg时，U0＝3V． 故C正确，不符合题意． ∵R1＝﹣2m+240， ∴R1随m的增大而减小． ∵R1的最小值为10， ∴m的最大值为115． ∴若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6）为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg． 故D错误，符合题意． 故选：D． 24．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： （1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b， 依据题意，得， 解得：， ∴此函数解析式为：y＝8x+20； （2）当10≤x≤t，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y， 依据题意，得：100， 即m＝1000， 故y， 当y＝20时，20， 解得：t＝50； （3）∵70﹣50＝20＞10， ∴当x＝20时，y50， 答：小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为50℃． 考点十四．二次函数的性质（共1小题） 25．已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m≠0），当﹣1≤x≤2时，函数有最小值2，则m的值是（　　） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】D 【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣2mx+3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1． ∵当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为2， ∴①当m＞0时，x＝1时，y＝2， 则m﹣2m+3＝2， 解得m＝1． ②当m＜0时， ∵对称轴是直线x＝1， ∴当x＝﹣1时，y取最小值＝2， 则m+2m+3＝2， 解得m． 故m的值为1或， 故选：D． 考点十五．二次函数图象与系数的关系（共3小题） 26．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】B 【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧， ∴ab＜0， 由图象可知：c＞0， ∴abc＜0， 故①不正确； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴b﹣a＞c， 故②正确； ③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0， 故③正确； ④∵x1， ∴b＝﹣2a， ∵a﹣b+c＜0， ∴a+2a+c＜0， 3a＜﹣c， 故④不正确； ⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1）， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b）， 故⑤正确． 故②③⑤正确． 故选：B． 27．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中： ①0； ②am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）； ③3a+c＜1； ④若M（x1，y）、N（x2，y）是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤﹣3． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下， ∴a＜0． 又抛物线的对称轴是直线x1， ∴b＝2a＜0． 又抛物线交y轴正半轴， ∴当x＝0时，y＝c＞0． ∴0，故①错误． 由题意，当x＝﹣1时，y取最大值为y＝a﹣b+c， ∴对于抛物线上任意的点对应的函数值都≤a﹣b+c． ∴对于任意实数m，当x＝m时，y＝am2+bm+c≤a﹣b+c． ∴am2+bm≤a﹣b，故②正确． 由图象可得，当x＝1时，y＝a+b+c＜0， 又b＝2a， ∴3a+c＜0＜1，故③正确． 由题意∵抛物线为y＝ax2+bx+c， ∴x1+x22＞﹣3，故④错误． 综上，正确的有②③共2个． 故选：B． 28．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），则下列结论正确的个数是（　　） ①abc＜0； ②3b+2c＞0； ③对任意实数m，am2+bm≥a﹣b均成立； ④若点（﹣4，y1），（，y2）在抛物线上，则y1＜y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：∵抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）， ∴对称轴是直线x1． ∴1． ∴b＝2a． 又图象可得，a＞0，c＜0， ∴b＝2a＞0． ∴abc＜0，故①正确． ∵B（1，0）在抛物线上， ∴a+b+c＝0． 又b＝2a， ∴b+c＝0． ∴3b+2c＝0，故②错误． ∵对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线开口向上， ∴当x＝﹣1时，y取最小值为a﹣b+c． ∴对应任意的m，当x＝m时，函数值y＝am2+bm+c≥a﹣b+c． ∴am2+bm≥a﹣b，故③正确． ∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又∵|﹣4﹣（﹣1）|＝3＞|（﹣1）|， ∴y1＞y2，故④错误． 综上，正确的有2个． 故选：B． 考点十六．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 29．若A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【答案】B 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2+4x﹣m＝（x+2）2﹣4﹣m， ∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，且抛物线开口向上． ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∵A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3），且﹣1﹣（﹣2）＝1＜0﹣（﹣2）＝2＜﹣2﹣（﹣5）＝3， ∴y1＜y3＜y2． 故选：B． 30．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 【答案】B 【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m）， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2， ∵M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）， ∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近， ∴y2＜y1＜y3． 故选：B． 考点十七．二次函数图象与几何变换（共1小题） 31．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2 【答案】B 【解答】解：将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣2）2﹣4+2，即y＝（x﹣2）2﹣2． 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2． 故选：B． 考点十八．二次函数的最值（共1小题） 32．当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（　　） A．2 B．±2 C．2或 D．2或 【答案】A 【解答】解：y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2． 抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a． ∴当a≤1时，若1≤x≤3时，y随x的增大而增大， 当x＝1时，y有最小值＝1﹣2a+3＝4﹣2a， ∴4﹣2a＝﹣1， ∴a， 不合题意，舍去． 当1＜a≤3时，x＝a，y有最小值3﹣a2． ∴3﹣a2＝﹣1． ∴a2＝4， ∵1≤a≤3， ∴a＝2． 当a≥3时，若1≤x≤3，y随x的增大而减小． ∴当x＝3时，y有最小值＝9﹣6a+3＝12﹣6a． ∴12﹣6a＝﹣1． ∴a． ∵a≥3． ∴不合题意，舍去． 综上：a＝2． 故选A． 考点十九．待定系数法求二次函数解析式（共1小题） 33．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c， ∴抛物线的对称轴为直线x． ∴b＝1． ∴抛物线为y＝x2+x+c． 又图象经过点A（﹣2，5）， ∴4﹣2+c＝5． ∴c＝3． ∴抛物线为y＝x2+x+3． （2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0）， ∴平移后的点为（1﹣m，9）． 又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3， ∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3． ∴m＝4或m＝﹣1（舍去）． ∴m＝4． （3）由题意，当 时， ∴最大值与最小值的差为． ∴，不符合题意，舍去． 当n≤1 时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意． 当n＞1时，最大值与最小值的差为 ，解得 n1＝1 或 n2＝﹣2，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为n≤1． 考点二十．抛物线与x轴的交点（共1小题） 34．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是　4　 ． 【答案】4 【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的； ②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的； ③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的； ④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的； ⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的； 故答案为：4 考点二十一．二次函数的应用（共3小题） 35．2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意，设每次上涨的百分率为m， 依题意，得：80（1+m）2＝125， 解得：m1＝0.25＝25%，m2＝﹣2.25（不合题意，舍去）． 答：每次上涨的百分率为25%． （2）由题意，设每个售价为x元， ∴每天的利润w＝（x﹣70）[75+5（125﹣x）] ＝（x﹣70）（700﹣5x） ＝﹣5x2+1050x﹣49000 ＝﹣5（x﹣105）2+6125． ∴当x＝105时，每天的最大利润为6125． ∴每个应降价（125﹣105）元，即每个应降价20元． 答：每个应降价20元，才能使每天利润达到最大，最大利润为6125元． 36．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价﹣进价） 【答案】（1）A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件；（2）y＝10x+60（0≤x≤10）；（3）A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 【解答】解：（1）由题意，设每件A类特产的售价为a元，则每件B类特产的售价为（132﹣a）元． ∴3a+5（132﹣a）＝540． ∴a＝60． ∴每件B类特产的售价132﹣60＝72（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）由题意，∵每件A类特产降价x元， 又每降价1元，每天可多售出10件， ∴y＝60+10x＝10x+60（0≤x≤10）． 答：y＝10x+60（0≤x≤10）． （3）由题意，∵w＝（60﹣50﹣x）（10x+60）+100×（72﹣60） ＝﹣10x2+40x+1800＝﹣10（x﹣2）2+1840． ∵﹣10＜0， ∴当x＝2时，w有最大值1840． ∴A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 37．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S米2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750米2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 【答案】（1）y＝﹣2x+80（19≤x＜40），S＝﹣2x2+80x；（2）当x＝25时，围成的矩形花圃的面积为750米2；（3）围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800米2，此时x的值为20． 【解答】解：（1）由题意，2x+y＝80， ∴y＝﹣2x+80． 由0＜﹣2x+80≤42，且x＞0， ∴19≤x＜40． 由题意，S＝AB•BC＝x（﹣2x+80）， ∴S＝﹣2x2+80x（19≤x＜40）． （2）由题意，令S＝﹣2x2+80x＝750， ∴x＝15（舍去）或x＝25． 答：当x＝25时，围成的矩形花圃的面积为750米2． （3）由题意，根据（1）S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800， 又∵﹣2＜0，且19≤x＜40， ∴当x＝20时，S取最大值为800． 答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800米2，此时x的值为20． 考点二十二．二次函数综合题（共5小题） 38．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段PD的长． ②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标． （3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）如图： ①设P（m，m2﹣4m+3）， 将点B（3，0）、C（0，3）代入直线BC解析式y＝kx+b， 得k＝﹣1，b＝3， 所以直线BC解析式为yBC＝﹣x+3． ∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D， ∴D（m，﹣m+3）， ∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m． 答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m． ②S△PBC＝S△CPD+S△BPD OB•PDm2m （m）2． ∴当m时，S有最大值． 当m时，m2﹣4m+3． ∴P（，）． 答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，）． （3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形． 根据题意，点E（2，1），抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点， ∴EN＝CN＝2， ∴EC＝2， 根据菱形的四条边相等， ∴M′E＝EC＝2， ∴M′（2，1﹣2）或（2，1+2）， 当EM＝EN＝2时，CMEN是正方形， ∴M（2，3）， 答：点M的坐标为（2，3）或（2，1﹣2）或（2，1+2）． 39．如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）． （1）求抛物线的表达式； （2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+4， 把（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）2+4， a＝﹣1， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3； （2）存在， 如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小， ∵E（0，3）， ∴E'（2，3）， 易得E'F的解析式为：y＝3x﹣3， 当x＝1时，y＝3×1﹣3＝0， ∴G（1，0） （3）如图2，∵A（1，4），B（3，0）， 易得AB的解析式为：y＝﹣2x+6， 过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q， 设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（1＜m＜3）， ∴NQ＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）＝﹣m2+4m﹣3， ∵AD∥NH， ∴∠DAB＝∠NQM， ∵∠ADB＝∠QMN＝90°， ∴△QMN∽△ADB， ∴， ∴， ∴MN（m﹣2）2， ∵0， ∴当m＝2时，MN有最大值； 过N作NG⊥y轴于G， ∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°， ∴△NGP∽△ADB， ∴， ∴PGNGm， ∴OP＝OG﹣PG＝﹣m2+2m+3m＝﹣m2m+3， ∴S△PONOP•GN（﹣m2m+3）•m， 当m＝2时，S△PON2（﹣4+3+3）＝2． （方法2：根据m的值计算N的坐标为（2，3），与E是对称点，连接EN，同理得：EPEN＝1，则OP＝2，根据面积公式可得结论）． 40．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C． （1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式； （2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值； （3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△NCM与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+2（﹣1＜x＜2）； （2）b的值是2或3； （3）点P的坐标为（1，0）或（，0）或（1，0）． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2， ∴C（0，2）， 当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（2，0）， 设图象W的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2）， 把C（0，2）代入得：﹣2a＝2， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2， ∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2+x+2（﹣1＜x＜2）； （2）由图象得直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况： ①当直线y＝﹣x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b＝2； ②当直线y＝﹣x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1， ﹣x+b＝﹣x2+x+2， x2﹣2x+b﹣2＝0， Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（b﹣2）＝0， ∴b＝3， 综上，b的值是2或3； （3）∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°， ∴△BOC是等腰直角三角形， 如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC， ∵PN∥y轴， ∴P（1，0）； 如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC， 当y＝2时，x2﹣x﹣2＝2， x2﹣x﹣4＝0， ∴x1，x2， ∴P（，0）； 如图4，当∠MCN＝90°时，△OBC∽△CMN， ∴CN的解析式为：y＝x+2， ∴x+2＝x2﹣x﹣2， ∴x1＝1，x2＝1（舍）， ∴P（1，0）， 综上，点P的坐标为（1，0）或（，0）或（1，0）． 41．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式； （2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值； （3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3． （2）． （3）存在，N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（2，1）， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3． （2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； 令y＝0，则x＝1或x＝3， ∴A（1，0），B（3，0）． ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3． 设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h， 令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0， ∵该抛物线与直线BC始终有交点， ∴Δ＝9﹣4h≥0， ∴h． ∴h的最大值为． （3）存在，理由如下： 由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x＝2， ∴E（2，﹣1）， ∴DE＝2， 设点M（m，﹣m2+4m﹣3）， 若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况： ①当DE为边时，DE∥MN， 则N（m，m﹣3）， ∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|， ∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m或m． ∴N（1，﹣2）或（，）或（，）． ②当DE为对角线时， 设点N的横坐标为t， 则N（t，t﹣3）， ∴， 解得m或（舍）， ∴N（3，0）． 综上，点N的坐标为N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）． 42．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接AC，PB． （1）求该抛物线的解析式； （2）设对称轴与x轴交于点N，在对称轴上是否存在点G，使以O、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）点G的坐标为G（1，3）或（1，﹣3）或（1，）或（1，）； （3）点Q的坐标为（2，3）或（，）或（，）． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点代入抛物线解析式得： ， 解得：， 所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）存在， 由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 则顶点P（1，4），对称轴为直线x＝1， ∴N（1，0）， ∵A（﹣1，0）、C（0，3）， ∴OA＝1，OC＝3， 分两种情况： ①当△AOC∽△ONG时，， 即， ∴NG＝3， ∴G（1，3）或（1，﹣3）， ②当△AOC∽△GNO时，， 即， ∴GN， ∴G（1，）或（1，）， 综上，点G的坐标为G（1，3）或（1，﹣3）或（1，）或（1，）； （3）存在， 设直线BC的解析式为：y＝mx+n， ∴，解得：， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， 当x＝1时，y＝2， ∴M（1，2）， ∴设过点P与直线BC平行的直线为：y＝﹣x+b1， 将点P（1，4）代入，得y＝﹣x+5， ，解得：，， ∵P（1，4）， ∴Q（2，3）， 设过点N（1，0）与直线BC平行的直线为：y＝﹣x+b2， 将点N（1，0）代入，得y＝﹣x+1， ，解得：，， ∴Q的坐标为（，）或（，）， 综上，点Q的坐标为（2，3）或（，）或（，）． 考点二十三．垂径定理的应用（共2小题） 43．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 　18　 cm． 【答案】18 【解答】解：连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D， ∵OC⊥AB， ∴AC＝CB＝6cm， 由题意可知，OB＝10cm， ∴在Rt△OBC中，OC8（cm）， ∴CD＝OC+OD＝8+10＝18（cm）， 即这个水容器所能装水的最大深度是18cm． 44．王师傅要测量一个如图所示的残缺圆形工件的半径，因为无法直接测量，所以王师傅这样操作：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，便可求出该工件的半径，则该圆形工件的半径为 　25　 cm． 【答案】25． 【解答】解：如图，取圆心点O，连接OA． 设圆O的半径为rcm，则OA＝OC＝rcm． ∵AB⊥OC，AB＝40cm， ∴ADAB＝20cm， ∵CD＝10cm， ∴OD＝OC﹣CD＝（r﹣10）cm， 在Rt△ADO中利用勾股定理，得AD2+OD2＝OA2， ∴202+（r﹣10）2＝r2， ∴r＝25， ∴该圆形工件的半径为25cm． 故答案为：25． 考点二十四．圆周角定理（共2小题） 45．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若∠AOC＝62°，则∠B＝（　　） A．62° B．31° C．30° D．28° 【答案】B 【解答】解：∵∠AOC＝62°， ∴， 故选：B． 46．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD，BC．若∠BAC＝30°，则∠D＝（　　） A．60° B．70° C．30° D．40° 【答案】A 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣30°＝60°， ∴∠D＝∠B＝60°． 故选：A． 考点二十五．点与圆的位置关系（共2小题） 47．已知⊙O的半径为4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定 【答案】A 【解答】解：∵OP＝3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点P在圆内． 故选：A． 48．如图，已知AB＝5，⊙B的半径为2，点C在⊙B上，连接AC，并将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD．当点C在⊙B上运动时，点D到直线AB距离的最大值是　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：将AB绕A旋转60°得AE连接BC、BE、DE，如图． ∵∠CAD＝∠BAE＝60°， ∴∠CAD﹣∠BAD＝∠BAE﹣∠BAD． ∴∠CAB＝∠DAE． 又∵CA＝DA，AB＝AE， ∴△CAB≌△DAE（SAS）． ∴CB＝ED＝2． ∴D在点E为圆心，2为半径的圆上． ∴如图，当DH过E垂直于AB时，点D到直线AB距离的最大． ∵∠BAE＝60°，AB＝AE， ∴△BAE为等边三角形． 又∵AB＝5， ∴EH． ∴D到直线AB距离的最大值为D'H＝D'E+EH2． 故答案为：2． 考点二十六．切线的性质（共1小题） 49．如图，已知⊙P的半径为3，圆心P始终在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为　或或（0，﹣3）　 ． 【答案】或或（0，﹣3） 【解答】解：已知⊙P的半径为3，⊙P与x轴相切， ∴点P到x轴的距离为3， ∴点P的纵坐标为±3， 当y＝3时，得：， 解得：或， ∴P的坐标为或； 当y＝﹣3时，得：， 解得：x＝0， ∴P的坐标为（0，﹣3）， 综上所述，圆心P的坐标为或或（0，﹣3）， 故答案为：或或（0，﹣3）． 考点二十七．弧长的计算（共1小题） 50．如图，将Rt△ABC以点A为中心顺时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰为BC边的中点，若AB＝1，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据旋转的性质，得AD＝AB＝1， ∵点D是BC的中点， ∴BC＝2AD＝2， 在Rt△ABC中利用勾股定理，得AC， ∵tan∠ABC， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD＝60°， ∵∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD＝60°， ∴2π． 故选：C． 考点二十八．扇形面积的计算（共1小题） 51．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝4，∠BAD＝120°，则阴影部分的面积为 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：如图，连接AC． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，AD∥BC，∠BCD＝∠BAD＝120°， ∵∠BAD＝120°， ∴∠B＝180°﹣∠BAD＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝4， ∵点E是BC的中点， ∴CEBC＝2，AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， 同理，∠AFC＝90°， ∵以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F， ∴CE＝CF， 在Rt△AEC和Rt△AFC中， ， ∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）， ∵AE＝AB•sin∠B＝42， ∴S△AEC＝S△AFCCE•AE2×22， ∴S四边形AECF＝S△AEC+S△AFC＝4， ∵S扇形π×22， ∴S阴影＝S四边形AECF﹣S扇形＝4． 故答案为：4． 考点二十九．圆锥的计算（共1小题） 52．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为120°扇形，则该圆锥的侧面面积为 　　 cm2． 【答案】． 【解答】解：π×22（cm2）， ∴该圆锥的侧面面积为cm2． 故答案为：． 考点三十．旋转的性质（共3小题） 53．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1， ∴AC＝AC1＝2，∠CAC1＝60°， ∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°， ∴∠BAC1＝90°， ∴在Rt△BAC1中，BC1． 故选：B． 54．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　42　 cm． 【答案】42 【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE， ∴△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°， ∴BD＝BC＝12cm， ∴△BCD为等边三角形， ∴CD＝BC＝CD＝12cm， 在Rt△ACB中，AB13， △ACF与△BDF的周长之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42（cm）， 故答案为：42． 55．如图，长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1．正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为　2　 ． 【答案】2 【解答】解：如图，连接AF，CF，AC， ∵长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1， ∴AC＝2，AF， ∵AF+CF≥AC， ∴CF≥AC﹣AF， ∴当点A，F，C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为2， 故答案为：2． 考点三十一．中心对称图形（共1小题） 56．图中不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．图形是中心对称图形，不符合题意； B．图形是中心对称图形，不符合题意； C．图形是中心对称图形，不符合题意； D．图形不是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 考点三十二．关于原点对称的点的坐标（共1小题） 57．若点P（a﹣1，5）与点Q（5，1﹣b）关于原点成中心对称，则a+b＝　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵点P（a﹣1，5）与点Q（5，1﹣b）关于原点成中心对称， ∴a﹣1＝﹣5，1﹣b＝﹣5， 解得a＝﹣4，b＝6， ∴a+b＝﹣4+6＝2． 故答案为：2． 考点三十三．列表法与树状图法（共2小题） 58．在如图所示的电路图中，若闭合S1、S2、S3、S4中任意一个开关，则小灯泡发光的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意，只有闭合S1时能够让灯泡发光， ∴能够让灯泡发光的概率为：， 故选：C． 59．随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次统计共抽查了　100　 名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）若某校有1000名学生，试估计最喜欢用“微信”沟通的人数； （4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%， ∴此次共抽查了：20÷20%＝100人， 故答案为：100； （2）喜欢用短信的人数为：100×5%＝5人， 喜欢用微信的人数为：100﹣20﹣5﹣30﹣5＝40， 补充图形，如图所示： （3）1000名学生中喜欢用微信进行沟通的人数大约为：1000400（人）； （4）如图所示：列出树状图如下： 所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况， 因此，甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：． 考点三十四．利用频率估计概率（共1小题） 60．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 　800　 只A种候鸟． 【答案】800 【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟， 则200：10＝x：40， 解得x＝800． 故答案为：800． 声明：试题解析著作权属所有未经书面同意，不得复考点三十五．反比例函数的性质（共1小题） 61．反比例函数y的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的值可为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解答】解：∵反比例函数y的图象在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴k﹣1＜0，解得k＜1． 故选：D． 考点三十六．反比例函数的应用（共2小题） 62．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂＝阻力×阻力臂） 动力臂（L/m） … 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 … 动力（F/N） … 300 150 100 a 60 … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（　　） A．150N B．90N C．75N D．60N 【答案】C 【解答】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系， 设方程为：L， 从表中取一个有序数对， 可取（0.5，300）代入L， ∴K＝150． ∴L． 把L＝2.0m代入上式， ∴F＝75N． 故选：C． 63．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两个物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别是1200牛顿和0.5米，设动力为F（牛顿），动力臂为l（m）． （1）求动力F与动力臂l之间的函数关系式； （2）当撬动石头的动力为400牛顿时，动力臂为多少米？ 【答案】（1）F；（2）当撬动石头的动力为400牛顿时，动力臂为1.5米． 【解答】解：（1）由题意可得：1200×0.5＝Fl， ∴F． （2）由（1）知F， ∴当F＝400时，l1.5． ∴当撬动石头的动力为400牛顿时，动力臂为1.5米． 考点三十七．含30度角的直角三角形（共1小题） 64．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为　　 ． 【答案】 【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示： ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFM＝∠QCM，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°， ∴△APF是等边三角形， ∴AP＝PF＝AF， ∵PE⊥AC， ∴AE＝EF， ∵AP＝PF，AP＝CQ， ∴PF＝CQ， 在△PFM和△QCM中， ， ∴△PFM≌△QCM（AAS）， ∴FM＝CM， ∵AE＝EF， ∴EF+FM＝AE+CM， ∴AE+CM＝MEAC， ∵AC＝3， ∴ME， 故答案为：． 考点三十八．比例的性质（共1小题） 65．若，则的值是（　　） A．1 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解答】解：设k， ∴x＝3k，y＝5k，z＝7k， ∴5， 故选：B． 考点三十九．黄金分割（共2小题） 66．五角星是我们中华人民共和国国旗的元素，如图是从一个五角星中分离出来的等腰三角形ABC，已知∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）＝72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝36°， ∴∠A＝∠ABD＝36°， ∴DA＝DB， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°， ∴∠BDC＝∠C＝72°， ∴BD＝BC， ∴AD＝BD＝BC， ∵顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形， ∴△ABC是黄金三角形， ∴， ∴， 故选：B． 67．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 　（80160）　 cm．（结果保留根号） 【答案】（80160）． 【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB＝80cm， ∴ACAB80＝（4040）cm， ∵点D是靠近点A的黄金分割点，AB＝80cm， ∴DBAB80＝（4040）cm， ∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（4040）﹣80＝（80160）cm， ∴支撑点C，D之间的距离为（80160）cm， 故答案为：（80160）． 考点四十．平行线分线段成比例（共2小题） 68．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4，则EF的长是（　　） A． B． C．6 D．10 【答案】C 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， 即， 解得：EF＝6． 故选：C． 69．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为 　　 ． 【答案】 【解答】解：∵AB∥GH， ∴，即①， ∵GH∥CD， ∴，即②， ①+②，得1， ∴1， 解得GH． 故答案为． 考点四十一．相似多边形的性质（共2小题） 70．两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 　1：2　 ． 【答案】1：2． 【解答】解：∵两个相似多边形的相似比为1：2， ∴两个相似多边形周长的比等于1：2， 故答案为：1：2． 71．装裱一幅宽40cm、长60cm的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的部分的上下的宽都为15cm，若装裱上去的左右部分的宽都为xcm，则x＝　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：由题意得： ， 解得：x＝10， 故答案为：10． 考点四十二．相似三角形的性质（共2小题） 72．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PAPB的最小值为 　　 ． 【答案】 【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF，连接PF，AF． ∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE， ∴PCDE＝2， ∵，， ∴， ∵∠PCF＝∠BCP， ∴△PCF∽△BCP， ∴， ∴PFPB， ∴PAPB＝PA+PF， ∵PA+PF≥AF，AF， ∴PAPB， ∴PAPB的最小值为， 故答案为． 73．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求： （1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ （2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t， （1）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm， 由勾股定理得PQ； （2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t， 因此Rt△CPQ的面积为Scm2； （3）分两种情况： ①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3； ②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t． 因此t＝3或t时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 考点四十三．相似三角形的判定（共3小题） 74．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由勾股定理得：AB，BC＝2，AC， ∴AC：BC：AB＝1：：， A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似； B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似； C、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似； D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似． 故选：B． 75．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm，动点M以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向点B运动，同时动点N以2cm/s的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在某一时刻t，使得以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）经过1秒或2秒时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的； （2）当运动时间为1.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝6cm，∠BAD＝90°， AM＝tcm，AN＝6﹣2t（cm）， ∴S△AMNAN•AM（6﹣2t）×t＝﹣（t）2（0≤t≤3）， 依题意得：﹣（t）23×6， t2﹣3t+2＝0， t1＝2，t2＝1． 答：经过1秒或2秒时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的； （2）设运动时间为t秒， 由题意得DN＝2t（cm），AN＝（6﹣2t）（cm），AM＝t（cm）， 若△NMA∽△ACD， 则有AD：AN＝CD：AM，即6：（6﹣2t）＝3：t， 解得t＝1.5， 若△MNA∽△ACD 则有AD：AM＝CD：AN，即6：t＝3：（6﹣2t）， 解得t＝2.4， 答：当运动时间为1.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似． 76．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE； （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长； （3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°， ∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠DEC＝∠BAE， ∴△ABE∽△ECD； （2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5， ∴BE＝3， ∵BC＝5， ∴EC＝5﹣3＝2， 由（1）得：△ABE∽△ECD， ∴， ∴， ∴CD； （3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD＝AB+CD； 理由是：过E作EF⊥AD于F， ∵△AED∽△ECD， ∴∠EAD＝∠DEC， ∵∠AED＝∠C， ∴∠ADE＝∠EDC， ∵DC⊥BC， ∴EF＝EC， ∵DE＝DE， ∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）， ∴DF＝DC， 同理可得：△ABE≌△AFE， ∴AF＝AB， ∴AD＝AF+DF＝AB+CD． 考点四十四．相似三角形的判定与性质（共12小题） 77．如图，矩形ABCD中，点E是DC边上一点，点D关于直线AE的对称点点F恰好落在BC边上，给出如下三个结论： ①∠AFE＝90°； ②△EFC∽△AEF； ③若AB＝9，DE＝5，则AD＝15． 上述结论一定正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解答】解：如图1，连接DF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠C＝90°， ∵点D关于直线AE的对称点点F在BC边上， ∴AE垂直平分DF， ∴AD＝AF，DE＝FE， ∴∠AFD＝∠ADF，∠EFD＝∠EDF， ∴∠AFE＝∠AFD+∠EFD＝∠ADF+∠EDF＝∠ADC＝90°， 故①正确； 假设△EFC∽△AEF成立， ∵AE与BC不平行， ∴∠EFC≠∠AEFM， ∵∠C＝∠AFE＝90°， ∴∠EFC＝∠AEF＝∠AED180°＝60°， ∴∠FAE＝∠DAE＝∠FAB＝30°， 如图2，则BFAFAD， ∴ABAFAD， 显然，矩形ABCD是特殊矩形，与已知条件不符， ∴△EFC∽△AEF不成立， 故②错误； ∵AB＝9，DE＝5， ∴CD＝AB＝9，FE＝DE＝5， ∴CE＝CD﹣DE＝9﹣5＝4， ∴FC3， ∵∠B＝∠C，∠AFB＝∠FEC＝90°﹣∠CFE， ∴△AFB∽△FEC， ∴3， ∴AD＝AF＝3FE＝3×5＝15， 故③正确， 故选：B． 78．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝4， ∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°， ∵点E、F分别为BC、CD的中点， ∴DF＝CFDC＝3，CE＝BEBC＝2， ∵EH∥CD， ∴FH＝BH， ∵BE＝CE， ∴EHCF， 由勾股定理得：BF5， ∴BH＝FHBF， ∵EH∥CD， ∴△EHG∽△DFG， ∴， ∴， 解得：GH， 故选：A． 79．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝AB，且∠CAD＝2∠BDE，过E作EF∥BC，EF交AD于点F，若AF＝4，CD＝5，S△ABD，则DF的长 　2　 ． 【答案】2 【解答】解：作∠DAC的平分线AG，交CD于点G，如图， 则∠DAG＝∠CAG∠DAC， ∵∠CAD＝2∠BDE， ∴∠BDE＝∠DAG＝∠CAG． ∵EF∥BC， ∴∠FED＝∠BDE， ∴∠FED＝∠DAG＝∠CAG． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AB＝AC，BD＝AB， ∴BD＝CA． 在△BED和△CGA中， ， ∴△BED≌△CGA（ASA）， ∴DE＝AG，BE＝GC． ∵EF∥BC， ∴∠EFD＝∠ADG． 在△FED和△DAG中， ， ∴△FED≌△DAG（AAS）， ∴DF＝DG，EF＝AD． ∵BD＝AB， ∴∠BAD＝∠BDA， ∵EF∥BC， ∴∠EFA＝∠BDA， ∴∠EAF＝∠EFA． ∴EF＝EA， ∴EA＝AD． 设DF＝DG＝a， ∴BE＝CG＝CD﹣DG＝5﹣a，AE＝EF＝AD＝AF+DF＝4+a， ∴AB＝AE+BE＝9． ∴BD＝9， ∴， ∵△BED≌△CGA，△FED≌△DAG， ∴S四边形BDFE＝S△ADC， ∴． 设S△ABD＝9k，则S四边形BDFE＝5k， ∴S△AEF＝4k， ∵S△ABD， ∴S△EFD＝2k， ∴2， ∴DFAF＝2． 故答案为：2． 80．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CECD，连接OE交BC于点F，若BC＝8，则CF＝　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：取CD中点G，连接OG，如图： ∵O为BD中点，G为CD中点， ∴OG为△BDC的中位线， ∴OG∥BC，且OGBC＝4， 又∵CECD，CF∥OG， ∴△ECF∽△EGO， ∴， 又OG＝4， ∴CF＝2， 故答案为：2． 81．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 　　 ． 【答案】 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， ∵四边形APCQ是平行四边形， ∴PO＝QO，CO＝AO， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作BC的垂线OP′， ∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°， ∴△CAB∽△CP′O， ∴， ∴， ∴OP′， ∴则PQ的最小值为2OP′， 方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，OC•AB＝BC•OP'，求得OP′，而其他部分的步骤共用． 故答案为：． 82．如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，BE，AD相交于点F． （1）求证△ABD≌△BCE； （2）求证AE2＝EF•EB． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）证明过程见解答． 【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）； （2）∵∠ABC＝∠BAC， ∴∠ABE+∠CBE＝∠BAF+∠EAF， ∵△ABD≌△BCE， ∴∠CBE＝∠BAF， ∴∠ABE＝∠EAF， ∵∠AEF＝∠BEA， ∴△ABE∽△FAE， ∴， ∴AE2＝EF•EB． 83．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D、F分别在边AB、AC上． （1）求证：△BDE∽△CEF； （2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠DEB， ∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠DEB， ∵∠DEF＝∠B， ∴∠BDE＝∠CEF， ∴△BDE∽△CEF； （2）∵△BDE∽△CEF， ∴， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴， ∵∠DEF＝∠B＝∠C， ∴△DEF∽△ECF， ∴∠DFE＝∠CFE， ∴FE平分∠DFC． 84．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8． （1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K． ①求的值； ②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值； （2）若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵EF∥BC， ∴， ∴， 即的值是． ②∵EH＝x， ∴KD＝EH＝x，AK＝8﹣x， ∵， ∴EF， ∴S＝EH•EFx（8﹣x）24， ∴当x＝4时，S的最大值是24． （2）设正方形的边长为a， ①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时， ， 解得a． ②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝12÷2＝6， ∴AB＝AC， ∴AB或AC边上的高等于： AD•BC÷AB ＝8×12÷10 ∴， 解得a． 综上，可得 正方形PQMN的边长是或． 85．在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）CF与BD位置关系是垂直； 证明如下： ∵AB＝AC，∠ACB＝45°， ∴∠ABC＝45°． 由正方形ADEF得AD＝AF， ∵∠DAF＝∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝∠FAC， ∴△DAB≌△FAC（SAS）， ∴∠ACF＝∠ABD． ∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°． ∴CF⊥BC． ∴CF⊥BD． （2）AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立． 理由是： 过点A作GA⊥AC交BC于点G， ∵∠ACB＝45°， ∴∠AGD＝45°， ∴AC＝AG， 同理可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°， 即CF⊥BD． （3）如图①，当AB＜AC时， 过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得AC＝AG， ∴△GAD≌△CAF， ∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD． 过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， 如图②，点D在线段BC上运动时， ∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4． ∴DQ＝4﹣x，△AQD∽△DCP， ∴， ∴， ∴． 如图③，点D在线段BC延长线上运动时， ∵∠BCA＝45°， ∴AQ＝CQ＝4， ∴DQ＝4+x． 过A作AQ⊥BC， ∵CF⊥BD， ∴∠P+∠PDC＝90°， ∵∠PDC+∠ADQ＝90°， ∴∠ADQ＝∠P， ∵∠Q＝∠PCD＝90°， ∴△AQD∽△DCP， ∴， ∴， ∴． 86．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据勾股定理得：BA； （1）分两种情况讨论： ①当△BPQ∽△BAC时，， ∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8， ∴，解得，t＝1， ②当△BPQ∽△BCA时，， ∴，解得，t； ∴t＝1或时，△BPQ与△ABC相似； （2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示： 则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t， ∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°， ∴∠NAC＝∠PCM， ∵∠ACQ＝∠PMC， ∴△ACQ∽△CMP， ∴， ∴，解得t． 87．【提出问题】 （1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN．求证：∠ABC＝∠ACN． 【类比探究】 （2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACN． （2）解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立； 理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACN． （3）解：∠ABC＝∠ACN； 理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN， ∴底角∠BAC＝∠MAN， ∴△ABC∽△AMN， ∴， 又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC， ∴∠BAM＝∠CAN， ∴△BAM∽△CAN， ∴∠ABC＝∠ACN． 88．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG． （1）填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝ 　27　 °； （2）证明：△AFC∽△AGD； （3）若，请求出的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴∠BAC＝∠GAF＝45°， ∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°， ∴∠HAG＝∠BAF＝18°， ∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°， ∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°， 故答案为：27． （2）∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴，， ∴， ∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°， ∴∠DAG＝∠CAF， ∴△AFC∽△AGD； （3）∵， 设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k， ∴AFk，ACAB＝3k， ∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF， ∴△AFH∽△ACF， ∴， ∴． 考点四十五．相似三角形的应用（共1小题） 89．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3：2，则物体被缩小到原来的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意得：OB＝CG，AH⊥HO，BO⊥HO， ∴∠AHO＝∠BOH＝90°， ∵∠AF1H＝∠BF1O， ∴△AHF1∽△BOF1， ∴， ∴BOAH， ∴CGAH， ∴物体被缩小到原来的， 故选：D． 考点四十六．位似变换（共1小题） 90．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 【答案】D 【解答】解：∵点A（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小， ∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2）， 故选：D． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $