7.1.1数系的扩充和复数的概念教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦“数系的扩充和复数的概念”，以1545年卡丹方程问题导入，引发学生对Δ<0时方程无解的认知冲突，通过类比自然数到实数的数系扩充历史搭建支架，衔接平面向量基础，引导理解复数引入的必要性。 特色在于用历史情境激发探究欲（数学眼光），类比迁移培养逻辑推理（数学思维），问题驱动建构复数概念（数学语言）。实例包括卡丹方程求解、数系扩充表格填写、复数分类辨析，助学生发展理性思维，为教师提供结构化教学流程。

授课内容 数系的扩充和复数的概念 教材信息 人民教育出版社 高中数学（A版）必修第二册（P68-74） 课程类型 新授课 课时 1课时（40min） 授课对象 高一年级学生 教材分析 内容分析 本课程内容选自人民教育出版社高中数学（A版）必修第二册（P68-74）第七章《复数》第一节《复数的概念》中的“数系的扩充和复数的概念”，课时安排为一个课时。本课不仅注重对理论知识的传授：构建负实数如何开平方以及开平方的意义这一认知冲突及其消解来研究复数的概念及其表示，还强调对数学魅力的感知：通过数学家面对复数开方的困扰及其排解方法，引导学生深入感受引入复数的必要性，了解从实数系到复数系的扩充过程和方法，体会“数”与“形”的融合，感受人类理性思维在数系扩充中的作用。 教材首先聚焦于解方程等具体问题情景，借助“解决求判别式小于０的实系数一元二次方程根的问题”，类比引进无理数而把有理数集扩充到实数集那样，研究引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程变得可解，进而借助i2=-1托出复数的概念和表示z=a+bi，并区分了复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,同时也设计了适量的练习题，有助于学生拓展思维和素养，加深对数的认识，也为后续的学习打下了坚实的基础。 结构分析 第七章《复数》安排在第六章《平面向量及其应用》之后，第九章《立体几何》之前。在已经学习过平面向量的基本定理及坐标表示之后再进行复数的学习，可以为学生提供适当的脚手架，帮助学生进行知识的纵向迁移，也为后续学习复数四则运算和三角表示奠定基础的坚实的基础，而本节课的内容则是起到了承上启下的作用，不仅拓宽学生对数系的理解，也为后续提高学生的空间想象能力提供一个全新的最近发展区。 学情分析 学生年龄思维特点 高一学生年龄约 15—16 岁，积极、热情，有较强的求知欲，学习处于一个知识过渡阶段，他们的自我意识明显增强，独立思考和处理事物能力加速发展，在心理和行为上表现出强烈的自主性，思维从形象思维逐渐向抽象思维过渡，辩证逻辑思维日趋发展，对知识充满好奇、善于思考。自尊心较强，学生之间基础差异较大。 学生已有知识兴趣分析 前置知识：学生通过对前面一元二次方程的求解以及对平面向量的深入学习，对数字计算和数系类别已经有了较为深刻的认识，对开平方和数字的分解较为敏感，也为本节课的学习奠定了基础。 兴趣爱好：高中生好奇心强，对未知事物兴趣浓厚，能进行主动的探索和发现，同时学生们能够利用社交平台对一些著名的数学家遗留的数学难题进行初步的了解，便于课程的引入。 学生学习需求及障碍 高一年级的学生日常课程较多，思维活跃，具有一定的逻辑推理能力，有很多自己的想法，探索能力强，对一些实操性较弱的课程提不起兴趣，课堂上也很容易分心，注意力容易发散，需要一定的情境创设和积极的师生互动以及特定的矛盾认知。 解决方案 通过师生积极互动问答交流，创设平等的课堂沟通氛围，让学生敢于思辨；举用数学家的矛盾历史故事，引起学生的好奇心，让学生积极参与课堂；利用负数也能开根号激发认知冲突，挑起学生学习兴趣，让学生乐于思辨；最后利用知识点和练习题巧妙设问，让学生善于思辨。 教学目标 （1）了解引进复数的必要性，理解复数的基本概念 （2）了解复数的代数法表示，理解虚数单位和复数相等的充要条件. （3）体会实际需求与数学内部的矛盾在数学扩充过程中的作用，感受人类理性思维在数系的扩充过程的作用以及数与现实世界的联系。 教学重难点 重点 1.理解数系扩充的过程，明确复数产生的背景及意义。 2.掌握复数的基本概念，包括虚数单位i的性质及复数的表示方法。 3.理解复数相等的条件，掌握复数的分类。 4.能够运用复数解决实际问题，提高数学思维能力。 难点 1.理解实数系扩充到复数系的过程及复数产生的背景 2. 掌握虚数单位i的性质及复数的表示方法： 2.区分复数集C与实数集R之间的关系 设计理念 《数系的扩充和复数的概念》教学设计的设计理念主要围绕“激发兴趣、自主探究、综合培养”三大核心原则展开。培养学生的数学素养、思维能力以及解决问题的能力。 1、坚持以学生为主体，自主探究。以学生现有的知识基础为出发点，引导他们主动参与学习过程，通过设置“实系数一元二次方程ax２＋bx＋c＝０ （a≠０），当Δ＝b２－４ac＜０时没有实数根”,“负数可以开根号”、“x２＋a＝０ （a＞０）有解”，这一系列的认知冲突引导学生积极思考，主动探索解决问题的方法，同时考虑到学生的个体差异，提供难易多样化的解方程案例，使不同层次的学生都能在原有基础上得到提高。 2注重知识体系的连贯性与逻辑性，利用数学家的故事强调数系扩充的历史脉络，从自然数到复数，让学生理解数学知识的发展是一个逐步完善的过程。其次是逻辑推理：通过揭示复数集C与实数集R的关系以及数系扩充的内在逻辑，培养学生的逻辑推理能力，让学生认识到复数概念的产生是数学发展的必然结果。 3、培养数学思维与创新能力。课堂通过设置小组探究、讨论、猜想等活动激发学生的思维活力。鼓励学生敢于质疑古代数学家、勇于探索，培养他们的创新意识和创新能力。 教学方法 问题驱动法，讲授法、探究法、演示法 （采用问题驱动法，引导学生主动探究数系扩充的过程及复数的概念；通过实例讲解，让学生在实际问题中感受复数的重要性；设计丰富的课堂练习，巩固学生对复数概念的理解。利用多媒体教学手段，如动画、图表等，帮助学生形象地理解复数的几何意义；鼓励学生积极参与课堂讨论，提高他们的数学思维能力。） 具体教学过程 教学过程 教师活动 学生活动 设计意图 时间安排 情境导入： 解密历史 名方程 1.教师通过师生问答什么是好的数学？并借助陈省生先生曾经说过的“解方程就是好的数学”自问自答 2.问答结束后引出历史方程问题：1545年，意大利数学家卡丹在《大术》中提出问题:将10分成两部分，使其乘积为40.这两部分分别是多少呢？ 1.学生跟随教师提示，观看历史方程问题。 2.学生自主思考解决方法，尝试探究列出方程并求解。 X(10-x)=40 ↓ X2-10x+40=0 ↓ ▲=b2-4ac= -40<0 ↓ 无解 1.通过历史故事激发学生的好奇心，引导学生集中注意力进入课堂 2.利用历史方程问题激发学生的动手能力，让学生一开始就进入课堂，同时回顾复习了列方程的知识，利用貌似简单的解方程问题让学生主动说出该方程无解 3min 追问解密： 明知山有虎偏向虎山行 1．教师反问真的没有解吗？实数范围内无解，老师觉得在其他范围或许有解。 2．教师进一步提问：有哪位同学可以将解表示出来呢？（提示求根公式） 3.写出的两根是否符合要求呢？和为10，乘积为40？符合要求的话问题出在哪儿呢？ 4.教师提问，可否将进行化简呢？ 5.教师总结：其实卡丹也注意到了这个问题，期间出现了负面积、负体积，卡丹认为这是无用的，同学们觉得有用吗？ 问题1：如何解决的存在性问题？ 1．复习并使用求根公式来表示上述方程的解 解得： X1= X2= 2.学生思考这两根是否合理，问题到底出在哪儿? 3.学生讨论得到复数不能开平方。 4.学生在教师的提示下进行化简 =, 5.学生再次讨论负数开方的意义和价值。 1.学生亲自动手实践求出含有负数开跟的结果，并且符合题目要求，颠覆学生的认知，让学生有了更加强烈的求知欲，渴望继续接下来的学习，注意力也会高度集中 2.进行巧妙的化简，将转化为,巧妙的引出本节课的核心知识点 3.引导学生理解负数开根号的意义 5min 驻足回顾： 数的发展过程 1.教师呈现三类数集以及方程的求解情况，并讲解提示应该引入什么内容才能成立。 数集 方程求解情况 引入 自然数集N X+2=1(无解) ？负整数 整数集Z 2x=1(无解) ？分数 有理数集Q X2=2 (无解) ？无理数 2.继续追问同学们，要解决在已知数集中无法解决的问题时该怎么办呢？ 1.学生认真思考并完成教师提供的表格，是的数集得到扩充，进而方程有解 2.学生思考问题，并类比提出要扩充数系这一核心理念。 通过设置一级级的脚手架，由自然数集N-整数集Z-有理数集Q，一步步的扩充，让学生能自主总结得到必须得扩充数系才能满足数学的发展，这也是扩充数系的必要性和价值。 5min 系统讲解，新数引入 1.教师依据上述提出的问题：如何解决的存在性问题? 引出i的定义和内涵。 在1777年，欧拉在《微分公式》一文中 首创了“imaginary”(想象的、假想的)的首字母i作为虚数的单位，本意是这个数是虚幻的，规定了i2=-1. 引入新数i，规定i2=-1,称i为虚数单位 2.引导学生将上面所求的根改写成含有i的代数式 3.回归方程本身，教师介绍并引导学生推导ax２＋bx＋c＝０ （a≠０），当Δ＝b２－４ac＜0的一元二次方程的求根公式。 1.学生认真听讲，理解i的引入和含义 2.实践操作实现负数根号的改写。 X1= ↓ X1=i X2= ↓ X2=i 3.学生在教师的引导下一步步推算替换得到含有i的求根公式。 ↓ ↓ ↓ 在激起学生前期认知冲突的结果在此刻得到解决，学生恍然大悟，新的知识让学生的思路一下子开阔了，有助于学生对新知识的理解和消化，同时在借助前期的求根公式，在已有知识的基础上进行新知识的建构，更能让学生将其转为长期记忆 5min 深入拓展： 复数的简单运算 1.引导学生回顾其它数系的运算规则和方法 自然数集 2+（-2） 2*（-2） 整数集 2+(4/5) 2*(4/5) 有理数集 2+ 2* 实数集 添加“新数”,数系扩充后，原来数系中规定的加法和乘法 运算法则和运算律在新数集中仍然成立。 2.讲解完成后教师互动：请同学们思考一下新数i与实数进行加成以后是怎么样的呢？ 问题2:那么，把“新数i”添加到实数集中，组成的新数集包含哪些元素? 3.教师类比讲解i与实数的加成 实数R：a,b 复数C：i a+i=a+1i bi=0+bi a+bi a=a+0i i=0+1i 1.学生认真听讲，并思考之前学过的四则运算规则 2.学生进行自主探究交流新数i如何与实数进行加成a+bi的形式,这也就是复数的代数形式。 a+i=a+1i bi=0+bi a=a+0i i=0+1i 通过回顾其它数集的运算法则，学生可以更加方便的将其迁移到虚数i的运算上去。方便学生理解和消化,同时学生现有思考过程在进行讲解，也有了一个上位的观念，学生才能掌握的更好。 5min 概念解释： 疑云消除 教师讲解虚数的知识点： 1.形如a＋bｉ（a，b∈R）的数叫做复数, 其中ｉ叫做虚数单位, 全体复数构成的集合 C＝｛a＋bｉ｜a，b∈R 叫做复数集｝, 这样，方程x２＋１＝０在复数集C中就有解x＝ｉ了, 其中的a 与b分别叫做复数的实部与虚部 2. 我们规定： a＋bｉ与c＋dｉ相等当且仅当a＝c且b＝d． 3．对于复数a＋bｉ （a，b∈R），当且仅当b＝０时，它是实数；当且仅当a＝b＝０时，它是实数０；当b≠０时，它叫做虚数,当a＝０且b≠０时，它叫做纯虚数． 学生认真听讲，并跟随教师的讲解根据课本习题自行练习，认识复数的概念，实部虚部，以及虚数相当的条件和纯虚数的概念。 进行了前期的抽象与建模，学生对i以及有了清晰的认识，这个时候再提出复数的概念及其代数表达形式，学生更能理解和应用，原理性的知识也才能更好的内化。完成后在进行一定的实践练习，学习效果才会更上一层楼。 8min 实战演练： 小试牛刀 教师呈现部分例题，学生进行练习 1.请指出下列的实部和虚部 学生实践练习区分实部和虚部，以及复数相等的含义 通过练习题加深学生对复数的理解，深化知识点 5min 深入思考： 提炼升华 教师提问: 复数集C与实数集R之间有什么关系？并积极引导学生 学生积极思考探究，并结合课本给出答案:复数集＝实数集∪虚数集；实数集与虚数集的交集为空集；纯虚数集为虚数集的真子集. 比较学习，让学生领悟数系扩充后的界限，能够正确区分各个数集的含义和取值范围。 2min 课堂总结 本节课我们学习了哪些知识和思想方法 学生思考回答：数系的扩充引入i；复数的概念——引入复数的代数形式：z=a+bi，知道实部和虚部 学生自主总结，让学生在课堂上有所收获，自主探究后得到的结论才会牢记于心。 2min 板书设计 7.1.1数系的扩充和复数的概念 复数： Z=a+bi(a,b∈R) ，其中的a和b分别叫做复数z的实部和虚部，i是虚数单位 作业设计 例１ 当实数m 取什么值时，复数z＝m＋１＋（m－１）ｉ是下列数？ （１）实数；（２）虚数；（３）纯虚数． 教学反思 没有设置学生自评环节：设置学生自评环节非常重要，在这一环节中，学生可以对自己的学习过程、成果以及与他人合作的情况进行全面的反思和评价。通过自评，学生可以更加明确自己的学习目标和学习方向，也可以发现自己的不足之处，从而有针对性地进行改进和提高 学科网（北京）股份有限公司 $