专题13 椭圆、双曲线与抛物线（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆、双曲线、抛物线三大核心考点，按考情精解、知能框架、题型攻坚逻辑架构知识体系，通过考点梳理构建参数关系网络，方法指导提炼定义转化等解题策略，真题训练覆盖近三年天津高考原题，助力学生系统突破离心率、方程求解、位置关系等难点。 讲义突出数学思维与数学语言融合，创新设计“曲线融合问题”专题，引导学生用定义转化条件减少运算量，如双曲线与抛物线共焦点问题的参数关联训练。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合题型技法总结，确保高效复习，为教师把控复习节奏、学生提升解题能力提供有力支撑。

专题13椭圆、双曲线与抛物线 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 4 考点一 椭圆 4 真题动向 必备知识 知识1椭圆两个标准方程几何性质的比较 知识2直线与椭圆的位置关系 知识3直线与椭圆的相交弦 命题预测 题型1椭圆标准方程及离心率或取值范围 题型2直线与椭圆的位置关系求参数及椭圆中的定值问题 考点二 双曲线与抛物线 10 真题动向 必备知识 知识1双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征 知识2求离心率范围的方法 知识3抛物线性质与结论 命题预测 题型1双曲线的标准方程、离心率问题、参数问题及双曲线的渐近线 题型2抛物线的标准方程、抛物线的定义、抛物线的焦点及准线及焦半径 题型3圆锥曲线中涉及参数问题 命题轨迹透视 有关圆锥曲线的天津高考试题，平面解析几何中椭圆、双曲线、抛物线是中学数学的重要内容,也是考查考生学科素养的重要载体,高考对解析几何的考查一般以课程学习情境与探索创新情境为主,注重数学知识的基础性、综合性和应用性的考查，主要考查椭圆标准方程；离心率或取值范围；直线与椭圆的位置关系求参数；椭圆中的定值问题；椭圆中的多边形，双曲线的标准方程；离心率问题；参数问题；双曲线的渐近线；抛物线的标准方程；抛物线的定义；抛物线的焦点、准线及焦半径及其综合问题,主要考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力,从近三年的高考试题来看，本专题考查内容覆盖直线、圆,突出考查考生理性思维、数学应用、数学探索等学科素养。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 椭圆 T18，15分 T18，15分 T18，15分 双曲线与抛物线 T9，5分 T8，5分 T12，5分 T9，5分 T12，5分 2026命题预测 预计在2026年高考中，分值与题型：约25分，2小1大（第9/12/18题），选填中低档、大题中偏难，梯度清晰。 小题高频：椭圆：定义、标准方程、离心率、焦点/准线/对称性、与圆/向量结合。双曲线：定义、渐近线、离心率、与抛物线共焦点/准线综合（如2025第9题） 。抛物线：定义（到焦点=到准线）、焦点弦、与圆/直线相切、参数方程简化计算。大题核心：椭圆为绝对主力，考直线与椭圆位置关系；设问依次为：求方程→定点/定值证明→范围/最值/面积/斜率关系，重视设而不求、韦达定理、非对称韦达。新情景考法： 曲线间融合（双+抛、椭+圆、抛+圆），用定义转化条件减少运算。 动态问题（动点轨迹、斜率和/积、弦长/面积最值），结合平面几何简化。跨模块：与向量、三角、导数、概率统计结合，强调建模与转化。 考点一 椭圆 1．（2025·天津·高考真题，18，15分）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 2．（2024·天津·高考真题，18，15分）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 3．（2023·天津·高考真题，18，15分）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 4．（2004·天津·高考真题，18，15分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点的准线 与 轴相交于点 ，，过点的直线与椭圆相交于 两点． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若，求直线 的方程． 5．（2006·天津·高考真题，9，5分）椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点F的准线方程为，则这个椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2004·天津·高考真题，18，15分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若，求直线的方程； (3)设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明． 知识1椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上． 知识2直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点， 若点在椭圆上，则有； 若点在椭圆内，则有； 若点在椭圆外，则有． 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 知识3直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点，两点，则 同理可得 这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 离心率的值及取值范围 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 【易错提醒】　 圆锥曲线的率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是，而双曲线的离心率范围是，在求范围的时候要时刻注意. 题型1椭圆标准方程及离心率或取值范围 1．（2025·天津静海·三模）已知椭圆的离心率为，且经过点，直线与轴交于点，与椭圆交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)若点坐标为，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的斜率. 2．（2025·天津·一模）已知椭圆，过右焦点的直线交于A，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为AB，DE的中点.当轴时，，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求定点坐标； (3)设为直线与直线的交点，面积的为，求直线的方程. 3．（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、． (1)求椭圆的方程； (2)若线段中点的横坐标是，求直线的斜率； (3)在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·天津·一模）已知椭圆的离心率为，左顶点为A，上顶点为的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的动直线l与椭圆C交于不同的两点（M在之间），求的取值范围． 5．（2025·天津·二模）椭圆（），过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆的上顶点，若的最大值为8，面积的最大值为12． (1)求椭圆的方程； (2)是椭圆上异于（不在坐标轴上）的任意两点，且直线相交于点，直线相交于点，直线斜率均存在．求证：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值． 6．（2025·天津北辰·三模）已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过做垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由. 7．（2025·天津·模拟预测）已知椭圆C：（）上一动点D到原点O距离的最小值为，最大值为2． (1)求椭圆C方程． (2)设椭圆C的左右焦点分别为，，过作直线l交椭圆于两点，点E满足，线段，OP交于点A，设与的面积分别为，，求的取值范围． 8．（2025·天津·二模）已知椭圆的离心率为，点P为椭圆上的动点，过点P作椭圆的切线，与圆交于A，B两点，线段AB长度的最小值为2. (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线OA，OB斜率乘积为定值（其中O为坐标原点）. 题型2直线与椭圆的位置关系求参数及椭圆中的定值问题 9．（2025·天津和平·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，上顶点为，直线的斜率为． (1)求椭圆离心率； (2)已知直线与椭圆相切于点，过作垂直于直线，交直线于点，若，求线段的长． 10．（2025·天津滨海新·三模）已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左，右顶点，是椭圆的上顶点，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线交于，两点（异于，），直线与交于点． （i）求面积的取值范围； （ii）是否存在点同时满足，若存在求出点的坐标，若不存在说明理由． 11．（2025·天津·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点，直线与直线分别交于点，线段的中点为. 是否存在实数，使得以为直径的圆总与轴相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 12．（2025·天津南开·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是为上一点，且在中，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值． 13．（2025·天津红桥·二模）已知椭圆的短轴长为4，离心率为过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，在的左侧). (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与直线交于点M，的面积为求直线的方程. 14．（2025·天津河北·二模）已知椭圆的上、下顶点与一个焦点是等腰直角三角形的三个顶点，且点在椭圆上． (1)求椭圆C的离心率及标准方程； (2)过点且斜率存在的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，问在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 考点二 双曲线与抛物线 1．（2025·天津·高考真题，9，5分）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 2．（2003·全国·高考真题，9，5分）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·高考真题，9，5分）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·天津·高考真题，9，5分）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2008·天津·高考真题，18，15分）已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是． (1)求双曲线的方程； (2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围． 6．（2005·天津·高考真题，9，5分）设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（    ） A． B． C． D． 7．（2022·天津·高考真题，9，5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2021·天津·高考真题，9，5分）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 9．（2020·天津·高考真题，9，5分）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2019·天津·高考真题，9，5分）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为 A． B． C．2 D． 11．（2015·天津·高考真题，9，5分）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 12．（2024·天津·高考真题，12，5分）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 13．（2017·天津·高考真题，12，5分）设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 . 14．（2017·天津·高考真题，18，15分）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为. （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程. 15．（2016·天津·高考真题，12，5分）设抛物线（）的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，则的值为 ． 16．（2011·天津·高考真题）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为 A．2 B．2 C．4 D．4 17．（2013·天津·高考真题，9，5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p= A．1 B． C．2 D．3 18．（2012·天津·高考真题，12，5分）已知抛物线的参数方程为（t为参数）,其中p>0，焦点为F，准线为. 过抛物线上一点M作的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p = . 19．（2013·天津·高考真题，12，5分）已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 . 知识1双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征 双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来． （5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系． 直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切． 弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 知识2求离心率范围的方法 建立不等式法： 1、利用曲线的范围建立不等关系． 2、利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 3、利用角度长度的大小建立不等关系．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系． 6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系． 函数法： 1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； 2、通过确定函数的定义域； 3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围． 坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 知识3抛物线性质与结论 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）．（2）在抛物线上．（3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义：为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）．（2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式：（2） （3）直线AB的方程为（4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为（2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2）， （3）；（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 【易错提醒】 ①求最值问题时一般转化为函数最值问题，自变量范围一般容易忽略判别式的前提（判别式也存在隐含自变量的范围） ②直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅靠研究特殊情况来说明 题型1双曲线的标准方程、离心率问题、参数问题及双曲线的渐近线 1．（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 2．（2025·天津北辰·三模）已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 3．（2025·天津·二模）已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为 . 4．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 6．（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津南开·二模）已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·天津河西·二模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线分别交双曲线的左、右两支于，两点，满足，且，，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·天津·二模）双曲线的左右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·天津·二模）若直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型2抛物线的标准方程、抛物线的定义、抛物线的焦点及准线及焦半径 11．（2025·天津·一模）已知圆心位于抛物线焦点处的圆，与直线相交于、两点，且，则圆的标准方程为 ． 12．（2025·天津·二模）已知抛物线（）的焦点F是双曲线（）的一个顶点，两条曲线的一个交点为A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若是正三角形，则p的值为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ． 14．（2025·天津河西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，圆，过点作直线，当圆心到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 15．（2025·天津·二模）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 16．（2025·天津和平·三模）已知抛物线过点；其焦点为，以为直径作圆，圆与圆相交于，两点，则直线的方程为 ． 17．（2025·天津南开·二模）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 ． 18．（2025·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆：，过点作直线与圆交于两点，且为的中点，则直线的方程为 . 19．（2025·天津·二模）过点且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，已知直线经过抛物线的焦点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 . 20．（2025·天津·二模）以抛物线的焦点为圆心，且过点的圆与直线相交于，两点，则 . 题型3圆锥曲线中涉及参数问题 21．（2026·天津北辰·月考）已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为，，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率的取值范围为，则该椭圆的焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（2025·天津·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·天津·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且满足，则取值范围是（    ）． A． B． C． D． 24．（2025·天津武清·模拟预测）已知抛物线，直线l过C的焦点F且与C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆与y轴交于M，N两点且圆心为G，则的最小值是 . 25．（2025·天津和平·一模）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13椭圆、双曲线与抛物线 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 4 考点一 椭圆 4 真题动向 必备知识 知识1椭圆两个标准方程几何性质的比较 知识2直线与椭圆的位置关系 知识3直线与椭圆的相交弦 命题预测 题型1椭圆标准方程及离心率或取值范围 题型2直线与椭圆的位置关系求参数及椭圆中的定值问题 考点二 双曲线与抛物线 40 真题动向 必备知识 知识1双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征 知识2求离心率范围的方法 知识3抛物线性质与结论 命题预测 题型1双曲线的标准方程、离心率问题、参数问题及双曲线的渐近线 题型2抛物线的标准方程、抛物线的定义、抛物线的焦点及准线及焦半径 题型3圆锥曲线中涉及参数问题 命题轨迹透视 有关圆锥曲线的天津高考试题，平面解析几何中椭圆、双曲线、抛物线是中学数学的重要内容,也是考查考生学科素养的重要载体,高考对解析几何的考查一般以课程学习情境与探索创新情境为主,注重数学知识的基础性、综合性和应用性的考查，主要考查椭圆标准方程；离心率或取值范围；直线与椭圆的位置关系求参数；椭圆中的定值问题；椭圆中的多边形，双曲线的标准方程；离心率问题；参数问题；双曲线的渐近线；抛物线的标准方程；抛物线的定义；抛物线的焦点、准线及焦半径及其综合问题,主要考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力,从近三年的高考试题来看，本专题考查内容覆盖直线、圆,突出考查考生理性思维、数学应用、数学探索等学科素养。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 椭圆 T18，15分 T18，15分 T18，15分 双曲线与抛物线 T9，5分 T8，5分 T12，5分 T9，5分 T12，5分 2026命题预测 预计在2026年高考中，分值与题型：约25分，2小1大（第9/12/18题），选填中低档、大题中偏难，梯度清晰。 小题高频：椭圆：定义、标准方程、离心率、焦点/准线/对称性、与圆/向量结合。双曲线：定义、渐近线、离心率、与抛物线共焦点/准线综合（如2025第9题） 。抛物线：定义（到焦点=到准线）、焦点弦、与圆/直线相切、参数方程简化计算。大题核心：椭圆为绝对主力，考直线与椭圆位置关系；设问依次为：求方程→定点/定值证明→范围/最值/面积/斜率关系，重视设而不求、韦达定理、非对称韦达。新情景考法： 曲线间融合（双+抛、椭+圆、抛+圆），用定义转化条件减少运算。 动态问题（动点轨迹、斜率和/积、弦长/面积最值），结合平面几何简化。跨模块：与向量、三角、导数、概率统计结合，强调建模与转化。 考点一 椭圆 1．（2025·天津·高考真题，18，15分）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率得到，再由直线的斜率得到，从而利用三角形的面积公式得到关于的方程，解之即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得，进而得到直线的方程与点的坐标，法一：利用向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证. 【详解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . （2）由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分. 2．（2024·天津·高考真题，18，15分）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，使得恒成立. 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 3．（2023·天津·高考真题，18，15分）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为. (2). 【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率. （2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案. 【详解】（1）如图，    由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 4．（2004·天津·高考真题，18，15分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点的准线 与 轴相交于点 ，，过点的直线与椭圆相交于 两点． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若，求直线 的方程． 【答案】(1)椭圆的标准方程为：，离心率为 (2)或 【分析】（1）由已知条件设椭圆的标准方程，根据题意建立关于的方程组，联立解出即可的椭圆的标准方程，利用椭圆离心率公式计算出结果即可； （2）由（1）知道椭圆的标准方程，设直线的方程为：，联立椭圆的方程消元，韦达定理，写出再利用直线方程写出，代入，化简计算就可以得到所求直线方程. 【详解】（1）由题意设椭圆的标准方程为： 由已知有 解的： 所以椭圆的标准方程为：，离心率为 （2）由（1）可知，设直线的方程为： 于是，消去整理得： ， 由 ，得 设 则                              ① 所以 ② 因为 所以                                            ③ 联立①②③解的： 所以，又， 所以, 所以直线的方程为：或 5．（2006·天津·高考真题，9，5分）椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点F的准线方程为，则这个椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆中心坐标和一个焦点坐标得半焦距，再根据准线方程，分析a的值，得到平移后椭圆方程. 【详解】因为椭圆中心为点，且一个焦点为， 所以该椭圆为中心在坐标原点焦点在x轴上的椭圆向左平移一个单位后的椭圆， 设椭圆方程为，由题，， 又因为准线方程为，所以，解得，， 椭圆方程为：. 故选：D. 6．（2004·天津·高考真题，18，15分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于两点． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若，求直线的方程； (3)设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明． 【答案】(1)椭圆方程，离心率为 (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆的几何意义求出即可； （2）设，直线，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求关于的表达式，再根据向量数量积的坐标表示求出的值即可； （3）设，则，由在椭圆上和解出与的关系，再利用向量的坐标表示求解即可. 【详解】（1）设椭圆方程为， 由题意可得，且，解得， 所以椭圆方程为，离心率. （2）由（1）得，过点的直线与椭圆相交于两点，显然直线斜率存在， 设直线的方程为，， 由得， 依题意，得， 则，， ， 因为，所以，解得， 所以直线的方程为或. （3）由（1）得，设， 所以，， 由已知得方程组，解得， 因为，， 所以， ， 所以. 知识1椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上． 知识2直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点， 若点在椭圆上，则有； 若点在椭圆内，则有； 若点在椭圆外，则有． 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 知识3直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点，两点，则 同理可得 这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 离心率的值及取值范围 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 【易错提醒】　 圆锥曲线的率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是，而双曲线的离心率范围是，在求范围的时候要时刻注意. 题型1椭圆标准方程及离心率或取值范围 1．（2025·天津静海·三模）已知椭圆的离心率为，且经过点，直线与轴交于点，与椭圆交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)若点坐标为，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意得，解出即可求解； （2）当的斜率不存在时，验证是否满足题意，当斜率存在且不为0，设直线的方程为，与椭圆方程联立消元，由韦达定理得，利用弦长公式求弦长和，利用即可求解. 【详解】（1）由题意知， 椭圆的方程为：. （2）为椭圆的焦点，当的斜率不存在时，显然，，显然， 斜率存在且不为0，设直线的方程为，， ，，，， 所以，， ， 此时，， ，，， ，解得或， 直线的斜率为或. 2．（2025·天津·一模）已知椭圆，过右焦点的直线交于A，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为AB，DE的中点.当轴时，，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求定点坐标； (3)设为直线与直线的交点，面积的为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)或. 【分析】（1）由通径和离心率求出a，b，c的值，得椭圆C的标准方程； （2）设直线AB和DE的方程，与椭圆方程联立，表示出M，N两点坐标和直线MN的方程，由方程确定所过定点； （3）由题意得，利用弦长公式可求得、，从而得到．再根据题意列式求解，即可得直线的方程. 【详解】（1）由题意可得，解得，， 则椭圆C的标准方程为． （2）B，D在x轴上方，直线l斜率存在且不为0， 设直线，联立椭圆，消去x得：， 由韦达定理得：， ， 则中点， 由，所以以代替m可得， 所以， ， 化简得， 则过定点． 当时，取，，则过定点； 当时，取，，则过定点； 综上直线MN过定点． （3）M，N分别为AB，DE的中点， ， 由（2）知， 以代替m可得， 所以， ，所以或， 解得，， 所以直线的方程为：或. 3．（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、． (1)求椭圆的方程； (2)若线段中点的横坐标是，求直线的斜率； (3)在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，且点 【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）设点、，则，利用点差法可得出，结合点在直线上，可得出，代入可得出的值； （3）假设在轴上存在点满足题设条件，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算结合为定值，可得出，求出的值，即可得出结果. 【详解】（1）由题意可得，可得，因此椭圆方程为，即. （2）设点、，则， 因为，这两个等式作差可得， 即， 由题意可知，直线的方程为， 线段的中点在直线上，所以，，可得， 所以，故，故直线的斜率为. （3）在轴上存在点，使是与无关的常数. 证明：假设在轴上存在点，使是与无关的常数， 因为直线过点且斜率为，所以，直线的方程为， 由 得. 设、，则，， 因为，， 所以 设常数为，则， 整理得对任意的恒成立， ，解得， 即在轴上存在点，使是与无关的常数. 4．（2025·天津·一模）已知椭圆的离心率为，左顶点为A，上顶点为的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的动直线l与椭圆C交于不同的两点（M在之间），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率的定义，三角形的面积，椭圆中，解方程可得； （2）分直线的斜率存在与否，当斜率存在时，设出直线方程，直曲联立表示出韦达定理，再利用图形化简面积表达式，然后利用非对称韦达定理表示出面积表达式，再设，构造函数，利用单调性求取值范围可得. 【详解】（1）由题意可得， 又，解得， 所以椭圆C的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则四点共线，不存在面积比，不符合题意； 若直线的斜率存在， 如图，设直线的方程为， 联立，消去得，， 所以，即， 所以， 因为，， 又，所以， 因为，， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 设，由于在之间，所以，即， 设，在上单调递增， 令，解得， 令，解得（舍）或， 故， 所以. 5．（2025·天津·二模）椭圆（），过原点的直线与椭圆交于两点，点为椭圆的上顶点，若的最大值为8，面积的最大值为12． (1)求椭圆的方程； (2)是椭圆上异于（不在坐标轴上）的任意两点，且直线相交于点，直线相交于点，直线斜率均存在．求证：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得到，再结合面积求得，即可求解； （2）设，，，，则，通过点差法，化简求解即可. 【详解】（1）依题意，当两点与椭圆的左、右顶点重合时，有最大值，且的面积有最大值， 所以，，，． 所以椭圆的方程为． （2） 证明：设，，，，则， 则． 因为，， 两式相减，得，所以， 即． 所以．① 同理，可得， 所以．② ，得， 则， 所以． 即直线AB的斜率与直线MN的斜率乘积为定值． 6．（2025·天津北辰·三模）已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过做垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，定值9. 【分析】（1）利用题设条件列出方程，求出，即得椭圆的方程； （2）设直线，将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用直线的直线方程求出点的坐标，结合图形表示出，化简并代入韦达定理计算即得定值. 【详解】（1）由椭圆短轴长为，得， 又椭圆C左焦点到直线的距离为，解得 则，故椭圆的方程是. （2）设直线，且 联立 则，即得，且， 则，过做垂直于长轴的直线为 令，得，同理可得； 又，， 则 ， 为定值9.    7．（2025·天津·模拟预测）已知椭圆C：（）上一动点D到原点O距离的最小值为，最大值为2． (1)求椭圆C方程． (2)设椭圆C的左右焦点分别为，，过作直线l交椭圆于两点，点E满足，线段，OP交于点A，设与的面积分别为，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用动点到原点的距离公式，利用二次函数结合动点取值范围，可求最值，从而可得椭圆方程； (2)利用定比分点，结合向量知识，可得交点分线段的比例，然后把三角形面积转化到交点纵坐标表示上来，最后利用韦达定理来求解即可. 【详解】（1）设动点，则， 所以有， 因为，所以，即，当且仅当时取到最小值， 又因为，所以，当且仅当时取到最大值， 故椭圆C方程为； （2） 由图可知：，设，又由 则， 因为三点共线，可得， 则， 所以， 设直线方程为，与椭圆，消得： ， 设交点， 则有 由 ， 令，则，由，可知， 根据对勾函数可知：恒成立， 所以只需要解，因为， 所以， 解得， 而， 因为，所以， 即. 8．（2025·天津·二模）已知椭圆的离心率为，点P为椭圆上的动点，过点P作椭圆的切线，与圆交于A，B两点，线段AB长度的最小值为2. (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线OA，OB斜率乘积为定值（其中O为坐标原点）. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由离心率得，设点，将椭圆方程化为，利用导数的几何意义求出切线方程，再由圆的弦长公式求出弦长，进而求出即可. （2）利用（1）中信息求出直线与圆的方程，联立求出两根的积即可推理得证. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 椭圆方程为，圆化为圆， 设，则，当时，由，得， 求导得，直线的斜率； 当时，由，得，求导得， 直线的斜率， 因此当时，直线的方程为，整理得， 当时，点，直线的方程为，点，直线的方程为， 满足，于是对任意点，直线的方程为， 圆的圆心到直线距离， 而圆的半径为，，当且仅当时取等号， 因此，解得，所以椭圆方程为，即. （2）由（1）知，圆的方程为，直线方程为， 由消去得，设， 则，消去得， 则， 当时，点分别为圆与轴的交点，的斜率一个为0，一个不存在； 当时，的斜率都存在且不为0，斜率乘积为为定值. 题型2直线与椭圆的位置关系求参数及椭圆中的定值问题 9．（2025·天津和平·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，上顶点为，直线的斜率为． (1)求椭圆离心率； (2)已知直线与椭圆相切于点，过作垂直于直线，交直线于点，若，求线段的长． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由条件易得，进而可求解； （2）通过和，结合直线方程、椭圆方程求得坐标，通过向量数量积的坐标表示，列出等式求解. 【详解】（1）， 由条件可知，又， 可得：， 所以. （2）由（1）可知：， 椭圆方程为，设， 当时，直线，， 设夹角为，则， 由， 所以，所以， 所以， 当时，设 联立椭圆方程：，化简整理得： ， 由，整理得到：， ，， 故， 又， 所以， 由垂直关系易知直线的方程为， 联立，得， 所以， 所以 由 ，解得：， 所以， 所以， 综上 10．（2025·天津滨海新·三模）已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左，右顶点，是椭圆的上顶点，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线交于，两点（异于，），直线与交于点． （i）求面积的取值范围； （ii）是否存在点同时满足，若存在求出点的坐标，若不存在说明理由． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）存在，点或. 【分析】（1）由离心率及已知有求椭圆参数，即可得方程； （2）（i）设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理得，，再应用面积公式求范围；（ii）由题设直线为，直线为，进而得，令得，再设点的坐标，由向量数量积的坐标运算列方程求参数，即可得结论. 【详解】（1）由题意，又，解得，椭圆的标准方程为； （2）（i）设直线的方程为，， 消得，即， 所以，设，，恒成立， ，， ， 令，，则， 由在上单调递增，则，故， 所以； （ii），，由（i）， 直线的方程为，直线的方程为， 因为，，所以． 令 ∴， ∴，，点的横坐标为定值，设点的坐标， 因为，，， 解得，得出或，所以存在点或满足条件. 11．（2025·天津·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点，直线与直线分别交于点，线段的中点为. 是否存在实数，使得以为直径的圆总与轴相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）由定点及四边形面积列出方程求出. （2）设直线方程，，联立椭圆方程，设，结合韦达定理，分别得到的方程，进而得到坐标，从而得到坐标，再结合中点到轴的距离等于一半列出等式求解即可； 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，过的直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 由消去得，设， 则，在中，令，得，点， 直线的方程为，令，得，则， 同理得，设中点，则 ， 即点，设中点为，则. 假设存在实数，使得以为直径的圆与轴相切，则点到轴的距离为， 而，则， 整理得，解得， 所以存在，使得以为直径的圆总与轴相切. 12．（2025·天津南开·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是为上一点，且在中，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点（点在点的上方），线段上存在点，使得，求的最小值． 【答案】(1)(2)． 【分析】（1）设椭圆的焦点为，由，求得，进而得，由椭圆定义求得，得解； （2）设，当直线的斜率存在时，设直线，由，可得，联立直线与椭圆的方程得到根与系数关系，求得，进而得点在直线上，当直线的斜率不存在时，易得点也满足在直线上，由平面几何知识求解得到答案. 【详解】（1）设， 依题意，，解得，从而， 因此，由勾股定理可得． 所以，可得． 所以求椭圆的方程为. （2）设， 当直线的斜率存在时，， 由，可得，解得．（*） 设直线， 联立整理可得， 由， 整理可得：，解得或， 且， 代入（*）整理可得， 代入直线的方程，得， 可得． 当直线的斜率不存在时，，则， 由，得，也满足方程， 所以点在直线（在椭圆内部）上． 设点关于直线的对称点为， 则解得， 所以， 此时点在椭圆内，符合题意， 所以的最小值为.    13．（2025·天津红桥·二模）已知椭圆的短轴长为4，离心率为过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，在的左侧). (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与直线交于点M，的面积为求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由题意可得出，解方程求出，即可求出椭圆方程； （2）首先设直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示点的坐标，并利用坐标表示的面积，即可求解直线方程. 【详解】（1）由题意可得：，解得：， 故，，， 所以椭圆C的方程为. （2）当直线斜率为0时，不符合题意，舍去. 当直线斜率不为0时，设直线方程为，设， 联立，得， 易知，则，. 易知，， 所以直线：①，直线：②， 联立①②， 所以， 因为， 所以， 解得， 故直线的方程为或. 14．（2025·天津河北·二模）已知椭圆的上、下顶点与一个焦点是等腰直角三角形的三个顶点，且点在椭圆上． (1)求椭圆C的离心率及标准方程； (2)过点且斜率存在的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，问在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，. 【分析】（1）根据已知有，即，再将已知点代入方程求参数值，即可得标准方程和离心率； （2）先假设点存在，并设，，直线，联立椭圆并应用韦达定理得到，，根据已知方程恒成立得到，即，整理化简求参数m，即可得. 【详解】（1）由上下顶点与一个焦点是等腰直角三角形的三个顶点，所以，则， 所以，且，又在椭圆上，则， 所以标准方程为； （2）假设在轴上存在与点不同的定点，使得恒成立，    设，，直线， 由，可得，显然， 则，， 由，而， 所以，即，则， 所以，即，则， 所以，则不论为何值，恒成立， 所以，即，使得恒成立. 考点二 双曲线与抛物线 1．（2025·天津·高考真题，9，5分）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 2．（2003·全国·高考真题，9，5分）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用焦点坐标设出标准方程，再由点差法以及直线方程和横坐标联立方程组可得. 【详解】根据焦点坐标可设标准方程为，且； 设，可得， 两式相减可得； 由直线与双曲线交于两点，且中点的横坐标为， 可得斜率，且中点坐标为； 所以，即； 解得，所以双曲线的方程是. 故选：D 3．（2024·天津·高考真题，9，5分）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 4．（2023·天津·高考真题，9，5分）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 5．（2008·天津·高考真题，18，15分）已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是． (1)求双曲线的方程； (2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围． 【答案】(1)(2)的取值范围是 【分析】（1）设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线的方程． （2）设出直线的方程，代入双曲线的方程，利用判别式及根与系数的关系求出的中点坐标，从而得到线段的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围成的三角形面积，由判别式大于0，求得的取值范围． 【详解】（1）解：设双曲线的方程为． 由题设得，解得，所以双曲线方程为． （2）解：设直线的方程为． 点，，，的坐标满足方程组 将①式代入②式，得，整理得． 此方程有两个不等实根，于是，且△． 整理得． ③ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标，满足，． 从而线段的垂直平分线方程为． 此直线与轴，轴的交点坐标分别为，． 由题设可得． 整理得，． 将上式代入③式得，整理得，． 解得或． 所以的取值范围是． 6．（2005·天津·高考真题，9，5分）设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得椭圆的长轴端点和焦点坐标，设双曲线的方程为， 可得a、b的方程组，求出a、b的值，可得双曲线的渐近线斜率. 【详解】解：由题意可得：椭圆的长轴端点为，，且，所以焦点坐标， 设双曲线的方程为，可得， 解得：， 可得， 故选：C. 7．（2022·天津·高考真题，9，5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】抛物线的准线方程为，则，则、， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得， 所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为. 故选：D. 8．（2021·天津·高考真题，9，5分）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为， 则抛物线的准线为， 令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，即，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 9．（2020·天津·高考真题，9，5分）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程． 【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为， 又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得． 故选：． 10．（2019·天津·高考真题，9，5分）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为 A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率． 【详解】抛物线的准线的方程为， 双曲线的渐近线方程为， 则有 ∴，，， ∴． 故选D． 11．（2015·天津·高考真题，9，5分）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D． 考点：双曲线的标准方程． 12．（2024·天津·高考真题，12，5分）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 13．（2017·天津·高考真题，12，5分）设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为 . 【答案】 【详解】设圆心坐标为，则，焦点， ， ，， 由于圆与轴得正半轴相切， 则取，所求圆得圆心为，半径为1， 所求圆的方程为. 14．（2017·天津·高考真题，18，15分）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为. （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程. 【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ），或. 【详解】试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是. 所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为. （Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可学*科.网得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以. 所以，直线的方程为，或. 15．（2016·天津·高考真题，12，5分）设抛物线（）的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点，若，且的面积为，则的值为 ． 【答案】 【详解】试题分析：抛物线的普通方程为，，， 又，则，由抛物线的定义得，所以，则， 由得，即， 所以，， 所以，解得． 16．（2011·天津·高考真题）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为 A．2 B．2 C．4 D．4 【答案】B 【详解】试题分析：根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案． 解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）， 即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4， 则抛物线的焦点为（2，0）； 则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2； 点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x， 由双曲线的性质，可得b=1； 则c=，则焦距为2c=2； 故选B． 17．（2013·天津·高考真题，9，5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p= A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】∵双曲线， ∴双曲线的渐近线方程是y=±x 又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣， 故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，则， A，B两点的纵坐标分别是y=±=， 又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线 ∴，得p=2． 故选C． 18．（2012·天津·高考真题，12，5分）已知抛物线的参数方程为（t为参数）,其中p>0，焦点为F，准线为. 过抛物线上一点M作的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p = . 【答案】2 【详解】由抛物线的参数方程可知其普通方程为为等边三角形，E的横坐标为的横坐标为3， 19．（2013·天津·高考真题，12，5分）已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的焦点，再结合离心率求出方程作答. 【详解】依题意，抛物线的准线为，而双曲线的焦点在x轴上， 于是双曲线的左焦点为，半焦距，而双曲线的离心率为2，由，得，因此， 所以双曲线方程为. 故答案为： 知识1双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征 双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来． （5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系． 直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点；若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点；注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切． 弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 知识2求离心率范围的方法 建立不等式法： 1、利用曲线的范围建立不等关系． 2、利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 3、利用角度长度的大小建立不等关系．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系． 6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系． 函数法： 1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； 2、通过确定函数的定义域； 3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围． 坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 知识3抛物线性质与结论 1、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）．（2）在抛物线上．（3）在抛物线外． 2、焦半径 抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，． 3、的几何意义：为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大． 4、焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）．（2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 5、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式：（2） （3）直线AB的方程为（4）线段AB的垂直平分线方程为 6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为（2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 7、参数方程 的参数方程为（参数） 8、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 9、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系： 11、焦点弦的常考性质 已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2）， （3）；（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 【易错提醒】 ①求最值问题时一般转化为函数最值问题，自变量范围一般容易忽略判别式的前提（判别式也存在隐含自变量的范围） ②直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅靠研究特殊情况来说明 题型1双曲线的标准方程、离心率问题、参数问题及双曲线的渐近线 1．（2025·天津武清·模拟预测）双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设，运用中点坐标公式表示点，由，以及斜率公式解方程组可得，将点A的坐标代入双曲线的方程，结合的关系，求得，即可得离心率. 【详解】由题意，，设， 则，， 因为原点O在以线段为直径的圆上，可得， 所以，即①， 又直线的斜率，可得②， 联立①②可得，即， 又点在双曲线上，可得， 又，解得，所以. 故选：B. 2．（2025·天津北辰·三模）已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与渐近线求交点，再利用等边三角形找到一个垂直关系，然后通过斜率来进行坐标运算，即可求出离心率. 【详解】 设过点且倾斜角为的直线为， 与双曲线的渐近线联立可得:, , 同理与双曲线的渐近线联立可得:, , 由为等边三角形，则的中点坐标为， 由题意可得：， 即， ， ， ， , 所以解得, 故选：A. 3．（2025·天津·二模）已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为 . 【答案】/0.75 【分析】判断出在圆上，得到切线方程，从而，结合双曲线定义得到，求出双曲线方程为，设，则，由点到直线距离公式进行求解，得到答案. 【详解】由于，故在圆上， 其中，由垂直关系可得切线l的斜率为， 由渐近线方程的斜率为得， 由双曲线定义可知，解得， 故，双曲线方程为，两渐近线方程为， 设，则， 点M到双曲线两条渐近线的距离之积为. 故答案为： 4．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D 5．（2025·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知是等边三角形，进而可知双曲线浙近线的倾斜角为，进而得到的关系，再将点代入双曲线方程求解即可. 【详解】如图，根据圆的性质可知． 又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形， 故双曲线浙近线的倾斜角为． 所以，即，则双曲线方程为． 将点代入双曲线方程，得，解得， 则双曲线方程为， 故选：C． 6．（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【详解】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A 7．（2025·天津南开·二模）已知双曲线的两个焦点分别为是渐近线上一点，当取最小值时，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取最小值为b，所以，再根据为直角三角形，可得，再在利用余弦定理可得离心率. 【详解】根据题意如图：    点，其中一条渐近线为即， 所以的最小值为点到直线的距离， 所以， 因为为直角三角形，所以， 在中，， 即， ∵，∴，∴， 即的离心率为， 故选：D. 8．（2025·天津河西·二模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线分别交双曲线的左、右两支于，两点，满足，且，，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂直关系的向量表示得，且为等边三角形，结合双曲线定义以及余弦定理计算得，进而求出渐近线方程. 【详解】由，得，即， 又，得为的中点，则， 又，于是为等边三角形，设的边长为， 由双曲线定义知，，，则，， 又，则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，得，，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A 9．（2025·天津·二模）双曲线的左右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，垂足为，则，设，则，由直线的斜率为，得出，在中由余弦定理即可求解． 【详解】过点作，垂足为，则，如图所示， 设，则， 所以， 所以，则， 因为直线的斜率为，所以，则， 在中，， 在中，， 由余弦定理得，， 整理得，， 故选：D．    10．（2025·天津·二模）若直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过原点的直线与双曲线无公共点，则渐近线斜率小于等于已知直线的斜率，再求双曲线的离心率即可得解. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线斜率为， 因为直线与双曲线无公共点， 所以，， 所以双曲线的离心率范围为. 故选：B. 题型2抛物线的标准方程、抛物线的定义、抛物线的焦点及准线及焦半径 11．（2025·天津·一模）已知圆心位于抛物线焦点处的圆，与直线相交于、两点，且，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，并求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求出圆的半径长，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】易知抛物线的焦点为，且点到直线的距离为， 故圆的半径为， 因此，所求圆的标准方程为. 故答案为：. 12．（2025·天津·二模）已知抛物线（）的焦点F是双曲线（）的一个顶点，两条曲线的一个交点为A，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若是正三角形，则p的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的基本性质，和正三角形的基本性质，用参数表示出各点坐标，代入求得参数的值. 【详解】 如图所示，设双曲线线的另一个顶点为， 依题意，可知，，可知，， 不妨设A在第一象限，则在双曲线上， 所以，解得， 故选：A． 13．（2025·天津河西·一模）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ． 【答案】 【分析】先根据抛物线的定义求出点的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后根据切线的性质，利用勾股定理求值. 【详解】在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为． 设点，根据抛物线的定义，可得， 解得．把代入，得， 因为，所以，即． 圆，圆心为，半径， 故． 故答案为：． 14．（2025·天津河西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，圆，过点作直线，当圆心到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【答案】 【分析】求出抛物线的焦点以及圆心的坐标，分析可知当时，圆心到直线的距离最大时，求出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程. 【详解】对于抛物线，则，，所以，故其焦点为， 圆的标准方程为，圆心为， 当时，圆心到直线的距离最大时， 因为，此时直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故答案为：. 15．（2025·天津·二模）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出点的坐标，结合向量共线的坐标表示求出点的坐标，再利用抛物线定义求出比值. 【详解】抛物线的焦点，准线，， 由对称性，不妨令点在第一象限，设， 则，由B在线段AD上， 得，整理得，而， 则，由P，B，F共线， 得，整理得，解得， 于是，过作于，所以.    故选：B 16．（2025·天津和平·三模）已知抛物线过点；其焦点为，以为直径作圆，圆与圆相交于，两点，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】先代入P点求出抛物线方程，则焦点坐标可求，进而可得圆的方程，与圆相减即可得相交弦AB的直线方程. 【详解】将P点代入抛物线方程可得，解得，即抛物线方程为， 所以抛物线的焦点坐标，PF的中点坐标为， ,所以圆的圆心为，半径为2， 所以圆， 因为，所以圆与圆相交， 圆与圆方程相减可得：，即， 故答案为：. 17．（2025·天津南开·二模）已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点．若与相交于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为 ． 【答案】 【分析】首先求出抛物线方程及直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到，再由抛物线的定义、中点公式求圆的半径和圆心横坐标，最后应用几何法求弦长. 【详解】因为抛物线的焦点为， 所以，解得，则抛物线， 直线的方程为，由， 则，显然， 所以，故， 所以以为直径的圆的圆心的纵坐标为，半径为， 故以为直径的圆被轴截得的弦长为. 故答案为： 18．（2025·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆：，过点作直线与圆交于两点，且为的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】求出抛物线焦点坐标和圆心坐标，依题意可得，求得直线的斜率为可得其方程. 【详解】易知抛物线的焦点为， 将圆化为标准方程，圆心，半径，如下图所示： 若为的中点，结合圆的性质可知， 易知，所以直线的斜率为， 因此直线的方程为，即. 故答案为： 19．（2025·天津·二模）过点且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，已知直线经过抛物线的焦点，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据已知条件先求得直线和抛物线的方程，联立求得交点坐标，然后求得圆心和半径，进而写出标准方程. 【详解】已知直线 过点 且斜率为1，因此其方程为 . 抛物线的方程为 （），其焦点坐标为 . 由于直线 经过抛物线的焦点，代入焦点坐标得到 ， 解得 ，因此抛物线的方程为 ，焦点为 . 将直线方程 代入抛物线方程 得到：, 展开并整理得：, 解得 ，对应的 值为 ， 因此交点 和 的坐标分别为 和 . 以线段 为直径的圆的圆心为 的中点，坐标为： , , , 半径为 ，因此圆的标准方程为：, 故答案为：. 20．（2025·天津·二模）以抛物线的焦点为圆心，且过点的圆与直线相交于，两点，则 . 【答案】 【分析】根据题意写出圆心，再根据圆心与圆上一点的距离为半径写出圆的方程，根据圆截直线的弦长求解即可. 【详解】 抛物线的焦点为，即圆心为， 且圆过点，则，所以圆的方程为. 圆心到直线的距离， 圆截直线的弦长为. 故答案为：. 题型3圆锥曲线中涉及参数问题 21．（2026·天津北辰·月考）已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为，，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率的取值范围为，则该椭圆的焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，根据双曲线的定义及双曲线的离心率的取值范围求出的范围，进而可得出答案. 【详解】解：设椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为， 则， 双曲线的半实轴长为，则， 又双曲线的离心率的取值范围为， 所以，所以， 所以，即该椭圆的焦距的取值范围是. 故选：B. 22．（2025·天津·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，则，从而得到点在以为圆心，为半径的圆的内部，即可求出的取值范围. 【详解】设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 又为的中点，所以，即，所以， 要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部， 根据对称性可知，即的取值范围是. 故选：B 23．（2025·天津·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且满足，则取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在双曲线上，则点的坐标满足曲线方程，结合向量数量积的坐标运算，即可容易求得. 【详解】因为点在双曲线上，故可得， 又因为， 故可得， 将代入不等式可得，解得. 故选：A. 24．（2025·天津武清·模拟预测）已知抛物线，直线l过C的焦点F且与C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆与y轴交于M，N两点且圆心为G，则的最小值是 . 【答案】 【分析】作出辅助线，由抛物线的性质，二倍角公式和垂径定理得到，结合即可求解. 【详解】显然直线l的方程斜率不为0，因为焦点， 所以设直线l的方程为，联立得， 故，故， 所以， 显然G为的中点，过G作y轴的垂线，垂足为H，则H是的中点， 设，则， ， ， 而，当且仅当，轴时取等号，则， 所以当时，. 故答案为： 25．（2025·天津和平·一模）已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据双曲线的顶点到渐近线的距离求双曲线方程，根据抛物线的定义结合几何关系转化，利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，进行转化求解. 【详解】双曲线的渐近线方程，右焦点，到其一条渐近线的距离，解得， 所以双曲线的焦点坐标，所以抛物线焦点坐标， 即抛物线方程，作示意图如图所示： 过点作，垂足为A，作准线的垂线，垂足为，连接MF， 根据抛物线定义有：， 即动点到直线和距离之和等于， 当三点共线时，距离之和最小， 即点F到直线的距离. 故选：B 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $