专题01 全册计算题分类训练（6种类型48道）（高效培优期末专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题01 全册计算题分类训练（6种类型48道） 考点01 实数的混合运算 考点02 利用平方根和立方根解方程 考点03 二次根式的化简求值 考点04 代入消元法解二元一次方程组 考点05 加减消元法解二元一次方程组 考点06 换元法解二元一次方程组 考点01 实数的混合运算 1．计算： 2．计算：． 3．计算： 4．计算： 5．计算： 6．计算：． 7．计算：． 8．计算： 考点02 利用平方根和立方根解方程 9．求下列方程中的 (1)； (2)． 10．求下列方程中x的值： (1)； (2) 11．求下列各方程中的值： (1)； (2)． 12．解关于x的方程： (1)； (2)． 13．解方程 (1)； (2)． 14．解方程： (1)； (2)． 15．解方程： (1) (2) 16．解方程： (1) (2) 考点03 二次根式的化简求值 17．先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 18．化简，求值：已知，求． 19．化简求值：（其中，） 20．先化简再求值：，其中，． 21．先化简再求值：，其中． 22．先化简，再求值：，其中． 23．先化简，再求值：，其中． 24．先化简，再求值：，其中，． 考点04 代入消元法解二元一次方程组 25．用代入消元法解方程组 26．用代入消元法解方程组 27．（用代入消元法）解方程组： 28．用代入消元法解方程组： 29．用代入消元法解方程组： 30．用代入消元法解方程组：． 31．用代入消元法解下列方程组： (1) (2) 32．用代入消元法解下列方程组： (1) (2) 考点05 加减消元法解二元一次方程组 33．用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 34．用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 35．用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 36．用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 37．用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 38．用加减消元法解下列方程组： (1)； (2)． 39．用加减消元法解方程组：． 40．用加减消元法解方程组：． 考点06 换元法解二元一次方程组 41．阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为， 解得，即，解得． 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③， 把方程①代入③得，，则； 把代入①得，，所以方程组的解为：． 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于a，b的方程组：的解； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 42．阅读材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以设，，则原方程组可以变形为，解得，将a、b转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法． 请用换元法解方程组： (1)若方程组的解是，则方程组的解是 ； A．       B．        C．        D． (2)已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中，，，都为常数） 43．数学方法： 在解方程组：时，如果把方程组中的，分别看作一个整体，设，，则原方程组可化为，解此方程组得，代入，，得，解此方程组得，所以原方程组的解为． 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．这种解方程组的方法体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考这种做法，解决下面的问题： (1)类比探究：已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为： (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． 44．情境  小海在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组 尝试（1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为_______，解关于，的方程组，得， 所以，解这个方程组，得_____； 迁移（2）利用上述方法解方程组 45．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 46．【阅读材料】解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，原方程组可变形为，解得即再解这个方程得． 这种解方程组的方法叫做整体换元法． 【知识应用】 （1）已知关于的二元一次方的解为，那么关于的二元一次方程组中的值分别为多少，请求出来． 【知识迁移】 （2）用材料中的方法解二元一次方程组 47．问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为________，解关于，的方程组，得，所以，解方程组，得________． 探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：． 拓展延伸：（3）已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是________． 48．阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，， ∴原方程组的解为， 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 全册计算题分类训练（6种类型48道） 考点01 实数的混合运算 考点02 利用平方根和立方根解方程 考点03 二次根式的化简求值 考点04 代入消元法解二元一次方程组 考点05 加减消元法解二元一次方程组 考点06 换元法解二元一次方程组 考点01 实数的混合运算 1．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，零指数幂，求一个数的立方根；先根据二次根式的性质，零指数幂，化简绝对值，求立方根，再根据实数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式、立方根的运算，解题关键是熟练掌握根式的运算法则（乘除、开方）． 先分别计算各项（化简根式、进行乘除运算），再合并结果． 【详解】 ． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算（含绝对值、立方根、平方根、有理数的乘方），解题的关键是正确化简各部分运算项后再进行加减运算． 先化简为，计算、、，再将这些结果进行加减运算． 【详解】解：． 4．计算： 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，二次根式的性质，绝对值． 先计算负整数指数幂，二次根式的性质，绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 5．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，先化简二次根式和去绝对值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 6．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据二次根式性质，绝对值意义，零指数幂和负整数指数幂运算法则，进行求解即可． 【详解】解： ． 7．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 8．计算： 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，零次幂，负整数指数幂，先计算绝对值，算术平方根，负整数指数幂，零次幂，再合并即可． 【详解】解： ． 考点02 利用平方根和立方根解方程 9．求下列方程中的 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程． （1）根据开方运算，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案； （2）根据等式的性质，可化简成乘方的形式，根据开方运算，可得答案． 【详解】（1）解：， 开方，得或， 解得：或； （2）解：， 两边都除以，得， 开方，得， 解得：． 10．求下列方程中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 11．求下列各方程中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟知二者的定义是解题的关键； （1）先将原方程变形为，再利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：由可得：， ∴， ∴； （2）解：由可得：， ∴． 12．解关于x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】本题考查立方根和平方根，掌握求立方根与平方根的方法是本题的关键． （1）同时开平方，进一步计算即可； （2）移项后，两边同时除以8并同时开立方即可． 【详解】（1）解：两边同时开平方，得， ∴或， 解得或； （2）解：移项，得， 两边同时除以8，得， 两边同时开立方，得． 13．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查平方根和立方根： （1）的平方根为，可得或，再解一元一次方程即可； （2）的立方根为，可得，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：的平方根为，可得 或， 解得或； （2）解：的立方根为，可得 ， 解得． 14．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根，立方根解方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方根解方程的步骤，逐步计算即可； （2）根据立方根解方程的步骤，逐步计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 或， 解得或． （2）， ， ． 15．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根与立方根的定义及应用，熟练掌握平方根和立方根的运算规则是解题的关键． （1）先移项，再将的系数化为1，最后利用平方根的定义求解； （2）先将的系数化为1，再利用立方根的定义求解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，． （2）解：， ， ∴， 解得． 16．解方程： (1) (2) 【答案】(1) 或 (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先移项，利用平方根的定义解方程即可得解； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 考点03 二次根式的化简求值 17．先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 18．化简，求值：已知，求． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先对分子进行因式分解化简，再代入求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 19．化简求值：（其中，） 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而将已知数据代入求出答案即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 20．先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而将已知数据代入求出答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式﹒ 21．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，已知字母的值求代数式的值．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，则，化简，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ； 把代入， 得． 22．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先根据整式的乘法法则，进行化简，再代值计算即可． 【详解】解： ， 将代入中得，． 23．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查二次根式的运算，整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据整式的混合运算法则对式子进行化简，再代入值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 24．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分式的化简求值． 先利用乘法公式和因式分解的方法得到原式，再约分后利用完全平方公式得到原式，接着利用分母有理化得到，，然后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ， ，， 原式 ． 考点04 代入消元法解二元一次方程组 25．用代入消元法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：， 由②，得， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， ∴方程组的解为． 26．用代入消元法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法，由②得，把③代入①消去y，求出x的值，然后把x的值代入③求出y的值即可． 【详解】解： 由②得 把③代入①，得 解得 把代入③，得 ∴ 27．（用代入消元法）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤是解题的关键．利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由①得：③， 把③代入②，得：， 解得：， 把代入③，得：， 所以这个方程组的解为． 28．用代入消元法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握代入法的步骤是解题的关键．根据代入消元法，解方程即可． 【详解】解：由，得， 将代入，得， 解得， 将代入，得． 所以原方程组的解为． 29．用代入消元法解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查用代入法解二元一次方程组，①代入②可求出，把代入①，求出，从而可求出方程组的解． 【详解】解：， ①代入②，得：， 解得，， 把代入①，得：， 所以，方程组的解为． 30．用代入消元法解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，运用代入消元法求解即可． 【详解】解： 将①代入②中，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 原方程组的解为 31．用代入消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法，是解题的关键． （1）由①得③，再把③代入②求出，最后把代入③得出，即可得出答案； （2）由②得③，将③代入①求出，将代入②求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 由①得：③， 将③代入②得：， 解得：． 将代入③得：， 所以原方程组的解是； （2）解：， 由②得：③， 将③代入①得：， 解得， 将代入②得：， 所以原方程组的解是． 32．用代入消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法成为解题的关键． （1）直接运用代入消元法即可解答； （2）直接运用代入消元法即可解答． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：； 所以该方程组的解为． （2）解：， 将②代入①得：， 解得：， 将代入②得：； 所以该方程组的解为． 考点05 加减消元法解二元一次方程组 33．用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用加减法解二元一次方程组，熟练掌握用加减法解二元一次方程组是解题的关键． （1）先用，求得，再将代入①计算即可； （2）先用，求得，再将代入①计算即可． 【详解】（1）解：，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为． 34．用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组； （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ②－①，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以原方程组的解是； （2）， ①＋②，得， 解得， 将代入②，得， 解得， 所以原方程组的解为． 35．用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用加减消元法求解即可； （2）化简整理后，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 由，得， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴； （2）解：化简整理，得， 由得， 解得：， 把代入②得， 解得：， ∴ 36．用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，解题的关键是利用消元的思想． （1）先将两式相加求出，再回代求出； （2）先由下式减上式求出，再回代求出． 【详解】（1）解：， 由得，， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 由得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴原方程组的解为． 37．用加减消元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， ∴； （2）解： 由得：， 解得：， 把代入①得：， ∴． 38．用加减消元法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）方程组运用加减消元法求解即可； （2）运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得，， 解得：； 把代入①得，， 解得，， 所以，方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：； 所以，方程组的解为． 39．用加减消元法解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将原方程组整理为，再运用加减消元法求解即可． 【详解】解：将原方程组化简整理得 得，， 解得． 把代入②得，， 解得． 原方程组的解为 40．用加减消元法解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用加减消元法解二元一次方程组成为解题的关键． 运用加减消元法求解即可． 【详解】解： ①，得，③ ，得，解得：， 将代入①，得，解得：， 所以这个方程组的解是． 考点06 换元法解二元一次方程组 41．阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为， 解得，即，解得． 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③， 把方程①代入③得，，则； 把代入①得，，所以方程组的解为：． 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于a，b的方程组：的解； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体组成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求原方程的解． （1）用换元法替换和，解方程组即可； （2）用换元法替换和，根据已知条件解方程组即可； 【详解】（1）解：∵， 设，， ∴原方程可以化为， 用得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴方程组的解为，即， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵， 设， ∴原方程化为：， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 解得； 42．阅读材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以设，，则原方程组可以变形为，解得，将a、b转化为，再解这个方程组得．这种解方程的过程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母代替他，这种解方程组得方法叫做换元法． 请用换元法解方程组： (1)若方程组的解是，则方程组的解是 ； A．       B．        C．        D． (2)已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．（其中，，，都为常数） 【答案】(1)D (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）结合题干所给例子，利用换元法解方程组即可； （2）结合题干所给例子，利用换元法解方程组即可． 【详解】（1）解：设，，则方程组可变形为， ∵方程组的解是， ∴方程组的解满足， ∴， ∴， 故选：D； （2）解：∵， ∴， 设，，则方程组可变形为， ∵关于x，y的方程组的解是， ∴， ∴， 解得． 43．数学方法： 在解方程组：时，如果把方程组中的，分别看作一个整体，设，，则原方程组可化为，解此方程组得，代入，，得，解此方程组得，所以原方程组的解为． 我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．这种解方程组的方法体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用． 请你参考这种做法，解决下面的问题： (1)类比探究：已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于、的二元一次方程组的解为： (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，，则方程组化为：， 由已知，得， 则有， 解得：； （2）设，， 则原方程组可化为， 解得：， 即有 解得， 原方程组的解为； 另解，设，， 则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 原方程组的解为． 44．情境  小海在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组 尝试（1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为_______，解关于，的方程组，得， 所以，解这个方程组，得_____； 迁移（2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】解：（1）设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得， 所以，解这个方程组，得； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得， 所以，解这个方程组，得． 45．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （2）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （3）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，根据题意得，把代入，，得，解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项整理得，， 令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （2）解方程组， 移项整理得，， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （3）将关于x、y的方程组， 移项为， 整理得， 令，，原方程组化为， 根据题意得， 把代入，， 得，解得或， 原方程组的解为或． 46．【阅读材料】解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，原方程组可变形为，解得即再解这个方程得． 这种解方程组的方法叫做整体换元法． 【知识应用】 （1）已知关于的二元一次方的解为，那么关于的二元一次方程组中的值分别为多少，请求出来． 【知识迁移】 （2）用材料中的方法解二元一次方程组 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键． （1）设，原方程组可化为，根据的解为，即可求解； （2）方程组可变形为设，可得即解二元一次方程即可． 【详解】解：（1）设则原方程组可化为， 根据的解为，可得： 解得 即； （2）方程组可变形为： 设， 原方程可化为 解得： 即，解得 原方程组的解为 47．问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为________，解关于，的方程组，得，所以，解方程组，得________． 探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：． 拓展延伸：（3）已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是________． 【答案】（1），；（2）（3） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； （3）将所求方程组变形，然后得出，进而可得答案． 【详解】解：（1）设，， 则原方程组可化为，解得 解得 故答案为：，． （2）设，， 则原方程组可化为，解得． 解得． （3）方程组可化为． 关于，的二元一次方程组的解为， 解得． 故答案为： 48．阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，， ∴原方程组的解为， 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 【答案】 【分析】根据“整体换元”的解法，设，得，得出m，n的值，再解，即可得答案． 【详解】解：设，，原方程可化为 ，即， ②-①得，， ∴， 把代入②得，， ∴     ∴         解得：． 【点睛】本题考查了用“整体换元”的思想解二元一次方程组，解题的关键是合理换元，熟练地解二元一次方程组． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $