期末复习资料：第二章一元二次函数、方程和不等式知识点填空和题型讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义以“知识梳理-题型突破”为主线构建一元二次函数、方程和不等式的复习体系，通过表格对比呈现不等式性质（如可乘性、同向可加性）、二次函数图象与不等式解集关系，用层级列表梳理分式、绝对值不等式解法等要点，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“题型-方法-素养”三维设计，如基本不等式板块结合“积定和最小”结论设计求最值题，引导学生用数学思维分析等号成立条件，恒成立问题通过参数分类讨论培养推理能力。例题详解含易错点提醒，基础生可掌握通法，优生能深化拓展，助力教师精准教学与学生自主复习效率提升。

第二章一元二次函数、方程和不等式知识点 一、一元二次函数、方程和不等式 1.比较大小的常用方法： 2.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 可乘性 注意c的符号 同向可加性 →(单向推导) 同向同正可乘性 →(单向推导) 倒数性质 糖水不等式 注：只能同向可加/同向同正可乘，遇减先求相反数再加；遇除先求倒数再乘. 3.一元二次不等式的解法步骤： Δ＞0 Δ=0 Δ＜0 二次函数的图象 一元二次方程=0的根 一元二次不等式解集 ＞0 ≤0 4. 含参二次不等式解法： 二次项含参 5、分式不等式的解法 (1);(2); (3); (4) (5) 6、绝对值不等式 (1); (2) 题型一：在R上的恒成立问题 一元二次不等式 ＞0 ≥0 ＜0 ≤0 恒成立条件 题型二：在给定范围内的恒成立问题 恒成立； 恒成立 7、重要不等式： 有，当且仅当时，等号成立. 8、基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立，(口诀：一正二定三相等) 9、常用结论：已知，则 (1)如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值是 ，简记：积定，和最小 (2)如果和是定值，那么当且仅当_时，有最大值是 ，简记：和定，积最大 10.基本不等式链： ，(当且仅当时，等号成立) 第二章题型总结 1、 不等式性质 1．已知，，，比较x与y的大小． 2．已知，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 3．（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知实数，满足，． (1)求实数，的取值范围； (2)求的取值范围． 二、基本不等式 5．已知实数，则的最小值是 ． 6．设，且，则的最大值是 ． 7．已知x，y均为正实数，且，则的最小值为 ． 8．若，则的最小值是 ． 9．已知，且满足，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 三、三个二次关系 10．已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 11．关于的不等式（，，均为实数）的解集为，则关于的不等式解集为 ． 12．不等式 的解集为 13．设函数，解关于的不等式. 14．已知关于x的不等式对任意成立，求k的取值范围． 15．若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 16．设 (1)若命题：是假命题，求m的取值范围； (2)若命题：是真命题，求m的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．【详解】 ． 因为，所以，， 所以，所以，所以． 2．D【详解】对于A，因为， 所以，即， 所以的取值范围为，故A正确，不符合题意； 对于B，因为，所以， 因为，所以，即， 所以的取值范围为，故B正确，不符合题意； 对于C，因为，则， 所以，则， 所以的取值范围为，故C正确，不符合题意； 对于D，因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以取值范围为，故D错误，符合题意；故选：D. 3．ABD【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，不妨令，，得， 此时，故C错误；因为，所以，故D正确． 故选：ABD 4．【详解】（1）由，， 所以，即，所以，即实数的取值范围为． 因为，由，所以，又，所以，所以， 即，即实数的取值范围为． （2）设， 则，解得，， ，．，， ∴，即的取值范围为． 5. 6．【详解】依题意，当且仅当时等号成立. 7．19【详解】∵均为正实数，且，∴， 则 ，当且仅当时取等号，则的最小值为19.8. 9.【详解】由，因为，等式两边同时除以可得. ， 根据基本不等式则，所以， 即的最小值是. 因为恒成立，所以，即，解得. 10.【详解】因为的两根为， 所以， 所以，解得，符合条件，故答案为：. 11．【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两根且，所以，所以， 由不等式，可得，因为， 所以，所以，解得或， 所以不等式解集为.故答案为：. 12．【详解】由可得，即，即， 解得或.所以不等式 的解集为. 13. 14．【详解】当时，原不等式即为对任意成立，故符合题意； 当时，要使关于x的不等式对任意成立， 只需，解得：.综上所述：. 15. 16.【详解】（1）由命题：是假命题，得是真命题， 即成立，当时，恒成立，则； 当时，，解得，所以m的取值范围是. （2）不等式 命题：是真命题，则是真命题， 即是真命题， ，，当且仅当时取等号，则， 所以m的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $