30.4 二次函数的应用 随堂演练 2025-2026学年冀教版数学九年级下册

30.4 二次函数的应用 一、选择题 1．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（　　） A．y=x2+a B．y=a（x﹣1）2 C．y=a（1﹣x）2 D．y=a（1+x）2 2．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关系式y=﹣n2+14n﹣24，则企业停产的月份为（　　） A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月 3．如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面时，水面的宽度为． 有下列结论： ①当水面宽度为时，水面下降了； ②当水面下降时，水面宽度为； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确的是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球最高时，运动的时间是（　　） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 5．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（　　） A．1米 B．3米 C．5米 D．6米 6．运动会上，某运动员掷铅球时，所掷铅球的高y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y=﹣ x2+ x+ ，则该运动员的成绩是（　　） A．6 m B．12 m C．8 m D．10 m 7．如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为．你认为他们俩的说法是（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 9．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是（　　） A．55 B．56 C．57 D．58 10．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（　　） A．y= B．y=﹣ C．y=﹣ D．y= 11．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（　　） A．18m2 B．m2 C．m2 D．m2 12．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为（　　） A．0.4米 B．0.16米 C．0.2米 D．0.24米 13．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（　　） A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界 C．球会过球网并会出界 D．无法确定 二、填空题 14．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，每天可以销售100件，经调查发现，销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，则销售价提高　 　元时，可以使每天的销售利润最大． 15．小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h （单位：米）与在空中飞行的时间 t （单 位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间　 　秒时，篮球距离地面最高． 16．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=﹣x2+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为　 　． 17．如图是王明正在设计的一动画示意图，×轴上依次有A，B，C三个点，且AB=2，在BC上方有五个台阶（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离BD=10．从点A处向右，上方沿抛物线y=-x2+4x+12发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是　 　． 三、解答题 18．如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。 19．近期，动漫形象“奶龙”在网络上爆火.某网店销售一款“奶龙”公仔，每个的进价为20元，在销售过程中调查发现，当销售单价为30元时，每周平均可卖出120个.如果调整销售单价，每涨价1元，每周平均少卖出4个.若现提价销售，设销售单价提高元，每周的销售利润为元. （1）求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围. （2）当销售单价定为多少时，该网店每周的利润最大？并求出最大利润. 20．如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点之间的距离为20米，两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，为桥面钢丝的固定点，两点相距90米且，已知． （1）以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴构建平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． （2）现要在钢拱圈上挂一幅公益宣传海报，海报为正方形，为了广告效果，海报底边与桥面平行且距离为20米，海报顶边的两个顶点在钢拱圈上，求海报的面积． 21．【情境探究】小明和小强做弹力球游戏．游戏规则如下：小明抛出弹力球，弹力球落地后弹起再落下，小强在某个位置放置一块接球板，若弹力球在第二次落地前碰到接球板则小强胜（球与接球板触碰），否则小明胜． 【数学建模】弹力球两次运动轨迹均可近似看成抛物线，如图所示．一次游戏过程中：小明站在起点O处抛弹力球，以O为坐标原点，水平方向直线和竖直方向直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，弹力球从离地面2米的A处抛出，第一次落地前，球在距离起点O水平距离为2m处，达到飞行最大高度为3.6m，弹力球在B处落地后再次弹起，第二次飞行的水平距离米，且飞行的最大高度为第一次的一半． 【问题解决】 （1）求弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式； （2）小强在距起点8米处放置接球板，垂直地面于点E，且m，请通过计算判断谁会获胜． 答案 1．D 解：依题意， 得y=a（1+x）2． 故答案为：D． 2．D 解：由题意知， 利润y和月份n之间函数关系式为y=﹣n2+14n﹣24， ∴y=﹣（n﹣2）（n﹣12）， 当n=1时，y＜0， 当n=2时，y=0， 当n=12时，y=0， 故停产的月份是1月、2月、12月． 故答案为：D． 3．D 解：如图，建立平面直角坐标系，坐标原点O在上，所在直线为x轴， y轴过抛物线顶点C， 根据题意得，，， 由对称性知， ∴，，， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得，， ∴， 设水面下降到位置， 当水面宽5米时， 设， 则， ∴水面下降了，①正确； 当水面下降时， 设，则， 解得，， ∴水面宽度为，②正确； 当水面下降时， 设，则， 解得， ∴水面宽度为， ∴水面宽度增加了，③正确． 故选D． 4．C 解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45， ∵﹣5＜0，0≤t≤6， ∴抛物线开口向下，当t＝3时，h有最大值，最大值为45， ∴小球运动3秒时，小球最高， 故选：C． 5．D 解：h=﹣5t2+10t+1 =﹣5（t2﹣2t）+1 =﹣5（t﹣1）2+6， 故小球到达最高点时距离地面的高度是：6m． 故选：D． 6．D 解：把y=0代入y=﹣ x2+ x+ 得：﹣ x2+ x+ =0， 解之得：x1=10，x2=﹣2． 又x＞0， ∴x=10， 故选：D． 7．D 解：抛物线的顶点坐标M为（m，-m＋1）， ∵，， ∴， ∴-1≤m≤0， 故选：D． 8．B 解：设垂直于墙的一边为，则隔离区的另一边为， ； 根据题意，得不等式组， 解得：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 故小亮说法正确． 故选：B． 9．A 解：设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元，根据题意得， 即当一个旅行团的人数是55人时，这个旅行团可以获得最大的营业额， 故答案为：A． 10．C 解：依题意设抛物线解析式y=ax2， 把B（5，﹣4）代入解析式， 得﹣4=a×52， 解得a=﹣ ， 所以y=﹣ x2． 故答案为：C． 11．C 解：如图，过点作于， ∴， ∵四边形是直角梯形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴梯形的面积为：， ∴当时，梯形ABCD的最大面积为m2； 故答案为：C． 12．C 如图，以C坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系， 设抛物线解析式为y=ax2， 由题知，图象过B（0.6，0.36）， 代入得：0.36=0.36a ∴a=1，即y=x2． ∵F点横坐标为-0.4， ∴当x= -0.4时，y=0.16， ∴EF=0.36-0.16=0.2米 故答案为：C． 13．C 解：根据题意，将点A(0，2)代入 得：36a+2.6=2， 解得： ∴y与x的关系式为 当x=9时， ∴球能过球网， 当x=18时， ∴球会出界. 故答案为：C. 14．4 解：设销售价提高a元时，每天的销售利润为w元， 由题意得： 整理得， 由二次函数的性质可知，当时，w取得最大值， 即销售价提高4元时，可以使每天的销售利润最大， 故答案为：4． 15． 解：∵，且a=， ∴抛物线的开口向下，且二次函数有最大值， ∴当时，h有最大值，即此时篮球距离地面最高， ∴当篮球在空中的飞行时间为秒时，篮球距离地面最高， 故答案为：． 16．l=﹣2m2+8m+12 解： 把x=m代入抛物线y=﹣x 2+6x中，得AD=﹣m 2+6m 把y=﹣m2+6m代入抛物线y=﹣x2+6x中，得 ﹣m2+6m=﹣x2+6x 解得x1=m，x2=6﹣m ∴C的横坐标是6﹣m，故AB=6﹣m﹣m=6﹣2m ∴矩形的周长是l=2（﹣m2+6m）+2（6﹣2m） 即l=﹣2m2+8m+12． 17．（5，7） 解：如图所示，以BD的延长线为y轴，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， ∵每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离BD=10， ∴对于①~⑤个台阶有： 台阶①：0≤x≤1.5，y=10； 台阶②：1.5＜x≤3，y=9； 台阶③：3＜x≤4.5，y=8； 台阶④：4.5＜x≤6，y=7； 台阶⑤：6＜x≤7.5，y=6， ∵y=-x2+4x+12=-（x-2）2+16， ∴对称轴x=2， ∴当0≤x≤1.5，12≤y≤15.75，台阶①高为10，即抛物线与台阶①无交点，P点不会落在台阶①处， 当1.5＜x≤3，15≤y≤16，台阶②高为9，即抛物线与台阶②无交点，P点不会落在台阶②处， 当3＜x≤4.5，9.75≤y≤15，台阶③高为8，即抛物线与台阶③无交点，P点不会落在台阶③处， 当4.5＜x≤6，0≤y≤9.75，台阶④高为7，即抛物线与台阶④处存在交点，P点落在台阶④处， ∴令y=-（x-2）2+16=7， ∴解得x=5或-1（舍去，不符合题意）， ∴此时落点P的坐标为（5，7）. 18．如图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设DN=x， PN=y， 则面积S=xy①， ∵点P在AB上， 由△APQ~△ABF得， 即：x=10-2y， ∴代入①，得S=(10-2y)y=-2y2+10y 即S= ， 即：x=10-2y， ∴代入①，得S=(10-2y)y=-2y2+10y 即S= 因为3≤y≤4而y= ，不在自变量的取值范围内， 所以y= 不是最值点， 当y=3时，S=12；当y=4时，S=8，故面积的最大值是S=12，此时，钢板的最大利用率是80%。 19．（1）解：设销售单价提高x元，则每组销售量为 个，单个公仔利润为( 元. ∴每组销售利润 ∵售量不能为负， 答： （2）解：函数 开口向下，存在最大值. 当 时， 利润最大. 此时销售单价为 元，最大利润为 元. 答：当销售单价定为40元时，该网店每周的利润最大，最大利润为1600元. 20．（1）解：如图，建立平面直角坐标系， 则 ∵米，米， ∴米，米， ∴， 过点A作于点， ∴米， ∵， ∴米， ∴（米）， ∴， 设抛物线的解析式为，则有： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设正方形海报的边长为米，则海报与抛物线的交点坐标为， ∴， 解得，或（不合题意，舍去） 所以，正方形海报的面积为平方米 21．（1）解：由题意：设弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式：， 把代入，得：， 解得：， ∴； （2）解：令，得，解得：， ∴， ∵，且飞行的最大高度为第一次的一半． ∴设弹力球第二次着地前抛物线的函数表达式：， 把代入得：，解得：， ∴， 把代入，得， ∵， ∴小强的接球板没有触碰到球，小明获胜 学科网（北京）股份有限公司 $