(19)直线与圆、圆与圆-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（A）

高三一轮复习周测卷/数学 (十九)直线与圆、圆与圆 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知直线l1:ax十4y+1=0,直线l2:x十ay十a十1=0，则l∥l2是a=一2的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知圆C:(x一3)2+(y-3)2=8,过点P(一1,0)作圆C的一条切线，切点为Q,则PQ= A.√17 B.6 C.25 D.3 3.已知直线l:mx-y十2-m=0,圆C:(x-2)2+(y+1)2=14,则直线l被圆C截得的弦长的最 小值为 A.2 B.2√2 C.4 D.2√10 4.已知点M,N在圆O:x2+y2=4上，点P在圆A:(x-6)+y=9上，则使得△PMN是边长为 2√3的等边三角形的点P的个数为 A.0 B.1 C.2 D.4 5.已知A(1,0),B(一2,0)，动点M与点A的距离是它与点B的距离的一半，则点M的轨迹与以 线段AB为直径的圆Q的位置关系是 A.相离 B.外切 C.内切 D.相交 6.已知点P是圆C:(x一3)2+(y-3)2=2上一动点，过点P向圆O:x2+y2=1作两条切线，设两 切线所成的最大角为a,则cosa= A 号 c D. 8 7.已知圆C:(x一1)2+y2=1,直线1：y=k(x十1)，若1与x轴交于点A,过直线1上一点P作圆C 的切线，切点为T,且PA=√2PT,则k的取值范围是 A.[-E,1店 3’3 [ c.「-压， 33」 [-] 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 8.已知圆C1:x2+y2-2x-4y-7=0和圆C2:(x十3)2+(y+1)2=12交于两点，点P在圆C1上 运动，点Q在圆C2上运动，则 A.圆C,和圆C2关于直线8x+6y一5=0对称 B.圆C和圆C2的公共弦长为2√/23 C.PQ的取值范围为0,5+2√3 D.若M为直线x-y+8=0上的动点，则|PM+|MQ|的最小值为√09-43 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知直线1的一个方向向量为n=(1,一√3)，且1经过点(-2,0)，则 A.1与直线√3x-3y+1=0垂直 B.1的倾斜角等于150° C.l在y轴上的截距为2√3 D.l与直线x十3y+2=0的交点在x轴上 10.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推 理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线C:(x一1)2+ (y一1)2=8就是一条形状优美的曲线，则 A.曲线C上两点间距离的最大值为4√2 B.若点P(a,a)在曲线C内部（不含边界），则一3<a<3 C.若曲线C与直线y=x十m有公共点，则一6≤m≤6 D.若曲线C与圆x2+y=r2(>0)有公共点，则≤r≤3厄 11.已知圆C:(x-2)2+y=1,点P是直线1：x+y=0上一动点，过点P作圆C的切线PA,PB, 切点分别是A和B,则 A.圆C上恰有一个点到直线1的距离为 B.四边形ACBP面积的最小值为1 C.切线长PA的最小值为1 D.直线AB恒过定点（各-】 班级 姓名 分数 题号 1 2 x 5 6 7 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知点P是圆C:x2+y2=4上的动点，点A(4,2),则线段AP的中点M的轨迹方程 是 3已知实数x,y满足方程x牛y一4x一5=0，则3的最大值为 ,最小值为 (本题第一空2分，第二空3分) 三一轮复习周测卷十九 数学第2页（共4页） 囚 14.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的曼哈顿距离为：d(A,B)=x1一x2|十y1一y2.已知点M在圆O:x2十 y2=1上，点N在直线l:3x+y-9=0上，则d(M,N)的最小值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知直线l:x十√3y一4=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的左下方. (1)求圆C的方程； (2)直线y=kx+√5与圆C交于不同的M,N两点，且∠MCN=120°，求k的值. 16.(本小题满分15分) 已知三点O(0,0),A(2,0),B(一1，一1)，记△AOB的外接圆为⊙C. (1)求AB的垂直平分线方程； (2)求⊙C的方程； (3)若直线l:x-y-1=0与⊙C交于M,N两点，求△CMN的面积. 17.(本小题满分15分) 已知圆C1经过点（一2,0），且与圆C2:x2十y2一4x十8y=0相切于原点O. (1)求圆C1的标准方程； (2)若直线l:a.x十by十2a-b=0(a,b不同时为0)与圆C1交于A,B两点，当AB取得最小值 时，l与圆C2交于C,D两点，求CD的值. 数学第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 如图，3个圆可以构成“卡通鼠”的头像.A(0,一2)是⊙A的圆心，且⊙A过原点；点B,C在x轴 上，⊙B、⊙C的半径均为1，⊙B、⊙C均与⊙A外切，直线l过原点. (1)求⊙B、⊙C的标准方程； (2)若直线l与⊙B、⊙C均相切，求直线1截⊙A所得的弦长； (3)若直线1截⊙A、⊙B、⊙C所得的弦长均相等，求直线1截⊙A所得的弦长. 19.(本小题满分17分) 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且 ≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，N(1,0), M4,0).动点Q满足|8-2，设动点Q的线迹为曲线℃ (1)求曲线C的轨迹方程； (2)若直线x-y+1=0与曲线C交于A,B两点，求|AB的值； (3)若曲线C与x轴的交点为E,F,直线l:x=my一1与曲线C交于G,H两点，直线EG与直 线FH交于点D,证明：点D在定直线上. 三一轮复习周测卷十九 数学第4页（共4页）】 A高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十九） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 两直线平行与充要 1 选择题 5 易 0.88 条件的综合 2 选择题 5 圆的方程，圆的切线 易 0.85 直线与圆的位置关 3 选择题 5 易 0.80 系、弦长最值 两圆的位置关系，圆 4 选择题 5 易 0.73 的弦长 选择题 圆与圆的位置关系 中 0.70 直线与圆，圆与圆的 6 选择题 5 位置关系，求角度的 中 0.60 最值 直线与圆的位置关 7 选择题 5 系，由切线长求参数 中 0.55 的取值范围 判断圆与圆的位置 8 选择题 5 关系、两圆的公共弦 中 0.40 长、确定参数或范围 由直线的方向向量 求直线方程、直线的 9 选择题 6 中 0.65 倾斜角、直线的点斜 L 式方程 创新题型，直线与圆 10 选择题 6 的位置关系，求距离 中 0.55 的最值 切线长、直线与圆的 位置关系、求面积的 11选择题 6 最值、直线过定点问 中 0.40 题、相交圆的公共弦 方程 ·121· ·数学· 参考答案及解析 12 填空题 轨迹方程 易 0.85 直线与圆中的最值 13 填空题 5 中 0.60 问题 和直线与圆相关的 14 填空题 5 难 0.30 新定义题 由直线与圆的位置 15 解答题 13 关系求圆的方程与 易 0.80 参数的值 16 解答题 15 直线与圆，圆的方程 中 0.70 17 解答题 15 圆的方程、弦长 中 0.60 情境题，多圆相切问 18 解答题 17 中 0.40 题、圆的弦长 轨迹问题，直线与圆 19 解答题 17 的位置关系、弦长， 难 0.15 坐标法的应用 叁考答案及解析 一、选择题 标为（一合，0），则两圆的圆心距为PQ1=号，圆Q, 1.B【解析】由l1l2,可得a2-4=0,解得a=2或a =-2,当a=2或-2时，两直线都不重合.故选B. 3 圆M的半径分别为r1=n=2,又n-n<PQ 2.A【解析】由题得C(3,3),|PC= <r十r2,所以点M的轨迹与圆Q相交.故选D √3-(-1)+(3-0)=5，圆的半径为r=22, 6.C【解析】由圆C:(x一3)2十(y一3)2=2可得圆 所以|PQ|=√TPC-产=√25-8=√/17.故 心C(3,3),半径为√2，由圆O:x2十y=1,可得圆心 选A. 0(0,0),半径为1,0C=√3+3=3√2>1+ 3.C【解析】直线l:mx一y十2-m=0,即y=m(x √E,即两圆相离，示意图如下，连接OP,则在 1)十2，所以直线l恒过定点P(1,2),圆C:(x-2)2 十(y十1)2=14的圆心为C(2,-1),半径为r= R△A0P中，sm兰-0=O当e取最大值 √/A4,且P在圆内，当CP⊥1时，圆心C到直线l的 时，|OP取最小值，则当P为线段OC与圆C的交点 距离最大为d=|PC=√I0,此时，直线l被圆C截 时，两切线所成角最大，此时OP|=OC[一√2= 得的弦长最小，最小值为2√2-d严=4，故选C 2g.血受=品方所以as6=1-2a号 4.C【解析】由题意可知|MN|=2√3，则点O到MN 的距离d=√22-(W3)=1,又点P到MN的距离 =1-2×日-是.故选C 为25×号=3，则0P的长度为4，而OP的长度为 4的点有且仅有两个，即满足条件的点P有2个.故 选C. 5.D【解析】设点M的坐标为(x,y),MB|=2|MA, 得√x+2)+y=2√x-1)+y,化简得x2 4x十y2=0,即(x-2)十y=4,所以点M的轨迹是 以P(2,0)为圆心，半径为2的一个圆.易得点Q的坐 ·122· 高三一轮复习A ·数学· 7.A【解析】设P(xy),由题得A(一1,0)， C 2-n =-1 因为C:(x-1)2十y2=1,圆心C(1,0),半径r=1. 1-m 则 解得/m一6， 即C关于直 n=9, 根据题意|PT|=√PC一 m+1-n十2+8=0 2 √/(x-1)+6-I=√/6-2x十6，|PA= 线x一y十8=0的对称点为A(一6,9)，连接AC交 √J(x十1)十，又因为PA=√2PT,则有 直线于点M,此时|PM|+|MQ|最小，|PM+ √2√/6-2x十y=√(x+1)+y,化简整理得 |MQ|=MC|+IMC2|-43≥|C2A|-43= x6-6x十y%-1=0,故P的轨迹为(x-3)2十y2= √（-6+3)2+(9+1)-43=√109-4√5，即 10,是圆心为(3,0)，半径为√10的圆.因为存在PA |PM十|MQ|的最小值为√109-4√3，D正确.故 选D. =√2PT,则直线1与圆(x-3)2十y=10有交点，则 二、选择题 圆心(3,0)到直线：kx一y十k=0的距离小于等于 9.AD【解析】因为直线I的一个方向向量n= 半径而，所以3≤而，整理得<号 √+1 (1,一√)，所以直线1的斜率k=一√，又直线1经 过点（一2,0），代入点斜式方程可得y一0= 解得一压≤≤压，故选A 3 3 -√3(x十2)，即直线1的方程为√3x十y十23=0. 8.D【解析】对于A,C1:x2+y2-2x-4y一7=0和圆 对于A,将直线3x一3y+1=0化为斜截式方程，可 C2:(x+3)2+(y+1)2=12,圆心和半径分别是 得y=号十日，斜率为号又直线1的斜率k C(1,2),C2(-3,-1),R1=25,R2=2√5，则两圆 心中点为(-1，号)，若圆C和圆C关于直线8x十 -后，因为号×（一5）=-1，所以直线1与直线 6y5=0对称，则直线是CC2的中垂线，但两圆心 √3x一3y十1=0垂直，故A正确：对于B,由直线1的 中点(-1,2)不在直线8x十6y-5=0上，故A错 斜率为k=一√5，设直线L的倾斜角为a,a∈ [0°，180°)，则tana=-√3，所以a=120°，故B不正 误；对于B,两圆方程相减得公共弦方程为8.x十6y十 5=0,C到直线8x十6y+5=0的距离d= 确；对于C,令x=0,代入直线l的方程3x十y十2√3 |8+12+5 =0,得y=-2√3，即直线l在y轴上的截距等于 = 10 号，故公共弦长为 -2√5，故C不正确；对于D,L与直线x十3y十2=0 2√(2)-（号）=√2丽，B错误：对于C,圆心距 的交点为（一2,0），在x轴上，故D正确.故选AD. 10.BC【解析】当x<0,y<0时，曲线C:(x十1)2十 为√(1十3)十(2+1)严=5，当点P和Q重合时， （y十1)2=8，圆心C(-1,-1),半径m=22;当 |PQ|的值最小，当P,Q,C,C2四点共线时， x>0,y<0时，曲线C:(x-1)2+(y十1)2=8，圆 |PQ的值最大为5+4√3，故|PQ|的取值范围为 心C2(1,-1),半径r=22;当x<0,y>0时，曲线 [0,5十4√3]，C错误；对于D,如图，设C关于直线 C:(x+1)2+(y-1)2=8,圆心C3(-1,1),半径， x一y十8=0对称点为A(m,n), =2√2；当x>0,y>0时，曲线C:(x-1)2+ ·123· ·数学· 参考答案及解析 (y-1)=8,圆心C4(1,1),半径r=2√2.曲线C PClm=√2，则1PAmn=√（√2）-1=√2-I 如图所示：连接C1C4,延长交C于A,B两点， 1,故C正确；对于B,四边形ACBP的面积为S= Sow Saner =2xx API X IACI= |AP||CA|=|AP|,因为|AP|=1,故四边形 ACBP面积的最小值为1，故B正确；对于D,设 B" P(t,-t),因为PA,PB为圆C的切线，所以PA⊥ AC,PB⊥BC,则A,B在以PC为直径的圆上，又 C(2,0),所以以PC为直径的圆的方程为 (x-t)(x-2)+(y+t)(y-0)=0,即x2+y 曲线C上两点间距离的最大值为|AB|= (t+2)x+ty+2t=0,又圆C:(x-2)2+y2=1,即 x2十y2一4x十3=0，上述两式相减，得直线AB的方 √1-(-1)]+[1-(-1)下+2×2√W2=6√2，A 程为(2-t)x十ty-3十2t=0,即2x-3-t(x-y 项错误；如图直线AB:y=x,则P(a,a)在线段AB 2x-3=0 上，A(-3,-3),B(3,3),.一3<a<3,B项正确： 2)=0,由{ x-y-2=0 得x=3 y是，即直线 曲线C与直线y=x十m有公共点，则圆心C2、C到 直线的距离小于或等于半径，则d=2+m≤y= AB恒过定点（号，一号），放D正确.故选BCD, √2 三、填空题 2,则-6≤m≤2或者d。=-2牛m≤，=22， 12.(x-2)2十(y-1)2=1【解析】设Mx,y),P(a,b), √2 则一2≤m≤6，∴.一6≤m≤6，C项正确；原点到C上 则=，生=y解得a=2红-4：6=2y-2,则 2 的点的最小距离为√7十1，最大距离为2√2十 P(2x-4,2y-2),将其代入x2+y2=4中，得 (2x-4)2十（2y-2)?=4,化简得(x-2)2十 √/+1严=3√2，故√7十1≤r≤3√2，D项错误.故 (y-1)2=1. 选BC. 13,5+35 -5-3√5 11.BCD【解析】对于A,因为圆C:(x一2)2十y2=1, 8 8 【解折】青表示圆上的点 所以圆心C(2,0),半径r=1,则圆心C到直线1：x A(x,y)与点D(一3,2)连线的斜率，设过点 十y=0的距离为2=V2>1,所以直线与圆相离， D(-3,2)的直线方程为y-2=k(x十3)，即kx y十3k十2=0，所以圆心(2,0)到直线的距离d= 所以圆上任意一点到直线的距离的取值范围为√② 5k+21 3,即16k2十20k一50，解得 -1≤d≤E+1,而万-1<2<万+1，所以圆C √/十(-1) -5-35 8 <≤536，所以兰的最大值为 8 上有两个点到直线1的距离为分，故A错误对于 -5+3W ,最小值为535 C,由圆的性质，切线长|PA|=√PC-F 8 =√PC-I, 14.3-y0 3 【解析】如图1所示，过点M作平行于x 轴的直线MB交直线l于点B, 当|PC最小时，PA有最小值，此时CP⊥l,即 ·124· 高三一轮复习A ·数学· 过点N作NA⊥MB于点A,d(M,N)表示|MA|+ |NA|的长度，因为直线l的方程为3x十y-9=0, 所以AB的垂直平分线方程为y十之=-3(x 即直线l的斜率k=一3，设l的倾斜角为a,则tana 2）即y=-3x+1, =-3,又因为a十∠NBA=π，所以tan∠VBA= tan(π-a)=-tana,所以tan∠NBA=3,可得 所以AB的垂直平分线方程为y=-3x十1.(4分) =-3,即1NA=3AB1,所以dM,N) (2)设⊙C的一般方程为x2+y2十Dx十Ey十F=0, (F=0, IMA+NA=MA+3ABI=MBI+ 由题意可知，{4+2D十F=0, (6分) 2|AB|,当固定点M,且MV平行于x轴时，此时点 (1+1-D-E+F=0, N与点B重合，此时MB|为定值，|AB|为0， 解得D=-2,E=4,F=0, d(M,N)最小，如图2所示， 所以x2+y2-2x+4y=0, 故⊙C的标准方程为(x一1)2十(y十2)=5.(8分) (3)由(2)可知，C(1,-2),半径r=√5. 则圆心C到直线1的距离为d=1+2-1山=2， N(B √2 (10分) 所以|MN=2√/P-=2√/(W5)-J2)2=23, 图2 (13分) 过点O作直线l的垂线，垂足为T,交圆O于点M, 故△CMN的面积为Saaw=号|MN·d=E. 可得|MT1=IOT1-1=9 -1=9/@-1. √32+1 10 (15分) 又由直线l的斜率k=-3,可得sin∠TNM= 17.解：(1)因为圆C1与圆C2相切，且点(-2,0)在圆 3y,在R△MNT中，可得dM,N=MN C,的外部， 10 所以圆C与圆C外切， 910 -1 则C,O,C2三点共线， MT 10 sin∠TVM =3、10 3√10 3 圆C2:x2+y2一4x十8y=0,化为标准形式为(x 10 2)2+(y+4)2=20, 四、解答题 所以圆心C2(2,一4)， (2分) 15.解：(1)设圆心C(a,0)(a<4), 故圆心C在直线y=-2x上， 则a,4=2. 2 (3分) 设圆C1的标准方程为(x一t)2十(y十2t)2=r2, 解得a=0或a=8(舍)， 又圆C:过原点， 故圆C的方程为x2十y2=4. (7分) 则2=5， (4分) (2)由题意可知圆心C到直线y=kx十√5的距离为 圆C1经过点(-2,0)， 2sin30°=1， (9分) 则(-2-t)2+(0十2t)2=2=5t, 则有61 解得t=一1， =1 /k+1 故圆C的标准方程为(x+1)2十(y-2)2=5. 解得k=士2， (7分) 即的值为士2 (13分) (2)由(1)可知，圆C1的圆心坐标为（一1,2）， 16.解：(1)AB的中点为（分，-号），直线AB的斜率 由直线l:ax+by十2a-b=0,化为a(x+2)+ b(y-1)=0, 为k=子， 所以直线l恒过点P(一2,1)， (9分) ·125· ·数学· 参考答案及解析 B 易知点P在圆C的内部， (3)设l的方程为y=kx(k≠0)， 设点C到直线l的距离为d, 则|AB|=2√-d=2√5-d平， 则三个圆心到该直线的距离分别为d=一5刻 √/1十k 要使AB取得最小值，则d取得最大值， d:=5k 121 ,d3= 所以PC⊥l, (10分) √/1十 √/1十k t时如=名=1 设1截圆A的弦长为n, 则n2=4(1-d)=4(1-d)=4(4-d), 所以k,=一1， 则直线l的方程为y一1=一(x十2)， 所以结合题意有1一 5k 1=4 即x十y十1=0. (12分) 又圆心C2到直线x十y十1=0的距离d'= |2-4+1山=2 √2 解得=名， (13分) 所以1cD1=2√20-（号） =√78 (15分) 4 所以d店=1十R= 4 32 18.解：(1)由题意可设B(-m,0),C(m,0),m>0, 则根据条件得|AC=√TOC+OAF= 故m=4x(4-号)=5。 /m2+2=1+2=3, 4 解得m=√5， 即=3 所以两圆的圆心坐标分别为B(一5,0)，C(5,0), 即直线1截⊙A所得的弦长为子 (17分) ⊙B的标准方程为(x十√5)+y=1,⊙C的标准方 程为(x-√5)2+y2=1. (4分) (2)由题可设公切线l的方程为y=x(k≠0)， 则6斗=1， 1+k 解得k=士立， 1 (6分) 1 故公切线l的方程为y=士 2x, 19.解：(1)设Q(x,y), 则A到公切线1的距离为d= -2 (±)+ 因为18=2 (8分) 所以QM12=4|QN|2, 即(x-4)2+y2=4[(x-1)2+y2], 故1截圆A的弦长为2√2-(5)-6， 整理得x2十y2=4, (9分) 所以曲线C的轨迹方程为x2十y2=4. (5分) ·126· 高三一轮复习A ·数学· (2)曲线C的圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离 直线FH的方程为y=兰气(x一2). 1L=, √/12+(-1)2 因为直线EG与直线FH交于点D, 所以1AB=24-=2√4-=m.(9分) 2(+2. 所以 (14分) (3)设G(x1,y),H(x2y2),D(xy). y2 =2(w-2), 0-2 2·飞大2 则+2-业 =(my十1) (my2-3)y =myy2十y十y2二y 1yy2-3y1 年 2m 3m D m+73y =-1得(m2+1Dy2-2my-3=0, 联立x十=4， 三 m2十1y 1 3m 3 △=4m2+12(m2+1)>0, m2+1-3y1 2m y十=m开= 3 m2十1 (12分) 即西+21 x0-23’ 因为E(-2,0),F(2,0), 解得x=-4, 所以点D在定直线x=一4上 (17分) 所以直线G的方程为y=牛2(x+2), ·127·