(26)概率与统计的综合-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（B）

高三一轮复习周测卷/数学 (二十六)概率与统计的综合 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.下列说法正确的有 ①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值； ②某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率为0.7； ③一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次正面朝上； ④某地发行福利彩票，回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报， A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.已知随机变量X~B10,号)若随机变量Y=3X+2,则DY)= A.10 B.20 C.30 D.32 3.设A,B是一个随机试验中的两个事件，P(A)=P(B)=,PAB)=号，则PA+B) A品 B司 c D 4.若(1一ax)(2+x)(a∈R)的展开式中含x3项的系数为一40，则a的值为 A.1 B.2 C.-4 D.-6 5.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的 概率为子若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置， 则P(X>0)= 4-3-2-10123456x 50 17 A.248 B.512 c器 17 D.81 6.某班组织全班学生开展职业健康知识问卷调查.已知该班男生30人，女生20人.根据统计分 析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为15,10，则该班成绩的方差最小值为 A.23 B.185 C.13 D.175 7.我校田径队有十名队员，分别记为A,B,C,D,E,F,G,H,J,K,为完成某训练任务，现将十名队 员分成甲、乙两队，其中将A,B,C,D,E五人排成一行形成甲队，要求A与B相邻，C在D的左 边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求F与G不相邻，则不同的排列方法种数为 A.432 B.864 C.1728 D.2592 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 8.某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”“论语组”“春秋组”“礼记组”4个小组参赛，每组10 位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情 况，下列小组一定获得“优秀”称号的是 A.诗经组中位数为3，众数为2 B.论语组平均数为3，方差为1 C.春秋组平均数为3，众数为2 D.礼记组中位数为3，极差为4 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.在某市初三年级举行的一次体育考试中（满分100分），60.00% 所有考生成绩均在[50101内，按照[5060).[60.70,0% [70,80),[80,90),[90,100]分成五组，甲、乙两班考生30.00% 的成绩占比如图所示，则下列说法错误的是 20.00% 10.00% A.成绩在[70,80)的考生中，甲班人数多于乙班人数 0.00% B.甲班成绩在[80,90)内人数最多 [50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100] C.乙班成绩在[70,80)内人数最多 ·一甲班成绩占比…·…乙班成绩占比 D.甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小 10.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1,2,3,4的4个小球，从中任意摸 出两个球.设事件A1=“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件A2=“摸出的两个球的编号都 大于2”，事件A3=“摸出的两个球中有编号为3的球”，则 A.A,与A2是互斥事件 B.A1与A3是对立事件 C.A1与A3是相互独立事件 D.A2∩A3与A,∩A3是互斥事件 11.有一组样本数据0,1,2,3,4，添加一个数X形成一组新的数据，且P(X=)= C (k∈{0,1,2,3,4,5})，则新的样本数据中 Λ众数是1的概率是最 B极差不变的概率是影 C,第25百分位数不变的概率是品 D.平均值变大的概率是号 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知x,y之间的一组数据如表所示： 9 16 2.98 5.01 7.01 若y与√（满足经验回归方程y=√仄十a,则此曲线必过点 13.有三台车床加工同一型号的零件，第一台为旧车床，加工的次品率为10%，第二、三台为新车 床，加工的次品率均为5%，三台车床加工出来的零件混放在一起.已知一、二、三台车床加工的 零件数分别占总数的20%，40%，40%.任取一个零件，则它是次品的概率为 14.容量为n的一组数据，它的第k百分位数(k为1到99之间的整数)各不相同，则n的最小值 为 三一轮复习周测卷二十六 数学第2页（共4页） B 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 小王早晨7：30从家出发上班，有A,B两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择 A,B两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格： 8点前到（天数） 8点或8点后到（天数） A方案 28 12 B方案 30 30 (1)根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为是否在8点前到单位与方案选择有关联？ (2)小王准备下周一选择A方案上班，下周二至下周五选择B方案上班，记小王下周一至下周 五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X,若用频率估计概率. (ⅰ)求小王周一与周二都在8点前到单位的概率； (i)求P(X=3). n(ad-bc)? 附：X-a+c十0(ac)b+d,其中n=a+b+c+d 0.10 0.050.025 Ta 2.7063.8415.024 16.(本小题满分15分) 某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普 薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为X,且X~N(u,o2),已 知所有考生考试的平均成绩u=180,且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求。的值；（结果保留整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由. 参考资料：①当X~N(4,g)时，令Y=X二上，则Y~N(0,1). ②当Y~N(0,1),P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863， P(Y≤1.04)≈0.85. 17.(本小题满分15分) 某新能源汽车公司为了解其对A型充电桩进行投资后所获得的利润y(单位：百万元)关于投 10 资金额x(单位：百万元)之间的关系，统计后得到10组样本数据，根据统计数据计算得到∑y =1 10 40·∑70.利润的方差3.6，投资金额的方差2，以及样本相关系数r=0.96 (1)判断y与x的相关性强弱，并求出y关于x的经验回归方程；（精确到0.01） (2)为了解使用A型充电桩的车主性别与使用满意度（分为满意与不满意）的情况，该公司又随 机调查了该地区150名使用A型充电桩的车主，其中男性车主有60名对A型充电桩的使用表 示满意，有30名对A型充电桩的使用表示不满意；女性车主中有60%对A型充电桩的使用表 示满意.将频率视为概率，用样本估计总体.已知该地区一位车主对A型充电桩的使用表示满 意，求这位车主是男性的概率. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 (x,-x(y-y) 附：样本相关系数r= 1 三，当r∈[0.75,1]时，相关性较强，当 r∈[0.3,0.75)时，相关性一般； ∑(x-D)(y-） 经验回归方程y=a十x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为= a=y-ix;√30≈5.477. 18.(本小题满分17分) 某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，在M处投一次三分球，投进得3分， 未投进不得分，在N处连续投2次两分球，每投进一次得2分，未投进不得分，测试者累计得分 高于3分即通过测试，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮）.甲同学为 了通过测试，刻苦训练，投中3分球的概率为，投中2分球的概率为，且每次投篮结果互不 影响. (1)求甲同学先投3分球通过测试的概率： (2)为使通过测试的概率最大，甲同学应先投几分球？ (3)为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？ 19.(本小题满分17分) 某无人机公司新研发了一款无人机，在大型活动中使用时需要提前进行演练.该公司从生产的 一批无人机中抽取了k(k≥5，k∈N)个，分别编号为1,2,3，…，k,不同的编号可以组成不同的 演练模型.现从中选取n(=2,3,…,k)个无人机组合为一种演练模型，则一共可以组合成m (加∈N种演练模型，其中了)-m十合取最大值时，该模型为最件模型。 (1)当k为何值时，模型最佳？并求出此时f(k)的值； (2)若k=7,求n≥4时的概率； (3)现任意抽取一个无人机试飞，每次成功的概率是p(0<<1).若试验成功，则试验结束；若 不成功，则继续试验，直至第次（无论成功与否都结束试验）.设X为试验结束时，进行试验的 次数，X的数学期塑为上(X).证明：上(X)<力 三一轮复习周测卷二十六 数学第4页（共4页）】 ®高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（二十六） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ③④ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 频率与概率的意义 易 0.94 2 选择题 5 二项分布的方差 易 0.85 对立事件、和事件的 选择题 5 易 0.78 概率 由二项展开式中指 选择题 5 易 0.73 定项的系数求参 独立重复试验的概 5 选择题 5 L 中 0.70 率问题 6 选择题 估计总体的方差 √W / 中 0.60 相邻问题的排列 选择题 中 0.55 问题 样本数字特征的 选择题 中 0.40 应用 根据折线统计图解 9 选择题 6 易 0.75 决实际问题 互斥事件与对立事 10 选择题 6 件关系的辨析、独立 中 0.55 事件的判断 概率与样本数字的 11 选择题 6 中 0.40 特征综合应用 12 填空题 5 非线性回归方程 易 0.85 13 填空题 5 全概率公式的应用 中 0.60 总体百分位数的 14 填空题 5 0.30 应用 块 利用独立性检验解 15 解答题 13 决实际问题，概率的 易 0.80 计算 正态分布的实际 16 解答题 15 易 0.70 应用 ·153· ·数学· 参考答案及解析 经验回归方程、相关 17 解答题 15 系数及条件概率在 L 中 0.60 经济中的应用 互斥事件、独立事件 18 解答题 17 中 0.40 的实际应用 以新定义为背景，考 查古典概型及离散 19 解答题 17 / 难 0.15 型随机变量的分布 列与期望 奎考答案及解析 一、选择题 2[+(-)1≥3+2=13，当且仅当元=元 1.B【解析】对于①：随机事件A的概率是频率的稳定 5 5 值，频率是概率的估计值，正确；对于②：某人打靶，射 =x2时等号成立，则方差最小值为13.故选C 击10次，击中7次，那么此人中靶的频率为0.7，但概 7.C【解析】甲队，先用捆绑法，将A与B捆绑有A= 率不一定为0.7，故错误：对于③：每次掷硬币正面朝 2种，将A与B看作一个整体，再用除序法得 A-12 上为随机事件，掷6次，不一定有3次“正面朝上”，故 错误；对于④：买彩票中奖为随机事件，可能发生可能 种，利用计数原理可知，一共有2×12=24种；乙队， 不发生，故错误.故选B 利用插空法得AA=72种，按照计数原理可知，一 共有24×72=1728种.故选C, B【解析】由题意可得D(CX)=10X头X名= 3 8.B【解析】对于A,数据为：1,2,2,2,2,4,6,7,8,9 则D(Y)=9D(X)=20.故选B. 时，满足中位数为3，众数为2，但不满足每位选手的 3.A【解析】由题得P(B)= 是，所以P(A十B) 失分不超过6分，故A错误：对于B,假设有一位同学 P(A)+P(B)-P(AB)=号+-号=故 失7分，则方差≥7-3D-1.6,与方差为1矛活， 10 假设不成立，故B正确：对于C,数据为：1,2,2,2,2， 选A. 2,2,3,5,9时，满足平均数为3，众数为2，但是不满足 4.B【解析】因为(2十x)的展开式的通项公式为 每位选手失分不超过6分，故C错误；对于D,数据 T+1=CX2x,所以(1一ax)(2十x)(a∈R)的展 为：3,3,3,3,3,3,3,3,7,7，满足中位数为3，极差为 开式中含x3项的系数为1XC×2-a·C号×2= 4,但最大值超过6分，故D错误.故选B. 一40，解得a=2.故选B. 二、选择题 5.C【解析】由题意可知，当X>0时，X的可能取值 9.ACD【解析】对于A,由图知，每一组中的成绩占比 为1,3,5，所以P(X>0)=P(X=5)+P(X=3)+ 都是以各自班级的总人数为基数的，所以每一组中的 P(x=1)=()+C()×()+c()'× 甲班、乙班人数不能从所占的百分比来判断，故A错 ()广-品故选C 误；对于B,C,由图可知甲班成绩主要集中在[80， 90),乙班成绩主要集中在[60,70)，B正确，C错误； 6.C【解析】设该班男生组成绩和女生组成绩的平均 对于D,由图可知甲班成绩的极差和乙班成绩的极差 分分别为元1，x2,该班男生组成绩和女生组成绩的方 的大小无法确定，故D错误.故选ACD. 差分别为s=15,s号=10，两个组的总平均分为x,则 10.ACD【解析】列举各事件如下：A:{(1,2), 该班成绩的方差=3020[十(-)]十 30 (1,3),A2:{(3,4)},A:{(1,3),(2,3), (3,4)〉，A:由互斥事件同时发生的概率为0，即 30+20[+(元-元)]= 20 3[s+(x-x1)2] 5 P(A∩A2)=0,A正确：B:由对立事件的概率和为 ·154· 高三一轮复习B ·数学· 1,PA)=是-，P(A)=是=+ P(A )P(BA)+P(A)P(BA)+P(A)P(BA =0.2×0.1十0.4×0.05+0.4×0.05=0.06.故任 1,B错误：C:因为P(AA)=日-日=P(A)X 取一个零件，它是次品的概率为0.06. 14.50【解析】由百分位数的定义，按从小到大排列原 P(A)=子×合，C正确：D:事件AnA 始数据，i=n×k%,如果i不是整数，则第k百分位 {(3,4)},事件A∩A={(1,3)},为互斥事件， 数为大于i的比邻整数数位的数据，如果i是整数， 不可能同时发生，D正确.故选ACD. 则第k百分位数为第i项与第(i十1)项数据的平均 1.ABD【解折】由题意知P(X-)-是(k∈0,1， 数.一方面，若容量为n的一组数据的第1,2，…，99 百分位数各不相同.这n个数本身有n个，相邻两个 23,45.则P(X=0)号-立P(X=1D=号 数的平均数有(n一1)个，这共有(2n一1)个数.而每 =P(X=2)-器-品P(X=)-- 个第1,2，…，99百分位数都是这(2n-1)个数之一， 这些百分位数又各不相同.所以2n-1≥99，即n≥ P(X=4)最-P(X=5)-对于A 50;而另一方面，1,2，…，50这组数据的第1,2，…， 99百分位数分别是1,1.5,2,2.5,3，…，49,49.5， 众数是1，说明添加的数为1，则P(X=1)=2,A 5 50,各不相同.所以n的最小值为50. 四、解答题 正确；对于B,极差不变，说明添加的数X∈{0,1,2 15.解：(1)根据题意，列出2×2的列联表如下： 3,4,则极差不变的概率是1一P(X=5)=影，B正 8点前到（天数）8点或8点后到（天数）合计 确；对于C,由于5×25%=1.25,6×25%=1.5，故 A方案 28 12 40 原数据和新数据的第25百分位数均为第2个数，只 要添加的数不为0，原数据和新数据从小到大排列 B方案 30 30 60 后，第二个数相同，都为1，故第25百分位数不变的 合计 58 42 100 概率是1-P(X=0)-1-立-影，C错误，对于 零假设为H:是否在8点前到单位与方案选择 D,原样本数据的平均值为0+1+2+3+4=2，平均 无关， 5 则x2= 100×(28×30-12×30)2=800 值变大，则添加的数要大于2，即X∈{3,4,5}，故平 40×60×42×58 203≈3.941> 均值变大的概率是P(X=3)十P(X=4)十 3.841, (4分) P(X=5)-品+最十克-号D正确枚选ABD, 根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为是否在8点前到单位与方案选择有 三、填空题 关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.(6分) 12.(6.25,4)【解析】由已知y=6√+a,设t=√：， (2)(1)选择A方案上班，8点前到单位的概率为 则y=bt十a,由回归直线性质可得(t,y)在直线y= 0.7,选择B方案上班，8点前到单位的概率为0.5. t+a上，又i=1+243+4=2.5,y 所以小王周一与周二都在8点前到单位的概率为 4 0.7×0.5=0.35 (8分) 1+2.98+5.01十7.01=4，所以点(2.5,4)在直线 4 (ⅱ)当X=3时，则分两种情况： y=bt十a上，故点(6.25,4)在曲线y=i√E十a上. 第一种：若周一8点前到单位， 13.0.06【解析】设B=“任取一个零件为次品”，A, 则P=0.7×C1-0.5)2×0.5=2头 (9分) 80 “零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),A,A2,A 第二种：若周一8点前没有到单位， 两两互斥，根据题意得P(A1)=0.2,P(A2)=0.4, P(A3)=0.4,P(BA1)=0.1,P(B|A2)= 则P=1-0.70×C1-0.5)×0.5=品 P(BA3)=0.05,由全概率公式得P(B)= (12分) ·155· ·数学· 参考答案及解析 徐上，P(X=3)=P+B=器 (13分) s= 16.解：(1)依题意X~N(180,o2), 令Y=X180,则Y~N(0,1), 所以名=感=立】 (4分) √nsg5z 30 3 又s=12,s=3.6, 所以可得P(X≥360)=2000-20P(X<360=1 3.6 ×0.96=√30×0.096≈0.53， 200=0.985, 所以=r=√位 s 则P(Y<360-180 (6分) =0.985, 由题得x= 1 ∑x=7=∑y=4, 又因为P(Y≤2.17)≈0.985， 10台 则360-180≈2.17， 所以a=y-6近=4-7×0.53=0.29， (8分) 则y关于x的经验回归方程为y=0.53x十0.29， 解得o≈83. (5分) (9分) (2)由(1)可得X~N(180,832), (2)设该地区“一位车主对A型充电桩的使用表示 设最低录取分数为x0, 满意”为事件A,“车主是男性”为事件B, 则P(X≥w)=P(Y≥2180 300 3 83 2000-20' 则该地区一位车主对A型充电桩的使用表示满意， 则P(Y<) =1- 3 且这位车主是男性的概率为P(BA). 20 =0.85, 则180≈1.04， 又男性对充电桩满意的概率为P(AB)=0=2 1505, 83 (11分) 所以x6≈266， 车主对充电桩满意的概率为 即最低录取分数约为266分. (10分) 16 (3)考生甲的成绩为286分>266分， P(A)=60+(150-60-30)X60% 150 25 ,(13分) 所以甲能被录取， 2 P(X<286)=P(Y<286180y 则P(B1A)=PCAB)=5=5 83 ≈P(Y<1.28)≈ P(A)=16=8 25 0.900. 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的1 即这位车主是男性的藏率为管 (15分) 0.900=0.100,约有2000×0.100=200， 18.解：(1)记甲同学先投3分球通过测试的概率为p, 即考生甲大约排在第200名，排在275名之前， 所以甲能获得高薪。 (15分) 则A=号×寸+号×(1-)x名+(1-吉)x 17.解：(1)由于r=0.96,由题可知利润y与投资金额 x相关性较强， 2×品 (3分) (2)记甲同学先投2分球通过测试的概率为p, ∑(，-x)(y-y) 则：=含×合+(1-古)×子×日+宁× (1-)×日品 ∑(-)(-) 因为p1=p2,故甲同学先投2分球或先投3分球是 一样的。 (6分) (3)记甲同学先投3分球投篮累计得分为X,先投2 分球投篮累计得分为Y, -y) X的所有可能取值为0,2,3,4,5， PX=0)=x- ·156· 高三一轮复习B ·数学· P(X=2)=号××3- 即f(k+1)<f(k), 2人2=5 所以函数f(k)在[5，十∞)上单调递减， 于是当=5时，了()取最大值，且了()=品： 此时模型最佳。 (5分) (2)当k=7时，m=2-1-7=120, 所以当n≥4时，其概率P(n≥4)=1-P(n=2)一 则E(X)=2X号+3×品+4X日+5× 20-2.1. P(n=3)=1- CC=8 12012015 (11分) 所以≥4时的概率为。 (8分) Y的所有可能取值为0,2,4,5， (3)由题知，X的分布列为 2 3 n-1 Pp(1-p)p(1-)2p…(1-p)m-2p(1-p)"- PY=)=×号 (11分) 24 故E(X)=p+2p(1-p)十3p(1-p)2+…+ (n-1)p(1-p)"-2十n(1-p)"-1①， (12分) 又因为(1-p)E(X)=p(1-p)十2p(1-p)2十3p(1 则E(Y)=2x号+4×+5×0-2.816分) -p)3+…+(n-1)p(1-p)”-1+n(1-p)"②， 2.3>2.1, (13分) 故甲同学先投2分球投篮累计得分期望最大。 由①-②得bE(X)=p+(1-p)+(1-p)2+… (17分) 十p(1-p)”-+n(1-p)-1-(n-1)p(1-p)-1- 19.解：(1)依题意有m=C十C十C十…十C n(1-p) =2-C2-Ck=2-1-k, =[1-1-)"11+p:1-p)- 1-(1-p) 所以)n冬2-A)十币会， =1-(1-p)", (16分) (3分) 因为0<p<1, 又k≥5， 所以E(X)=1-(1-)<1 所以f+1)-f)=出会-<0， 故E(X)<合 (17分) ·157·