(17)空间向量及其应用-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（A）

高三一轮复习周测卷/数学 (十七)空间向量及其应用 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.若{m,n,j}是空间的一个基底，且向量a=2m十2n,b=n-j,c=2m十tj不能构成空间的一个基 底，则t= A.0 B.2 C.-1 D.-2 2.已知P为平行四边形ABCD外一点，且AB=(2,1,3),AD=(3,2,5),PA=(-2,-2,2),则 A.BD=(1,2,1) B.PD=(5,4,3) C.AC=(5,3,4) D.平面PBD的一个法向量为（一7,5,1） 3.如图，圆柱OO的母线长和底面直径相等，AB,CD分别是下底面圆O和上底面圆O'的直径，且 AB⊥CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值是 A号 R号 c 6----B 4.已知从P点出发的三条射线PA,PB,PC,其中∠APB=60°，∠APC=∠BPC=45°，则直线PC 与平面PAB所成角的余弦值是 A晋 B 3 c 9 5.如图，二面角α一l一3的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并 且都垂直于棱1.若AB=2,AC=3,BD=4,CD=√17，则平面a与平面3的夹角为 A B. c.晋 D晋或 D 6.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，点N是四边形A'BC'D'内一点，且满足DN⊥ AB',则DN与平面A'B'CD'所成角的正切值的最小值为 A号 C.2 D.1 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 7.如图，在四面体ABCD中，平面ACD⊥平面ABC,△ABC是边长为6的正三角形，△ACD是 等腰直角三角形，∠ADC=90°，E是AC的中点，C京=}CB,DG=入DB,若AG∥平面DEF, 则入三 A号 c号 0 -≥B 8.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB∥DC,∠ADC=90°，AD=AB=3,PD=4,DC= 6,点M,N分别是棱DB和CP上的动点，则MN的最小值为 A.1217 B.1213 17 D.33 13 c39 13 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.以下命题正确的是 A.两个不同平面a,3的法向量分别为n1=(2,一1,0)，2=(-4,2,0)，则a∥3 B.若直线l的方向向量a=(0,2,一1)，平面a的一个法向量n=(2,1,2),则l⊥a C.已知a=(-11,2).b=(0,2,3),若如十b与2a-b垂直：则实数=一 D.已知A,B,C三点不共线，对丁空间任意一点O,若O驴-Oi+号O+号0C,则P,A,B,C 四点共面 10.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方 体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几 何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则 A.CG=2 AB+2 AA G B直线CQ与平面ABGD所成角的正弦值为号 C,点C到直线CQ的距离是5 D异面直线CQ与BD所成角的余弦值为 图1 图2 图3 11.已知在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,E为CD的中点.将△CBE沿BE翻折到△C1BE位置 构成四棱锥C,一ABED的翻转过程中，下列说法正确的是 A.一定存在某个位置，使得BE⊥AC B.若F为线段AC1的中点，则DF∥平面C,EB C.若F为线段AC,的中点，则点F在球面上运动 D.C1D与平面ABED所成角的正弦值的最大值为√2一1 三一轮复习周测卷十七 数学第2页（共4页） 囚 班级 姓名 分数 题号 6 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量a=(一1,2,0)，b=(2,-2,1),则a在b方向上的投影向量的长度为 13.如图所示，在棱长均为2的平行六面体ABCD一A'B'C'D'中，∠A'AB=∠A'AD=∠BAD 60°，点M为BC'与B'C的交点，则AM的长为 B. 13题图 14题图 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角，AB∥CD,AD=CD=2AB, E,F分别为PC,CD的中点，PA=kAB(k>0),且二面角E-BD-C的平面角大于30°，则k 的取值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD'中，AB=4,AD=3,AA'=2,∠BAD=∠BAA'= ∠DAA'=60°.E,F,G,H分别是棱A'D',D'C,C℃和AB的中点. (1)求AC的长； D' (2)求EF.B; A G (3)求证：E,F,G,H四点共面. B 16.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别为AC,A1C1的中点，AB=BC=2,AA1=3, ∠ABC=120. (1)求证：AC⊥BE; (2)求直线CE与平面ABE所成角的正弦值. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB ⊥BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点. (1)求证：AM⊥平面SBC; (2)求点M到平面SCD的距离； 、M (3)在线段CD上存在一点N清足器-号，求直线BN与平面SCD 、B 所成的角 18.(本小题满分17分) 如图1，平面图形PABCD由直角梯形ABCD和等腰Rt△PAD拼接而成，其中AB=BC=1, BC∥AD,∠BAD=90°，PA=PD=√2，∠APD=90°，点O是AD的中点，现沿着AD将其折 成四棱锥P-ABCD(如图2). (1)当二面角P一AD一C为直二面角时，求点A到平面PCD的距离； (2)在(1)的条件下，设点Q为线段PD上任意一点（不与P,D重合），求二面角Q一AC-D的 余弦值的取值范围. 图1 图2 19.(本小题满分17分) 在空间直角坐标系Oxy之中，已知向量u=(a,b,c),点Po(xo,yo,之o).若直线l以u为方向向量 且经过点P。,则直线1的标准式方程可表示为乙二西=y二少=二(abc≠0)：若平面a以u b 为法向量且经过点P。,则平面α的点法式方程表示为Q(x一x)十b(y一y)十c(之一)=0. ①)已知直线1的标雅式方程为二平面a的点法式方程可表示为3z十y一寸 5=0,求直线l与平面α1所成角的余弦值； (2)已知平面a2的点法式方程可表示为2x十3y十之一2=0，平面外一点P(1,2,1),求点P到平 面a2的距离； (3)若集合M={(x,y,z)x+y≤2，≤1}，记集合M中所有点构成的几何体为S,求几 何体S的体积. 三一轮复习周测卷十七 数学第4页（共4页）】 囚高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十七） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V.空间想象能力V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ② ③ ⑤ ⑥ 档次 系数 1 选择题 5 空间向量的基底 易 0.90 空间向量的坐标 2 选择题 5 易 0.85 运算 3 选择题 线线角的向量求法 易 0.78 直线与平面所成 4 选择题 5 易 0.75 的角 5 选择题 5 面面角的向量求法 中 0.70 6 选择题 5 线面角正切的最值 中 0.60 线面平行的向量方 7 选择题 中 0.55 法的应用 8 选择题 5 异面直线距离 中 0.40 9 选择题 6 空间向量及其应用 中 0.65 10 选择题 6 空间向量求角，距离 中 0.55 空间向量与立体几 11 选择题 6 中 0.40 何综合，折叠问题 12 填空题 5 投影向量的模 易 0.85 空间向量数量积的 13 填空题 5 中 0.60 应用 已知面面角，求范围 14 填空题 难 0.30 问题 向量法证明四点共 15 解答题 13 面，求线段长、向量 易 0.80 的数量积 线线垂直、线面角的 16 解答题 15 中 0.70 正弦值 线面垂直、点到面的 17 解答题 15 中 0.60 距离、线面角 点到平面的距离，面 18 解答题 17 中 0.40 面角的范围 ·103· ·数学· 参考答案及解析 立体儿何新定义，体 19 解答题 17 积、线面角、点面距 难 0.24 的向量求法 叁考答案及解析 一、选择题 1.B【解析】因为a=2m十2n,b=n-j,c=2m十j不 能构成空间的一个基底，所以存在实数x,y,使得c= xa+yb,即2m+t=x(2m十2n)+y(n-j),即 2=2x x=1 0=2x十y,解得 y=一2.故选B. t=一y t=2 2.D【解析】B市=A方-AB=(1,1,2),故A错误； PD=PA+AD=(1,0,7),故B错误：AC=AB+AD 作CG⊥PD于点G,CH⊥PA于点H,连接HG,易 =(5,3,8),故C错误；设平面PBD的一个法向量为 得CG⊥PA,又CH∩CG=C,CH,CGC平面CHG, BD·n=0, |x十y十2≈=0， 则PA⊥平面CHG,又HGC平面CHG,则PA⊥ n=(x,y,x),则 即 pi,n=0, 令 x+7x=0, HG,则os∠CPDXs∠APD-瓷·f腮-畏 =1,则x=-7,y=5,则n=（-7,5,1),故D正确. cos∠CPA,因为∠APC=∠BPC=45°，所以PG为 故选D. ∠APB的角平分线，所以∠APD=30°，故cos∠CPD 3.A【解析】以点O为坐标原点，AB所在直线为y 轴，OO所在直线为之轴，在底面圆O中，过点O且垂 -二路燃都-誓故选心 直于AB的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐 5.C【解析】设平面a与平面B的夹角为0，则9∈ 标系.设AB=2,则A(0,-1,0),B(0,1,0), C(1,0,2),D(-1,0,2),所以AC=(1,1,2),BD= [0,受]，由C市=Ci+A+Bi,可得c市 (-1,-1,2),设异面直线AC与BD所成的角为9， (CA+AB+BD)'=CA+AB+BD+2CA.AB 则os0=|oAC,市1=A交，B 2 +2AB·BD+2CA.BD=9+4+16+2|CA1· |AC|BD1√6X6 1 Bo(Ci,Bd=29-24cos0,解得cos0=7, =子故选A, 则9=牙，即平面a与平面B的夹角为号.故选C 6.D【解析】以D为原点，建立如图所示的空间直角 O 坐标系，则A'(2,0,2),B(2,2,2),AB= (0,2,0),平面A'BCD'的一个法向量为n= (0,0,1),由于点N是四边形A'B'CD内一点，故可 0区y≤2则D成=(，，2)，由于 10x2 设N(x,y,2), B DN⊥A'B,所以DN·AB=2y=0,则y=0,所以 4.C【解析】如图，设直线PC在平面PAB上的投影 N(x,0,2),所以N点在线段A'D'上，设DN与平面 为PD,则∠CPD即为所求的线面角， A'B'C'D'所成角为0,0≤0≤交，则sin0= DN·n V所以c0s9 2 D·|n ·104· 高三一轮复习A ·数学· =90°，故以D为坐标原点，直线DA,DC,DP分别为 x轴，y轴，之轴建立空间直角坐标系如图所示， cos0=0,0=受，an9不存在.当0<x≤2时，an9= sing=2,当x=2时，tan0取得最小值为1.故 选D. M B A 因为AD=AB=3,PD=4,DC=6,则D(0,0,0) B(3,3,0),C(0,6,0),P(0,0,4),所以BD=(-3, -3,0),CP=(0,-6,4),BC=(-3,3,0),设CN= 7.A【解析】连接BE,由△ABC为等边三角形，则BE λCP=(0,-6x,4),0≤A≤1，所以BN=BC+Ci ⊥AC,又平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面 (-3,3一6入，4)，当MN最小时，MN即为异面直线 ABC=AC,BEC平面ABC,所以BE⊥平面ACD,又 DB与CP之间的距离，距离d= DEC平面ACD,所以BE⊥DE,因为△ACD为等腰 三角形，E是AC的中点，所以DE⊥AC,则以E为坐 √成（产丁-级，因为 标原点，EA,EB,ED的方向分别为x,y,x轴的正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系， 3以-361+18的对称销为=一2交9-号，所以最 小值为34×（号）广-36×号+18=#，故4≥ /匹-2厘，所以MN的最小值为2严.故 N17 17 17 选A. 二、选择题 E 9.ACD【解析】对于A,由题意知n=一 2ne,所以a ∥B,故A正确；对于B,由题意知a·n=0,所以l∥a 或lCa,故B错误；对于C,由题意知(ka十b)· 则E(0,0,0),A(3,0,0),B(0,3√5,0)，C(-3,0,0), (2a-b)=2ka2+(2-k)a·b-b2=12k+8(2-k) D(0,0,3),ED=(0,0,3),EC=(-3,0,0),CB -13=0,解得=一子，故C正确：对于D.由O市三 (335,0),萨=+号i=(-250),Aò- (-3,0,3),Di=(0,35,-3),AG=AD+DG 号oi+号oi+号o心，得oi-0心-号oi-0心 AD+xDi=(-3,3/3x,3-3).设平面DEF的- +号Oi-O心)，即C-号Ci+,所以P,A, 个法向量为n。=(xyz), B,C四点共面，故D正确.故选ACD. 1n·Ej=3x=0, 10,BC【解析】A选项，以A为坐标原点，DA,AB, 令x=√5，则n=(3,2, n.EF=-2x+/3y=0, AA所在直线分别为x,y,之轴，建立空间直角坐 0).因为AG∥平面DEF,所以n·AG=-35+2X 标系， 3x=0,解得X=之故选A 8.A【解析】因为PD⊥平面ABCD,AB∥DC,∠ADC ·105· ·数学· 参考答案及解析 ① 1 则A(0,0,0),B(0,1,0),A1(0,0,1),G(-1,-1,2), D Q(0,-1,2),C(-1,1,0),B1(0,1,1),C(-1,1,1), D(-1,0,0),CG=(0,-2,2),AB=(0,1,0), AA=(0,0,1),则2AB+2AA=(0,2,0)+ ② 对于B,设G为BC的中点，连接FG,DF,EG,又F (0,0,2)=(0,2,2)≠CG,A错误；B选项，平面 为AC的中点， A1B1C1D1的一个法向量为m=(0,0,1),CQ (1,-2,2),设直线CQ与平面A1BCD1所成角为 0,则sin0=|cos(CQ,m)|= |c·m |C0|·|m 1山-22：0D-号B正确：C迷项 /1+4+4 cC=(0,0,1),点C到直线CQ的距离为d CC·CQ 1c1 FG/AB,FG=AB,又E为CD的中点，CD∥ √-(-√-( AB,∴.FG∥DE,FG=DE,∴.四边形FGED为平行 √/1+4+4 四边形，∴DF∥EG,又DF丈平面C1EB,EGC平面 CEB,DF∥平面CEB,故B正确：对于C,由B -气C正确：D造项，筋=(-1，-1,0，设异面 知F为线段AC1的中点时，恒有DF=EG= 直线CQ与BD所成角为a,则cosa= √F+(合)-，因此点F在以D为球心，DF |coscò，Bd1=⊙·Bò |CQ·|BD 为半径的球面上运动，故C正确：对于D,取AC的 =(1,-2,2)·(-1,-1,0)=-1+2+01 中点为F,连接DF,作直线HD⊥底面ABCD,以D W/1十4+4×/1十1+0 3√2 为原点，DA,DC,DH所在直线分别为x轴、y轴、 -普D错误.故选比 轴建立空间直角坐标系，则n=(0,0,1)是平面A BED的一个法向量， 11.BCD【解析】对于A,由已知可得BE=AE=√2， 又AB=2,∠AEB=90°，即AE⊥BE,取BE的 中点M,连接CM,AM,CB=C1E,∴.CM⊥BE, 假设BE⊥AC,AC∩CM=C1,且AC,CMC平 面CMA,.BE⊥平面CMA,又AMC平面 C CMA,.BE⊥AM,又AE⊥BE,这与在一个平面内 过一点只有一条直线与已知直线垂直矛盾，故A 错误； ·106· 高三一轮复习A ·数学· 设C1(x,yz),F(x0,yo,),由D(0,0,0), A(1,0,0),E(0,1,0),B(1,2,0),则DC = (x,y,2),D市=(，)，：F为线段AC的中 /x=2x0-1 点，{y=2,又：1C1=1C|=1, x=2 x2+(y-1)2+x2=1 (x-1P+(y-2)+2=1可得=2x-22,由 设AB=1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0), C知，D1-号∴++8=是，设GD与平 D(0,20),P(0,0k),E(11,冬），Bi= 面ABED所成角为0，则sin0= DC·n (-1,2,0),B=(0,1,),且平面CDB的-个 DC 法向量为m=(0,0,1),设平面EDB的一个法向量 x /2x-2x (n·BD=-x十2y=0 √+y+ √/(20-1)2+(2y)+(20)尸 为n=(x,y,z),则 4百，其中6-≥0，≤子 √/6-4x0 1,则x=2=一会，可得月=(21，-是)，设三面 12a。-8-4=64x-2=3-(3-2x十 6-4x0 3-2x0 角E-BD-C的大小为0，则cosB=|cos(m,n)|= g2)<3-2区，当且仅当=3Y2时等号成 5 2 号，化简得发>告所以心2 立，因此sin≤√3-2√瓦=√2-1，因此CD与平 4+1+是 15 面ABED所成角的正弦值的最大值为√2一1，故D 实数的取值范围为(2+) 正确.故选BCD 四、解答题 三、填空题 15.解：(1)设AB=a,AD=b,AA=c,则AC=AB+ 12.2【解析】a在b方向上的投影向量的长度为 BC+CC=a+b+c, ·b=1(-12,0)·(2,-2,1D1=2. 则ACd=(a+b+c)2=a2+b+c2+2a·b+2a·c b 十2b·c=55, 13.√厅【解桥】由题得AM=AB+BM=A范+ 所以AC'的长为√55 (3分) 之(B心+B),即AM=A店+号A市+合AA,即 (2)求-前+D亦=名十b,B前=Bi+A市+ A-(Ai+号A市+号A)=A迹+A市+ DD=-a+b+c, AA+Ai·A市+A·AA+A市·AA,即 所以E成.B励=（号a+2b)(-a+b+c 1 A亦=4+1+1+2×2×号+2×2×号+号×2X2 X2=11,所以Ai=T,AM=厅. +2b·c 1.(,+)【解折】以A为原点，AB,AD,AP aa+ac叶b:b2bc 为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐 =-×4+2×4×2×cos60+合×3+2×3 标系， ×2×cos60°=0. (7分) ·107· ·数学· 参考答案及解析 (3)由(2)得E求=号a+号b, 设平面ABE的一个法向量为m=(x,y,z), m·AB=-√3x+y=0 又Ei=E+i+Ai=2a-b-c, 则 m·AE=-5x+3x=0 成-丽+C+cG=a+bc (10分) 令x=√5，则y=3,x=1, 可得m=(√5,3,1)， (10分) 所以E心-E市+Ei, 则cosm,C)=m,实 39 1m|1CE13, (14分) 故向量Ei,E市，E心共面， 即E,F,G,H四点共面， (13分) 设直线CE与平面ABE所成角为a, 16.解：(1)因为在直三棱柱中，AA⊥平面ABC,ACC 则ng=lasm.G1=厚， 平面ABC, 则AA:⊥AC, 所以直线CE与平面ABE所成角的正弦值为 13 又因为D,E分别为AC,AC的中点， (15分) 则DE∥AA, 17.解：(1)以A为原点，建立如图所示的空间直角坐 则AC⊥DE, (2分) 标系， 因为AB=BC,D为AC的中点， 则AC⊥BD, 因为BD∩DE=D,BD,DEC平面BDE, 所以AC⊥平面BDE, 因为BEC平面BDE, 所以AC⊥BE. (5分) B,4 (2)因为DE∥AA,AA⊥平面ABC, 则DE⊥平面ABC, N 因为BDC平面ABC, D 则DE⊥BD, 则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0), 又AC⊥DE,AC⊥BD, S(0,0,2),M(0,1,1), AM=(0,1,1),BC=(2,0,0),B5=(0,-2,2), 所以DA,DB,DE两两垂直. :AM.BC=0,AM.B5=1×(-2)+1X2=0, 如图，以D为坐标原点，DA,DB,DE分别为x,y, .AM⊥BC,AM⊥BS, 轴，建立空间直角坐标系Dxyz, ,BC∩BS=B,且BC,BSC平面SBC, ZA .AM⊥平面SBC (5分) E (2)由(1)得DC=(1,2,0),D5=(-1,0,2),M花= (2,1,-1). 设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z), n·DC=0 .=0,得十2：=0 由 [x+2y=0 令x=1,则x=2,y=-1, .n=(2,-1,1), 六点M到平面SCD的距离为M心， n 则E(0,0,3),A(5,0,0),B(0,1,0),C(-√3,0,0)， =2×2+1×(-1)+(-1)×1=5 (10分) (7分) 6 可得C市=(3,0,3)，AB=(-3,1,0),A龙 (3):CD=(-1,-2,0), =(-√5,0,3)， c耐-i=(←号，专0). ·108· 高三一轮复习A ·数学· .Bd=BC+Cd=(2,0,0)+（ 号-号0） u,Cp=-x十之=0 则 u.PD=y-+=0 =(停-0 取x=1,得x=1,y=1, 由(2)得平面SCD的一个法向量为n=(2,一1,1)， 则u=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量，(7分) .cos(BN,n)= BN n 4 3 BNIm 则点A到平面PCD的距离d=P:u-2E u 3 3 (9分) 设直线BN与平面SCD所成的角为9， (2)设点Q满足Pd=入PD(0<<1). 则sing-号.0e[o,号] Pi=(0,1,-1), 则9=号， Pi=(0,A,-A), 又0P=(0,0,1), ·直线BN与平面SCD所成角为号 (15分) .00=O币+P0=(0,λ，1-λ)， 18.解：(1)PA⊥PD,PA=PD=√2， .Q(0,a,1-λ). .AD=2. 设平面CAQ的一个法向量为m=(x,y,z1), '点O是AD的中点， 又：AC=(1,1,0),AQ=(0,a+1,1-A), .A0=1,P0=1, (m·AC=x+y=0 结合折叠前后图形的关系可知PO⊥AD,CO⊥AD, m·AQ=(A+1)y+(1-A)x1=0 二面角P-AD-C为直二面角， 取=1十入，则y1=λ-1，x1=1-入， 则侧面PAD⊥底面ABCD, 则m=(1一λ，λ一1，A十1)为平面CAQ的一个法向 又侧面PAD∩底面ABCD=AD,POC平面PAD, 量 (12分) .PO⊥平面ABCD, (2分) 易知平面CAD的一个法向量为n=(0,0,1), 易知PO,AD,OC两两垂直. ∴二面角Q-AC-D的余弦值为 以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OD所在直 m·n 线为y轴，OP所在直线为x轴，建立空间直角坐 |cosm,n|=Tm·Tn 标系， |λ+1 √/(1-1)+（λ-1）2+(+1)产×1 (λ+1)2 =√2(1-)+（入+1） 1 √2()+1√(1-)+ 0 由0<A<1, .1 希(-10 则P(0,0,1),A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0), 则 ∈ 2(1-希)+1 ( D(0,1,0), .PA=(0,-1,-1),C2=(-1,0,1),PD ∴二面角Q-AC一D的余弦值的取值范围为 (0,1,-1). (4分) 停小 (17分) 设平面PCD的一个法向量为u=(x,y,之)， ·109· ·数学· 参考答案及解析 19.解：(1)由题可知，直线1的一个方向向量为m 然后得到几何体S如图所示： =(1,-√5,2)， 平面a1的一个法向量为n=（3,1,-1),(2分) 设直线l与平面a1所成角为B, m·n 2 V√10 则有s如=Tm7x万D,4分) 所以cosB=V个-im9=3@ 10 直线1与平面a1所成角的余弦值为3D 10 (5分) 儿何体S是底面为边长为2√2的正方形，高为2的 (2)由题可知平面a2的法向量为2=(2,3,1)，且 长方体， 过点A(0,0,2), 故几何体S的体积为22×2W2×2=16.(17分) 因为P(1,2,1), 所以AP=(1,2,-1), 所以点P到平面a:的距离为n:A立-区 n2 2 (9分) (3)建立空间直角坐标系，分别画平 (x十y=2,x≥0，y≥0 x-y=2,x≥0，y<0 -x十y=2,x<0,y≥0 面 -x-y=2,x<0,y<0 之=1 x=-1 ·110·