(20)椭圆、双曲线、抛物线-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（B）

高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（二十） 命题要素-览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) W V ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 椭圆的方程，焦点 选择题 易 0.94 坐标 抛物线的定义、与抛 选择题 物线焦点弦有关的 V L 易 0.85 几何性质 根据离心率求双曲 3 选择题 5 线的标准方程 L 易 0.78 4 选择题 双曲线的定义 易 0.73 抛物线的定义、最值 5 选择题 5 中 0.70 相关问题 6 选择题 5 双曲线与圆的综合 中 0.60 7 选择题 6 抛物线性质的应用 中 0.55 8 选择题 5 求双曲线的实轴长 中 0.40 双曲线的定义与 选择题 6 中 0.65 性质 求椭圆的离心率、椭 10 选择题 6 圆的焦点三角形 中 0.55 问题 新定义题，抛物线的 11 选择题 6 标淮方程、直线与抛 / 中 0.40 物线的位置关系 实际问题中的抛物 12 填空题 5 易 0.85 线方程 椭圆的定义，角平分 13 填空题 0.60 线的性质 结合双曲线的几何 14 填空题 0.30 性质求面积 ·119 ·数学· 参考答案及解析 根据抛物线上的点 求标准方程、抛物线 15 解答题 13 易 0.80 中的三角形面积 问题 双曲线的渐近线方 16 解答题 15 程，双曲线中的定角 中 0.70 问题 椭圆的标准方程，求 17 解答题 15 弦长，由椭圆中三角 L 中 0.60 形的面积求参数 抛物线与向量的综 18 解答题 17 / 中 0.40 合，定点问题 双曲线的标准方程， 19 解答题 17 双曲线中的证明 难 0.15 问题 香考答案及解析 一、选择题 5.B【解析】如图，F为抛物线的焦点，m为抛物线的 1.A【解析】设椭圆C的焦距为2c,则由题意得c2= 准线，作AC⊥m于点C,PN⊥m于点N,BD⊥m于 4,又C的方程为写+关-1，所以8-=4，解得及 点D,连接AF,BF, 4.故选A. 2.C【解析】如图所示，过焦点F作FQ⊥AB于点Q, 由题意可知Q为AB的中点，根据抛物线的定义得 |AF|=|AB|=|AQ|+QB|,又|BQ|=2,所以 |AF|=2|BQ=4.故选C. C D 由抛物线的定义知，2|PN|=AC|+|BD|= |AF|+BF|≥|AB|=6,所以IPN|≥3，当且仅 当F在AB上时等号成立，则点P到x轴的最小距 离是2，故。的最小值为2.故选B. 6A【解折】由双面线C后一若-1，可得。2=16，公 =25,则a=4,b=5且c=√a2+b6=√4红，设F'是 3.B【解析】设双曲线的下焦点为(0，一c),一条渐近 双曲线C的右焦点，连接PF',OT,因为M,O分别为 线方程为y=分，即ax一by=0,则焦点到渐近线的 FP,FF的中点.所以MO|-号|PFI,又FT为圆 距离为bcL =2,又离心率e=￡=2，a2+b= 的切线，则OT⊥FT,则在Rt△OFT中，FT= Va2+6 /OF2-OT=5,又由双曲线的定义，可得 ,联立解得。2=合6=4双面线的方程为头 |PF|-|PF'|=2a=8,所以|MO-|MT|= 芹-1，放述以 IPFI-IMF1+IFTI-(PF1-IPF1) +FT=-4+5=1.故选A. 4D【解折】因为方程，千2十产=1表示双曲线， 则(m十2)(3-m)<0,解得m>3或m<一2.故选D. ·120· 高三一轮复习B ·数学· 轴长2a=√6.故选C. ----- 、D 7.C【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 二、选择题 9.CD【解析】A选项，对于双曲线C:x2- 21,a= A 1,b=√2，c=√3，所以|F1F2=2√3，所以A项错误： B选项，根据双曲线的定义，由|RF1一RFz|= |4-RF2|=2,得|RFz|=2或|RF2|=6,所 以B项错误；C选项，双曲线的一条渐近线方程为y =√2x,即V2x-y=0,F2(5,0)到直线√2x-y=0 依题意可得A的坐标为（号，4，设抛物线的标准方 的距离为5=2，所以C项正确：D选项，设P(s,D, 3 程为r=2y(p>0),则 =8p,解得p= 品故该 1>1,则-号=1，即2-=2，又A(-10), 抛物线的标准方程为？=器，设小球大圆圆周方程 81 2 B(10),所以m·km=有‘，-气=-气 为x2十(y-r)2 2，联立方程组 (x2+(y-r)2=2 2-2=2,所以D项正确.故选CD, s2-1 e-0 ,解得y=0或y=2r- 器要俊 10.ACD【解析】如图，设|PF1|=m,PF2=n,延 长OQ交PF2于点A. 小球能触及杯盏的底部（顶点），则小球与杯子有且只 有-个交点，就是抛物线的顶点，所以y一2一沿-0 或y=2一无效，考虑到抛物线不可能在x轴下 方，所以y<0不成立，即y=2r i6<0.所以2， 81 部≤0，解得r≤品所以r的最大值为影故选C 8.C【解析】由E:y=6x,得焦点为F(号0）小，所以 由题意知OQ∥PF1,O为F1F2的中点，则A为PF2 。十6=号，又A(-a,0),B(a,0),双曲线渐近线 的中点，又∠QPA=∠FPQ=∠AQP=号，所以 方程为bx士ay=0,不妨假设是过A,B作C的同一 (m+n=2a, 条渐近线bx十ay=0的垂线，垂足分别为P,Q,则由 △AQP是等边三角形，则 双曲线的对称性可知A和B到渐近线bx十ay=0的 6计=m,解得 距离相等，均为1AP1=-a-:,所以 √a+6v (m=a十h:在△F,PF:中，由余弦定理得m++ n=a-b, I PQ=2OP=20A-AP mn=4c2,所以(a+b)2十(a-b)2+ =V。-()-√i-V得 (a+b)(a-b)=4c2,即3a2+b=4c2.因为=a c /-则实 -C,所以=w0=5c,所以2=音e=25. 5 故B错误；△PF,R的面积为号mnsm子- ·121· ·数学· 参考答案及解析 B(。2-)-Bc=5,故A正确：设点P到x 4 4 轴的距离为h,所以弓×2xh=,解得h= 21 故C正确；因为PM是∠FPF:的平分线，所以 |MF=m=a+b=5+1=W5+1)2_3+5 MF2Tna-b√5-1 4 2 故D正确.故选ACD. 11.ABD【解析】对于A,由题意，开口向右的抛物线 方程为C:y=2x,顶点在原点，焦点为r(号0)小： 在抛物线y=合r(≥0)上取一点P,使过点P的 将其逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点 切线与直线OA平行，由y'=x=1,可得切点坐标为 为(0，），则其方程为=2，即)=2，故 P(1,号)，因为am-y=0,则点P到直线OA的 1 正确：对于B,根据A项分析，由二解得 距离为d= 2② =0或x=2,即xA=2,代入可得y⅓=2，由图象对 √2 .于是5=克XV@牛X 称性，可得A(2,2),B(2,-2),故|AB=4,故B正 2= 确；对于C,如图，设直线x十y=t与第一象限花瓣 4 ，由图知，半个花瓣的面积必大于弓，故原图 分别交于点M,V, 中的阴影部分面积必大于8×号=4，故D正确，故 选ABD. 三、填空题 12.50【解析】以P为坐标原点建立平面直角坐标系， 依题意可知B(200,-100),设抛物线方程为x2= -2py(p>0),D(100√2，-h),其中h为点P到水 2002=2×100p, 面CD的距离，则 (100√2)2=2hp, 解得p=200,h =50. 由 y= +,解得w=+1-v2T ,由 13.2【解析】延长F2Q交F1M于点A, y2=2x yM=V21FT-1 2‘,解得v=2+-1 .x2=2y ,即得M(t十 yw=1+1-√21+ 1-√21+I,V21+I-1),N(√21+I-1,t+1 √2t+1),则弦长为MN|=√2(t+2-2√21+1) =√2|t十2-2√2t十I|,由图知，直线x十y=t经过 点A时t取最大值4，经过点O时t取最小值0，即 在第一象限部分满足0<t<4,不妨设u=√21十1， 则1<u<3,且1=2，代人得1MN1= 因为PN为∠MPF2的角平分线且AF2⊥PN,所以 △PQF2≌△PQA,则|PF2|=|PA|,|QF2| -② “2+2-2=号1(u-2-1.则当u=2 QA PF+PF=PF+PA=4, 即|FA|=4,在△AFF2中，易知O,Q分别为 时，MN取得最大值为号，故C错误：对于D.根据 F1F2,AF2的中点，即OQ为中位线，所以|OQ|= 对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求 2AR,=2 日部分面积的近似值。如图， 14.25【解析】由题可得F(3,0),a=2,b=√5，c=3,渐 近线方程为y一±号，不妨取y-,即5。一2 0,所以|PF|= l35=5=b.|PQl=2|P0|=2a /5+4 ·122· 高三一轮复习B ·数学· =4,所以5=号×4X5=25. 17.解：(1)由题意得2c=2√2，c=√2， (1分) 四、解答题 又e=￡=9，则a=2.=a2-2=2, a 2 15.解：(1)因为抛物线过点M,MF|=3, 所以1十号=3，所以p=4, (4分) 所以C的标准方程为+苦-1。 2 (3分) 所以抛物线的方程为y2=8.x. (6分) (2)过C的右焦点且倾斜角为3亚的直线为y=-(x (2)由(1)可知M(1,2√2)，F(2,0), -2), 所以直线MF的方程为y=一2√2(x一2)， 与y2=8.x联立得x2-5.x+4=0, 代入行+兰=1，得3r-42x=0, 所以x=1或x=4, 故P点坐标为(4，一42) (8分) 解得x=0或x=42 3 (3)因为M(1,2√2)与N关于点F对称， 所以MN=2×(色-0）号 (7分) 则N(3,-22), (10分) 所以Saw=1OF×w-w=号×2X4E (3)由题意设E(x1,y1),F(x2,2),如图所示： 2 y =4V2, 即△OMN的面积为4√2， (13分) 16.解：(1)由离心率e=￡=2，又2=a2+b,则 a =3a2, 又实半轴长a=1,所以2=3，b=√3， (3分) 故双南线的标准方程为：-苦-1， 则其渐近线方程为y=士√x (5分) r=ty+2 联立 (2)因为直线1的倾斜角为45°，故其斜率为1， ,整理得(+2)y+3y- 4 又1过点E(0,2),所以l的方程为y=x十2，(6分) 4 设M(y),N(x2,), 0,4>0, y=x+2 x-兰=1得2x-4x-7=0.4=(-4)2-4 由 则十=一千2为= 3t 4(2+2) (9分) 3 故|y-y=√（y+)一4y ×2×(-7)=72>0, 92 7=V162+14 (10分) 则十6=25=子， (9分) V(P+2)7++2 2+2 则OM.ON=nx2+yy2=x1x2+(+2)(.+2) 设直线1与x轴的交点为D(号，0）， =2x2十2(x1+x2)十4=1， (12分) 所以cos∠MON=,Oi立.Od 又A(-号，0)，则|AD1=号-(-号）=4， 1 1oM·1o2' 放Sr=号1AD|·y一为 所以∠MON=60° (15分) =2×160+14=46 2+2 2 结合t>0,解得t=√2， (15分) ·123· ·数学· 参考答案及解析 18.解：1)将圆M配方得(x-之)广+少=士， (3)设T(分)，直线MN的方程为y-n=(c 即M(30), (2分) 2）M(y).N(), 所以号=子即p=1 (3分) yn-(-) 所以C的方程为y2=2x. (4分) 联立 化简得(16-k)x2+ (2)当直线AB垂直于x轴时，|AB最小，|AB|m =2p=2. (7分) (3)由题可知，l的斜率不为0，设直线l:x=ty十n, (k2-2km)z42-m2+km-16=0) 联立方程。化药可得-y 16一k2≠0， △=16(4n2-4kn-3k2+64)>0, 所以△=412+8n>0,y1+y2=2t,y1y2=-2n, 则十x%= k2-2kn (10分) 16-k2, 又P,Q在抛物线C上，故=2 1y=2.x2 (12分) k2-n2+kn-16 x12= 16-k2 (11分) 则0市.0à-=+0=(%)+为=3。 1 故|TM=V1+z一2： 即n2-2-3=0,解得n=一1或n=3, (14分) 因为y1y2<0, |TN|=√/I+ 1 -2 所以y2=-2n<0,即n>0, 则|TM·TN 故n=3, 所以直线（过定点(3,0）. (17分) =(1+)- 1解：设双商线E的方程为号- =1(a>0,6> =(1+2) x%- (+)+ 0), 1 C=17 =(1十k2) 年2-2+n-16 a [a=1 16-k2 .0+ 2 16-k2 则W②)242 =1解得b=4 (1+k2)(12+n2) k2-16 (15分) c=√17 c2=a2+ 由k0十kN=0,所以k0=一k, 所以E的方程为一荒-1. (4分) 从而1TP1·1TQ1=1+(-)]12+) (-k)2-16 (2)设M(x1y1),N(x2,2),H(xo,o), =1+2)(12+) k2-16 因为M,N两点都在双菌线”一若=1上， 所以|TM·|TN|=|TP|·TQ|.(17分) =1 所以 1 两式作差，得x0(一2) 16 =%(y一2) 16 则友1·k2=出出〉=16. (8分) xu(t1一x2) ·124·高三一轮复习周测卷/数学 (二十)椭圆、双曲线、抛物线 （考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知精圆C:专+苦-1的一个焦点为(20)，则的值为 A.4 B.8 C.10 D.12 2.设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，且在第一象限，过点A作AB垂直于准线于点 B,若△ABF为正三角形，则|AF|= A.2 B.3 C.4 D.5 3.南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一 段近似看成双曲线芳会-1®一0,6>0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的审离 为2，离心率为2，则该双曲线的方程为 A-=1 ￥-1 c-1 D若气 4.已知方程、 m+2 3-m ,=1表示双曲线，则m的取值范围是 A.(3,+∞) B.(-2,3) C.(-o∞，-2) D.(-∞，-2)U(3,+∞) 5.已知A,B为抛物线x2=4y上的动点，P(xo,y)为AB的中点，若|AB=6,则y的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，过双曲线C:名6一茶1的左焦点F作圆x+P=16的切线，切点为T,延长PT交C的 右支于点P,若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MO一MT= A.1 M B号 c D.2 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 7.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的 曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为4cm,往杯盏里面放入一个半径为 rcm的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则r的最大值为 7 A.16 9 cm 图1 图2 c别 n 8已知抛物线By-6,若抛物线E的焦点与双曲线C芹芳=1(0>0，>0)的右焦点重合， 过双曲线C的左、右顶点A,B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P,Q,且PQ=2,则双 曲线的实轴长为 号 B.2 C.√6 D.3 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) .已知A,B为双曲线C:-兰=1的左、右顶点，FR,分别为双曲线C的左、右焦点，则 A.F1F2|=2 B.若R为双曲线C上一点，且RF=4,则RF2=6 C.点F2到双曲线C的渐近线的距离为√2 D.若P为双曲线C上非顶点的任意一点，则直线PA,PB的斜率之积为2 10.已知P是位丁椭圆C:若+若-1(a>6>0)第一象限上的一点，F,P,是C的左、右焦点， ∠F,PF:-受.点Q在∠FPF,的平分线上，∠FPR的平分线与x轴交于点M,0为坐标原 点，OQ∥PF1,且OQ=b,则 A.△PF1F2的面积为√3b BC的离心率为号 C.点P到x轴的距离为Bb 2 MF3+/5 D.MF2 2 三一轮复习周测卷二十 数学第2页（共4页） B 11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这 是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角 花瓣的图案，它可看作由抛物线C:y2=2x(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后 所得的三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A,B为C与其中两条曲线的交点，若p=1,则 1 A.开口向上的抛物线的方程为y=2x B.AB=4 C.直线x十y=t截第一象限花瓣的弦长最大值为子 D.阴影区域的面积大于4 班级 姓名 分数 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.如图1，图中为抛物线型拱桥.如图2，将拱桥的主拱看作抛物线，水面看作水平的直线，主拱的 顶端P到水面AB的距离为100m,且水面AB的宽为400m,若水位上涨到水面CD,CD的宽 为200√2m,则顶端P到水面CD的距离为 m. M B 图1 图2 12题图 13题图 13.如图，椭圆写+苦-1的左、右焦点分别为F,R,点P是辅圆上任意一点（与，A,不共线） M在F1P的延长线上，PN是∠MPF2的角平分线，过F2作FQ⊥PN,垂足为Q,则 OQ- 1H.已知双曲线号-苦-1的右焦点为R,过F作PF重直于一条裔近线，垂足为P,若点P,Q关 于原点对称，则△PQF的面积为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知抛物线y2=2px(p>0)过点M(1,t)(t>0),其焦点为F,且MF=3. (1)求抛物线的方程： (2)直线MF与抛物线交于另一点P,求点P的坐标； (3)若点N与M关于点F对称，求△OMN(O为坐标原点)的面积. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 16.(本小题满分15分) 已知双曲线C的方程为后芳=1(。>0,6>0).且实半轴长为1，…离心率为2. (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)过E(0,2)且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于M,N两点，若OM·ON=2(O为 坐标原点)，求∠MON的值. 17.(本小题满分15分) 已知椭圆C号+芳=1(a>6>0)的焦距为2厄，离心率为号 (1)求C的标准方程； (2)过C的右焦点且倾斜角为x的直线与C交于M,N两点，求MN: (8)若A(-号0，直线1：=y+>0交椭圆C于E,F两点，且△AFF的面积为④求 t的值. 18.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点恰好为圆M:x2十y2-x=0的 圆心 (1)求C的方程； (2)过焦点的直线与C交于A,B两点，求AB的最小值；（不需要说明理由） (3)若直线1与抛物线C交于P(x1y1),Q(x2y2)两点，yy2<0,且OP·OQ=3,试探究直线1 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知双曲线E的焦点在x轴上，离心率为√I7,且过点（√2,4），直线l1与双曲线E交于M,N 两点，l1的斜率存在且不为0，直线2与双曲线E交于P,Q两点. (1)求E的方程； (2)若MN的中点为H,直线OH,MN的斜率分别为k1,k2,O为坐标原点，求k1·2; (3)若直线4与直线，的交点T在直线x=号上，且直线（与直线，的斜率和为0，证明： TM·TN=TP·TQ: 三一轮复习周测卷二十 数学第4页（共4页）】 ®