(13)数列的概念、等差数列、等比数列-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（A）

高三一轮复习周测卷/数学 (十三)数列的概念、等差数列、等比数列 （考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知数列2，√6，√⑧，√10，…，√2n+2,…,则√42是这个数列的 A.第20项 B.第21项 C.第22项 D.第19项 2.已知等差数列{am}的前n项和为Sn,若a2十a6=12,则S,= A.48 B.42 C.24 D.21 3.在数列a}中，若a1=1=2a则a@ A.-2 B.4 C.1 D 4,设S,是等比数列a,的前n项和，若S,=4,a4十a十as=8,则 A.1 B号 c D.2 5.中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神舟十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任 务，运送“神舟十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km,以后每秒钟 通过的路程都增加3km,在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序，则从点火到 进入转弯程序大约需要的时间是 A.10秒 B.11秒 C.12秒 D.13秒 6.已知两个等差数列1,5,9，…，和1,6,11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组 成一个新数列{an},且{an}的前n项和为Sm,则S12 A.1332 B.1311 C.1290 D.1270 7.对于数列a,,定义A,=a十2a:十+2'a为数列{a,的“好数”，已知某数列a}的“好数” 为An=2m+1,记数列{am一kn}的前n项和为Sn,若Sn≤S。对任意的n∈N*恒成立，则k的取值 范围为 A[g】 B[] c[] n[9 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知(an}为等比数列，a2a3a7=a4a6,aga10=一27，则a17= 13.已知Sm是等差数列{an}的前n项和，a1=一15，且当n=7时，Sm取得最小值，则数列{an}的一 个公差可以为 14.如图，正方形ABCD的边长为10cm,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个正方 形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第3个正方形IJKL,依此方法一 直继续下去，则前8个正方形的的面积之和是 cm. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}满足a1=3,且am+1=2am一2n十1. (1)判断数列{am一2n一1}是否为等比数列，并求出{am}的通项公式； (2)将数列{an}中满足不等式2<an<2+1(k∈N*)的项数记为b6,求数列{b}的前k项和Sk. 16.(本小题满分15分) 已知等差数列{am}的公差为2，且a,a3,a4成等比数列. (1)求{an}的通项公式及前n项和Sn; (2)求数列{an}的前10项和To. 17.(本小题满分15分) 已知等比数列{an}的公比为2，a2,a3十1，a4成等差数列，等差数列{bn}满足b1=一29，b3十a5= -5. (1)求{am},{bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和； (3)求数列么的最大项的值. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十三） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ① 9 ③④ ⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 确定数列中的项 易 0.85 由等差数列的性质 选择题 易 0.78 求和 3 选择题 5 周期数列 易 0.75 等比数列的片段和 4 选择题 5 易 0.72 性质 等差数列的实际 5 选择题 5 中 0.60 应用 两个等差数列的公 6 选择题 5 中 共项问题 0.55 与数列有关的新定 选择题 中 0.45 义题 等差、等比数列与充 选择题 中 0.35 分必要性的综合 等差、等比数列的 9 选择题 6 易 0.72 判定 与等差数列有关的 10 选择题 6 中 0.50 新定义题 11 选择题 6 数阵问题 L 中 0.40 由等比数列的性质 12 填空题 易 0.85 求某项 与等差数列有关的 13 填空题 5 中 0.60 举例题 等比数列与平面几 14 填空题 中 0.40 何的综合 判定一个数列是否 15 解答题 13 为等比数列，等比数 V 中 0.65 列的前n项和 ·75· ·数学· 参考答案及解析 求等差数列的通项， 16 解答题 15 求其项的绝对值 / 中 0.55 的和 求等差、等比数列的 17 解答题 15 通项，利用数列的单 中 0.40 调性求其最值 分段数列，等差、等 18 解答题 17 比数列的综合，证明 V L 中 0.35 数列型不等式 与数列有关的新定 19 义题，等差数列、等 解答题 17 / 难 0.28 比数列与不等式的 综合 叁考答案及解析 一、选择题 等差数列，则Se=12X1+12X1山×20=1332.故 2 1.A【解析】令√2+2=√/42，解得n=20,即√/42是 选A. 这个数列的第20项.故选A. 2.B【解析】因为{an}为等差数列，故a1十a=a2十a6 7.D 【解析】由题意得A.=a十2a,十十2-a- =12.则S-7a02）-子×12=2.放选且 2+1,则a1十2a2十…十2”-an=n·2m+1,所以当n≥2 2 时，a十2a2十…十2"-2a-1=(n一1)·2"，两式相减 3.A【解析】因为数列{a,}中，a1=1,a+1= 4 ,所 2一am 得2-a,=n·2+1-(n-1)·2”=(n十1)2"，所以 4= 4 4 4 am=2(n十1)，n≥2，当n=1时，a1=4对上式也成 以a:=2-0-2=4,u,F2-a2-4-2,a 立，故a=2(n十1)，则an-kn=(2-k)n十2，则数 =24.22=1=aa-22=4 4 4 4 列{am一kn}为等差数列，故S.≤S对任意的n (n∈N")恒成立可化为a:-6k≥0，且a,-7k≤0，即 a2,所以数列{am}是以3为周期的周期数列，所以 {72-分+2C·解得9<k<子故送D 6(2-k)+2≥0 a205=a3x61+3=a=一2.故选A. 4.C【解析】由题意得S:-S=a4十a十a6=8,则S 8.A【解析】对于命题①，当am=2n-3(n∈N)时， =S十8=4十8=12，因为S,S6-S,S。-S6成等比 显然有a1十a=S2=0满足S·S2·…·Sk-1=0, 数列，故(S-S)2=S2(S。-S6),即82=4(S。- 但am各项均不为0，不满足充分性，当a1·a2·…· 12.解得8=28，故袋-器-子故选C a=0时，此时{an}中必有一项为0，不妨设am=0, 则a1十a2m-1=2am=0→S2m-1=0,可使得S,·S2· 5.C【解析】设每一秒钟通过的路程构成数列{am冫，由 …·Sk-1=0成立，故满足必要性，即①正确：对于命 题意可知{an}为等差数列，则数列首项a1=2,公差d 题②，设等比数列{an}的公比为q,显然an≠0，k≥2， =3,所以an=a1十(n-1)d=2+(n-1)×3=3n- 若q=1,则Sn=a1≠0，不存在S·S:·S=0,若q 1,由求和公式有S.=n(a1十a,)=3m-1十2)m。 2 2 ≠1，则S.=二4)，要使S.=0,则需g=-1,m 1-9 222,解得n=12.故选C. 为偶数，故对于Hk≥2，当S·S·S=0时，必有 6.A【解析】因为两个等差数列的首项均为1，公差分 S2=0→a1十a2=0,此时q=一1，则ak十ak+1=0成 别为4,5，所以{am}是首项为1，公差为4×5=20的 立，满足充分性，而a。十a+1=0,则有g=一1，此时必 ·76· 高三一轮复习A ·数学· 有S2=0,则S·S2·S=0,满足必要性，即②正确。 数列，记为{bn}.设公差为d,又由b=a2=2,b= 故选A a1o=8,可得b十d=2,b1十3d=8,解得b=-1,d 二、选择题 =3,则第一列的通项公式为b=一1+(k一1)×3 9.ABD【解析】由数列{an}为等比数列，则a=a1· =3k一4.又从第2行开始每一行比上一行多两项， gl,则aq≠0，对于A,ln|am|=na·g-l|= 且从左到右均构成以2为公比的等比数列，可得a Inla+(n-1)Inl gl,Ina=In ag= 十a十…十a=2+4+8+5+10+20+40十80= lnla|+nln|gl,则lnam+i|-lnan|=ln|q|为 169,所以A正确，B错误；又因为每一行的最后一个 定值，所以数列(lnaa|}为等差数列，A正确；对于 数为a1,a4,a,a16,…,且452=2025，可得a2025在 |a1·qa1 第45行最后一列，因为这一行共有2×45-1=89 B,由a2>a1,a5>a4,则 ,所以当a1 la1·g>a1·g 个数，则a2025在第45行的第89列，所以C正确；由 >0时，q>1,数列{an}单调递增；当a1<0时，0<q 题设可知第i行第方个数的大小为(3i-4)×2-1, 1 1,数列{am}单调递增，B正确：对于C,当q=一 令(3i-4)×2-1=2024=253×23,若j=1,则3i 2 -4=2024,即i=676;若j=2,则3i-4=1012,无 时，a.+2a+1=a.十2X（-号)a,=0,此时 整数解；若j=3,则3i-4=506,即i=170;若j=4, {a,十2a+1}不是等比数列，C错误：对于D, 则3i-4=253,无整数解，故D正确.故选ACD. a 三、填空题 -g为定值，所以数列 a +2}为常数列，D正 12.一27【解析】由题得a2aaa,=a1a=aa,故a= a 确.故选ABD. 1,aga1o=a2q·a2q=aiq5=-27,故q5=-27, 即a1z=a2g5=-27. 10.BD【解析】因为二阶等差数列{cn},其前6项分 别为4,8,10,10,8,4，从第二项开始，每一项与前一 13.号（答案不唯一，写出区问[号，号]内任何一个数 「1557 项的差组成新数列的前5项为4,2,0，一2，一4，易知 新数列的公差为一2，即数列{cn+1一cn}的公差为 均可) 【解析】设公差为d,则an=-15十(n-1)d 一2，即A错误：易知{ca+1一c}是首项为4，公差为 =d-15-d,依题意得a7=6d-15≤0，ag=7d 一2的等差数列，利用等差数列前n项和公式可得 匀=0X1什0x(2)=一@ 15≥0，解得只<d<号 2 14.6375 32 【解析】记第1个正方形的面积为S,第2个 即B正确；由等差数列通项公式可得cm+1一c=4十 (n-1)×(-2)=-2n十6，所以c2-c1=一2×1十 正方形的面积为S,…,第n个正方形的面积为S,设 6,c3-c2=-2X2十6，…，m-cm-1=-2(n-1)+6 第n个正方形的边长为am,则第n个正方形的对角线 (n≥2)，累加可得cm-c1=-2[1十2十…十 长为√2an,所以第n十1个正方形的边长为a+1= (n-1)]+6(n-1)=-2×n-1)[1+(m-1)] 之a,所以=2 ，即数列{a,}是首项为a=10,公 十6(n-1)=-n2+7n-6,则cm=-n2+7n-6十c =-n+m-6+4=-+7m-2=-(m-子)》'+ 比为2的等比数列，故数列S是首项为S=100,公 号，当n=1时，6=4也适合，故c.=-(n-子) 比为的等比数列，则前8个正方形的面积之和为 十县利用二次函数性质可知当n≥4时，数列{c》 100×(1- 6375 单调递减，且前6项均为正数，易知c?=一2<0，因 12 32 此数列{cm}的前6项和最大，即C错误；由cn= 四、解答题 -n2+7n-2,可得c21=一296，即D正确.故选BD. 15.解：(1)因为am+1=2am-2n十1， 11.ACD【解析】由第1列数a1,a2,a,a1o,…成等差 故am+1-2(n十1)-1=2(am-2n-1), ·77· ·数学· 参考答案及解析 而a1=3,则a1-2-1=0,即{am一2n-1}的首项 33)2, 为0， 两式相减得一Tn=一29×2°+4(2十22十…十 故数列{am一2n-1}不为等比数列， (3分) 2m-1)-(4n-33)2” 则由a+1-2(n十1)-1=2(am-2n-1),结合a =-29+81-29）-(4m-33)·2 -2-1=0, 1-2 知{an一2n-1}为各项为0的常数列， =(37-4n)·2m-37, (8分) 故an=2n十1. (7分) 所以Tn=(4n-37)·2m+37. (9分) (2)令2<2n十1<2+1，即2-1- 1 1 <n<2- (3)令c=4=4n-33 21-1 则2-1≤n≤2-1， (10分) 则有c+1-G,=4n+1)-33_4n-33_37-4n 则b=(2-1)-2-1十1=2-1， 20 2 (11分) 故S6=2十21+2十…十2-1 1-2 =2k-1」 1-2 当n≤9，n∈N*时，cm+1一ca>0→c+1>cn, (13分) 即数列{cn}从第一项起一直增加到第10项， 16.解：(1)，等差数列{am}的公差为d=2, 当n≥10，n∈N时，c+1-cn<0→cm+1<cm, ∴.a3=a1十4，a4=a1十6， 即数列{cm}从第10项开始递减， (13分) a1,a,a4成等比数列， 则(a1十4)2=a1(a1十6)，解得a1=-8, 因此cn为数列{c}的最大项，c1o=i2' 故等差数列{am}的首项为a1=-8,公差为d=2, 所以数列（色}的最大项的值为2： (15分) (4分) 18.解：(1)由a+2=2aa+1一am, .am=a1十(n-1)d=-8+2n-2=2-10,(6分) 得aat2一aa+1=am+l一am, '.S.=na tunDd=-8n+n-n=w-9n. 2 所以数列{am}为等差数列， 综上所述，an=2n-10,Sn=n-9n. (8分) 又S=5a=15,所以a=3. (2)由(1)可得当n5时，an≤0，当n≥6时，am>0, 又b=21=8,所以a1=4, (11分) /a3=a1+2d=3, 设{an}的公差为d,即 解 ∴.To=a:|+|ag|+…|aol a4=a1+3d=4, =-(a十a2十…十a5)+(as十a+…+a1o) 得/a1, =5×(8+0)+(2+10)×5=50. d=1, 2 (15分) 2 所以{an}的通项公式是am=n. (4分) 17.解：(1)由题意得2(a十1)=a2十a, 2n十1，n为奇数， 所以2(4a1+1)=2a1十8a1,解得a1=1, (2)由(1)知an=n,所以bn= 21,n为偶数， 所以an=1×2"-1=2-1, (2分) S=2(a,+a）=21+2m=n(2m十1)， 设等差数列{b}的公差为d, 因为b1=-29,b十a5=-5, T2n=(b1+b十…十b2a-1)十(b2十b,十…十bm) 1b1=-29 b1=-29 =n(3+4n-1)+2(1-4") 所以 ,即{ 6,+2d+2i-1=-5 ld=4 2 1-4 所以bn=-29十4(n-1)=4n-33, =n(2n+1)+2(4”-1 3 即an=2-1,b.=4n-33. (4分) (2)记anb.=(4n-33)2-1的前n项和为Tm, 令T.-S.=2(4,1<2025,得2.4<6077， 3 则Tm=-29×2-25×2-21×22+…+(4n 设d,=2·4”,则数列{dn}是递增数列. 33)2-1, 又d=2048<6077,d=2×45=8192>6077, 2Tn=-29×21-25×22-21×23+…十(4n 所以n的最大值为5. (10分) ·78· 高三一轮复习A ·数学· (3)由(2)知cm= 1 3x-1 所以Pm+1-1=2Pm-2=2(P.-1), (6分) T-S2入4"-11 其中数列a,b,c经过1次“和扩充”后，得到a,a十b, 设Q,是{cn》的前n项和， b,b+c,c, 则Q+1-Qn=cm+1>0, 故P1=5,P1-1=4, 所以{Q}是递增数列， 故{P.一1}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以Q≥Q=0=之成立. (8分) 所以P.-1=4×2-1=2+1,故Pn=2+1+1. 又Q-a=2<, 又n∈N“,则Pn≥2049，即2+1+1≥2049，解得n 所以当n≥2时，2·4"-2-4"=4"-2>0， ≥10， 所以2·4"-2>4"， 则不等式Pm≥2049的解集为{nn≥10且n∈ 2 N). (10分) 4”4 (3)因为S=a十a十b+b+b+c十c=2a+3b+2c, 所以Q<分+3（卡+++）】 S=S+3(a十2b+c),S4=S2十32(a十2b+c), x) 依次类推，当n≥2时，S,=Sa-1十3”-l(a十2b十c), (13分) 1-4 故Sn=S-1+3m-1(a+2b+c) =Sa-2+3"-(a十2b+c)+3"-l(a+2b+c) =+(1-品)是 =…=S十(a十2b十c)(3十32十…十3m=1) 签上长分<是 (17分) =2a+36+2c+(a+2b+c).31-3-) 1-3 19.解：（1)第一次“和扩充”：3,7,49,5； =(+安)·3+安 (15分) 第二次“和扩充”：3,10,7,11,4,13,9,14,5， 故P2=9,S2=76. (4分) 当n=1时，S=2a十3b+2c也适合上式， (2)数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两 故5=(6+生)·3+安 2 项中增加一项， 若使{S}为等差数列，则b什a十=0， 数列a,b,c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数 2 为Pn, 所以存在不全为0的数列a,b,c(a,b,c∈R),使得 则经第(n十1)次“和扩充”后增加的项数为P。一1， 数列{S}为等差数列， (17分) 所以P+1=P十(P.-1)=2Pn-1, ·79·