(11)平面向量及运算、平面向量在平面几何及物理中的应用、复数-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（A）

高三一轮复习周测卷/数学 (十一)平面向量及运算、平面向量在平面几何及物理中的应用、复数 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1若则 A.4+i B.4-i c名+ D 2.如图，在复平面内，复数~对应的点为P,则复数一i的虚部为 A.-4 y ---2 B.-2 C.2 D.4 0 3.若+2=二2十，则：在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.在△ABC中，D为BC边上靠近点C的三等分点，E为线段AD(含端点)上一动点，若ED= 入EB十EC(入，∈R),则 A.入+=1 B.以=2λ C.4=3λ D.入一u=一3 5.已知平面上的三个力F,FF,作用于一点，且处于平衡状态，若E=1N,下，=6，区N. 2 F与F2的夹角为45°，则F3与F夹角的余弦值为 A.-6+② B.6+2 4 4 C.-6-2 D.6-2 4 6.已知复数之满足之·之=5，则之一2十4i的最大值为 A.5 B.√6 C.35 D.3√6 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 7.已知在△ABC中，P,是边AB上一定点，满足PB=号AB,且对于边AB上任意一点P,都有 31 PB.PC>≥PB·PC,则△ABC是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定 8.已知O为△ABC的外接圆圆心，BC=2,∠BAC=30°，则AB·OC的最大值为 A.4 B.6 C.2√3 D.45 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.设1,2为复数，且12≠0，则 A.若好十=0，则1=2=0 B.1十之2=1十2 C.若1=2，则号=号 D.1·2=1·2 10.如图，一条河两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知 船在静水中的速度y的大小=10k/h,水流方向为正东方向，其速度v2的大小为v2= 2km/h,这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min,采用四舍五入法.则 (参考数据：√6≈2.45) A.这艘船到达河对岸的渡河时间最短时，”⊥2 B.这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C.这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D.这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 A 11.在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,P为△ABC内一点，AP=xAB+yAC,则 A.若P为△ABC的重心，则x=y=号 B.若P为△ABC的外心，则PB·BC=18 7 C.若P为△ABC的垂心，则x=y=32 1 D.若P为△ABC的内心，则x十y= 班级 姓名 分数 题号 4 5 6 8 9 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.在复数范围内，方程x3=8的虚数根是x= .(写出一个即可) 13.已知平面向量a=(2,1),b为单位向量，且(a十b)⊥(a-2b),则向量b在向量a上的投影向量 的模长为 三一轮复习周测卷十一 数学第2页（共4页） A 14.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了 深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH,其中 AB=1,O为正八边形的中心，则AB·HD= 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知复数=i(bER),牛为实数。 (1)求b: (2)求z-z2|: (3)若复数(m十之)2在复平面内对应的点在第四象限，且之为实系数方程x2十(m2一16)x十4 0的根，求实数m的值. 16.(本小题满分15分) 设A,B,C,D为平面内的四点，已知A(3,1),B(一2,2)，C(一1,4). (1)若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标； (2)若A,C,D三点共线，BD·AC=-18,求线段AD的长. 17.(本小题满分15分) 已知复数1，x2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,O是坐标原点，点M(异于点O)是复平面 内一点，且OM=λOZ1+Z1Z2(入，u∈R), (1)若1=2i,2=4+6i,OM⊥Z1Z2,求入与u的关系； (2)若OZ1,OZ不共线，M,Z1,Z2三点共线，求λ的值. 数学第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 已知向量a=(cosx,-1D,b=(sinx,星)函数fx)=2(a+b)·a. 1)若a∥b,求an(+平）： (2)当x∈[-子，]时，求函数f)的值城： (3)若将f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左 平移T个单位长度，可得到g(x)的图象，求g(x)>的解集， 19.(本小题满分17分) 如图，正方形ABCD的边长为1，P,Q分别为边BC,CD上的点，且A户·AQ=PQL. (1)求∠PAQ的大小； (2)求△APQ面积的最小值； (3)某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合(2)他猜想“△APQ中PQ边上的高为 定值”，他的猜想对吗？请说明理由. O 三一轮复习周测卷十一 数学第4页（共4页） A高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十一） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 复数的除法运算，共 1 选择题 5 易 0.80 轭复数 2 选择题 5 求复数的虚部 易 0.78 复数对应点所在象 3 选择题 5 易 0.75 限问题 平面向量基本定理 4 选择题 5 易 0.72 的应用 平面向量与力的 5 选择题 5 中 0.65 关系 复数模长的最值 6 选择题 5 中 0.50 问题 7 利用向量判断三角 选择题 中 0.45 形的形状 8 选择题 5 数量积的最值问题 难 0.28 9 选择题 6 复数的性质 易 0.72 利用向量解决速度 10 选择题 6 中 0.65 问题 向量与“四心”之间 11 选择题 6 中 0.40 的关系 12 填空题 5 复数方程问题 V 易 0.82 平面向量的投影 13 填空题 S 0.65 问题 务 与数量积有关的数 14 填空题 中 0.40 学文化题 复数的运算、复数方 15 解答题 13 易 0.82 程的综合 利用平面向量解决 16 解答题 15 中 0.60 平行、三点共线问题 复数与平面向量的 17 解答题 15 中 0.45 综合 ·63· ·数学· 参考答案及解析 向量与三角函数的 18 解答题 17 中 0.35 综合 19 解答题 利用向量解决平面 17 难 0.25 几何问题 昏考答案及解析 一、选择题 √12+(2)+2×1×√2cos0,解得cos日= (6+3D1-D-82=4-i,所 1.A【解析】因为=十9司 2 +E.故选A 4 以=4十i故选A. 6.C【解析】设x=a十bi,a,b∈R,则x·乏=a十b2= 2.C【解析】由图得P(-1,2),则x=一1+2i,所以 g器i2+2D-2-i- 5,由|z-2+4il=|(a-2)+(b+4)i= 2-i (2+i)(2-i) √(a-2)2+(b+4),上式可理解为点P(a,b)到点 -4十2i,其虚部为2.故选C. A(2,一4)的距离，而点P(a,b)是圆x2+y2=5上的 3.D【解析】由题意得二2士-二i-2+拉)=1十2 动点，如图， i 设x=a十bi(a,b∈R),则x十2x=a十bi十2a-2bi= 3a-bi=1十2i,则3a=1,-b=2,解得a= 3,6 1 -2,所以=号一2，其在复平面内对应的点为 (子，一2)，位于第四象限故选D, 4,B【解析】如图，当E,D不重合时，ED=E+BD 点A(2,-4)是圆外一点，故|x-2十4i的最大值即 成+号心-成+号（武-成）-成+号武， 点A(2,-4)到圆x2十y=5上点的最大距离，即为 即X=子以=号，当E,D重合时，Ed=0,此时0 OA|十√5=√/22+4+√5=35，故选C. 7.A 【解析】取BC的中点D,DC的中点E,连接 Ei=kEB十2kEC,k∈Z,则必有4=2入成立，综上， PD,AE,PC, 都有=2λ成立，即只有B始终成立.故选B. 】 则Pi·Pc=P,D+Di)·(PD+D心) B D (PD+D)·(PD-Di)=PD-Di,同理Pi 5.A【解析】三个力平衡，.F十F2十F=0,∴ ·P心=P市-DB,因为PB.P心≥PB·PC,所以 |F|=|F+F|=√TFT+2F·F2+F2T下 P市-DB≥P,D-D,即PD≥PD,所以对于 √+2x1x2o46+(5可=E.设 边AB上任意一点P都有PD1≥|PD,因此 2 F与F的夹角为，则IF|= P,D1AB,又Pi=号A店，D为BC的中点，E为DC √TE+F+2FRos,即6，E- 2 的中点，所以器-品=兰，所以P,D∥AE,即 ·64· 高三一轮复习A ·数学· ∠BAE=90°，所以∠BAC>90°，即△ABC为钝角三 角形.故选A. 0.05h,当0为直角时，4=-0 sin 0 d=0.5=0.05h,则 8.B【解析】因为O为△ABC的外接圆圆心，∠BAC 当0为钝角时，0<sin0<1,ti1>0.05h=t,当0为 =30°，所以∠BOC=2∠BAC=60°，因为OB=OC,所 锐角时，0<sin0<1,t2>0.05h=t,所以当船垂直 以△OBC为等边三角形，故OA=OB=OC=2,AB· 于对岸行驶，即”⊥2，所用时间最短，故A正确：对 O元=Oi-OA)·O元=OB.O元-OA·O元= 于B,由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短 1OB·|Od1cos60°-1OA1·1O心1cos∠AOC= 为t=0.05h=0.05×60=3min,故B正确，C错 2X2X7-4cos∠A0C=2-4os∠A0C,当A.0. 误；对于D,设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直， 那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程 C三点共线，即cos∠AOC=-1时，AB·O心=2 最短，由下图可知，设v=y十，则|v|= 4cos∠AOC取得最大值，最大值为2十4=6.故选B. /y-2=4√6(km/h),此时，船的航行时 间烂号-后X603.1min>3(mim,故D错 误，故选AB. 二、选择题 9.BD【解析】对于A,若≈=1,2=i,显然满足十 号=0，但|=|2|=1，故A错误；对于B,设≈= A V2 a十bi,=c十di,a,b,c,d∈R,则≈十x2=a十c+(b 11,AC【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 十d)i,1十2=a十c-(b十d)i,而1十z2=a-bi十c y 一di=a十c-(b+d)i,故B正确；对于C,若1=1，x2 =i,则|之11=||=1，而好=1，站=-1，好≠， 故C错误；对于D,设1=a十bi,z=c十di,a,b,c,d ∈R,则·2=(a十bi)·(c十di)=ac-bd十(ad十 bc)i,则1·2=ac-bd-(ad+bc)i,1·g=(a bi)·(c-di)=ac-bd-(ad十bc)i,故D正确.故 则A(0,4),B(-3,0),C(3,0),对于A,若P为 选BD. 10.AB【解析】对于A,设”与的夹角为0，船行驶 △ABC的重心，则P=0-3+3=0,p=4+0+9 3 3 的时间为t,d=500m=0.5km, =青，则P(0,专)，所以A市=(0，-)A店= (-3,-4),AC=(3,-4),因为AP=xAB+yAC, 3x+3y=0 所以 红-4= 8,解得x=y=子，故A正 确；对于B,若P为△ABC的外心，其必在直线AO A 2 上，所以PB.BC=(PO+Oi)·BC=Pò.BC+ 当g为钝角时，i=sin(x一9)T= 0.5 10sin 0 OB.BC=3×6×(-1)=-18,故B错误；对于C, 00h,当9为镜角时，4=sn=0sim9 d 0.5 若P为△ABC的垂心，其必在AO上，设P(0,m), sin 则Cp.AB=(-3,m)·(-3,-4)=9-4m=0,解 ·65· ·数学· 参考答案及解析 得m=号，此时A市=(0，-子），A访=(-3，-40， 则牛-名牛得书空+与号为实数。 (1+i)(1-i) 2 AC=(3,-4),因为AP=xA言+yAC,所以 (3分) -3x+3y=0 所以号=06=2 一4红一4-2解得1=y=品故C正确：对于 (2)由(1)知x=2i,22=-4, (4分) 4 所以|之-x2|=|4+2i=25】 (6分) D,若P为△ABC的内心，设内切圆半径为r,则号 (3)由(m十之)2=(m十2i)2=m2-4十4mi在复平 面内对应的点在第四象限， ×6×4= 是×rX(5+5十6)，得r=是，则 3 m2-4>0 所以《 P(0,),此时a市=(0-号)，A店=(-3，-40， 4m<0 解得m<一2， (9分) AC=(3,-4),因为A户=xAB+yAC,所以 又x=2i为实系数方程x2十(m2-16)x十4=0 -3x+3y=0 的根， 5 5 三，解得x=y=6,所以x+y= 则-4十2(m2-16)i+4=0, 所以m2-16=0,m=士4， 十号=名，即D结误，放选AC 又m<-2, 三、填空题 所以m=一4. (13分) 12.一1十√3i(答案不唯一，或填一1一√3i)【解析】方 16.解：(1)因为A(3,1),B(-2,2),C(-1,4), 程x3=8可化为(x-2)(2十2x+4)=0,解得x 所以BC=(1,2), 因为四边形ABCD为平行四边形， =2或x=2±y416=-1士5 2 所以BC=AD, 1.36 设D(x,y), 5 【解析】因为a=(2,l),所以|a=√22+19 所以AD=(x-3,y-1), =√5，b为单位向量，|b|=1,又因为(a十b)⊥(a y 2b),所以(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b=5 a·b-2=0,即a·b=3,则b在a方向上的投影向 量的筷长为9-5 14.1十√E【解析】在正八边形ABCDEFGH中，连接 HC,则HC∥AB,而∠ABC=135°，即∠BCH=45°， 于是∠HCD=90°，在等腰梯形ABCH中，CH=1+ x-3=1 所以 2X1×cos45°=1+√2，所以AB·HD=1X y-1=2' IHD|cos∠CHD=|HC|=1+√2 解得4 y=3' 所以D(4,3). (7分) (2)因为A,C,D三点共线，AC=(-4,3), 所以设AD=λAC=入(-4,3)=(-4λ，3入)， 又A(3,1), 所以D(3-4,1+3λ)， 所以BD=(5-4λ，3-1)， 四、解答题 又BD.AC=-4(5-4)+3(3x-1)=-18, 15,解：(1D由=，为实数， 解得X=吉， ·66· 高三一轮复习A ·数学· 所以A市=(-4以，3x)=（-告，号)， =2(cosx十sinx,-)·(cosx,-1D 所以AD=AD=V(-专)+（号）=1. =2os27t2 2sin o+号 (15分) 17.解：(1)由题意得Z(0,2),Z2(4,6), 则0Z=(0,2),Z乙=(4,4). =Esin(2x+平)+2， (8分) 所以Oi=1OZ+uZ1乙=入(0,2)十u(4,4) 当xe[-异，牙]时，2x+牙∈[-平，]， =(4,2λ十4). 又OM⊥Z1Z2, 则Esim(2x+平)+∈[2E+] 所以oM.ZZ=0, (12分) 即(4μ，2x+4)·(4,4)=16μ+4(2入十4)=0， 所以函数)的值城为[分vE+子]， 即入十4μ=0，入=一4， （3)由2)知fx)=Esin(2x+平)+2： 因为点M异于点O, 所以a≠0， 结合题意得g(x)=巨sin(x十乏)+号=巨cosx 则入与4的关系为入=一4（≠0）. (5分) (2)若M,Z,Z2三点共线， 则存在实数t使得MZ=tZ1言， ga)>csx+受>号 2 所以有Mò+OZ=t(Zò+OZ), 即oi=(t+1)0Z-t0Z.① 即cosx>-2 2 (15分) 又由oM=xoZ+uZ1乙， 所以2km-3红<x<2k元十3红，k∈Z, 4 4 得OM=OZ+u(Zò+oZ), 即Oi=(a-)0Z+u0Z.② 即gx)>号的解集为(2kx-平，2kx+8平)，kE乙. t十1=入一， (17分) 由①②知 一t=μ， 19.解：(1)记∠DAQ=a,∠BAP=B, 解得λ=1， 则∠PAQ-受-(a+B). 所以入的值为1. (15分) 由题得A市.A夜=(Ai+BP)·(AD+Dd) 18.解：1)因为a=(c0s,-1),b=(snx,是），a =AB.DQ+AD.BP ∥b, =|D+B驴|， 则子c0sx=一snx 则|DQ1+|B驴|=|PQ1, (2分) 正方形ABCD的边长为1， 显然cosx≠0， ∴.DQ=tana,BP=tanB, 所以anx=一子， (3分) 在Rt△CQP中，CQ=1-tana,CP=1-tanB, PQ=DQ+BP=tan a+tan B, 则tan(x+平)=tam(x十于) (1-tan a)2+(1-tan B)2=(tan a+tan B)2, 即l-(tana十tanB)=tan atan B, tan z+tan- 7 (5分) tan attan B=1, 则tan(a十p)=-tan atan (4分) 1-至1-(-) (2)由题得a+b=(cosx+snx,-子)， 又ian∠PAQ=tam[受-(a+p)】 1 则f(x)=2(a十b)·a -ian (aFB)=1, ·67· ·数学· 参考答案及解析 且∠PAQ∈(0,5)， (3)设△APQ中PQ边上的高为h, 则∠PAQ=平 则号PQXh=-APXAQXsin年， (6分) AP.AQ 2油s得AQ-0S。AP=心3 又：cos∠PAQ= IAPIARI cos B' AP·AQ Saw=合AQ·AP·sin∠PAQ= 1 :APIAQI 4 cos acos B' “a+=平， 且AP.AQ=|P, 1AP11AQ|=21PO1, =2 1 os(年-a） PQXh-/PQX 2 解得h=1,为定值， in(2a+妥)+9 41 则该同学的猜想正确。 (17分) ae(o,于) 一当a=晋时，△APQ面积的最小值为反-1. (12分) ·68·