(15)基本立体图形、立体图形的直观图、简单几何体的表面积与体积-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（B）

高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ②③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 几何体的概念 易 0.88 圆柱和圆锥的表 2 选择题 5 易 0.81 面积 3 选择题 5 三棱柱的体积 易 0.78 4 选择题 5 组合体的体积 易 0.73 5 选择题 三棱台的体积 中 0.70 6 选择题 5 球与圆锥的表面积 中 0.68 7 选择题 圆台的综合问题 中 0.60 8 选择题 5 四棱柱与外接球 中 0.50 正方体中组合体的 选择题 6 中 0.65 截面问题 10 选择题 6 棱锥的综合问题 中 0.55 11 选择题 6 生活中的圆锥问题 中 0.46 12 填空题 斜二测画法 易 0.85 13 填空题 5 组合体的体积 中 0.60 圆锥的内接正方体 14 填空题 5 问题 难 0.30 点面距，球的切接 15 解答题 13 易 0.80 问题 正四棱台的表面积， 16 解答题 15 中 0.70 圆台的体积 组合体的表面积或 17 解答题 15 中 0.60 体积 18 解答题 17 最值问题，切接问题 中 0.50 球的新概念题，体积 19 解答题 17 难 0.30 及综合问题 ·79· ·数学· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 1.D【解析】对于A:棱锥有一个面是多边形，其余各 上底面正△ABG的面积为2×45×43×5 面都是有一个公共顶点的三角形，故A不正确：对于 125,下底面正△ABC的面积为号×65×6× B:圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，当这两点 的连线与圆柱的轴平行时，这两点的连线才是圆柱的 √5 2 =27√3，由正三棱台的体积公式可得该三棱台的 母线，故B不正确；对于C:如图所示，若以腰CD为 旋转轴旋转一周，则形成的几何体不是圆台，故C不 体积V=号×125+27F+V2×27万)× 正确； 2√/5=38√15.故选C. 6.D【解析】作出图象如图所示，设以A,B为顶点的 圆锥的母线分别为1，l2,圆锥的底面圆心为O, B C 对于D:由棱台的定义知各侧棱延长线交于一点，故 D正确.故选D. 2.C【解析】由题意可知该陀螺的表面有上底面圆面、 、R 圆柱的侧面和圆锥的侧面，且圆锥的母线长为 √/3十4=5，所以该陀螺的表面积为π×32十2π×3 010 C ×4十π×3×5=48π.故选C. 3.C【解析】设三棱柱的体积为V,仅侧棱AA,在水 平桌面内放置时液面以上部分的体积为号V,故水的 易得AB=2R,∠ACB=90°，所以十号=(2R)2,即 片+=4R①，又因为∠COB=90°，所以△ABCc∽ 体积为V,设当底面ABC水平放置时液面的高为 △C0,则S-常即4-器，所以4=2R,@, h,则= 合=-解得=3.选 由圆锥侧面积公式可得两圆锥的侧面积之和为π 十πrl2=πr(l十l2),球O的表面积为4πR,故 4.B【解析】由题意，该儿何体是由棱长为40cm的正 方体截去八个全等的正三棱锥，所以该几何体的体积 2-即么+-华，曲①+@×2得 4πR2 为V=4-8×寸×含×20X0×20-1600。 1 cm'. 3 3 +店+2弘4=4R十R=(4十)-尽，化简得 故选B. 4Rr2+4r=R.故选D. 5.C【解析】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱 7.C【解析】对于A,如图所示，过A作AF⊥BC交 台ABC-A1BC,如图， BC于点F,过D作DG⊥BC交BC于点G, D B A 02 根据题意在△AFB中，BF=1,AB=2,则AF= ·80· 高三一轮复习B ·数学· √AB一BF严=√3，故A错误；对于B,圆台的侧面积 8.A【解析】因为正四棱柱ABCD-A,B1C1D外接 为π×(1十2)×2=6π，故B错误：对于C,设圆台外 球的直径为其体对角线的长，故2R=√2+2+4= 接球的球心为O,半径为R,下底面圆心为O,上底面 2√2(R为正四棱柱ABCD一A1BCD,外接球的半 圆心为O2,连接OO2,OA,OB,由题意可得O1B=2, 径)，解得R=√瓦，所以△AOB为等边三角形，所以 O2A=1,O1O2=√3.设O0=a,则OO2=√3-a或 OO2=√3+a,由R=OA=OB,即√/1+(W3-a)2= ∠A0B=60,所以劣弧AB的长为停，所以点M经 √22+a或√1+(3+a)2=√22+a,解得a=0, 过的路径长为4×-4故选A 3 即O,O重合，所以R=2,圆台外接球的体积是 R=,故C正确： 二、选择题 4 3 9.BCD【解析】截面中间是矩形，如果可能的话，那么 D 02 一定是用和正方体底面平行的截面去剖开正方体，并 且是从挖去四棱锥的那部分剖开的，但此时剖面中间 学 应该是一个正方形，因此选项A不可能是截面；当从 正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好 通过四棱锥顶点，如图1，此时截面形状如选项B,故 B可能是该几何体的截面： 01 0 图1 当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组 棱平行去剖开正方体时，如图2中截面PDGH位置， 截面形状就会如选项C,故C可能是该几何体的 截面； 0 对于D,O1B=2,O2A=1,OO2=√3，若球与圆台的 上、下底面和侧面都相切，则AB=1十2=3，与AB= 2矛盾，与圆台的上、下底面和侧面都相切的球不存 图2 在，故D错误.故选C. 如图3，按图中截面A1BC的位置去剖开正方体，截 面就会如选项D,故D可能是该几何体的截面.故 选BCD. ·81· ·数学· 参考答案及解析 三、填空题 12.10√2【解析】将直观图复原为原图，如图所示： D B1 图3 10.BD【解析】如图，把三棱锥D,一BCC还原到长方 0(40 体中，四棱维D,-ABCD的体积V=子×2X3X4 则AB=6,CD=4,AD=2√2，所以四边形ABCD的 =8,三棱锥D,-BCG的体积V:=号×合×3X4 面积为告×2=10厄. 13.27【解析】如图所示，该几何体可视为直三棱柱 ×2=4,则体积之比为2：1，所以A错误，D正确： BCE-ADF与两个三棱锥S-MAB,S-NCD拼接 ∠D1DA=∠D1DC=∠BCD=∠BAD=90°，所 而成.记直三棱柱BCE-ADF的底面BCE的面积 以B正确： 为S,高为h,所求几何体的体积为V,则S=。BE ·CE·sm120=3×3X3×=99,因为两个 4 B 直三棱柱相同，故h=CD=BC=3√3，所以V V三按柱CE-DF十V故sB十V三枚兼s-NCD=Sh十 1 3S. M 三棱锥D,一BCC的最长棱长就是长方体的体对角 线D1B=√22+3+4g=√/29，所以C错误.故 选BD. 11.AD【解析】对于A,B,根据圆锥的截面图可知：细 沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之 比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面 14.5123 【解析】依题意，要使正方体可以任意转动 9 半径r=号X4=号cm,体积V=号··台 3 时，正方体体积最大，需使该圆锥的内切球恰为正方 号×华×91：m,A送项正确，B运项错 体的外接球，如图，作出圆锥轴截面和内切球的轴 9 3 81 截面， 误：对于C,沙漏的体积V=2×号×xX(台)°Xh =2X号×xX华X8=xcm,C选项结误：对于 D,设细沙流入下部后的高度为h1,根据细沙体积不 变可知12红=子×(（合）广)×h,解得M 81 27cm,D选项正确.故选AD. 6 设内切球的半径为，则可由SAB=X(8) 4 ·82· 高三一轮复习B ·数学· =3×号×8，解得，=4，即此时正方体的外接球 D 101g 直径为2r=8,设正方体的棱长为a,则有√3a=8,解 B 得a=8,于是所求正方依的最大体积为V- ----- （)-2 9 0*武 四、解答题 B 15,解：1h题知，m=号×号×号×aXa a (2)若将这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 12 则圆台OO的上下底面圆与正四棱台的上、下底面 (3分) 正方形相切，高为正四棱台的高， (2)因为正方体的棱长为a,E为DD1的中点， 则圆台的上底面半径为20cm,下底面半径为 所以AE=(E=√a+牙-5。 42a. 40cm,高为60cm, (11分) 则圆台OO的体积为V1= 因为AC=√2a, 3π(202+402+20X40) 5 :-V6a X60=56000π(cm3). (15分) 所以SAcE=立 1×2a×W④a、2 da 4· 17.解：(1)过B作BG⊥CD交CD于点G, (5分) 则BG=AD=2,CG=2, 设点D到平面AEC的距离为d, 则BC=√BG+GC=2√2， 由VD-AcE=VA-D, 则在Rt△BCF中，FB=√FC十BC=2√6， 得××4= 4 12,解得d=6 a, 在Rt△DCF中，DF=√DC+CF=4√2， 则点D到平面AEC的距离为E。 在Rt△ABD中，BD=√AD+AB=22, 6. (8分) 则BD十BF2=DF,即BD⊥FB, (3)设球的半径为R, 设点C到平面BDF的距离为d, 则该球的直径为面对角线长，即2R=√Ea, 又Vc-BDF=Vr-xD, 解得R=号. 即号×2×2X26×d=号××4×2×4，解 所以该球的表面积为4πR=2a2π. (13分) 得d43 3 16.解：(1)如图，正四棱台ABCD一A1BC1D1的每个 侧面皆为全等的等腰梯形，分别取BC1,BC的中点 即点C到平面BDF的距离为4 3 (6分) 为M,N,连接OM,ON,MN, 过点M作MH⊥ON交ON于H, O=MH=60 cm,O M=20 cm,ON=40 cm, HN=20 cm, 故MN=√MH+HN=20√/1o(cm),(3分) 所以正四棱台ABCD-AB,CD的表面积为40 +80+4×号×(40+80)×20√而=(8000+ D G 4800/10)(cm2). (8分) (2)若选(1)： 取FC的中点H,连接AC,EH, 根据题意可知，四边形ACHE为平行四边形，BE 2√2，ED=2√E,EH=AC=25, ·83· ·数学· 参考答案及解析 .EF=√EH+FH=√/(25)'+2=26， ∠ABC∈(0，m), 一② 则DE+EF2=DF2,即DELEF, 5E=X2X2=2。 sin∠ABC=E 2 SB=2×2EX4=4, iSoAB BC.sin ZABC-ACha Sm=号×4X4=8, (10分) 即宁×2X2疗×号=号×25×，解得如 Sm=×2E×26=4, 2V5 51 (12分) 号X2×2=2,Sgem=号×(2+4)X2 .VD-ACFE= ×65×45=8, 3 5 =6, 又EF=BF=2√6，BE=2WE, Va-E=X65×25=4, 3 5 .△FEB的BE边上的高为√(2√6)-（√2）月 则V ABCDEF=8十4=12. (15分) 18.解：(1)将圆锥SO的侧面自母线SA剪开展开在平 =√22， 面内，得到扇形ASA', 5m=专×2XV厘=2Vm, 则点B为弧AA'的中点，如图， ∴几何体ABCDEF的表面积为S△ABE十S△rB十 S△rCD十S△FED十SAADE十S△FEB十S格形ABCD =2+42+8+43+2+2√/Π+6 =18+42+4√3+2T. (15分) 若选（ⅱ）： VABCDEF -VB-ACFE +VD-ACFE R 四边形ACFE为梯形， 依题意，弧AA'的长为2π·OA=2π， ∴S#形CFE=乞X(AE+FC)XAC 则∠ASA-景-号， =×2+0x25=6v5, 则∠AsB=∠ASr=号， 又，EA⊥平面ABCD, 又D为SB的中点， ∴.平面ACFE⊥平面ABCD, 则在△ASD中，由余弦定理得AD 又：平面ACFE∩平面ABCD=AC, ∴.过点D作AC的垂线即为四棱锥D-ACFE的 -√SA+SD-2SA·SDeos-号 高，设为h, 过点B作AC的垂线即为四棱锥B-ACFE的高， -V+(受）-2x8x×-9 21 设为h2, 厮以A,D两点的距离的最小值为) (5分) S=AD,CD-ACh (2)表面积最小时该球为圆锥的外接球， (6分) 即子×2X4=子×25X解得A-5,（9分) 设圆锥的外接球半径为R,球心为C,连接AC, 易得球心C在SO上， 又cOS∠ABC=ABP+BC-AC 由OA=1,SA=3,得SO=2√2， 2AB·BC =2+(22)-(25) 则CO=2√2-R, 2×2×2V2 所以在Rt△AOC中，(2√2-R)2+1=R, ·84· 高三一轮复习B ·数学· 解得R=9 19.解：(1)把“球锥”切割成无数个小锥体， 8 (9分) 由题意得球冠面积为S=2πRh, 则外接球的表面积为4R:=8r 所有小锥体的底面积之和即球冠面积， 8 即容器表面积的最小值为装 (10分) 结合锥体体积公式得“球锥”的体积为V球量=弓× (3)依题意，得到的正方体新工件体积最大时，正方 2πRh·R= Rh 2 (7分) 体的一个面在圆锥的底面圆内，且为圆锥的内接正 (2)设圆锥的底面半径为r, 方体， 则2=R2-(R-h)2=2Rh-h, 设正方体的棱长为x,沿正方体的对角面作圆锥SO 当球缺的体积与圆锥的体积相等时，V球维”=2V网维， 的轴截面，如图， 即号Rh=2X号r(R-), (12分) 则号Rh= 3π(2Rh-h2)(R-h), 整理得R2-3Rh十h2=0, 因为h<R,所以合=3≥E 2 (17分) H G 则EF=√2x,FG=x, 显然△SEP△SAB,有器- SO-FG SO R-h 而S0=√32-1=2√2， 因此-2E-,解得=2 2 (15分) 22 3 则正方体工件的体积W=r-(②号）-1号 (17分) ·85·高三一轮复习周测卷/数学 (十五)基本立体图形、立体图形的直观图、简单几何体的表面积与体积 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.下列说法中，正确的是 A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线 C.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 D.棱台的各侧棱延长后必交于一点 2.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如 图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为 A.44π B.46元 C.48π D.50π 3.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=6,若仅侧棱AA1在水平桌面内放置时，液面 恰好过点M和点N,且满足AM=号MC,BN=专NC,则当底面ABC水平放置时，液面高为 A.4 B.8 M C.3 D.2 A1 4.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的， 如图所示，若被截去的每个正三棱锥的侧棱长均为20cm,则石凳的体积为 A.64000 cm3 3 B.160000 cm3 3 C.188000 cm 3 D.192000 3 5.已知某三棱台的高为2√5，上、下底面分别为边长为4√3和6√3的正三角形，则该三棱台的体 积为 A.114√/15 B.57√/15 C.38√/15 D.27√/15 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 6.已知以A,B为顶点且底面重合的两个圆锥内切于半径为R的球O,圆锥底面圆的半径为r,若 两圆锥的侧面积之和与球O的表面积之比为，则 A.2Rr+2r5=R5 B.2Rr+2r5=R5 C.4R2r+4r3=R3 D.4Rr2+4r3=R3 7.已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1，下底面半径为2，母线AB长为2，则 A.圆台的高为2 D B.圆台的侧面积为4π C.圆台外接球的体积是32 3 D,与圆台的上、下底面和侧面都相切的球的半径为 2 8.在正四棱柱ABCD一AB,C,D,中，AB=√2，AA=2,设四棱柱的外接球的球心为O,动点P在 正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面于点M,现点P从点A出发，沿着A→B→C→D →A运动一次，则点M经过的路径长为 A.42x B.2√2π C.82x 3 3 D.4√/2π 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体，则下列可能是该几何体的 截面的为 A. B. C. D 10.如图，在长方体ABCD一A1B,C1D1中，按平面ABC,D1斜切一分为二，得到两个一模一样的三 棱柱，再沿三棱柱的一顶点与相对的棱剖开，得到四棱锥D,一ABCD与三棱锥D1一BCC1,且 AB=2,BC=3,AA1=4,则 D C A.四棱锥D,一-ABCD与三棱锥D,一BCC的体积之比A1 B1 为3：1 B.四棱锥D,一ABCD的四个侧面都是直角三角形 C.三棱锥D1一BCC1的最长棱长为2√7 D.三棱锥D1一BCC1的体积为4 三一轮复习周测卷十五 数学第2页（共4页） ® 11.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始 时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的 一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8c,当细沙全部在 上部时，其高度为圆锥高度的三（细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm的沙， 且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则 A沙漏中的细沙半径为 cm B.沙漏中的细沙体积为024 81 cm3 C.沙漏的体积是128πcm3 D.细沙全部漏入下部后，此锥形沙堆的高度为影m 班级 姓名 分数 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 17 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为梯形A'B'C'D',已知A'B′=6，CD'=4,A'D= √2，则四边形ABCD的面积为 D 0(A) B 图1 图2 12题图 13题图 13.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶， 其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面 ABCD.在底面BCE中，若BE=CE=3,∠BEC=120°，则该几何体的体积为 14.已知一个圆锥的轴截面△SAB是边长为8√3的正三角形，在该圆锥侧面与底面之间的空间部 分放入一个正方体，正方体可以任意转动，则正方体的最大体积为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 如图，在棱长为a的正方体ABCD一A1B,C,D,中，E为DD1的中点. (1)求三棱锥A一DEC的体积； E (2)求点D到平面AEC的距离； (3)若球O与该正方体的12条棱均相切，求该球的表面积. 16.(本小题满分15分) 如图，正四棱台ABCD一A1B1C1D1是一块铁料，上、下底面的边长分别为40cm和80cm,O1, O分别是上、下底面的中心，棱台的高为60cm. C (1)求正四棱台ABCD一A1B1C,D1的表面积； B1 (2)若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积. D-- 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 17.(本小题满分15分) 如图，在几何体ABCDEF中，EA⊥平面ABCD,FC∥EA.在四边形ABCD中，AB∥CD,AB AD,AB=AD=AE=2,CD=CF=4. (1)求点C到平面BDF的距离； (2)请从下列问题中选一个作答. (ⅰ)求几何体ABCDEF的表面积： E (iⅱ)求几何体ABCDEF的体积. D 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.(本小题满分17分) 下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径OA=1,母线SA=3. (1)A,B是圆O的一条直径的两个端点，D为母线SB的中点，用软尺沿着圆锥面测量A,D两 点的距离，求这个距离的最小值； (2)若将该工件装入一个透明的球状玻璃容器，求容器的表面积的最小值； (3)现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落 在原工件的一个面内，求这个正方体的体积. e0--B 19.(本小题满分17分) 据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功 (如图1)，标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业 结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念， 它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球 冠的高.球冠的面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球 冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺 的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底、以球心为顶点的圆锥所构成的几何体，称 作“球锥”.如图2，设一个“球锥”所在球的半径为R,其中球冠的高为h(h<R). R0△S R “球锥” 图1 图2 图3 (1)类比球体积公式的推导过程（可参考图3），写出“球锥”的体积公式； (2)在该“球锥”巾，当球缺的体积与圆维的体积相等时，求食的值。 三一轮复习周测卷十五 数学第4页（共4页） B