(7)导数的应用(单调性、极值、最值)-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（A）

高三一轮复习周测卷/数学 (七)导数的应用（单调性、极值、最值） (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知函数y=f(x),x∈R的导数是y=f'(x).对于如下两个命题：①“函数y=f(x)在R上是严 格增函数”是f(x)≥0的充分不必要条件；②“函数y=f(x)在R上是严格增函数”是f'(x)>0 的必要不充分条件.下列判断正确的为 A.①与②均为真命题 B.①与②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 2.已知函数f(x)=2x3一ax2十7的单调递减区间是(0,2)，则a= A.6 B.3 C.2 D.0 3.已知函数f(x)=lnx十a(a∈R)的最小值为1，则a= 日 B.e c D.1 4.已知函数f(x)=xe一mx在区间(0,2)内有极值点，则实数m的取值范围为 A.(-0∞，3e2) B.(1,3e2) C.[1,3e2] D.(-∞，1) 5.已知函数f(x)=3x2-2lnx十(a-1)x+3在区间(1,2)上有最小值，则实数a的取值范围是 A.（-3,+∞) k(-9,-1o c(-号-3到 D.(-10,-3) 6.已知函数fx)=2,则f)f())的大小关系为 A.n2 B.ff)<f号) c.f(2)<f-)<f(-3 D.f3）<f(-）<f2 7.已知函数fx)的定义域为0，+∞)，且f1)=e-f(x)十x>e,则不等式2e-2f(x)> x2的解集为 A.(0,1) B.(0,+o∞) C.(1,+o∞) D.(0,1)U(1,+∞) 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·后 8.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数 运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数， 称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数f(x)=logx(a>0,且a≠ 1)的反函数为f1(x)=ar(a>0,且a≠1).已知函数g(x)=e,F(x)=x2十kg1(x),若对任意 >>0,有F,）-F(>2026恒成立，则实数的取值范围为 T2一C1 A.(4×506.5,+∞) B.(2×506.52,+∞) C.[4×506.52,+o∞) D.[2×506.52,+o∞) 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知f'(x)是函数f(x)的导函数，'(x)的图象如图，则 y=f(x) A.f(x)在(-∞，1)上单调递减 B.f(x)在x=1处取得极小值 C.f(-1)=0 D.f(x)在x=2处取得极小值 10.已知函数f(x)=2x3一a.x,则 A.Ha∈R,f(x)为奇函数 B.若f(x)在R上单调递增，则a≤0 C.3a∈R,使得f(x)恰有一个极值点 D.3a∈R,使得f(x)恰好有2个零点 11.已知函数f(x)=cosx-sinx十x,则 A.f(x)的图象关于点（至，）对称 B.f(一x+军)一平为奇函数 C.牙是f(x)的极小值点 D.了(x)在(-空，)上有极值 班级 姓名 分数 题号 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的定义域为R,f(-x)=f(x)|,当x>0时，f(x)>0,写 出一个满足上述条件的有序实数对(a,b)= 13.若函数f(x)=x2一 号1nx+1在其定义域内的一个子集(2a-1,a+2)内存在极值，则实数a的 取值范围为 高三一轮复习周测卷七 数学第2页（共4页） 囚 14.2025年春节期间，某小店的某款春联日销售量y(单位：套)与销售价格x(单位：元/套)满足的 函数关系式为y一写十3(x一8)，其中x∈(3,8)，m为常数，当销售价格为5元/套时，每日 可售出30套. (1)实数m= (2)若商店销售该商品的销售成本为每套3元（只考虑销售出的套数），当销售价格x= 元/套时，日销售该商品所获得的利润最大.（精确到0.1）（本题第一空2分，第二空 3分) 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)三天十在点1，fD)处的切线与直线x十4y一2026=0垂直。 (1)求a的值； (2)求f(x)的单调区间和极值； (3)求f(x)在区间(-1,5)上的最值. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=ax3十bx2十cx在x,处取得极大值5，其导函数y=f(x)的图象经过点 (1,0),(2,0),如图所示. (1)求xo的值； (2)求a,b,c的值； (3)求函数f(x)在区间[一1,3]上的最大值和最小值. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=√元(x2一ax). (1)若f(x)在(1,3)上单调递减，求a的取值范围； (2)若f(x)在区间[0,2]上的最小值为-号求a的值. 18.(本小题满分17分) 设函数f)=ar。n,g(e)=号，其巾u∈Re为自然对数的底数 (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当x>1时，g(x)>0; (3)若f(x)>g(x)在区间(1，十∞)内恒成立，求a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e-ax,g(x)=ln(x十2)-a,其中e为自然对数的底数，a∈R. (1)若f(x)在R上没有最值，求a的取值范围； (2)证明：f(x)>g(x); (3)证明：ln2+(h)+(n专)'+…+(n”°<。a∈N) 三一轮复习周测卷七 数学第4页（共4页） A高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（七） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) Ⅲ ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 函数单调性与充要 1 选择题 易 0.82 性的综合 由函数的单调区间 选择题 易 0.75 求参 由函数的最值求参 3 选择题 5 中 0.65 数的值 由函数存在极值点 4 选择题 5 中 0.60 求参数范围 由函数存在最值求 5 选择题 5 中 0.55 参数范围 6 选择题 5 利用导数比较大小 中 0.50 利用导数解抽象不 选择题 中 0.40 等式 与导数有关的新定 8 选择题 5 难 0.25 义及双变量问题 由导函数的图象研 9 选择题 6 易 0.75 究函数的性质 利用导数研究三次 10 选择题 6 中 0.40 函数的性质 导数与三角函数的 11 选择题 难 0.28 综合 与导数有关的举 12 填空题 易 0.72 例题 由函数存在极值 13 填空题 中 0.55 求参 利用导数解决利润 14 填空题 5 中 0.35 最大问题 求函数的单调区间， 15 解答题 13 0.72 极值，最值 ·39· ·数学· 参考答案及解析 由函数图象求解析 16 解答题 15 式，利用导数求函数 / / / L 中 0.55 的最值 由函数单调性及最 17 解答题 15 中 0.45 值求参 讨论函数的单调性， 18 解答题 17 证明不等式，不等式 中 0.35 恒成立问题 与导数有关的证明 19 解答题 17 难 0.28 问题 香考誉案及解析 一、选择题 (0,2)上满足g'(x)>0恒成立，所以函数g(x)在 1.A【解析】因为函数y=f(x)在R上是严格增函数， (0,2)上单调递增，因此g(0)<g(x)<g(2),可得 所以∫(x)≥0，所以命题①的充分性满足；取f(x) 1<g(x)<3e2,因为m=e十xe在(0,2)内有实 =1,有f(x)=0,符合f(x)≥0，但是不符合y= 根，所以1<m<3e2.故选B. f(x)在R上是严格增函数，故命题①的必要性不满 5.D 【解析】由题得了(x)=6x-是十。-1= 足，所以①为真命题.因为函数y=f(x)在R上是严 格增函数，所以(x)≥0，所以命题②的充分性不 6z2+(a-1Dx-2,由f(x)=3x2-2lnx+(a-1)x x 满足；由子(x)>0可得函数y=f(x)在R上是严格 十3在区间(1,2)上有最小值，得f(x)在区间(1,2) 增函数，故命题②的必要性满足，所以②为真命题.故 上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，令 选A. h(x)=6.x2十(a-1)x-2,则 2.A【解析】由f(x)=2x3-ax2十7，可得f(x)= 4=(a-1)2+4X6X2>0 6x2-2ax,由于f(x)的单调递减区间是(0,2)，故x h(1)=6+a-1-2<0 ,解得-10<a<-3. =0和x=2是f(x)=6x2一2ax=0的两个根，故 (h(2)=6X4+2(a-1)-2>0 24一4a=0,解得a=6,经检验，当a=6时满足题意. 故选D. 故选A. 6.B【解析】由题得∫(x)是偶函数，∫(x)在 3.D【解析】由题得f(x)的定义域为(0，十o),f(x) =吕-，当a≤0时，fx)>0在0+∞) (0,)上单湖递增，令()=，>e,则6(x) 内恒成立，所以函数f(x)在(0，十○)上单调递增，此 =1-ln<0,函数g(x)在(e,十o∞)上单调递减， 时f(x)无最小值：当a>0时，由f(x)>0,得x>a, 3 A 由f(x)<0,得0<x<a,所以函数f(x)在(0，a)上 故g(e)>g(3)>8(4)>g(5),即>3>n 单调递减，在(a,十o∞)上单调递增，故当x=a时， >1>0,面=12，所以f()>f(2) f(x)取最小值，即f(x)mim=f(a)=lna+1=1,解 得a=1.故选D. >f(),所以f(-)<f()< 4.B【解析】由f(x)=xe-mz,可得其定义域为R, f(-3)故选B. 易知子(x)=er+xe-,因为函数f(x)=xe mx在区间(0,2)内有极值点，所以方程f(x)=e 7.A【解析】由f(x)十x>e,可得f(x)-e十x 十xe一n=0在区间(0,2)内有变号实根，即m=e >0,即(f(x)-e+2）'>0,设g(x)=f(x) 十xe在(0,2)内有实根，令g(x)=e十xe,x∈ (0,2),则g'(x)=(x十2)e,显然g'(x)在 +号，x长(0，十0)，则g(x)在(0，十o)上单调 ·40· 高三一轮复习A ·数学· 递增，又g1)=f1)-e+号=e-号-e+号=0， zx）-sin(5-x）+(g-x）=cosx-sinx+x 由2e-2f()>,可得f(x)-e+2<0,即 十sinx-cosx十罗-x=罗，即满足f(x)十 g(x)<g(1),解得0<x<1.故选A. 8.D【解析】依题意，g1(x)=lnx,则F(x)=x2十 f(受-x)=,所以f(x)的图象关于点 lnx,当x>x>0时，不等式）-F() (牙，牙)对称，故A正确：对于B,易知f(一x十 x2一x1 2026等价于F(x2)-2026.x2>F(x1)-2026x1,即 平)-平=cos(-x+平）-sin(-x+平)-x+ xi+kln x2-2 026x2>xi+kIn x-2 026x1,h(x) =x2十klnx-2026x,于是对任意x2>x1>0,h(x2) 子-子-号asx+竖nx-号wsx+号nx >h(x1)恒成立，即函数h(x)在(0，十c∞)上单调递 增，则Vx∈(0，十∞)，h(x)=2x十-2026≥0，即 x+平-平=厄sinx-x,f(x+天）-平 √2sin(-x)-(-x)=-√2sinx十x= k≥-2x2十2026x恒成立，则k≥(-2x2十 2026x)mx,又-2x2+2026.x=-2(x-506.5)2+2 [(-x+平)一平]，满足奇函数的定义，即可 ×506.52≤2×506.5，当且仅当x=506.5时取等 得f(一x+牙)-平为奇函数，故B正确：对于C, 号，则≥2×506.5，所以实数k的取值范围为[2× 506.52,十o∞).故选D. 求导可得f(x)=-sinx-cosx+l=-√2sinx 二、选择题 9.ACD【解析】显然C正确；由已知，x<1时，f(x) +平)十1，不妨只研究当x∈[0，π]时的单调性，当 ≤0，因此f(x)在（一o,1)上单调递减，A正确： (1)≠0，且x=1两侧的导数都是负数，所以f(1) x∈[0，]时，f(x)≤0，当x∈(，x]时， 不是极值，B错误：由了(2)=0，x<2时，f(x)≤0， f(x)>0,可知函数f(x)在[0，受]上单调递减， f(x)单调递减，x>2时，f(x)>0,f(x)单调递增， 所以f(2)是极小值，D正确.故选ACD. 在（受，元上单调递增，因此f(x)在受处取得极小 10.AB【解析】对于A,f(x)的定义域为R,f(-x)= 2(-x)3-a(-x)=-2x十ax=-f(x),所以Ha 值，所以受是f(x)的极小值点，故C正确：对于D, ∈R,f(x)为奇函数，A正确；对于B,若f(x)在R 由f(x)=-Esin(x+牙)+1，可知当x∈ 上单调递增，则f(x)=6x2一a≥0恒成立，即a≤ 6x2恒成立，故a≤0，B正确；对于C,若f(x)恰有一 (-平，于)时，x+平∈(0，受)，此时f(x)在 个极值点，则子(x)=6x2-a=0有一个解，可得a =0,此时∫(x)=6x≥0恒成立，f(x)单调递增， (-平，牙）上是单调递减的，因此∫(x)在 f(x)无极值点，矛盾，故不存在a∈R,使得f(x)恰 (-空，T)上没有极值，故D错误.故选ABC 有一个极值点，C错误；对于D,f(x)=0即 三、填空题 x(2x2-a)=0,当a≤0时，f(x)恰有1个零点0； 12.(2,0)(答案不唯一，b取0，a取大于1的实数即可) 当a>0时f)怡有3个零点，即0，士号，故无 【解析】由f(-x)=|f(x)|,得a1-b1 论a为何值，f(x)都不可能恰有2个零点，D错误. al-bl,即al+b1=al-b1,则|x十b|=|x-b, 故选AB. 所以b=0.当x>0时，f(x)>0,则f(x)在 11.ABC【解析】对于A,由f(x)=cosx-sinx+x, (0,十∞)上为增函数，当x∈(0，十o)时，f(x)= a,则a>1,可取a=2,可得满足条件的一个函数为 知f(x)+f(受-x)=cosx-sinx+x+cos(受 f(x)=2,此时有序实数对(a,b)为(2,0). ·41· ·数学· 参考答案及解析 13.[},子）【解析】f(x)的定义域为(0，十∞)，因 (2)由(1)得f(x)=3 为函数(x)=2-号nx+1,所以了（x)=2x f(x)=2xx+3=-(x-3)(x+1) (5分) e 1=2x+1)2x-1D,则当0<x<号时，f(x)< 令f(x)<0,得x>3或x<-1, 2x 令f(x)>0,得-1<x<3, (7分) 0,x)单调递减：当x>时，(x)>0,f)单调 列表如下： 递增，所以x=2是f(x)的极值点，因为f(x)在 2 (-0,-1) -1 (-1,3》 3 (3,+∞ (x 0 2a-1≥0 0 极小值 2a-1<立，解得 f(x) 极大值 (2a-1,a+2)内存在极值，所以 故f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)和 a+2>号 (3,十∞)，单调递增区间为(-1,3)， (9分) <a<子，所以实数a的取值范周是[分·早)， 1 fx)的极大值为f(3)=冬，极小值为f(-1) -2e2, (10分) 14.64.7【解析】设f(x)=”3十3(x-8),x∈ (3)由(2)知，f(x)在区间（一1,3）上单调递增，在(3， (3,8),依题意f(5)=写"3十3X(5-8)=30,解 5)上单调递减， 6 得m=6,则f(x)=x3+3(x-8),x∈(3,8). 所以x)的最大值为3)=号，无最小值 (13分) 设商店日销售该商品所获得的利润为g(x),则由 16,解：(1)由图象可知在(-∞，1)上，f(x)>0: 题可得g(x)=f(x)(x-3)=6十3(x-8)2· 在(1,2)上，f(x)<0; (x-3)=3x3-57x2+336x-570,x∈(3,8).则 在(2，+∞)上，f(x)>0, g'(x)=9x2-114x十336=3(x-8)(3x-14),当 3<<尝时g(a)>0,当号<<8时g(x)之 则f(x)在(-o∞，1)，(2，十∞)上单调递增，在 (1,2)上单调递减， 0,所以g(x)在(3，兰)上单调递增，在（告，8）上 ∴.f(x)在x=1处取得极大值， x6=1. (4分) 单调通或，所以当一兰时，g()取最大值，放当销 (2):f(x)=3ax2+2bx+c,且f(1)=0,f'(2) 售价格一兰≈4,7时，日销售该商品所获得的利 =0,f(1)=5, 3a+2b+c=0 润最大 ∴.{12a十4b+c=0, (7分) 四、解答题 (a+b+c=5 15.解：(1)因为f(x)=十4 解得a=2,b=-9,c=12. (9分) e-T (3)由(2)得f(x)=2x3-9x2+12x, 所以f(x)=2xel(x+a)c-2x-x2-a (e-1)2 e1 由(1)可知f(x)在[-1,1)上单调递增，在 则f(1)=1-a, (2分) (1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，(12分) 因为函数f(x)=士在点(1，f(1)处的切线 又f(1)=5,f(3)=9,f(-1)=-23,f(2)=4, e-1 ∴.f(x)mx=f(3)=9,f(x)mn=f(-1)=-23, 与直线x十4y-2026=0垂直， 即f(x)在区间[一1,3]上的最大值为9，最小值为 故(1-a)×(-子)=-1， -23. (15分) 解得a=一3. (4分)： 17.解：1)由题得了()=号- 2a., ·42· 高三一轮复习A ·数学· f(x)在(1,3)上单调递减， ∴f(x)≤0在(1,3)上恒成立， (3分) 由了()=0，得x=士√会=， 2a 即a≥号x在(1,3)上恒成立， 当x(o,密)时f)<0 由号r<号×3=5 当xe(密，+)时，f)>0. a≥5， a的取值范围为[5，十∞). (6分) 则f(x)在(0，@)上单调递减，在 2a 2由f0=音-号a(0<<2), (绥，+)上单调通增。 令了(x)=0,则x=得或x=0, (7分) 综上，当a≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递减： 当a≤0时，f(x)≥0， 当a>0时，f)在(0，密)上单调递减，在 .f(x)在[0,2]上单调递增， ∴(x)m=f(0)=0≠-号，不符合题意： (密，十)上单调遥增 (6分) (2)要证g(x)>0(x>1), 当0<a<号时，0<号<2 即证1一>0， 则当0≤x<时，f(x)<0: 即证>总 当<x<2时，f(x)>0, (9分) 即证g>e, (8分) ∴f(x)在[0，]上单调递减，在（号，2]上单调 令h(x)=e 递增， f()m-f(号)=√[()-琴] 则h'(x)=e(x-1) x 则h'(x)>0, .h(x)在(1，十∞)上单调递增， 解得Q=子行合题意： (11分) 则h(x)>h(1)=e, 即当x>1时，h(x)>e, 当≥号时≥2， .当x>1时，g(x)>0得证. (10分) 则当0<x<2时，f(x)<0, (3)由(2)知当x>1时，g(x)>0, .f(x)在[0,2]上单调递减， 当a≤0，x>1时，f(x)=a(x2-1)-lnx<0, ∴.f(x)min=f(2)=√2(4-2a)=- 2 故当f(x)>g(x)在区间(1，十o)内恒成立时， 3 必有a>0, (12分) 解得a=2+号，不符合题意， (14分) 当0<a<时， 1之1， V2a 综上a的值为子 (15分) 由a有f(左)<f1)=0Kg 18.解：(1)由f(x)=ax2-a-lnx ∴.此时f(x)>g(x)在区间(1，十∞)内不恒成 得f(x)=2ax-1=2ar-1(x>0), (1分) 立： (14分) x 当a≤0时，f(x)<0在(0，十∞)上恒成立， 当≥时，令e(x)=f(x)-g(x)(x>1D, 则f(x)在(0，十∞)上单调递减； (3分) 当a>0时， 则()=2ax+-, ·43· ·数学· 参考答案及解析 由(2)得当x>1时，三>e, h(x)的最小值为h(xo)=eo-ln(xo十2)，(10分) ∵e=1 则>e, x0十+2’ .xo=-ln(xo十2)， g>x-+-=> x x6∈(-1,0)， x2-2x+1>0, )+-中+2-+ x0+2 x6+2 因此(x)在区间(1，十∞)上单调递增， >0, 又：9(1)=0， ∴.e2-ln(x十2)>0，原不等式得证. (12分) .当x>1时，(x)=f(x)-g(x)>0, (3)由(2)知，e>ln(x+2), 即f(x)>g(x)恒成立， 令x=+-2, t 综上a的取值范围为[}，十∞)。 (17分) 解得t<-1或t>0, 19.解：(1)由题得f(x)=e-a, (1分) 则e中>n(中+2)=h史 若f(x)在R上没有最值，则f(x)=0无实数解， 即a=e无实数解， (2分) e*>(m月 (14分) 而e>0, 由此可知，当t=1时，e>ln2, 所以a≤0， 当=2时e>(n是)广， 即a的取值范围为(-∞，0]. (4分) (2)要证f(x)>g(x), 当=3时，e>(n号)月， 即证e-ln(x十2)>0. (5分) …y 设h(x)=e-ln(x十2)，x>-2, 则)=e-2 当=n时，e+>("广， 易知h'(x)是定义域上的增函数， 累加得e+e+e+…+e+1>ln2+(n多) 又/(0)=1-3>0，k(-1)=。-1<0, e +(n专）广++(n）)广， 则(x)=e 1 x+2 =0在(-1,0)上有一个 又e+el十e2+…+e-+l 根0， 1- 即ew2 (8分) 当x∈(-2，x)时，h'(x)<0, 当x∈(x0,十∞)时，h'(x)>0, n2+(m多)'+(n专）)广++(m中) 此时h(x)在(-2，xo)上单调递减，在(x,十o∞)上 单调递增， e-1 (17分) ·44·