(11)平面向量及运算、平面向量在平面几何及物理中的应用、复数-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（B）

高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（十一） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 复数的除法运算，共 1 选择题 5 易 0.80 轭复数 2 选择题 5 求复数的虚部 易 0.78 复数对应点所在象 3 选择题 5 0.75 限问题 易 平面向量基本定理 4 选择题 5 易 0.72 的应用 5 平面向量与力的 选择题 5 中 0.65 关系 复数模长的最值 6 选择题 5 中 0.50 问题 7 选择题 5 求向量模的最值 中 0.45 8 选择题 5 数量积的最值问题 难 0.28 9 选择题 6 复数的性质 易 0.72 利用向量解决速度 10 选择题 6 V 中 0.65 问题 向量与基本不等式 11 选择题 6 / 中 0.40 的综合 12 填空题 5 复数方程问题 易 0.82 平面向量的投影 13 填空题 5 中 0.65 问题 与数量积有关的数 14 填空题 5 中 0.40 学文化题 15 复数的运算、复数方 解答题 13 易 0.82 程的综合 利用平面向量解决 16 解答题 15 中 0.60 平行、三点共线问题 复数与平面向量的 17 解答题 15 中 0.45 综合 ·57· ·数学· 参考答案及解析 向量与三角函数的 18 解答题 17 中 0.35 综合 利用向量解决平面 19 解答题 17 难 0.25 几何问题 昏考答案及解析 一、选择题 当且仅当9=0时等号成立，则|c一b|mx=√7十1.故 (5+3)(1-D_8-2i=4-i,所 1.A【解析】因为=十91-司 选A. 2 8.B【解析】因为O为△ABC的外接圆圆心，∠BAC 以乏=4十i,故选A, =30°，所以∠BOC=2∠BAC=60°，因为OB=OC,所 2.A【解析】由=i,i2=一1，=-i,i=1,i5=i,…, 且2025=4X506十1，则2025=i=i,所以之=2025 以△OBC为等边三角形，故OA=OB=OC=2,AB. -i,其虚部为-1.故选A. O心=(Oi-OA)·O元=OB·O元-OA·O元= 3.D【解析】由题意得二2士i=一i(-2+D=1十21. |OB|·|OC1cos60°-IOA|·|OC|cos∠AOC= -2 设之=a+十bi(a,b∈R),则x十22=a十bi十2a-2bi= 2X2×号-4cos∠A0C=2-4cos∠A0C,当A,0, 3a-i=1十2，则3a=1,-6=2,解得a=号，6= C三点共线，即cos∠AOC=-1时，AB·O元=2 4cos∠AOC取得最大值，最大值为2+4=6.故选B. 一2，所以2=令一2，其在复平面内对应的点为 (号，-2)，位于第四象限.故选D. 4.D【解析】因为BD=D心，所以AD=A店+BD A花+吉B试=A+号(A衣-A商)=号A店+吉AC 故选D 5.A【解析】三个力平衡，.F十F2十F=0, 二、选择题 |F|=|F+F2|=√TF1T+2F·F2+F2下 9.AB【解析】对于A,1十x2=2a∈R,A正确；对于 √+2X1x2os46+(52=E.设 B,之！一2=2bi(b≠0)为纯虚数，B正确；对于C,x12 2 =(a十bi)(a-bi)=a2十为实数，C错误；对于D, F与E的夹角为0，则|F2|= 号-公a+m+培+当 4=a十bi (a十bi)2 a2-b2 V√TE+r+2EEOs9,即52- 2 a=0时，为实数，D错误.故选AB, √12+（√2）2+2X1X√2cos6,解得cos日= 10.AB【解析】对于A,设v与v2的夹角为0，船行驶 6+E.故选A. 的时间为t,d=500m=0.5km, 4 6.D【解析】因为在复平面内，x一i=1中x表示到 点(0,1)的距离为1的所有复数对应的点，即 |x一=1表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆， |之|表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0， 最长距离为1十1=2，则|x的取值范围是[0,2].故 选D. A V2 7.A【解析】根据题意，|3a-b|2=9a2-6a·b十b= d 0.5 36-6a·b十9=27，∴.a·b=3,则(a-b)2=a2-2a 当0为纯角时，=sin(π-9)VT=10sin0 ·b十b=4-6十9=7，设0为c-a,a-b的夹角， |c-b|=|(c-a)+(a-b)l 005h,当9为镜角时，=snn-0sin0 d 0.5 sin =√/(c-a)2+2(c-a)(a-b)+(a-b) ,当为直角时4=高-晋=05则 =√/1+2×1×√7cos0+7≤√1+2W7+7=√7+1， 当0为钝角时，0<sin9<1,t>0.05h=,当0为 ·58· 高三一轮复习B ·数学· 锐角时，0<sin<1,t2>0.05h=t,所以当船垂直 a·b一2=0，即a·b=3,则b在a方向上的投影向 于对岸行驶，即”⊥，所用时间最短，故A正确；对 于B,由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短 量的模长为a:b=35 a-5 为t3=0.05h=0.05×60=3min,故B正确，C错 14.1十√2【解析】在正八边形ABCDEFGH中，连接 误；对于D,设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直， HC,则HC∥AB,而∠ABC=135°，即∠BCH=45°， 那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程 于是∠HCD=90°，在等腰梯形ABCH中，CH=1+ 最短，由下图可知，设v=y十2，则y= 2X1×cos45°=1十√2，所以AB·HD=1× √Ty一下=4V6(km/h),此时，船的航行时 HD|COs ZCHD=|HCI=1+2. 间三号-X60≈3.1(mim)>3(min),故D错 误.故选AB. 四、解答题 15,解：(0)曲：=，为实数。 A 11.ABD【解析】因为AP=xAB+yAC,则A户 则=号-生+号为实数， -(1+i)(1-i) 2 xAB+2yAD,又B,P,D共线，所以x十2y=1,A 所以号=06=2. (3分) 正确：由题得x,y>0,则1=x十2y≥2√2xy,则xy <名，当且仅当=2即=子y=时取等号， (2)由(1)知x=2i,22=-4, (4分) 所以|x-2|=|4+2i=25 (6分) B正确：由+=1-2)+=5(-号)十 (3)由(m十x)2=(m十2i)2=m2-4十4i在复平 面内对应的点在第四象限， 合，则当)=子时，父十少有最小值号，C结误：因 所以合0 为是+}=（层+）x+w)=4++号≥4 解得m<-2, (9分) y 又x=2i为实系数方程x2十(m2-16)x十4=0 +2V受×子=8当且仅当华-专即=2y=专 的根， 则-4十2(m2-16)i十4=0， 时等号成立，D正确.故选ABD 所以m2-16=0,m=士4， 又<-2， 所以m=-4. (13分) 16.解：(1)因为A(3,1),B(-2,2),C(-1,4), 所以BC=(1,2), 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以BC=AD, 设D(x,y), 三、填空题 所以AD=(x-3,y-1), 12.一1十√3i(答案不唯一，或填一1一√3i)【解析】方 y 程x3=8可化为(x-2)(x2十2x十4)=0，解得x =2或x=一2±4-16 2 =-1±31 13.35【解析】因为a=(2,1),所以a=√2+T =√5，b为单位向量，1b|=1,又因为(a+b)⊥(a 2b),所以(a十b)·(a-2b)=a-a·b-2b=5- ·59· ·数学· 参考答案及解析 所以行 tan x+tan π (5分) 年和仁子 1-tan xtan 1-(-4) 所以D(4,3), (7分) (2)由题得a+b=(eosx十sinx,-), (2)因为A,C,D三点共线，AC=(-4,3), 则f(x)=2(a十b)·a 所以设AD=λAC=入(-4,3)=(-4λ，3x), =2(cos +sin 又A(3,1), 子)os-0 所以D(3-4,1+3λ)， =2cos'x+2sin xcos2 、1 所以BD=(5-4以，3以-1)， 又BD·AC=-4(5-4)+3(3入-1)=-18， =m2x+c0s2z+号 解得=司， =Esin(2x+年)+号， (8分) 所以Ai=(-4,3)=(-青，号)： 当xe[-,]时，2x+平∈[-平，] 所以AD=-√-)+()=1， 则Esn(2x+)+∈[合E+], (15分) 所以函数/的值域为[受w5+号] (12分) 17.解：(1)由题意得Z(0,2),Z(4,6), 则0Z=(0,2),ZZ2=(4,4). (3)由(2)知f)=Esm(2x+平)+是 所以OM=λOZ+4Z1Z=入(0,2)十u(4,4) 结合题意得g(x)=Esin(x+受）十号-cos =(4,2λ十4μ). 又OM⊥ZZ2, 2 所以Oi·ZZ=0, g6x>即/E0sx+是>， 3、1 即(4,2λ十4)·(4,4)=16+4(2λ+4)=0， 即λ十4=0，λ=-4， 因为点M异于点O, (15分) 所以≠0， 则入与4的关系为λ=一4μ（≠0）. (5分) 所以23要<r<2kx+3平，k∈Z (2)若M,Z,Z三点共线， 即g(x)>之的解集为(2kx-要，2k云十平），k∈Z. 则存在实数t使得MZ=tZ1乙， (17分) 所以有M0+OZ=t(Z0+OZ), 19.解：(1)记∠DAQ=a,∠BAP=B, 即OM=(t+1)02-t0Z,.① 又由OM=λOZ+uZZ, 则∠PAQ=受-(a+) 得OM=x0Z+:(Zò+oZ), 由题得AP.Ad=(AB+BP)·(AD+Dd) 即OM=(A-4)OZ+OZ.② =AB.DQ+AD.BP 由①②知+1=A-4, =|DQ|+|BP|, 一t= 则|D+|B=1P, (2分) 解得入=1， 正方形ABCD的边长为1， 所以入的值为1. (15分) ∴.DQ=tana,BP=tanB, 18.解：(1)因为a=(cosx,-1),b= )“ （sinx,4 在Rt△CQP中，CQ=l-tana,CP=1-tanB, PQ=DQ+BP=tan a+tan B, ∥b, (1-tan a)2+(1-tan B)2=(tan a+tan B)2, 则子as=n 即l-(tana十tanB)=tan atan B, 显然cosx≠0， tama十tam3=l, 则tan(a+B)=-tan atan (4分) 所以anx=一子， (3分) 又iam∠PAQ=iam[受-a+B) 则an(e+平)=tam(z+子) 1 tan(aB)=1, ·60· 高三一轮复习B ·数学· 且∠PAQ∈(0,5)， ∴当a=时，△APQ面积的最小值为VE-1. 则∠PAQ=平 (6分) (12分) (3)设△APQ中PQ边上的高为h, (2油题得AQ=。A 1 cos B 则2PQXh=2 APXAQXsin子， ∴SaQ=2AQ·AP·sin∠PAQ= ② 1 4 cos acos B' 又：cos∠PAQ= AP·AQ IAPIAQI “a叶=平， ∴.|AP1|A液= AP·AQ Saw阳=2 1 4 cos acos(平-a) 且Ap.AQ=|P1, ② 1 |AP1A过|=21P成1， 合n(2a+)+9 PQxh-EPQx号， rae(0,买) 解得h=1,为定值， 则该同学的猜想正确。 (17分) ·61·高三一轮复习周测卷/数学 (十一)平面向量及运算、平面向量在平面几何及物理中的应用、复数 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.若=则= A.4+i B.4-i C+z D 2.复数之=2025一2o25的虚部为 A.-1 B.1 C.2025 D.i 3.若十2=一2士，则：在复平面内对应的点位于 i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.如图，在△ABC中，Bi=号DC,则Ai A.2A店+2AC B.A店+AC C.}AB+号Ad D.号+号4d 5.已知平面上的三个力，F,上，作用于一点，且处于平衡状态，若F=1N,E,=5,EN, 2 F1与F2的夹角为45°，则F3与F1夹角的余弦值为 A.-6+2 B,6+② 4 4 C.-6-2 D,6-2 4 4 6.已知复数之满足|之一i=1,则z的取值范围是 A.[0,1] B.[0,1) C.[0,2) D.[0,2] 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 7.已知向量a,b满足a=2,b=3,3a-b=3√3，若向量c满足c-a=1,则c-b的最大 值为 A.√/7+1 B.2√2+1 C.4 D.23+1 8.已知O为△ABC的外接圆圆心，BC=2,∠BAC=30°，则AB·OC的最大值为 A.4 B.6 C.2√/3 D.4√3 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知复数1=a十bi,2=a-bi(a∈R,b∈R),且b≠0，则 A.之1十2∈R B.1一2为纯虚数 C.12为纯虚数 D.为虚数 22 10.如图，一条河两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知 船在静水中的速度y1的大小=10km/h,水流方向为正东方向，其速度v2的大小为2= 2km/h,这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min,采用四舍五入法.则 (参考数据：√6≈2.45) A.这艘船到达河对岸的渡河时间最短时，1上2 B.这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C.这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D.这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 11.已知点P是△ABC的中线BD上一点（不包含端点），且AP=xAB+yAC,则 A.x+2y=1 Bxy的最大值为后 C产+少的最小值为号 D是+号的最小值是8 班级 姓名 分数 题号 1 4 6 8 9 o 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.在复数范围内，方程x3=8的虚数根是x= .(写出一个即可) 13.已知平面向量a=(2,1),b为单位向量，且(a十b)⊥(a一2b),则向量b在向量a上的投影向量 的模长为 三一轮复习周测卷十一 数学第2页（共4页） ® 14.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了 深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH,其中 AB=1,O为正八边形的中心，则AB·HD= 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知复数=(bER),为实数。 (1)求b: (2)求x-z2: (3)若复数(m十z)2在复平面内对应的点在第四象限，且之为实系数方程x2十(m2一16)x十4 0的根，求实数m的值. 16.(本小题满分15分) 设A,B,C,D为平面内的四点，已知A(3,1),B(-2,2),C(一1,4). (1)若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标； (2)若A,C,D三点共线，BD·AC=-18,求线段AD的长. 17.(本小题满分15分) 已知复数1，之2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,O是坐标原点，点M(异于点O)是复平面 内一点，且Oi=λOZ+uZ1Z(a∈R), (1)若1=2i,x2=4十6i,OM⊥Z1Z2,求λ与4的关系； (2)若OZ,OZ2不共线，M,Z1,Z2三点共线，求入的值. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 已知向量a=(cos,-1),b=(sinx,是），函数f()=2(a十b)·a )若a/b,求tar+平）月 (2)当x∈[-一平，至]时，求函数f(x)的值域： (3)若将f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左 平移T个单位长度，可得到g()的图象，求g()>2的解集. 19.(本小题满分17分) 如图，正方形ABCD的边长为1，P,Q分别为边BC,CD上的点，且A户.AQ=|P, (1)求∠PAQ的大小： (2)求△APQ面积的最小值； (3)某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合(2)他猜想“△APQ中PQ边上的高为 定值”，他的猜想对吗？请说明理由 三一轮复习周测卷十一 数学第4页（共4页）】 B