(8)函数与导数的综合应用-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（B）

高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（八） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 值 (主题内容) ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 利用导数求瞬时 1 选择题 易 0.82 速度 导数的极限定义与 2 选择题 导数几何意义的 L 易 0.75 综合 由函数的极值点求 3 选择题 5 中 0.65 参数的范围 由函数的单调性求 4 选择题 5 中 0.60 参数的范围 利用导数识别函数 选择题 5 中 的图象 0.58 6 利用导数研究函数 选择题 中 的零点 0.55 7 选择题 5 利用导数比较大小 中 0.40 三次函数的实际 8 选择题 5 难 0.25 应用 导数与函数性质的 9 选择题 6 易 0.75 应用 与导数有关的数学 10 选择题 6 中 0.40 文化题 利用导数研究抽象 11 选择题 6 函数的性质 难 0.28 由函数的极值点求 12 填空题 易 参数的值 0.72 利用导数研究公 13 填空题 中 0.45 切线 利用导数解决几何 14 填空题 5 中 0.35 问题 利用导数求切线方 15 解答题 13 中 0.60 程，不等式有解问题 ·39· ·数学· 参考答案及解析 利用导数求极值，证 明不等式，由函数极 16 解答题 15 值点个数求参数的 L 中 0.50 范围 利用导数求曲线上 的动点到直线距离 17 解答题 15 中 0.40 的最值，不等式恒成 立问题 函数奇偶性的证明， 18 解答题 17 利用导数研究零点 难 0.28 个数 19 解答题 17 极值点偏移问题 难 0.25 香考答案及解析 一、选择题 选A. 1.C【解析】因为y(t)=十2，所以y'(t)=2t,所以 5.B【解析】f(x)的定义域为R.:f(-x)= t=3时，y'(3)=6,即质点A在t=3s时的瞬时速度 cos(-x)十3-1-3=cosx十3-3=f(x), 为6m/s.故选C f(x)是偶函数，排除D;又f(1)=cos1十3-3= 2.B【解析】依题意，lim f(3+2△x)-f(3) cos1>0,排除A:当x>0时，f(x)=cosx十3r-3, △x f(x)=-sinx+3·ln3,3·ln3>1,.f(x) 21im3+2x）-f3》=2f(3)=4,则f(3)=2, =-sinx+3ln3>0,.f(x)在(0，十o∞)上单调 . 2△x 递增，排除C.故选B. 即曲线y=f(x)在点(3，f(3)处的切线的斜率是2. 6.A【解析】f(x)在(-，一2)上存在零点，即 故选B. 3.C【解析】由函数f(x)=(x-1)2(x-a),可得 f(x)=21+a=0在（-0，-2)上有解，即a= x f(x)=(x-1)(3x-2a-1),令f'(x)=0,可得 =1或x=2,因为=1是函数f()的一个极 27-在(-，一2)上有解，令g()=2-则 大值点，则满足0。>1，解得a>1,所以实数口的 g(x)=2血2十>0，则g(x)在(-∞，2)上 取值范围为(1，十∞).故选C, 单调递增，8(-2)=早，当-0时g（)-0,所 4A【解析】由题得∫(x)=2十是- x 以a∈(0，子)故选A 2x一+3，依题意，了()在1,3)上有变号零点，即 7.C【解析】设f(x)=x-sinx,x∈[0,1)，则 f(x)=1一cosx≥0，所以f(x)在[0,1)上单调递 2x2-tx十3=0在(1,3)上有根，设g(x)=2x2-tx 十3，即g(x)在(1,3)上有零点，若g(1)=5-t=0, 增，所以f(合)>f(0)=0,即弓-sin子>0，所以 则t=5,此时g(3)=6>0,满足题意；若g(3)=21 -3t=0,则t=7,此时g(1)=一2<0，不满足题意； a=sn子<子：因为（侵）广<<（是）广，所以2n 若g(1)≠0且g(3)≠0，g(x)在(1,3)上有1个零 点，则4>0 g(1)g(3)<0,解得5<K7:若g(1)≠0且 <1<3n，即号<6=n<：又c=3>4 1 g(3)≠0，g(x)在(1,3)上有2个零点，则 =,所以a<Kc.故选C △>0， 8.C【解析】设三次函数为y=ax3十bz2十cx十d,可 g(1)>0, 得y'=3ax2+2bx+c,设f(x)=3a.x2十2bx十c,可 g(3)>0,解得26<t<5.综上，t∈(2√6,7).故 得f(x)=6a.x十2b,设三次函数y=ax3+bx2十cx 1<<3, +d的两个极值点为x1,,所以西十=一光， 3a ·40· 高三一轮复习B ·数学· zx=品，令了(x)=6ax+26=0,可得x= b为 h'(x)>0,h(x)单调递增，.h(a)<h(b),即 _3 函数y'=3ax2+2bx十c的极值点，将x=- b代入 得f倍ga≥fag枚A正 3 y=ar+2a+,可得气 -+c=-1,所以c= 确B错谈：)-铝≥a)-8>1 f(x)>g(x)成立，故C正确，D错误.故选AC -1+ 3a,则My=a(-x)+6(z-)+ 三、填空题 12.2【解析】，f(x)=(x-c)2十2x(x-c)=3x2 c(x1一x2)=40,即a(一x2)(x十x1x2十x)十 4cx十c2,且函数f(x)在x=2处有极小值，.f(2) b(x1-x2)(x1十x2)十c(x1-x2)=40,即 =0,即c2-8c十12=0，解得c=6或2.经检验当c Γ/4b2c (x1-x2)a(9a23a 2b十c 40, _3a 即 6时，f(x)在x=2处取得极大值，舍去：当c=2时， ∫(x)在x=2处得极小值，符合题意，故c=2. (x1一x2) +号(1+） 9a 40,可得 13.5【解析】设f(x)=ln(x-2)十4，则f(x)= 1 三（无-2）=40，解得2一x=60.故选C x-2f(3)=1,f(3)=4,所以曲线y=ln(x-2) 二、选择题 十4在点(3,4)处的切线方程为y一4=1× 9.BCD【解析】对于A:f(x)=0的x不一定是函数 (x-3),即y=x十1.设g(x)=x2-3x十a,则 的极值点，比如：f(x)=x3,f(x)=3x≥0，f(x) g'(x)=2x-3,又设切线与曲线y=x2-3x十a相 在R上单调递增，f(0)=0,但x=0不是f(x)= 切的切点为(x1,x-3x1十a),由题得2x1一3=1， x3的极值点，故A错误；对于B,若“f(x)>0在R 解得x1=2,则切点为(2，一2十a),因为切点在切线 上恒成立”，则“f(x)在R上单调递增”，若“f(x)在 y=x十1上，则-2十a=2十1=3，解得a=5. R上单调递增”，则“(x)≥0在R上恒成立”，故 14.红【解析】设直角三角形的两条直角边分别为 2 “f(x)在R上单调递增”是“f(x)>0在R上恒成 立”的必要不充分条件，故B正确；对于C,由最值的 h,则2十h=3,以h所在直线为旋转轴得到圆锥， 定义可知，函数f(x)在给定的区间[a,b]上必存在 则圆锥体积V=子h=吉x(3-2)h 最值，故C正确：对于D,根据极值点和极值的定义可 以判断，若∫(x)在R上存在极值，则它在R上一定 3π(3h-),记f(h)=3h-,h∈(0W5),则 不单调，故D正确.故选BCD, f'(h)=3-3h,易得f(h)在(0,1)上单调递增， 10.AD【解析】由函数S(x)=1十e,得S(x)= 在(1√)上单调递减，∴.f(h)≤f(1)=2,故V≤ e 1 X2=5,则V=经 1 Fe,对于A,s()[1-s(x)]=1十e· 3 四、解答题 （1-十e）=af0=S),故A正确：对 15.解：(1)由f(x)=lnx+1, e 于B,Vx∈R,S（x)=a+e)7>0,则Sigmoid 得r(x)= (2分) 函数是单调递增函数，故B错误：对于C,S(x)= 则f(1)=1,f(1)=1, (4分) e 1 故所求切线方程为y一1=x一1， 1+28+e云=e+e+2≤2Vc,e7+2 即x-y=0. (6分) ，当且仅当e=e,即x=0时取等号，则S(x) 1 (2)3x∈(0，十∞)，使f(x)≤g(x)成立， 即3x∈(0，十e∞)，使1nx十1≤兰成立， 的最大值为，故C正确：对于D,因为S(x)十 则a≥x(lnx十1)在(0，十∞)上有解， S(-x)=十。十中e=千e+中e=1,所以 e 1 即a≥[x(lnx+1)]mim (8分) 令h(x)=x(lnx十1)，x>0, ∑[S(k)+S(-k)]=2025,故D正确，故 则h'(x)=lnx+2, 选ACD. 令(x)>0,得x∈（侵，+）： 山.AC【解标】令A)=则() 令(x)<0,得x∈(0，) @巴，：0>得且f g(x) 故h(x)在（侵，+∞）上单调递增，在(0，号)上单 与g(x)恒正，f(x)g(x)>f(x)g'(x), 调递减， ·41· ·数学· 参考答案及解析 所以Am=h(）=-一是 (12分) 即a≥ (+） 则a 设()=+(x>0) x2 故a的最小值为一吉 (13分) 则t(x)=-2n工-马=1-21nx-工，(7分) x x 16.解：(1)(i)由题意可知，f(x)的定义域为(0，十∞)， 设g(x)=1-2lnx-x, ()=a-20-=a(x-2 (1分) xx x 则p(x)=- 2-1<0, 又a>0, 则9(x)在(0，十∞)上单调递减且p(1)=0, 故当x>2时，f(x)>0,f(x)单调递增： (9分) 当0<x<2时，∫(x)<0,f(x)单调递减，(3分) 当x∈(0,1)时，9(x)>0, 所以当x=2时，f(x)取得唯一的极小值，且极小值 即t'(x)>0,t(x)单调递增； 为f(2)=a十aln2+2,无极大值， (5分) 当x∈(1，十∞)时，9(x)<0, (i)由(1)知，f(x)的最小值为f(2), 即t'(x)<0,t(x)单调递减， (13分) 又f(2)=a+aln2+2>0, 所以t(x)的最大值为t(1)=1, 故f(x)≥f(x)min=f(2)>0, 则a≥1，a的取值范围是[1，十o∞). (15分) 所以f(x)>0. (7分) 18,解：(1)由题设，令g(x)=f(x-1)=ax+2 e+1 (2)油题得g)=号-anx-红-2(x>0, 1,x∈R, 所以g'(x)=x-2)(e-aD 所以g(-x)=一ax 2 (9分) x e+1-1 因为g(x)在(0,2)上有两个极值点， 2 =-ax+1-1十e=-g(x), 则e一ax=0,即a=g在(0,2)上有两个根， 又g(x)的定义域为R, 所以g(x)为奇函数， 令p(x)=E 即y=f(x一1)为奇函数，得证. (5分) 则p'()=g(x一D 2etl 2)由题设f(x)=a一(e+1) 当0<x<1时，p'(x)<0,p(x)单调递减， 2 当1<x<2时，p'(x)>0,(x)单调递增，(12分) e++1 r*十2 又因为当x→0时，p(x)十∞，p(1)=e,p(2)= 2 e2 ≥a 2 (8分) 2 (13分) e+十2 所以若g(x)在(0,2)上有2个极值点，则需满足e axt 当且仅当e1=即x=一1时取等号， 综上所述，若函数g(x)在(0,2)上有两个极值点，则 所以f(x)的导函数的最小值为a一之 (9分) a的取值范围为(e,号)》 (15分) (3)因为f(x)恰有三个零点， 2 17.解：(1)设与x十y=0平行的直线与g(x)相切于点 所以g(x)=f(x-1)=ax十e千-1恰有三个 M(zo,1-In o), 零点， 由题得g(x)=- 显然g(0)=0,又g(x)为奇函数， x 所以只需保证在（一∞，0）和(0，十∞)上各有一个零 则g'(x)=-1=-1, 点即可， (12分) 2 解得x0=1, (3分) 令g(x)=0,则ax=1一e十1' 则M(1,1)到直线x十y=0的距离最短， 2 最短距离d=山十山-反. (5分) 即y=ar与9(w）=1-e有在(-0,0)和(0， 十∞)上各有一个交点， (2)由f(x)-g(x)=lnx-ax2≤-x, 从而a≥+恒成立， 因为g(x)=(e十1)≥0， x 所以p(x)在R上单调递增， ·42· 高三一轮复习B ·数学· 又g(-=1e1=9. =2 设g(x)=1+n正， 所以o(x)为奇函数， 由(1)得g(x)在区间(0,1)内单调递增，在区间 2er 令h(x)=(e+1)' (1,十∞)内单调递减， 则h'(x)=2e(1-e) 又g(）=0gD=1,当>1时，g(x)>0, (e+1), 且当x→十o∞时，g(x)→0： 显然在(-∞，0)上h(x)>0,h(x)单调递增： 当x→0时，g(x)→-oo, (8分) 在(0，十o∞)上h'(x)<0,h(x)单调递减， 综上，©(x)在R上单调递增，但递增速率先变快后 所以当0<a<1时，方程+血=a有两个不同 变慢， 的根， 则(x)的大致图象如下图所示： 即方程十山工=1有两个不同的根， ax 故a的取值范围是(0,1). (10分) (i)不妨设x1<x2, y=ax 则0<x<1<,且n西-ln十1 y=o(x) 设h(x)=g(x)- () =1+In z -x(1-lnx),x∈(0，十∞)， 则'()=一lhr+1nx=nx· T2 >0, 又y=ax与p(x)都过原点，且原点处o(x)的切线 所以h(x)在区间(0，十∞)内单调递增， 斜率为p0)=合： (15分) 又h(1)=0, 则结合图象知，当0<a<乞时，y=ax与g(x)=1 所以h(x1)=g(x1) g(})<0, 在(-∞，0)和(0，十∞)上各有一个交点， 2 即()g()》 (13分) 所以a的取值范围为(0，号)）： 又g(x2)=g(), (17分) 所以)<(）： (14分) 19.解：1)当a=1时，f(x)=1+ln2,x∈(0，十o), 则f(x)=-lnx, 又>1，子>1，g()在区间1，+0)内单调 x2 递减， 由(x)=0,解得x=1. (2分) 所以当0<x<1时，f(x)>0,f(x)单调递增： 所以>六即五>引 当x>1时，f(x)<0,f(x)单调递减， 又x≠x2, 所以∫(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区 所以x异十x>2x1x2>2,得证. (17分) 间为(1，十∞). (5分) (2)(1)由1+lh2=1,得+ln2=a,a≠0， ax x ·43·高三一轮复习周测卷/数学 (八)函数与导数的综合应用 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.一质点A沿直线运动，其位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)=t2十2，则质点 A在t=3s时的瞬时速度为 A.11 m/s B.8 m/s C.6 m/s D.号m/s 2.已知f()为可导函数且满足1imf(3+2△x)-f(3》=4,则曲线y=f()在点(3，f(3)处的切 △x 线的斜率是 A.1 B.2 C.3 D.4 3.若1为函数f(x)=(x一1)(x一a)的极大值点，则实数a的取值范围是 A.(-0∞，0) B.(-o∞，1) C.(1,+o∞) D.(0,1)U(1,+∞) 4,若函数f(x)=2x一3-nx在(1,3)上不单调，则实数t的取值范围为 A.(2,7) B.(7,十∞) C.[7,+o∞) D.26,7 5.函数f(x)=cosx+3x-3的图象大致是 A D 6.若函数f(x)=2-1+a工在（一∞，-2）上存在零点，则实数a的取值范围是 A.(0,) B.(-∞，0) c.(-o,) D.(径，+∞ 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 1 7.已知a=sin3b=ln2,c=3,则 3 A.c<b<a B.a<c<b C.a<b<c D.b<a<c 8.某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A点、B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直 方向的高度差为40.两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分 (该三次函数在A,B两点处取得极值)，考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成 45°的夹角，则A,B两点在水平方向的距离约为 A A.30m B.40m C.60m B D.120m 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.对于定义在R上的可导函数f(x),f(x)为其导函数，则 A.使得f(x)=0的x一定是函数的极值点 B.“f(x)在R上单调递增”是“f(x)>0在R上恒成立”的必要不充分条件 C.函数f(x)在给定的区间[a,b]上必存在最值 D.若f(x)在R上存在极值，则它在R上一定不单调 10.Sgm0d函数S(=1中。是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用 作神经网络的激活函数.记S(x)为Sigmoid函数的导函数，则 A.S'(x)=S(x)[1-S(x)] B.Sigmoid函数是单调递减函数 2024 C.函数S(x)的最大值是 [S(k)+S(-k)]=2025 f(x)g(,则 11.已知定义在[a,b]上恒正且可导的函数f(x)与g(x)满足f(a)>g(a)·f>g( A.f(b)g(a)>f(a)g(b) B.f(b)g(a)<f(a)g (b) C.f(x)>g(x)恒成立 D.f(x)与g(x)的大小关系无法确定 班级 姓名」 分数 题号 1 4 5 6 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知函数f(x)=x(x一c)2一2025在x=2处有极小值，则c= 13.若曲线y=ln(x-一2)十4在x=3处的切线也是曲线y=x2一3x十a的切线，则a= 高三一轮复习周测卷八 数学第2页（共4页） ® 14.人教A版《数学必修第二册》第102页指出，“以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， 其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥(circularcone).”若一个直角三角形的斜 边长为√3，则按以上步骤所得到圆锥的体积的最大值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=lnx十1，g(x)=是，其中a为常数. (1)求f(x)在x=1处的切线方程； (2)若3x∈(0，十∞)，使f(x)≤g(x)成立，求a的最小值. 16.(本小题满分15分) 已知函数fx)=2g+alnc十2. (1)若a>0. (i)求f(x)的极值； (i)求证：f(x)>0; (2)若函数g(x)=号-f(x)在区间(0,2)上恰有2个极值点，求a的取值范围. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=1一ax2,g(x)=1一lnx. (I)求函数y=g(x)图象上的点到直线x十y=0的最短距离； (2)若f(x)一g(x)≤一x恒成立，求a的取值范围. 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ax千。++十a一1(x∈R) (1)证明：y=f(x一1)为奇函数； (2)求f(x)的导函数的最小值； (3)若f(x)恰有三个零点，求a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=1+1血工，其中e为自然对数的底数. ax (1)当a=1时，求f(x)的单调区间： (2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2: (i)求a的取值范围； (iⅱ)证明：x号+x>2. 轮复习周测卷八 数学第4页（共4页） ®