(2)一元二次函数、方程和不等式-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（A）

高三一轮复习周测卷/数学 (二)一元二次函数、方程和不等式 (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合A={x-x2十2x十3≤0}，B={1,2,3,4,-1,-2},则A∩B= A.{4,-2} B.{3,4,-1,-2} C.{xx≥3} D.{xx≤-1} 25 2.设x>0,y>0,且x+4)=30,则4zy千25的最小值是 A品 B号 c号 D.2 3.已知一次函数y=ax十b的图象如图所示，则二次函数y=ax2十bx的图象可能是 D 4.河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富 的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展.河南某连锁酒店 截止到2025年9月底共有500间客房，2025年国庆期间，若每间客房每天的定价是200元，则 均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤10，x∈Z),则被租出 的客房会减少15x套.若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每 间客房每天的定价应为 A.250元 B.260元 C.270元 D.280元 5.已知关于x的方程x2+2(m一2)x十m+4=0的两根为x1,x2,且两根的平方和比两根之积大 21,则m的值为 A.-1或17 B.1或-17 C.-1 D.17 6.已知实数a为常数，且a≠0，a≠1，函数y=(ax一1)(x一a).甲同学：y>0的解集为（一o∞，a)U (合十∞：乙同学：<0的解集为（一©，a)U(合十∞）：丙同学：函数图象的对称轴在y轴右 侧.在这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，则α的取值范围为 A.(-∞，-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞) 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 7,已知关于x的不等式ax十20x十4<0的解集为(m,),其中加<0，则6一号的取值范围为 A(+∞ B.(2,十o∞) C.[2,+oo) x2-x-2>0 8.已知关于x的不等式组 的整数解的集合为{一2}，则实数k的取值范 2.x2+(2k+5)x+5k<0 围为 A.(-3,2) B.[-3,2) C.(-3,2] D.[-3,2] 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知a>b>c>0,则下列不等式一定成立的是 A.ac2026>bc2026 B. 1 1 a2025b2025 C.a-atc ·bb+c a->6方 a 10.已知正实数a,b满足ab+a十b=8,则 A.ab的最大值为4 B.a+b的最小值为2 C.a+2b的最小值为6√2-3 D,+云的最小值为1 a 11.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中 的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在Oxy平面上，把与定点M(一a,0),N(a,0)距离之 积等于a(a>0)的动点的轨迹称为双纽线2.若P是该双纽线2上的一个动点，则 A.双纽线2关于坐标轴对称 B.点P的横坐标的取值范围是[一a,a] C.OP2的最大值是2a D.PM+|PN|的取值范围是[2a,2√2a] 班级 姓名」 分数 题号 1 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.不等式+1)(5(x+2)≥0的解集为 (x-1)5 13.已知一1<x十y<3,2<x-y<4,则x的取值范围是 ,2x十y的取值范围是 (本题第一空2分，第二空3分) 14.已知m<<0,则8n一2m的最大值为」 m十nm-n 高三一轮复习周测卷 数学第2页（共4页） 囚 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知二次函数f(x)满足f(0)=0,请从下列①和②两个条件中选一个作为已知条件，完成下面 问题. ①f(x+2)=f(x+1)+2x+1;②不等式f(x)<x+4的解集为(-1,4) (1)求f(x)的解析式； (2)若f(x)的图象在区间[一2，m]上的值域为[一1,8]，求实数m的取值范围. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16.(本小题满分15分) 已知正数a,b,c满足a十b十c=2. (1)若c=1,证明：√a十√b≤√2； (2)证明：a2+B+c2≥a+b)2+(b+c)2+(c+a) 4 4 4； (3)求√a2+b+√b+c2+√a2+c2的最小值. 17.(本小题满分15分) 某企业于2025年初引入新设备，采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利 用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月 处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为)y一-20x十8000，且每处理一吨二氧化 碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元 才能使该单位不亏损？ 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 18.(本小题满分17分) 设函数f(x)=m.x2-nx-6十m. (1)若对于m∈[一2,2]，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围； (2)若对于Hx∈[1,3]，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围； (3)解关于x的不等式mx2+(1-m)x+m-2<m-1(m∈R). 19.(本小题满分17分) 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数 y=[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.2]=1，[-1.2]=-2. (1)求- ≤[x]≤号的解集和2[x]2-11[x]+15≤0的解集： (2设方程[x-门 0的解集为A,集合B={x2x2-11kx+15k≥0}，若AUB=R,求k 的取值范围； (3)若[x]2-2[x]-a2+1≤0的解集为{x|0≤x<3},求a的取值范围. 三一轮复习周测卷二 数学第4页（共4页） 囚高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（二） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 解一元二次不等式， 1 选择题 易 0.90 交集运算 由基本不等式求积 选择题 易 0.82 的最值 二次函数图象的 3 选择题 5 识别 易 0.72 一元二次不等式的 4 选择题 5 中 0.65 实际应用 一元二次方程的根 5 选择题 5 / 中 0.62 与系数的关系应用 与一元二次不等式、 6 选择题 二次函数有关的逻 中 0.60 辑题 由一元二次不等式 的解集求参，由基本 选择题 5 中 0.50 不等式求和式的 最值 不等式组的整数解 8 选择题 5 中 0.35 问题 9 选择题 不等式的性质 易 0.75 由条件等式结合基 10 选择题 6 中 0.55 本不等式求最值 利用基本不等式解 11 选择题 6 中 0.30 决几何问题 12 填空题 5 解分式、高次不等式 易 0.75 利用不等式的性质 13 填空题 5 求代数式的取值 中 0.60 范围 ·7 ·数学· 参考答案及解析 利用基本不等式求 14 填空题 5 分式型代数式的 / 中 0.35 最值 求二次函数的解析 15 解答题 13 式，由二次函数的值 L 易 0.72 域求参 利用基本不等式证 16 解答题 15 中 0.55 明不等式及求最值 基本不等式的实际 17 解答题 15 中 0.50 应用 一元二次不等式恒 18 解答题 17 成立问题，解含参的 / 中 0.45 一元二次不等式 与一元二次不等式 19 解答题 17 难 0.28 有关的新定义题 香考誉案及解析 一、选择题 为x7十x=xx2十21，所以(x1十x2)2=3x1x2十21， 1.B【解析】易求得A={xx≤-1或x≥3}，所以A 所以4(m-2)2=3(m2+4)+21,即m2-16m-17= ∩B={3,4,-1,-2}.故选B. 0,解得m=-1或m=17(舍)，所以m=-1.故选C. 2.A【解析】因为x,y>0,所以x+4y≥4√xy,即30 6.C 【解析】若甲正确，则a>0,且>a,所以。<1， ≥4V四，所以<要，当且仅当x=4且x十 则0<a<1:若乙正确，则a<0,且a<1,所以a> =30,即=15y-只时等号成立，所以行云≥ 25 a 十a 22故选A 25 1,故a<一1；若丙正确，则对称轴为x= 2 3.D【解析】由一次函数的图象可知a<0,b>0,所以 1十a>0,所以a>0,因为只有一个同学的论述是错 2a 二次函数y=ax2十bx的图象开口向下，且对称轴为 误的，只能是乙错，所以0<a<1.故选C. 直线=一会>0，故选D .A【解析】因为m和青是方程ax2十26r十4=0的 4.C【解析】依题意，每天有(500-15x)间客房被租 出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为(500-15x)· a,mx4=4 两个根，由韦达定理可得m十4=一2弘 m a (200十10x)=-150x2+2000.x十100000.因为要使 该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，所 4=1满足题设.将4=1代人m十音=一兰得到 以-150x2+2000x+100000>106600,即3x2 4 m =-26,即6=-合(m+),则6- a 40x+132<0,解得6<x<号.因为1<r<10且x6 (m+ ）-(m+】 因为n<0,则一m Z,所以x=7,即该连锁酒店每间客房每天的租价应 定为270元.故选C. 5.C【解析】因为关于x的方程x2十2(m一2)x十m ≥0，根据基本不等式-加十≥2√一mX 十4=0的两根为x1,x2,则△=4(m-2)2-4(m2十4) ≥0，即n≤0，x1十x2=-2(m-2),x1x2=m2十4，因 =4,当且仅当一m=”即m=2时取等号.又当 ·8· 高三一轮复习A ·数学· m=一2时，n=年，不符合题意，所以等号取不到，所 2√房·26+D-8=6E-3,当且仅当品 9 以m十品<-4，则-是(m十乐)>2.设1 2(6+1),即6=32 2 1时取等号，C正确；对于D, 号(m+品)，则>2,6-号=4一÷因为函数y 由A知0<ab≤4，故1十6=8名=8一a6=8 ab ab ab =1在(2，十∞)上单调递增，所以y=1-}>2 t 1>-1-1,当且仅当a=6=2时取等号，D正确。 日-多，即6一会>是，即6一号的取值范国是 故选ACD. 11.ACD【解析】设P(x,y)是双纽线2上任意一点， (号，十∞）故选A 根据双纽线的定义得√(x十a)十y· 8.B【解析】由x2-x-2>0,可得x>2或x<-1;由 √(x-a)十y=a2,整理可得双纽线2的方程为 2x2十(2k+5)x十5k<0,可得(2x+5)(x+k) x+y2十a2=a√/4x十a,对于A,将x换成-xy 0().①若-k<-号，即k>号，则由()，可得-大 换成一y,方程均不变，故双纽线Ω关于坐标轴对称， <x<一号，此时原不等式的解集为（一k,-号），显 故A正确；对于B,方程x2十y十a2=a√4x2十a整 理可得y2=√a+4ax-x2-a2,由y≥0可得 然不符合题意：@若k=号，则由()，可得x∈心， √/a+4a'x2-x2-a2≥0，即x-2a2x2≤0，解得 显然不符合题意：③若<号，则由()，可得一号< 一√2a≤x≤2a,故B错误；对于C,|OP|2=x2+y =√a+4ax-a,因为-√2a≤x≤√2a,所以x x<一k,此时要使不等式组的整数解的集合为 {一2}，须使一2<一k≤3，即一3≤k<2.综上可得， ≤2a2,所以√a+4ax-a2≤2a2,即|OP12≤2a2, 实数k的取值范围为[一3,2).故选B. 故C正确；对于D,√(x十a)+y+√(x一a)'+y 二、选择题 ≥2√/√(x+a)2+y严.√x-a)+y=2a,当且仅 9.ABD【解析】对于A,因为c22>0,a>b,所以 当√/(x+a)+y=√(x-a)+y,即x=y=0时 ac2o2s>bc2o2s,故A正确；对于B,因为a>b>0,所以 取等号，（√x+a)+y+√/(x-a)+y)=(x 0<日<行所以<点故B正确：对于，因 十a)2十y2+(x-a)2+y2十2√(x+a)+y· 为号-g=atat-8义a √/(x-a)2+y2=2(x2+y2)十2a2+2Xa2≤2X b(b+c) b(b+c) >≥6>>0，所以88>0，即号>放C不正 2a2十4a2=8a2,所以√/(x+a)+y+ √(x-a)+y≤2√2a,所以|PM|+|PN|的取 确：对于D.因为<名所以->古又。>6： 值范围是[2a,2√2a],故D正确.故选ACD, 三、填空题 所以a一}>合放D正确故选AD 12.(-∞，-2]U{-1}U(1,5]【解析】因为 10.ACD【解析】因为ab十a十b=8,则(a+1)(b+1) (x+1)(5-x)x十2)》≥0，所以 (x-1)5 =9,对于A,8=ab十a十b≥ab十2√ab,当且仅当a (x+1)2(5-x)(x+2)3(x-1)5≥ =b=2时取等号，于是ab十2√ab-8≤0，解得0< ,即 (x-1)i≠0 ab≤4，因此ab的最大值为4，A正确；对于B,9= (x十1)(x-5)(x十2)3(x-1)5≤0 (a+1)(b+1)≤(+16+1)‘，当且仅当a=b=2 由高次不等 (x一1)5≠0 式的性质可知，不等式的解集为（一∞，一2]U 时取等号，则a十b>4,B错误：对于C,a=十1， {-1}U(1,5] 则a+20=是-1+26=片+26+1)-3≥ 18.(分2）(-号婴) 【解析】：-1<x十y< ·9 ·数学· 参考答案及解析 3,2<-4,1<2x<1,即号<x<名，又2x+ 16.解：(1)因为正数a,b,c满足a十b+c=2, 若c=1,则a十b=1, .2 可得6+6)≤(w后》+(6)'=a+6=1, 2 号(+)+合(x)<号+2.即2红+ (3分) ∈(-32) 当且仅当后-6，即a=b=之时等号成立， 14.一1【解析】令m十n=x<0,m-n=y<0,则m= 所以√a十b≤2 (5分) (2)由基本不等式得(a十b)2=a2+b十2ab≤a2十b =之，则。一2m 8.x-y 2 +a2十b2=2(a2+b2),当且仅当a=b时取等号， m-n (7分) 2.+y 2-4x4-十y=4-4y-1-=3 同理(b十c)2≤2(6+c2),(c十a)2≤2(c2十a), y y 三式相加得(a十b)2十(b十c)2十(c十a)2≤4(a十b (g+号)≤9-2·子=-1.当且仅当丝 十c2),当且仅当a=b=c时取等号. 则a2+6+c'≥a+b)'+b+c)+c+a) 兰时等号成立，故2”的最大值为-1. 4 4 4 n十n7-n (9分) 四、解答题 (3因为a+≥a+b),当且仅当a=b时等号 15.解：(1)设f(x)=ax2+bx十c(a≠0)， 2 由f(0)=0,得c=0, 成立， 即f(x)=ax2+bx(a≠0)， (1分) 即T石≥竖(a+b. 若选择①： 则a(x十2)2+b(x十2)=a(x十1)2十b(x十1)+ 同理可得+≥号a+0V中≥号6+0. 2x+1, (11分) 即2ax十3a+b=2x十1， (4分) 则2a=2,3a十b=1, 所以v公+7+6+7+后+7≥竖(2a+2b 解得a=1,b=-2, +2c)=2√2， (13分) 即f(x)=x2-2x. (7分) 若选择②： 当且仅当a=6=c=号时等号成立， 则不等式a.x2十(b-1)x一4<0的解集为 所以√a++√仔+c+√a2+c的最小值为2E. (-1,4),即a>0, (15分) 且方程ax2十(b-1)x-4=0的两根为-1和4， 17.解：(1)由题意可知每吨二氧化碳的平均处理成本 则(-1)+4=-2，(-1)×4=二4 (4分) a 为之-号+800 x x -200(400≤x≤600)， 解得a=1,b=-2, 因为受+800 -200≥2 x 80000 200= 即f(x)=x2-2x. (7分) x (2)由(1)知，函数f(x)=x2一2x的图象开口向上， 200, (6分) 对称轴为直线x=1,且f(1)=一1，f(-2)=8, 当且仅当受-8000，即x=40时等号成立， x 若f(x)在[-2，m]上的值域为[-1,8]， 所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处 则m≥1， (10分) 理成本最低. (8分) 令x2-2x=8,解得x=-2或x=4, (2)该单位每月的获利 根据二次函数的图象知，m≤4， 综上所述，实数m的取值范围为[1,4].(13分) f(x)=100x- 2 x2-200x+80000） ·10· 高三一轮复习A ·数学· =-号(x-30)2-350, (11分) 综上所述，当m<-1时，关于x的不等式解集为 因为400≤x≤600，函数f(x)在区间[400,600]上 (-∞，-a儿1，+)： 单调递减， (12分) 当m=一1时，关于x的不等式解集为 从而得当x=400时，函数∫(x)取得最大值， (-o∞，1)U(1,+∞)： f(x)mx=f(400)=-40000, 当-1<m<0时，关于x的不等式解集为 所以该单位每月不能获利，国家至少需要补贴 40000元才能使该单位不亏损。 (15分) (-0,1U(-a+): 18.解：(1)设f(x)=g(m)=x2-mx-6十m=m(x2 当m=0时，关于x的不等式解集为(-∞，1)： -x十1)-6， 当0>0时，关于x的不等式解集为（一六1）。 则g(m)是关于m的一次函数，且一次项系数为x -+1=(-合）+2>0， (17分) 19.解：(1)由题意得[x]≤x<[x]十1，且[x]∈Z, 所以g(m)在[-2,2]上单调递增. (2分) 由-号<x]<号，即-2≤[]<2， 所以g(m)<0恒成立等价于g(2)=2(x2-x+1) -6<0, 所以-2≤x<3, 解得-1<x<2, 故-号<[x]≤号的解集为{-2≤x<3): 故实数x的取值范围为（一1,2）· (4分) (2分) (2)要使f(x)=mx2-mx-6+m=m(x2-x十1) -6<0在[1,3]上恒成立， 由2[x]-11[x]+15≤0， 即m(x2-x+1)<6,x∈[1,3]， 即([x]-3)(2[x]-5)≤0， 因为当x∈[1,3]时，x2-x+1∈[1,7]， 所以号<[x]≤3，则[=3， 6 则有m<-x+行在[1,3]上恒成立， 所以3≤x<4, [%6] 所以2[x]2-11[x]十15≤0的解集为 {x|3≤x<4}. (4分) 则m<号， 2[-门=，则0≤-<1 故实数m的取值范围为(-∞，号) (9分) 则一 <<是，即A=(-) (5分) (3)由mx2+(1-m)x十m-2<m-1, 化简得1x2十(1-m)x-1<0, 令2x-1x+15k=0,得=3=名 即(x十1)(x-1)<0, (10分) 当k=0时，B=R,此时AUB=R,成立：(7分) 当m=0时，x-1<0,解得x<1. (11分) 当m>0时，对于不等式(mx十1)(x-1)<0,解得 当k<0时<，此时B=(-o,3]U[2,十)， -<<1, 又AUB=R, (12分) (k<0 当-1<m<0时，对于不等式(x十1)(x-1)< 1 0,解得<1政>六 则3≥-乞，解得-名<k<0: (9分) (13分) 当m=-1时，对于不等式(mx十1)(x-1)<0,解 得x<1或x>1, (14分) 当k>0时，x1>x2,此时B= 当m<-1时，对于不等式(mx十1)(x-1)<0,解 (-o,号]U[3k,+o), 得>1或K品 (15分) 又AUB=R, ·11· ·数学· 参考答案及解析 k>0 由([x]+a-1)([x]-a-1)≤0， 1 解得1-a≤[x]≤1十a, 则 ，解得0<≤， (10分) 因为不等式的解集为{x|1-a≤[x]≤1十a}= 3≤号 {x|0≤x<3}={x|-1<[x]<3}, 1-1<1-a≤0 综上所述，一 所以 ,解得1≤a<2: (15分) (2≤1+a<3 即长的取值范周为[-言之] (11分) ③若a<0,1十a<1-a, 由([x]+a-1)([x]-a-1)≤0， (3)不等式[x]2-2[x]-a2+1≤0， 解得1十a≤[x]≤1-a, 即([x]+a-1)([x]-a-1)≤0， 因为不等式的解集为{x|1十a≤[x]≤1-a}= 由方程([x]十a-1)([x]-a-1)=0, {x|0≤x<3}={x|-1<[x]<3}, 可得[x]=1-a或1十a. -1<1+a≤0 ①若a=0,不等式为[x]-2[x]十1≤0， 所以 ,解得-2<a≤-1， 12≤1-a<3 即[x]=1, 综上所述，-2<a≤-1或1≤a<2, 所以0≤x<1,显然不符合题意； (13分) 故a的取值范围为(-2，一1]U[1,2).(17分) ②若a>0,1-a<1十a, ·12·