(7)导数的应用(单调性、极值、最值)-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习周测卷（B）

高三一轮复习周测卷/数学 (七)导数的应用（单调性、极值、最值） (考试时间120分钟，满分150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知函数y=f(x),x∈R的导数是y=f'(x).对于如下两个命题：①“函数y=f(x)在R上是严 格增函数”是f(x)≥0的充分不必要条件；②“函数y=f(x)在R上是严格增函数”是f'(x)>0 的必要不充分条件.下列判断正确的为 A.①与②均为真命题 B.①与②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 2.已知函数f(x)=2x3-ax2+7的单调递减区间是(0,2)，则a= A.6 B.3 C.2 D.0 3.已知函数f(x)=lnx十a(a∈R)的最小值为1，则a= 日 B.e c D.1 4.已知函数f(x)=x十aln(x一1)有极值点，则实数a的取值范围为 A.(-∞，0] B.(-∞，0) c.(o,2) n(-,】 5.已知函数f(x)=e+x2十a.x在区间(0,1)内有最小值，则a的取值范围是 A.(-e,-1) B.(-1,0) C.(-e-2,-1) D.(-e,0) 6.已知函数fx)=,则)()()的大小关系为 Af(-f-)f2) B.f-)<f)f-) c.f2f(-)<f(-3) Df(3)f()<f2 7.已知定义在(0，十o)上的函数f(x),f(x)是f(x)的导函数，满足xf(x)一2f(x)<0,且f(2) =4,则不等式f(2x)-4>0的解集是 A.(0,1) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(-∞，1) 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·后 8.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数 运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数， 称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数f(x)=logx(a>0,且a≠ 1)的反函数为f1(x)=ar(a>0,且a≠1).已知函数g(x)=e,F(x)=x2十kg1(x),若对任意 >>0,有F,）-F(>2026恒成立，则实数的取值范围为 x2一C1 A.(4×506.52,+c∞) B.(2×506.52,+∞) C.[4×506.52,+o∞) D.[2×506.52,+o∞) 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知f'(x)是函数f(x)的导函数，'(x)的图象如图，则 y个 y=f(x) A.f(x)在(-∞，1)上单调递减 B.f(x)在x=1处取得极小值 C.f(-1)=0 D.f(x)在x=2处取得极小值 10.已知函数f(x)=2x3一a.x,则 A.Ha∈R,f(x)为奇函数 B.若f(x)在R上单调递增，则a≤0 C.3a∈R,使得f(x)恰有一个极值点 D.3a∈R,使得f(x)恰好有2个零点 1l.设函数f(x)=sin(2x+）)十sin2x,则 A.函数f(x)的最大值为2 Bf()在区间（一否}上有两个极值点 C.f(r)+f-z)-0 D.立线)一3x十是曲线y=∫c)的切线 班级 姓名」 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设函数f(x)=axb(a>0且a≠1)的定义域为R,f(-x)=f(x),当x>0时，f(.x)>0,写 出一个满足上述条件的有序实数对(a,b)= 13.若函数f()=-号lnz十1在其定义域内的一个子集(2a-1,a十2)内存在极值，则实数a的 取值范围为 高三一轮复习周测卷七 数学第2页（共4页） ® 14.2025年春节期间，某小店的某款春联日销售量y(单位：套)与销售价格x(单位：元/套)满足的 函数关系式为y=十3（一8，其中x∈(38），m为常数。当销售价格为5元/套时，每日 可售出30套. (1)实数m= (2)若商店销售该商品的销售成本为每套3元（只考虑销售出的套数），当销售价格x= 元/套时，日销售该商品所获得的利润最大.（精确到0.1）（本题第一空2分，第二空 3分) 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 巳知函数f(x)三千在点，f)处的切线与直线x十4y一2026=0垂直 (1)求a的值； (2)求f(x)的单调区间和极值； (3)求f(x)在区间(-1,5)上的最值. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=ax3+bx2十cx在x,处取得极大值5，其导函数y=f(x)的图象经过点 (1,0),(2,0),如图所示. (1)求x的值； (2)求a,b,c的值； (3)求函数f(x)在区间[一1,3]上的最大值和最小值. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=√元(x2一ax). (1)若f(x)在(1,3)上单调递减，求a的取值范围； (2)若f(x)在区间[0,2]上的最小值为-号求a的值。 18.(本小题满分17分) 已知函数fx)=2kx2-4nx,g(x)=ln若，其中x∈(0，e],k>0. (①)若y=f(x)+号：在x=1处取得极值，求k的值： (2)讨论函数f(x)的单调性； (3)若对任意x1,x2∈(0，]，当k>1时，不等式f(x1)>g(2)十4恒成立，求k的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e一kx2,x∈R. (1)若f(x)在区间(0，十∞)上单调递增，求k的取值范围； (2)若k=2,求证：当x∈(0，十∞)时，f(x)>1: (3)求证：（层+1×（是+1×（导+1·…·(2+1<c(∈N). 三一轮复习周测卷七 数学第4页（共4页） B高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习周测卷/数学（七） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ⅢV ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 函数单调性与充要 1 选择题 易 0.82 性的综合 由函数的单调区间 选择题 易 0.75 求参 由函数的最值求参 3 选择题 5 中 0.65 数的值 由函数存在极值点 4 选择题 5 中 0.60 求参数范围 由函数存在最值求 5 选择题 5 中 0.55 参数范围 6 选择题 5 利用导数比较大小 中 0.50 利用导数解抽象不 选择题 中 0.40 等式 导数新定义，双变量 8 选择题 5 难 0.25 问题 由导函数图象研究 9 选择题 6 易 0.75 函数的性质 利用导数研究三次 10 选择题 6 中 0.40 函数的性质 11 利用导数研究三角 选择题 6 难 0.28 函数的性质 与导数有关的举 12 填空题 易 0.72 例题 由函数存在极值 13 填空题 中 0.55 求参 利用导数解决利润 14 填空题 5 中 0.35 最大问题 求函数的单调区间 15 解答题 13 0.72 和极值、最值 ·33· ·数学· 参考答案及解析 由函数图象求解析 16 解答题 15 式，利用导数求函数 / / L 中 0.55 的最值 由函数单调性及最 17 解答题 15 中 0.45 值求参 由极值求参，讨论函 18 解答题 数的单调性，不等式 中 0.35 恒成立问题 19 解答题 17 导数的证明问题 难 0.28 叁考答案及解析 一、选择题 1.A【解析】因为函数y=f(x)在R上是严格增函数， 1)=e+2+00.解得-c-2<a<-1.故 f(0)=1+a<0, 所以f(x)≥0，所以命题①的充分性满足；取f(x) 选C. =1,有f(x)=0,符合f(x)≥0，但是不符合y= 6.B【解析】由题得f(x)是偶函数，f(x)在 f(x)在R上是严格增函数，故命题①的必要性不满 (0,1)上单调递增，令g(x)=n工，x>e,则g'(x) 足，所以①为真命题.因为函数y=f(x)在R上是严 格增函数，所以了(x)≥0，所以命题②的充分性不 =1一ln工<0，函数g(x)在(e,十o∞)上单调递减， 满足；由f(x)>0可得函数y=f(x)在R上是严格 增函数，故命题②的必要性满足，所以②为真命题.故 故g(e)>g(3)>g(4)>g(5),即上>h3n4 e 3 4 选A. 2.A【解析】由f(x)=2x3一ax2十7，可得f(x)= >>0,面=12，所以f()>f(） 5 6x2-2ax,由于f(x)的单调递减区间是(0,2)，故x =0和x=2是f(x)=6x2-2ax=0的两个根，故 >f(,所以f(-)<f(2)< 24-4a=0,解得a=6,经检验，当a=6时满足题意 r(- 故选A. )故选B 3.D【解析】由题得f(x)的定义域为(0，十∞)，f(x) 7.D 【解析】设g(x)=C四，则g(x) =子-号-2，当a≤0时fx)>0在0，+∞) xf(x)-2f2,因为x>0,xf(x)-2f(x)<0,所 x 内恒成立，所以函数f(x)在(0，十∞)上单调递增，此 时f(x)无最小值：当a>0时，由f(x)>0,得x>a, 以g'(x)<0,可得g(x)在(0，十∞)上单调递减，不 由f(x)<0,得0x<a,所以函数f(x)在(0，a)上 等式f2)-4>0,即f22>1=f22,即f22 4 4 (2)2 单调递减，在(a,十∞)上单调递增，故当x=a时， f(x)取最小值，即f(x)min=f(a)=lna十1=1，解 >2,所以g(2)>g(2),因为g(x)在 得a=1,故选D. (0,十∞)上单调递减，所以2<2，解得x<1,所以 4.A【解标】由题得了(x)=2x十 不等式的解集为(-∞，1).故选D. 8.D【解析】依题意，g(x)=lnx,则F(x)=x2十 2x-2x+4,x>1,f(x)有极值点，即f(x)=0有 x-1 lnx,当>m>0时，不等式F(x）-F() x2一x1 实数根，即2x2一2x十a=0有实数根，因为函数y= 2026等价于F(x2)-2026x2>F(x1)-2026x1,即 2x-2x十a的对称轴为x=号，所以函数在区间 +kIn x2-2 026x2>x+kln x-2 026,h(x) =x十klnx-2026x,于是对任意x>x1>0,h(x) (1,十o∞)有零点，只需满足2×12-2X1+a<0,解 >h(x1)恒成立，即函数h(x)在(0，十o)上单调递 得a<0.当a=0时，f(x)=x2,有极值点，所以a≤ 0.故选A. 增，则Vx∈(0，十∞）)，'(x)=2x十-2026≥0，即 5.C【解析】由已知得f(x)=e十2x十a,显然 k≥-2x2十2026x恒成立，则k≥(-2x2+ f(x)单调递增，要使∫(x)在区间(0,1)内有最小 2026x)mx,又-2x2+2026x=-2(x-506.5)2+2 值，则子(x)在区间(0,1)内有变号零点，则 ×506.52≤2×506.52，当且仅当x=506.5时取等 ·34· 高三一轮复习B ·数学· 号，则k≥2×506.5，所以实数k的取值范围为[2× 三、填空题 506.5,十∞).故选D. 12.(2,0)(答案不唯一，b取0，a取大于1的实数即可) 二、选择题 【解析】由f(-x)=|f(x)|,得a1-b1 9.ACD【解析】显然C正确；由已知，x<1时，f(x) a1b1,即a1+b1=alxl,则|x十b川=|x-b|, ≤0，因此f(x)在（一∞，1）上单调递减，A正确： 所以b=0.当x>0时，f(x)>0,则f(x)在 (1)≠0，且x=1两侧的导数都是负数，所以f(1) (0,十∞)上为增函数，当x∈(0，十0)时，f(x)= 不是极值，B错误；由f(2)=0,x<2时，(x)≤0， a,则a>1,可取a=2,可得满足条件的一个函数为 f(x)单调递减，x>2时，f(x)>0,f(x)单调递增， f(x)=2,此时有序实数对(a,b)为(2,0). 所以f(2)是极小值，D正确.故选ACD. 10.AB【解析】对于A,f(x)的定义域为R,f(-x) 13[宁，是)【解折】x)的定义域为0，十∞)，因 2(-x)3-a(-x)=-2x3十ax=-f(x),所以Ha ∈R,f(x)为奇函数，A正确；对于B,若f(x)在R 为函数x)=-号nx十1，所以f)=2x-是 上单调递增，则f(x)=6x2-a≥0恒成立，即a≤ -2x+1)2=D,则当0<x<时，f(x)<0, 2x 6x恒成立，故a≤0，B正确；对于C,若f(x)恰有一 个极值点，则f(x)=6x2-a=0有一个解，可得a f(x)单调递减：当x>时，f()>0,f(x)单调递 =0,此时了(x)=6x≥0恒成立，f(x)单调递增， f(x)无极值点，矛盾，故不存在a∈R,使得∫(x)恰 增，所以x=之是f(x)的极值点，因为f(x)在(2a 有一个极值点，C错误；对于D,f(x)=0即 2a-1≥0 x(2x2-a)=0,当a≤0时，f(x)恰有1个零点0； 当a>0时，f)恰有3个零点，即0，士√受，故无 -1,a十2)内存在极值，所以2a-一1<乞，解得号≤ 1 论a为何值，f(x)都不可能恰有2个零点，D错误. a+2>2 故选AB. 号，所以实数a的取值范固是[子是) 11.BCD【解析】由题意得f(x)=sin(2x+号)十 14.64.7 【解析】设∫(x)=3十3(x-8),x∈ sin2a=是n2z+停os2红-5sm(2x+若），对 (3,8),张题意f6)=3十3×(6-8)°=30，解 于A,函数f(x)的最大值为√5，A错误；对于B,当 6 x(-是)时，2x十号∈(0,2x),由正孩函数 得m=6,则f(x)= 3+3(x-8),x∈(3,8). 设商店日销售该商品所获得的利润为g(x),则由 y=sinu的图象可得y=(x)有2个极值点，B正 题可得g(x)=∫(x)(x-3)=6十3(x-8)2· 确：对于C,f(x)+(-z)=sin(2x+吾)+ (x-3)=3x3-57x2+336x-570,x∈(3,8).则 g'(x)=9x2-114x+336=3(x-8)(3x-14),当 万sin（-2x+告）=Fsim(2x+晋)+ 3<r<兰时g(a)>0,当号<r<8时，g() W3sim(-2x+2m-若）=√Bsin(2x+否) 0,所以g(x)在(3，兰)上单调递增，在（告8）上 5sim(2x+若)=0，C正确：对于D,f(x)= 单调递减，所以当x=兰时，g(x)取最大值，故当销 Vsim(2x+若)，则∫(x)=2cos(2x+否），令 售价格x= ≈4.7时，日销售该商品所获得的利 3 了()-3，得o(2x+晋)=号，所以2z十若 润最大 四、解答题 否+2x或2x+若=一吾+2km,k∈Z,解得x=元 15.解：(1)因为f(x)=十e, e-T, 或x=一吾+红，k∈么，所以函数y=f(x)在点 所以f（x)=2e1-(x2+a)e=2z-x2-4 (e-1)2 (0,)处的切线斜率为为=25c0s(0+晋)=3， 则f(1)=1-a, (2分) 切线方程为y一=3(x-0),即y=3x十，D正 因为函数∫(：)=在点(1()处的切线 与直线x十4y-2026=0垂直， 确.故选BCD. 故(1-a)×(-)=-1, ·35· ·数学· 参考答案及解析 解得a=-3. (4分) (2)由(1)得f(x)=-3 (2)由f)=号-名at(0≤≤2)， e1, f(x)=2xx+3=-(x-3)(x+1 令了(x)=0,则x=号或x=0, (7分) e-1 e (5分) 当a≤0时，f(x)≥0， 令(x)<0,得x>3或x<-1, .f(x)在[0,2]上单调递增， 令f(x)>0,得-1<x<3, (7分) 2 列表如下： ∴f(x)m=f(0)=0≠-子，不符合题意： x (-∞，- 1) 一1 -1,3) 3 (3,+o 当0<a<9时，0<0<2. (x) 0 0 则当0≤<号时，f(x)<0: f(x) 极小值 刀 极大值 故f(x)的单调递减区间为（一∞，一1）和 当<≤2时f(x)>0, (9分) (3,十∞)，单调递增区间为(-1,3)， (9分) f(x)在[0，]上单调递减，在(0,2]上单调 f(x)的极大值为f(3)=冬，极小值为f(-1) 递增， -2e. (10分) (3)由(2)知，(x)在区间（一1,3）上单调递增，在 ÷f(x)=f(0）=√[(g)-g] (3,5)上单调递减， 所以fx)的最大值为f(3)=号，无最小值。 解得a=子，符合题意： (11分) (13分) 16.解：(1)由图象可知在(-∞，1)上，f(x)>0: 当≥时号≥2， 在(1,2)上，f(x)≤0： 在(2，+∞)上，f(x)>0, 则当0<x<2时，f(x)<0, 则f(x)在（一∞，1），(2，十∞)上单调递增，在 .f(x)在[0,2]上单调递减， (1,2)上单调递减， ·f(x)m=f(2)=2(4-2a)=- 3 ∴.f(x)在x=1处取得极大值， ∴.x0=1. (4分) 解得a=2+2 ,不符合题意， (14分) (2),f(x)=3ax2+2ba+c,且f(1)=0,f(2) =0,f(1)=5, 综上a的值为号 (15分) 3a+2b+c=0 ∴.12a+4b+c=0, (7分) 18.解：(1)令1(x)=f(x)+32 x, (a+b+c=5 解得a=2,b=-9,c=12. (9分) 由题意f(x)=4kx-4 (3)由(2)得f(x)=2x3-9x2+12x, 由(1)可知f(x)在[一1,1)上单调递增，在 则1(x)=∫(x)+2=4hx-4+ 9 9, (1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，(12分) 又f(1)=5,f(3)=9,f(-1)=-23,f(2)=4, 由已知得1)=使-4+号=0， ∴.f(x)ax=f(3)=9,f(x)=f(-1)=-23, 、1 解得k=9· (3分) 即f(x)在区间[-1,3]上的最大值为9，最小值为 -23. (15分) 9 9x 17,解：(1由题得了()=号-是ax中， 易知在区间(0,1)上f(x)单调递减，在(1，e)上 :f(x)在(1,3)上单调递减， f(x)单调递增， ∴f(x)≤0在(1,3)上恒成立， (3分) 则函数f(x)在x=1处取得极小值，符合题意， 即a≥号x在(1,3)上恒成立， 因此=司 (5分) 由号r<×8=5 (2)由题意f(x)=4kx 4 (+)(-) ∴.a≥5， a的取值范围为[5，十o∞). (6分) 其中x∈(0，e],k>0, (6分) ·36· 高三一轮复习B ·数学· 当<c,即k>专时， 单调递减； 当x∈(1，十o)时g'(x)>0,即g(x)在 f(✉)在(o,）上单调减，在[]上单河 (1,十∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(1)=e, (5分) 增 (8分) 故2k≤e,解得≤号， 当e,即0<k≤时， 即兵的取值范围为(-，专] (6分) f(x)在(0，e]上单调递减， (10分) 综上，当0<k≤己时(x)在(0，e]上单调递减： (2)当=时fx)=e-子， 则f(x)=e-x, 当k>是时，f(x)在(0，)上单调递减，在 令h(x)=f(x)=e-x,x∈(0，十oo), 则h'(x)=e-1>0, (8分) [e]上单调递增， (11分) 所以h(x)(即f(x)在(0，十o)上单调递增， 所以f(x)>f(0)=1>0, (3)当>1>是时，由(2)可知当x= 时，函数 所以f)=e-r在(0，十o)上单调递增， f(x)取得最小值， 故f(x)>f(0)=1,得证. (11分) 即f(x)=f()=2+2h, (13分) (3)由(2)知对于x∈(0，+∞)，有e一 2x>1, 1 由g(x)=h若=lnx-lnk, 取x为2x有e2>2x2+1, 则ln(2x2+1)<2x,x∈(0，十∞)， (13分) 可得g(x)在(0，e]上单调递增， 即当x=e时，g(x)mx=g(e)=1-lnk,(15分) 取x=是(eN) 对任意x1,x2∈(0，e],当k>1时，不等式f(x1)> g(x2)十4恒成立， 从而有（层+）<是（∈N), (14分) 则必有f(x)m>g(x)mx十4， 即2+2lnk>1-lnk+4, 于是1（层+）+a(层+1)+（号+）+…中 解得k>e, (17分) (层+1)水是+会+是+…+号 所以k的取值范围是(e,十∞). 19.解：(1)因为f(x)=e-kx2, 2 所以f(x)=e-2kx, 依题意f(x)=e-2kx≥0在区间(0，十∞)上恒 =2+2[(1-)+(分3)++(1)] 成立， 即2k≤兰在区间(0，+∞)上恒成立· =4- (2分) <4， 设g()=号z∈(0，+o0. 所以（层+）×（层+）×（号+1·…· 则g'(x)=e(x-12 (是+1<e(n∈N). (17分) x22 故当x∈(0,1)时g'(x)<0,即g(x)在(0,1)上 ·37·