(20)椭圆、双曲线、抛物线-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（B）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (二十)椭圆、双曲线、抛物线 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知椭圆C:亏+若-1的一个焦点为(20)，则的值为 A.4 B.8 C.10 D.12 2.设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，且在第一象限，过点A作AB垂直于准线于点 B,若△ABF为正三角形，则AF= A.2 B.3 C.4 D.5 3.南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一 段沂似看成双曲线多一1口>0，b>0下支的一部分，日此双而线的下焦点到渐近线的面 为2，离心率为2，则该双曲线的方程为 B.3v2 441 n治若=1 4.已知A,B为抛物线x2=4y上的动点，P(xo,y)为AB的中点，若|AB|=6,则yo的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的 曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为4cm,往杯盏里面放入一个半径为 rcm的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则r的最大值为 A器 9 cm R号 图1 图2 c n 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 6.已知抛物线E:y=6,若抛物线E的焦点与双曲线C号芳-1(a>0,6>0)的右焦点重合。 过双曲线C的左、右顶点A,B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P,Q,且PQ=2,则双 曲线的实轴长为 号 B.2 C.√6 D.3 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知A,B为双曲线C:2-兰-1的左、右顶点，上上分别为双曲线C的左、右焦点，则 A.|F1F2=2 B.若R为双曲线C上一点，且RF=4,则RF2|=6 C.点F2到双曲线C的渐近线的距离为√2 D.若P为双曲线C上非顶点的任意一点，则直线PA,PB的斜率之积为2 8.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这 是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花 瓣的图案，它可看作由抛物线C:y2=2p.x(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得 的三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A,B为C与其中两条曲线的交点，若p=1,则 A开口向上的抛物线的方程为y= B.AB=4 C.直线x十y=:截第一象限花瓣的骏长最大值为是 D.阴影区域的面积大于4 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 6 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.如图1，图中为抛物线型拱桥.如图2，将拱桥的主拱看作抛物线，水面看作水平的直线，主拱的 顶端P到水面AB的距离为100m,且水面AB的宽为400m,若水位上涨到水面CD,CD的宽 为200√2m,则顶端P到水面CD的距离为 m, 图1 图2 轮复习40分钟周测卷二十 数学第2页（共4页） ® 线子-三1的右焦点为P,过P作PP垂直于一条渐近线，垂足为卫 于原点对称，则△PQF的面积为 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知抛物线y2=2px(p>0)过点M(1,t)(t>0),其焦点为F,且MF|=3. (1)求抛物线的方程； (2)直线MF与抛物线交于另一点P,求点P的坐标； (3)若点N与M关于点F对称，求△OMN(O为坐标原点)的面积. 12.(本小题满分15分) 圆C无+1(Q>b>0)的焦距为22，离心 (1)求C的标准方程； (2)过C的右焦点且倾斜角为产x的直线与C交于M,N两点，求MN; 3)若A(-号，0)，直线：x=+(>0)交椭圆C于E,F两点，且△AEF的面积为④压， 2,求 t的值. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 13.(本小题满分20分) 已知双曲线E的焦点在x轴上，离心率为17，且过点(2,4)，直线l与双曲线E交于M,N 两点，l1的斜率存在且不为0，直线2与双曲线E交于P,Q两点. (1)求E的方程； (2)若MN的中点为H,直线OH,MN的斜率分别为k1,k2,O为坐标原点，求k1·k2; (3)若直线，与直线，的交点T在直线x=号上，且直线（与直线。的斜率和为0，证明： |TM·TN=TP·TQ. ·轮复习40分钟周测卷二十 数学第4页（共4页） B高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（二十） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V.空间想象能力V.数据处理能力 I.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 选择题 椭圆的方程，焦点 1 易 0.94 坐标 抛物线的定义、与抛 2 选择题 5 物线焦点弦有关的 易 0.85 几何性质 根据离心率求双曲 3 选择题 5 易 0.78 线的标准方程 抛物线的定义、最值 4 选择题 中 0.70 相关问题 5 选择题 5 抛物线性质的应用 中 0.55 6 选择题 5 求双曲线的实轴长 中 0.40 双曲线的定义与 7 选择题 6 中 0.65 性质 新定义题，抛物线的 8 选择题 6 标准方程、直线与抛 √ 中 0.40 物线的位置关系 9 填空题 实际问题中的抛物 5 易 0.85 线方程 结合双曲线的几何 10 填空题 难 0.30 性质求面积 根据抛物线上的点 求标准方程、抛物线 11 解答题 13 易 0.80 中的三角形面积 问题 椭圆的标准方程，求 12 解答题 15 弦长，由椭圆中三角 中 0.60 形的面积求参数 双曲线的标准方程， 13 解答题 20 双曲线中的证明 难 0.15 问题 87· ·数学· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 5.C【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y 1.A【解析】设椭圆C的焦距为2c,则由题意得c2 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 4,又C的方程为写十关=1，所以8一6=4，解得长- y个 4.故选A. 2.C【解析】如图所示，过焦点F作FQ⊥AB于点Q, 由题意可知Q为AB的中点，根据抛物线的定义得 |AF|=|AB|=|AQ+|QB|,又|BQ|=2,所以 |AF=2|BQ=4.故选C. 依题意可得A的坐标为（号，4），设抛物线的标准方 程为=2py(p>0),则头=8D,解得b=影，故该 抛物线的标准方程为广一总.设小球大圆圆周方程 为x2十(y一r)2=,联立方程组 x2+(y-r)2=2 3.B【解析】设双曲线的下焦点为(0，一c),一条渐近 x281 解得y=0或y=2r- 0·要使 6y 线方程为y=无x,即ar一by=0,则焦点到渐近线的 小球能触及杯盏的底部（顶点），则小球与杯子有且只 距离为bc|=2,又离心率e=二=2，a2+6 有一个交点，就是抛物线的顶点，所以y=2一号=0 √a2+6 或y=2一器无效，考虑到抛物线不可能在x辅下 。,联立解得心=专甘=4双曲线的方程为头 方，所以y0不成立：即y=2器<0，所以2一号 千-1.故选B <0,解得<影，所以r的最大值为品故选C 4.B【解析】如图，F为抛物线的焦点，m为抛物线的 准线，作AC⊥m于点C,PN⊥于点N,BD⊥m于 6.C 【解析】由E:y=6x,得焦点为F(号，0），所以 点D,连接AF,BF, d+8=号，又A(-a,0),B(a0),双曲线渐近线 方程为bx士ay=0,不妨假设是过A,B作C的同一 条渐近线bx十ay=0的垂线，垂足分别为P,Q,则由 双曲线的对称性可知A和B到渐近线bx十ay=0的 距离相等，均为1AP1=L=如-如，所以 √a2+b m PQ=2OP=2OAAP 由抛物线的定义知，2|PN|=|AC+|BD|= |AF|+|BF|≥|AB=6,所以|PN|≥3，当且仅 当F在AB上时等号成立，则点P到x轴的最小距 -号=2，所以=即=V- 离是2，故y。的最小值为2.故选B. 2 ·88· 高三一轮复习B ·数学· 轴长2a=√6.故选C. y=一x+t xw=t+1-√2t+I 由 解得 ,由 y2=2x yM=√2t+I-1 y=一x十 ,解得 xN=√2t+I-1 即得M(t+1 x2=2y yw=t+1-√2t+I -√2t+I,√2t+1-1),N(√2t+1-1,t+1 √2t+I),则弦长为MN|=√/2(t+2-2√2t+I)2= √2|t十2-2√/2t+I|,由图知，直线x十y=t经过点A 时t取最大值4，经过点O时t取最小值0，即在第一 二、选择题 象限部分满足0<t<4,不妨设u=√2t十1，则1<u 7.CD【解析】A选项，对于双曲线C:2一 2 =1,a <3,且t= “,代入得1MN1= 1,b=√2，c=√3，所以|F1F2|=2√3，所以A项错误： B选项，根据双曲线的定义，由||RF,|一|RF2||= “2+2-2u= 2 |(u-2)2-11,则当u=2 |4-|RF2||=2,解得|RF2=2或|RF2|=6,所 以B项错误；C选项，双曲线的一条渐近线方程为y 时，MN取得最大值为竖，故C错误；对于D,根据 =2x,即V2x-y=0,F2(W5,0)到直线√2x-y=0 对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求 的距离为=厄，所以C项正确，D选项，设P(s,), √3 名部分面积的近似值，如图。 1>1,则-号=1，即2-f=2,又A(-1,0)。 B(1,0),所以kpA·B=士 2-2=2,所以D项正确.故选CD, s2-1 8.ABD【解析】对于A,由题意，开口向右的抛物线方 程为C:=2x,顶点在原点，焦点为F(分，0)，将其 逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点为 在抛物线y=2x(x≥0)上取一点P,使过点P的切 F(0,2),则其方程为=2，即y=之2，故A正 线与直线OA平行，由y'=x=1,可得切点坐标为 确；对于B,根据A项分析，由 y2=2x 解得x=0或 P(1,号)，因为o:x一y=0,则点P到直线0A的 1x2=2y x=2,即xA=2,代入可得yn=2,由图象对称性，可 1 得A(2,2),B(2,-2),故|AB引=4，故B正确；对于 距离为d= =,于是Sam=号XV2+× C,如图，设直线x十y=t与第一象限花瓣分别交于点 E M,N, 4 之，由图知，半个花瓣的面积必大于之，故原图 1 中的阴影部分面积必大于8×2=4，故D正确.故 选ABD. 三、填空题 9.50【解析】以P为坐标原点建立平面直角坐标系， 依题意可知B(200,一100)，设抛物线方程为x2= 一2py(p>0),D(100√2，-h),其中h为点P到水 ·89· ·数学· 参考答案及解析 2002=2×100p, 面CD的距离，则 解得p=200,h 代入+ 2 =1,得3x2-4√2x=0, (1002)-2hp, =50. 解得x=0或x=42 39 10.25 【解析】由题可得F(3,0),a=2,b=√5，c=3,渐 所以1MN1=E×(2-0)=号 (7分) 近线方程为)广士汽号，不妨取y,照后-2 (3)由题意设E(x,y),F(x2,”),如图所示： 0.所以川PF1=l3=万=b.PQ1=21p01=2a y √5+4 =4,所以Sao=号X4X5=2/5. x=t切y+ 3 联立 ,整理得(t+2)y十3ty- 7 +苦- 0,△>0， 四、解答题 3t 7 (9分) 11.解：(1)因为抛物线过点M,|MF|=3, 则1十y=一2十21y=一4(+2) 所以1十号=3，所以p=4. (4分) 故|y-y2|=√/(y1十y2)-4yy2 9t8 7 所以抛物线的方程为y=8x. (6分) (t“+2)十2+2 16t+14 t2+2 (10分) (2)由(1)可知M(1,2√2)，F(2,0), 设直线1与x轴的交点为D(号，0)小， 所以直线MF的方程为y=-2√2(x-2), 与y2=8x联立得x2-5x十4=0， 又A(-号，0)，则AD1=是-(-)=4， 所以x=1或x=4, 故Sa=号AD|·- 故P点坐标为(4，-4√2)： (8分) (3)因为M(1,2√2)与N关于点F对称， =2×16+14-46 t+2 2 则N(3,-2√2)， (10分) 结合t>0,解得t=√2 (15分) 所以Saww=21 OFIXIyw-yw=之 -×2×4√2 2 3,解：()设双曲线E的方程为子-片=1(a>0,6> =4√2， 0), 即△OMN的面积为4√2. (13分) =√7 a=1 12.解：(1)由题意得2c=2√2，c=√2， (1分) 则 (W2)2 42 1,解得b=4 又e=S=E a=号，则a=2,=a2-c2=2, a2 c=W17 (c2=a2+b 所以C的标准方程为号+苦-1 2 (3分) 所以E的方程为一若-1， (5分) (2)过C的右焦点且倾斜角为F的直线为y=-(x (2)设M(,y),N(x2y2),H(o'), -√2)， 因为M,N两点都在双曲线x-兰 6=1上， ·90· 高三一轮复习B ·数学· 一1 16-k2≠0， 所以 两式作差，得x。(x1一x) △=16(4n2-4k1-3k2+64)>0, x 1 」 则x1十x2= k2-2kn 16-k2’ =（y二2) 16 子-+知-16 x1x2= (16分) 则k1·k:=必y二业2=16. 16-k (11分) x0(x1一x2) 故M=中F-号： ITNI- 则|TM·ITN =(1+)- 引 =1+)-合（✉+）+ =(1+k2) 子-示+n-16 (3)设T(?,n),直线MN的方程为y-n=(x 16-8 + 16-k2 =(1+k2)(12+m2) )M(x)N() k2-16 (18分) 由ko十kN=0,所以kPQ=一k, -=k(x- 联立 ,化简得(16-)x2十 从而1TP·|TQ1=1+-)]12+m2) (-k)2-16 =1+)(12+r) k2-16 (k-2km)z-子-元+kn-16=0, 所以|TM·|TN|=|TP|·|TQ|.(20分) ·91·