(17)空间向量及其应用-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（B）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (十七)空间向量及其应用 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知P为平行四边形ABCD外一点，且AB=(2,1,3),AD=(3,2,5),PA=(-2,-2,2),则 A.BD=(1,2,1) B.PD=(5,4,3) C.AC=(5,3,4) D.平面PBD的一个法向量为（一7,5,1） 2.如图，圆柱OO的母线长和底面直径相等，AB,CD分别是下底面圆O和上底面圆O'的直径，且 ABI CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值是 D A号 B号 c号 3.已知从P点出发的三条射线PA,PB,PC,其中∠APB=60°，∠APC=∠BPC=45°，则直线PC 与平面PAB所成角的余弦值是 A誓 R号 c停 29 4.已知平面a,3均以n=(一2,1,2)为法向量，平面α经过坐标原点O,平面3经过点P(3,2,一1)， 则平面α与β的距离为 A.2 B.22 C.3 D.2√3 5.如图，二面角α一1一3的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并 且都垂直于棱1.若AB=2,AC=3,BD=4,CD=√J17,则平面a与平面3的夹角为 A吾 B. B c 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一 6.如图，在四面体ABCD中，平面ACD⊥平面ABC,△ABC是边长为6的正三角形，△ACD是 等腰直角三角形，∠ADC=90°，E是AC的中点，C=C弦，DG=xD疗，若AG∥平面DEF, 则λ= A号 B.3 c D号 B 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.以下命题正确的是 A.两个不同平面a,3的法向量分别为1=(2，一1,0)，n2=(一4,2,0)，则a∥3 B.若直线1的方向向量a=(0,2,一1)，平面a的一个法向量n=(2,1,2),则1⊥a C.已知向量a=(m,n,2),b=(2,一2,1)，若a∥b,则m=4,n=-4 D.已知向量a=(-1,1,2),b=(0,2,3),若a十b与2a-b垂直，则k=-3 4 8.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方 体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几 何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则 A.CG=2 AB+2 AA B直线CQ与平面ABCD所成角的正弦值为号 C.点G到直线CQ的距离是5 3 D,异面直线CQ与ED所成角的余弦值为 图1 图2 图3 6 班级 姓名」 分数 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知向量a=(-1,2,0),b=(2,-2,1),则a在b方向上的投影向量的长度为 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角，AB∥CD,AD=CD=2AB, E,F分别为PC,CD的中点，PA=kAB(k>0),且二面角E一BD一C的平面角为30°，则k的 值是 D B 轮复习40分钟周测卷十七 数学 第2页（共4页）】 ® 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图，在平行六面体ABCD-A'BC'D'中，AB=4,AD=3,AA'=2,∠BAD=∠BAA'= ∠DAA'=60°.E,F,G,H分别是棱A'D',D'C',CC和AB的中点 (1)求AC的长； D' (2)求EF.B; A (3)求证：E,F,G,H四点共面 D 12.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB ⊥BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点. (1)求证：AM⊥平面SBC; (2)在线段CD上存在一点N满足器-号，求直线BV和平面SCD所成的角， S M 、B 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 13.(本小题满分20分) 在空间直角坐标系Oxy之中，已知向量u=(a,b,c),点P。(xo,yo,之o).若直线1以u为方向向量 且经过点P,则直线1的标准式方程可表示为=y少=(abc≠0)：若平面a以u a b 为法向量且经过点Po,则平面a的点法式方程表示为a(x一x)十b(y一y)十c(之一)=0. (1)已知直线的标准武方程为-号云平面。的点法式方程可表示为1十)十 1 -√3 5=0,求直线1与平面α1所成角的余弦值； (2)已知平面a2的点法式方程可表示为2x+3y十之一2=0，平面外一点P(1,2,1),求点P到平 面a2的距离； (3)若集合M=((x,y,x)x+y≤2，之≤1}，记集合M中所有点构成的几何体为S,求几 何体S的体积. ~轮复习40分钟周测卷十七 数学第4页（共4页） ®高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十七） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 空间向量的坐标 1 选择题 易 0.85 运算 2 选择题 5 线线角的向量求法 易 0.78 直线与平面所成 3 选择题 5 易 0.75 的角 用向量法求两平面 4 选择题 5 中 0.70 的距离 5 选择题 5 面面角的向量求法 中 0.60 6 选择题 由线面平行求参 中 0.40 7 选择题 6 空间向量及其应用 中 0.65 8 选择题 6 空间向量求角，距离 中 0.55 9 填空题 5 投影向量的模 易 0.85 10 填空题 5 已知面面角求参 难 0.30 向量法证明四点共 11 解答题 13 面，求线段长、向量 / 易 0.80 的数量积 12 解答题 15 线面垂直、线面角 L 中 0.60 立体几何新定义，体 13 解答题 20 积、线面角、点面距 难 0.24 的向量求法 香考答案及解析 一、选择题 =1,则x=-7,y=5,则n=(-7,5,1),故D正确. 1.D【解析】BD=AD-AB=(1,1,2),故A错误： 故选D. PD=PA+AD=(1,0,7),故B错误：AC=AB+AD 2.A【解析】以点O为坐标原点，AB所在直线为y =(5,3,8),故C错误；设平面PBD的一个法向量为 轴，O0所在直线为x轴，在底面圆O中，过点O且垂 直于AB的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐 n=(x,y,z),则《 前n=0即士+2=0令： 标系.设AB=2,则A(0,-1,0),B(0,1,0), PD.n=0, x+7x=0, C(1,0,2),D(-1,0,2),所以AC=(1,1,2),BD= ·71· ·数学· 参考答案及解析 (-1,-1,2),设异面直线AC与BD所成的角为0， ⊥AC,又平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面 则cos9=|cosAC,Bd1=AC,B画 L2 ABC=AC,BEC平面ABC,所以BE⊥平面ACD,又 |ACIBD√6X√6 DEC平面ACD,所以BE⊥DE,因为△ACD为等腰 =名故选A 三角形，E是AC的中点，所以DE⊥AC,则以E为坐 标原点，EA,EB,ED的方向分别为x,y,x轴的正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系， z个 C E y B X 3.C【解析】如图，设直线PC在平面PAB上的投影 为PD,则∠CPD即为所求的线面角， 则E(0,0,0),A(3,0,0),B(0,3√5,0)，C(-3,0,0), D(0,0,3),ED=(0,0,3),EC=(-3,0,0),C3 (3,35,0),亦=+号i=(-25,0)A市 (-3,0,3),Di=(0,35,-3),AG=Ad+DG-= AD+入DB=(-3,35,3-3).设平面DEF的一 个法向量为n=(x,y,z),则 1n·Ed=3x=0, n.EF=-2x+3y=0, 令x=√3，则n=(√3,2， 作CG⊥PD于点G,CH⊥PA于点H,连接HG,易 0).因为AG∥平面DEF,所以n·AG=-3√3+2× 得CG⊥PA,又CH∩CG=C,CH,CGC平面CHG 31=0,解得入=号故选A 则PA⊥平面CHG,又HGC平面CHG,则PA⊥ 二、选择题 HG.则ea∠CPDX∠APD-瓷·器限 7.ACD【解析】对于A,由题意知m=一a,所以Q cos∠CPA,因为∠APC=∠BPC=45°，所以PG为 ∠APB的角平分线，所以∠APD=30°，故 ∥B,故A正确；对于B,由题意知a·n=0,所以l∥a a∠CPD-院二器-9故选C 或1Ca,故B错误：对于C,若a/6,则号=马=三， 得m=4,n=-4,故C正确；对于D,由题意知 4.A【解析】平面a,β均以n=(一2,1,2)为法向量，则 (ka十b)·(2a-b)=2a2+(2-k)a·b-b2=12k a∥B,平面B经过点P(3,2,一1)，则平面a与B的距 离等于点P(3,2,一1)到平面α的距离，平面a经过 十8(2-k)-13=0,解得k=- 子，枚D正确，故 坐标原点O,OP=(3,2,-1),点P到平面a的距离d 选ACD. -O币：n=2,所以平面a与B的距离为2.故 8.BC【解析】A选项，以A为坐标原点，DA,AB,AA n 所在直线分别为x,y,之轴，建立空间直角坐标系， 选A. 5.C【解析】设平面a与平面β的夹角为0，则0∈ [0,受]，由C市=CA+AB+Bd,可得C市= (CA+AB+B)2=CA:+AB+B市+2CA·AB +2AB·BD+2CA·BD=9+4+16+2|CA|· 1 BDI cos(Ci,Bd)=29-24c0s0,解得c0s9=号 则=号，即平面a与平面B的夹角为号.故选C. 6.A【解析】连接BE,由△ABC为等边三角形，则BE ·72· 高三一轮复习B ·数学· 则A(0,0,0),B(0,1,0),A1(0,0,1),G(-1,-1,2), Q(0,-1,2),C(-1,1,0),B(0,1,1),C(-1,1,1), 1,则x=2=一名，可得n=(2,1,-是），设二面 D(-1,0,0),CG=(0,-2,2),AB=(0,1,0),AA 角E-BD-C的大小为0，则cos9=|cos(m,m)| =(0,0,1),则2AB+2AA=(0,2,0)十 (0,0,2)=(0,2,2)≠CG,A错误；B选项，平面 号解得2 A1BCD1的一个法向量为m=(0,0,1),CQ √4+1+是 15 (1,-2,2),设直线CQ与平面A1BCD所成角为 四、解答题 则n9=am1=高：间 1.解：(1)设AB=a,AD=b,AA=c,则AC=AB+ BC+CC=a+b+e. 11,-22):0=号，B正确，C选项， 则AC:=(a十b+c)2=a2+b+c2+2a·b+2a·c W1+4+4 +2b·c=55, =(0,0,1),点C1到直线CQ的距离为d 所以AC的长为√55， (3分) - (2)求-时+D亦=+b,B时-Bi+A市+ √1-(00·a227 DD=-a十b+c, √/1+4+4 -√-() 所以E萨.B币-（分a+2)·(a+6+c) -号C正确D进现，励=（一1,10），设外面直 +za:6+za.c-6,a+ 1 线CQ与BD所成角为a,则cosa= |osCà，Bò)1=，1C·Bò IC·BD =1(1,-2,2)·(-1,-1,0)1=1-1+2+01 aa+a+2bb叶2bc /1+4+4×√/1+1+0 3√2 ×4+×4×2Xc0s60+×3+×3 -号D错误，故走C X2×c0s60°=0. (7分) 三、填空题 (3)由(2)得成-a十26， 9.2【解析】a在b方向上的投影向量的长度为a,b b 又Ei-E+A+ai=宁abc: =1(=1,2,0)；(2,-2,1D1=2. 3 i-=励+DC+CG=a+6e (10分) 10.25 【解析】以A为原点，AB,AD,AP为x轴、 15 所以心=是萨+是i, y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 故向量E立，EF,E心共面， 即E,F,G,H四点共面. (13分) 12.解：(1)以A为原点，建立如图所示的空间直角坐 标系， 2Z本 A B 设AB=1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0), D(0,2,0),P(0,0,k),E(1,1,）,Bi= (-1,2,0),=(0,1,),且平面CDB的-个 4 法向量为m=(0,0,1),设平面EDB的一个法向量 则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0), fn·BD=-x+2y=0 S(0,0,2),M(0,1,1), 为n=(xy,),则 -y叶=0取) ∴AM=(0,1,1),BC=(2,0,0),B5=(0,-2,2), (3分) ·73· ·数学· 参考答案及解析 :AM.BC=0,AM.B3=1X(-2)+1×2=0, .AM⊥BC,AM⊥BS, 所以cosB=V-sin'B=3Y@ 10 :BC∩BS=B,且BC,BSC平面SBC, .AM⊥平面SBC. (6分) 直线1与平面a1所成角的余弦值为3Y@ 101 (7分) (2)由(1)得DC=(1,2,0),D5=(-1,0,2),MC= (2)由题可知平面a2的法向量为n2=(2,3,1),且 (2,1,-1). 过点A(0,0,2), 设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z), 因为P(1,2,1) 山：e [x+2y=0 所以AP=(1,2,-1), {-x十2x=0 所以点P到平面a:的距离为：A立=年 令x=1,则x=2,y=-1, 2 2 n=(2,-1,1), (10分) (11分) :CD=(-1,-2,0), (3)建立空间直角坐标系，分别画平 :d=市=(-号，-号0) x+y=2,x≥0，y≥0 x-y=2,x≥0，y<0 :成=成+C=(20,0)+(-号，-专0) -x十y=2,x0,y≥0 面 -x-y=2,x<0,y<01 (停，-专0) x=1 (12分) =-1 lcos(B成，n=I威·n 4 然后得到几何体S如图所示： BN 4厘×6 2, 3 设直线BWN与平面SCD所成的角为， 则m090e[,号] 则9=晋， ·直线BN与平面SCD所成角为号 (15分) 13.解：(1)由题可知，直线（的一个方向向量为m =(1,-5,2), 几何体S是底面为边长为2√2的正方形，高为2的 平面a1的一个法向量为n=(√，1，-1)，(3分) 长方体， 设直线l与平面a1所成角为B, 故几何体S的体积为2√2×2√2×2=16.(20分) 。|m·n|_2_10 则有sin=Tm·Tn8X5 -10 (5分) ·74·