(16)空间直线、平面的平行与垂直-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（B）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (十六)空间直线、平面的平行与垂直 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.设1为直线，a为平面，则lLα的必要不充分条件是 A.直线l与平面α内的一条直线垂直 B.直线1与平面α内任意直线都垂直 C.直线1与平面a内两条相交直线垂直 D.直线l与平面a的一条垂线垂直 2.在以下四图中，直线a与直线b可能平行的是 B B b a.b a A B. D 3.如图，EA⊥平面ABC,DC∥EA,且EA=2,DC=1,F是EB的中点，则 A.DF∥BC B.DF∥AC C.DF∥平面ABC D.平面DEF∥平面ABC 4.如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB,E为线段PB 的中点，F为线段BC上的动点，则 A.F为线段BC的中点时，BC⊥EF B.F在线段BC中点时，BCL平面AEF C.平面AEF与平面PBC的夹角随着F点的位置变化而变化 D.F为线段BC上的动点时，始终有平面AEF⊥平面PBC 5.已知正三棱台ABC-AB,C1的体积为52√3，AB=6√3，AB1=2√3，则A1A与平面ABC所成 角的正切值为 A司 B.1 C.2 D.3 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 6.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等 于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制） 例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为号，则其各个顶点的曲率均为2元一3×号 =π.若正四棱锥S一ABCD的侧面与底面所成角的正切值为√2，则四棱锥S一ABCD在顶点S 处的曲率为 A.π c.晋 D. 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知直线m和平面&，B,则 A.若a∥B,m⊥a,则⊥3 B.若a⊥3，m⊥a,则m∥3 C.若m⊥a,m∥β，则a⊥3 D.若m∥a,m∥B,则a∥3 8.如图，正方体ABCD一A1B,C1D1中，顶点A在平面a内，其余顶点在α的同侧，AC,BD的交点 为O,顶点B,C到a的距离分别为1,2，则 A.BC∥平面a B.O到平面a的距离为1 C.平面A1AC⊥平面a D.C,A1在平面a的投影E,F与A共线 /a 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 6 6 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）》 9.在直三棱柱ABC-A1B,C1中，E为CC1的中点，AB=AC=3,BC=4,AA1=2,则直线AE与 BC1所成角的大小为 10.两个边长为2的正方形ABCD和ADEF各与对方所在平面垂直，M,N分别是对角线AE,BD 上的点，且EM=DN,则M,N两点间的最短距离为 M B 轮复习40分钟周测卷十六 数学第2页（共4页） ® 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E,F分别为PC,BD的中点. (1)求证：EF∥平面PAD; (2)《九章算术》是我国古代数学专著，书中将有一条侧棱垂直于底面，且底面为矩形的四棱锥 称之为“阳马”.若PA⊥AD,AB⊥平面PAD,试判断四棱锥P-ABCD是否为阳马？ (3)在(2)的条件下，证明：EF⊥平面ABCD. D 12.(本小题满分15分) 如图，已知PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AB=3,AC=4,M为BC的中点，过点M分别作平 行于平面PAB的直线交AC,PC于点E,F. (1)证明：平面MEF∥平面PAB; (2)求直线ME到平面PAB的距离； (3)求直线PM与平面ABC所成角的正切值. 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 13.(本小题满分20分) 如图，已知四面体ABCD中，AB⊥平面BCD,BCI CD. (1)求证：AC⊥CD; (2)若在此四面体中任取两条棱作为一组((a,b)和(b,α)视为同一组)，则它们互相垂直的组数 记为a1;任取两个面作为一组((a,3)和(3，a)视为同一组)，则它们互相垂直的组数记为a2;任 取一个面和不在此面上的一条棱作为一组((a,a)和(a,a)视为同一组)，则它们互相垂直的组 数记为a3,试求a1十a2十ag的值； (3)若CD=1,AB=BC=1,有一根彩带经过平面ABC与平面ACD,且彩带的两个端点分别固 定在点B和点D处，求彩带的最小长度. 一轮复习40分钟周测卷十六 数学第4页（共4页）】 ®高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十六） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) ②③④ ⑤⑥ 档次 系数 充分必要条件、垂直 1 选择题 5 易 0.90 关系判断 2 选择题 5 平行直线的判定 易 0.85 3 选择题 5 线面平行，线线平行 易 0.78 线线垂直，线面垂 直，面面角，动平面 4 选择题 0.75 与一个平面垂直的 易 证明 选择题 线面角、台体体积 中 0.70 立体几何新定义， 6 选择题 5 v 中 0.60 曲率 线面关系、面面关系 选择题 6 中 0.65 有关命题的判断 点面距离、线面平 8 选择题 6 中 0.55 行、面面垂直 求异面直线所成 9 填空题 5 易 0.85 的角 空间垂直的转化，最 10 填空题 5 难 0.30 值问题 11 解答题 线面平行，证明线面 13 易 0.80 垂直 12 解答题 15 面面平行、求线面角 中 0.70 空间中的垂直关系、 13 解答题 20 展开图中的最值 难 0.18 问题 季考答案及解析 一、选择题 垂直，可得直线l与平面α内的直线垂直，直线l与平 1.A【解析】对于A:直线l与平面α内的一条直线垂 面a内的一条直线垂直是L⊥a的必要不充分条件，A 直不能推出l⊥a,若L⊥a,则a内任意一条直线都与l 选项正确；对于B:直线（与平面α内任意直线都垂 ·67· ·数学· 参考答案及解析 直，l垂直a内两条相交直线，可得出⊥a,若l⊥a,则 选D. a内任意一条直线都与l垂直，所以直线l与平面α 5.B【解析】将正三棱台ABC-AB,C:补成正三棱 内任意直线都垂直是l⊥α的充要条件，B选项错误； 锥P一ABC, 对于C:直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥ a,若l⊥a,则a内任意一条直线都与l垂直，直线l与 平面α内两条相交直线垂直，所以直线l与平面α内 两条相交直线垂直是l⊥α的充要条件，C选项错误； 对于D:直线l与平面a的一条垂线垂直，则l∥a或l 在平面α内，所以直线l与平面a的一条垂线垂直是 l⊥α：的既不充分也不必要条件，D选项错误.故选A 2.C【解析】选项A中，平面αa,β内的两直线异面，则 0 a与b异面；选项B中，平面a,B内的两直线异面，则 a与b异面；选项C中，平面a,β内的两直线相交，两 相交直线能确定一个平面，则a与b有可能平行；选 则AA与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所 项D中，平面a,8内的两直线异面，则a与b异面.故 选C, 成角，调为股是-弓期名一京可知 VP-ABC 3.C【解析】如图，取AB的中点G,连接CG,FG.:F V45-。版=52，E,则V,版=54，设 是EB的中点FGL号AE 正三棱锥P-ABC的高为d,则V,-ac=子dX受× 6×6B×气=545，解得d=6,取底面ABC的 中为0，则P0L底面ABC,且A0-号×号X65 =6,所以PA与平面ABC所成角的正切值 m∠PAO侣-1放选B 6.D【解析】如图，连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接 B SO,则SO⊥平面ABCD,取BC的中点M,连接 又由题意得DCL号EA,·DC LFG,·四边形 OM,SM, CDFG是平行四边形，∴DF∥CG,则A,B错误；：CG C平面ABC,DF丈平面ABC,∴.DF∥平面ABC,则 C正确：点B∈平面ABC,点B∈平面DEF,则平面 DEF与平面ABC相交，则D错误，故选C. 4.D【解析】：PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD, .PA⊥BC, 则由正四棱锥的结构特征可知OM⊥BC,SM⊥BC E 所以∠SMO为侧面与底面所成的角，设AB=BC= D C a,则OM=号，在R△SOM中，tam∠SM0= SO E,所以S0=0M=号又OB-号，所以SB= 又底面ABCD为正方形，.AB⊥BC,而PA∩AB= √/SO十OB=a,所以正四棱锥S-ABCD的每个侧 A,PA,ABC平面PAB,.BC⊥平面PAB,:PBC 平面PAB,∴.BC⊥PB,则BC与EF不垂直，A错误； 面均为正三角形，所以顶点S的每个面角均为乏，故 由题意可知BC与AF不垂直，.BC⊥平面AEF不 正四棱锥S-ABCD在顶点S处的曲率为2π一4X 成立，B错误：，AEC平面PAB,.BC⊥AE.,PA =AB,E为PB的中点，.AE⊥PB.而PB∩BC=B, 景-祭故选D PB,BCC平面PBC,∴.AE⊥平面PBC.·AEC平面 二、选择题 AEF,∴.平面AEF⊥平面PBC,∴.C错误，D正确.故7.AC【解析】对于A,a∥B,m⊥a,一定有m⊥B,A正 ·68· 高三一轮复习B ·数学· 确；对于B,如图，在正方体中，平面ABCD⊥平面 ADD1A,AA:⊥平面ABCD,但AA:C平面 ADD1A,B错误：对于C,m⊥a,m∥B,一定有a⊥B,C 正确：对于D,正方体中，BC∥平面ABCD,BC∥ 平面ADDA1,但平面ABCD与平面ADD1A!不平 行，D错误.故选AC D B 因为MG/DE,所以端-会部由已知可得，AE= D BD=√A+4=2√2，EM=DN=x,所以AM=BN, AMBN 8.BCD【解析】对于A,因为B,C到a的距离分别为 ME 所以品-器-能所以GN/AB,又 1,2,显然不相等，所以BC不可能与平面α平行，因 AB∥CD,所以GN∥CD,由MG∥DE,AM=AE- 此选项A不正确；对于B,AC,BD的交点为O,显然 EM=2反-，所以S-A,所以MG=AM:ED ED AE AE O是AC的中点，因为平面ABCD∩a=-A,顶点C到a 的距离为2，所以O到α的距离为1，因此选项B正 2(22-=4E工，同理可得，GN= 确：对于C,B到a的距离为1，O到a的距离为1，因 22 2 此BO∥a,即BD∥a,设平面ABCD∩a=l,所以BD ∥I,因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD,又因为 DDAB=22=2,又平面ABCD上平面 DB AA,⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以AA⊥ ADEF,平面ABCD∩平面ADEF=AD,ED⊥AD, BD,因为AA,∩AC=A,AA,ACC平面A1AC,所以 EDC平面ADEF,所以ED⊥平面ABCD,因为CD BD⊥平面AAC,因此有l⊥平面AAC,而lCa,所 C平面ABCD,所以ED⊥CD,因为MG∥DE,GN 以平面AAC⊥平面a,因此选项C正确；对于D,因 ∥CD,所以MG⊥GV,所以△MGN是直角三角形， 为平面AAC∩平面a=A,所以令平面A1AC∩平面 a=1,A∈'，因为平面AAC⊥平面a,所以C,A1在 所以MN=Mc+GN=(）'+(停)- 平面α的投影E,F与A共线，因此选项D正确.故选 x2-22x十4=(x-√2)+2，即y= BCD. 三、填空题 √/(x-√2)2十2(0≤x≤22)，所以当x=√2，即 M,N分别为线段AE,BD的中点时，MN有最小值 9.于【解析】取BC的中点D,连接DE,AD,因为DE √2，即M,N两点间的最短距离为√. ∥BC,可知∠AED(或其补角)即为直线AE与BC 四、解答题 所成角， 11.解：(1)连接AC, C ,四边形ABCD是平行四边形，且F是BD的 中点， .F是AC的中点， (2分) E为PC的中点， ∴.EF∥PA, (4分) ,PAC平面PAD,EF寸平面PAD, .EF∥平面PAD. (6分) D 在△ADE中AD=√5，AE=√I0,DE=√5，由余弦 定理可得cos∠AED-号，所以∠AED=平。 DX 10,√2【解析】过点M作MG∥DE,交AD于点G,连 接VG,设EM=x,MN=y, (2),AB⊥平面PAD,AD,PAC平面PAD, ·69· ·数学· 参考答案及解析 .AB⊥AD,AB⊥PA, 13.解：(1)因为AB⊥平面BCD,BC,BD,CDC平面BCD, ∴.四边形ABCD为矩形， (8分) 则AB⊥BC,AB⊥BD,AB⊥CD, PA⊥AD,AB∩AD=A,AB,ADC平面ABCD, 又BC⊥CD,AB∩BC=B,AB,BCC平面ABC, ∴.PA⊥平面ABCD, 所以CD⊥平面ABC, ∴四棱锥P-ABCD是阳马. (11分) 因为ACC平面ABC, (3)由(1)知EF∥PA,由(2)知PA⊥平面ABCD, 所以AC⊥CD. (5分) ∴.EF⊥平面ABCD. (13分) (2)由(1)可知：AB⊥BC,AB⊥BD,AB⊥CD,AC 12.解：(1)依题意可知，ME∥平面PAB,MF∥平 ⊥CD, 面PAB, 且CD⊥平面ABC,BCC平面ABC, 由于ME∩MF=M,ME,MFC平面MEF, 则CD⊥BC, 所以平面MEF∥平面PAB. (4分) 且其余各棱均不垂直，可得a1=5; (7分) (2)因为PA⊥平面ABC,ACC平面ABC, 由AB⊥平面BCD,且ABC平面ABC,ABC平 所以PA⊥AC, 面ABD, 由于AB⊥AC,PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB, 可得平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平 所以AC⊥平面PAB, 面BCD, 因为平面MEF∥平面PAB,平面MEF∩平面ABC 同理，由CD⊥平面ABC可得平面ACD⊥平 =ME,平面PAB∩平面ABC=AB, 面ABC, 所以ME∥AB, 且其余各面均不垂直，可得a2=3; (10分) 因为M为BC的中点， 由AB⊥平面BCD,CD⊥平面ABC,且其余各线面 所以E是AC的中点， (7分) 均不垂直，可得a=2, (11分) 又直线ME到平面PAB的距离等于E到平面PAB 综上所述：a1十a2十a=10. (12分) 的距离， (3)将平面ABC与平面ACD沿AC展开成如图2 所以直线ME到平面PAB的距离为EA=号 AC=2. 所示的平面图形，连接BD, 所以彩带的最小长度为图2平面图中BD的长， (9分) (14分) (3)连接AM, 由于PA⊥平面ABC, 所以∠PMA是直线PM与平面ABC所成的角， (10分) 由于AMC平面ABC, 所以PA⊥AM, 因为AB⊥AC,AB=3,AC=4, 所以BC=√JAB+AC=V√32+4=5， (12分) 图1 图2 又M为BC的中点， 由(1)知∠ACD=90°， 所以AM=号BC=号， 在图1中，因为AB⊥平面BCD,BCC平面BCD, 所以AB⊥BC, 所以an∠PMA=PA=3=6 (15分) 又因为AB=BC=CD=1, 所以∠ACB=45°， (17分) 2 故在图2中，∠BCD=135°， 所以在图2中，在△BCD中，由余弦定理得BD =√/BC+CD-2BC·CDcos∠BCD +1-2x(-号)-+E. 所以彩带的最小长度为√2十√2 (20分) ·70·