(15)基本立体图形、立体图形的直观图、简单几何体的表面积与体积-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（A）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (十五)基本立体图形、立体图形的直观图、简单几何体的表面积与体积 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.下列说法中，正确的是 A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线 C.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 D.棱台的各侧棱延长后必交于一点 2.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA,=6,若仅侧棱AA,在水平桌面内放置时，液面 恰好过点M和点N,且满足AM=MC,BN=3NC,则当底面ABC水平放置时，液面高为 A.4 B.8 C.3 D.2 A 3.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的， 如图所示，若被截去的每个正三棱锥的侧棱长均为20c,则石凳的表面积为 A.(3200+1600√3)cm B.(4800+1600√3)cm2 C.(3200+2400√3)cm D.(4800√2+2400√3)cm 4.已知某三棱台的高为2√5，上、下底面分别为边长为4√3和6√的正三角形，则该三棱台的体 积为 A.114√15 B.57√15 C.38√/15 D.27√/15 5.已知以A,B为顶点且底面重合的两个圆锥内接于半径为R的球O,圆锥底面圆的半径为r,若 两圆锥的侧面积之和与球O的表面积之比为，则 A.2Rr+2r5=R B.2Rr+2r5=R5 C.4R2r+4x3=R3 D.4R2+4r3=R3 数学第1页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高三 6.已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1，下底面半径为2，母线AB长为2，E为母线AB 的中点，则 A.圆台的高为2 D B.圆台的侧面积为4π C.圆台外接球的体积是32x 3 D.在圆台的侧面上，从C到E的最短路径的长度为7 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体，则下列可能是该几何体的 截面的为 A. B C. D. 8.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始 时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一 个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm,当细沙全部在上部 时，其高度为圆锥高度的号（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm的沙，且细沙 全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则 A.沙漏中的细沙体积为024rcm 81 B.沙漏的体积是128πcm3 C.细沙全部漏入下部后，此锥形沙堆的高度约为2.37cm D.该沙漏的一个沙时大约是1985秒（π≈3.14） 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 轮复习40分钟周测卷十五 数学第2页（共4页） 囚 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A'B'C'D',已知A'B'=6,CD'=4,则四 边形ABCD的腰BC的长为 /0'40 B'x 图1 图2 9题图 10题图 10.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶 其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面 ABCD.在底面BCE中，若BE=CE=3,∠BEC=120°，则该几何体的体积为 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分》 如图，在棱长为a的正方体ABCD一AB,C,D,中，E为DD1的中点. (1)求三棱锥A-DEC的体积； (2)求点D到平面AEC的距离； (3)若球O与该正方体的12条棱均相切，求该球的表面积. E B 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 12.(本小题满分15分) 下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径OA=1,母线SA=3. (1)A,B是圆O的一条直径的两个端点，D为母线SB的中点，用软尺沿着圆锥面测量A,D两 点的距离，求这个距离的最小值； (2)现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落 在原工件的一个面内，求这个正方体的体积. R 13.(本小题满分20分) 据报道，2024年4月15日，正值全民国家安全教育日，田湾核电8号机组穹顶球冠吊装成功 (如图1)，标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业 结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现.报道中提到的球冠是一个空间几何概念， 它是指球面被一个平面所截得的一部分（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球 冠的高.球冠的面积等于截得它的球面上大圆（过球心的截面圆）周长与球冠的高的乘积.和球 冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底.当球缺 的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底、以球心为顶点的圆锥所构成的几何体，称 作“球锥”（如图2）.当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”.如 图2，设一个“球锥”所在球的半径为R,其中球冠的高为h(h<R). R.HAS R “球锥” 图1 图2 图3 (1)类比球体积公式的推导过程（可参考图3），写出“球锥”的体积公式； (2)在该"球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求景的值： (3)已知一个棱长为a的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的 有且只有一个，求餐的取值范围。 轮复习40分钟周测卷十五 数学第4页（共4页）】 囚高三一轮复习A ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（十五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 几何体的概念 易 0.88 选择题 5 三棱柱的体积 易 0.78 3 选择题 5 组合体的表面积 易 0.73 4 选择题 5 三棱台的体积 中 0.70 5 选择题 球与圆锥的表面积 中 0.68 6 选择题 圆台的综合问题 中 0.60 正方体中组合体的 选择题 6 中 0.65 截面问题 8 选择题 6 生活中的圆锥问题 中 0.46 9 填空题 斜二测画法 易 0.85 10 填空题 5 组合体的体积 中 0.60 解答题 点面距，球的切接 11 13 易 0.80 问题 12 解答题 15 最值问题，切接问题 中 0.50 球的新概念题，体积 13 解答题 20 难 0.30 及综合问题 香考答案及解析 一、选择题 1.D【解析】对于A:棱锥有一个面是多边形，其余各 面都是有一个公共顶点的三角形，故A不正确：对于 B:圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，当这两点 的连线与圆柱的轴平行时，这两点的连线才是圆柱的 母线，故B不正确；对于C:如图所示，若以腰CD为 B 旋转轴旋转一周，则形成的几何体不是圆台，故C不 对于D:由棱台的定义知各侧棱延长线交于一点，故 正确； D正确.故选D. 2.C【解析】设三棱柱的体积为V,仅侧棱AA:在水 ·57· ·数学· 参考答案及解析 平桌面内放置时液面以上部分的体积为号V,故水的 体积为2V,设当底面ABC水平放置时液面的高为 h,则台==名，解得=3.故远C 1 、2 0 3.B【解析】由题意，该几何体是由棱长为40cm的正 、R 方体截去八个全等的正三棱锥，同时儿何体是由8个 01---1-.- 边长为20√/2cm的等边三角形和边长为20√2cm的 6个正方形组成的一个十四面体，所以该几何体的表 面积为S=8X号×20，E×20w2×sim60°+6X20w2 易得AB=2R,∠ACB=90°，所以+=(2R)2,即 ×20√2=(4800+16003)cm2.故选B. ?+=4R①，又因为∠COB=90°，所以△ABC∽ △C0,则部瓷即4-登所以4：=2R@, 由圆锥侧面积公式可得两圆锥的侧面积之和为πl 十πrl2=π(l1十l2),球O的表面积为4πR,故 1》-子，即1+6=，由①+②X2得片 4πR2 4.C【解析】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱 +指+24=R+R,=十)=是，化简得 台ABC-ABC,如图， 4Rr2十4r3=R.故选D. 6.C【解析】对于A,如图所示，过A作AF⊥BC交 0 BC于点F,过D作DG⊥BC交BC于点G, C D A 02 C F B 上底面正△ABG的面积为2×4×4万×号 根据题意在△AFB中，BF=1,AB=2,则AF= √AB-BF=√22-1=5，故A错误；对于B,圆 125,下底面正△ABC的面积为2×65×65× 台的侧面积为π×(1十2)×2=6π，故B错误；对于 号=27疗，由正三棱台的体积公式可得该三棱台的 C,设圆台外接球的球心为O,半径为R,下底面圆心 为O,上底面圆心为O,连接OO2,OA,OB,由题意 体积V=子×(125+27-5+25×27万)× 可得O1B=2,O2A=1,OO2=√3.设OO=a,则OO2 =√3-a或OO2=√3+a,由R=OA=OB,即 2√5=38√/15.故选C. 5.D【解析】作出图象如图所示，设以A,B为顶点的 √12+(W3-a)2=√2+a或√12+(W3+a)2 圆锥的母线分别为1,2，圆锥的底面圆心为O, √22+a,解得a=0,即O,O重合，所以R=2,圆台 外接球的体积是号×R=号，故C正确： ·58· 高三一轮复习A ·数学· 02 y 或 0 D 02 B 在圆台的侧面上，从C到E的最短路径的长度为 CE.由题意可得FB=FC=4,AB=2,由E为AB的 中点，所以FE=3,所以CE=√FE十FC=5,故D 错误.故选C. 二、选择题 9 7.BCD【解析】截面中间是矩形，如果可能的话，那么 一定是用和正方体底面平行的截面去剖开正方体，并 且是从挖去四棱锥的那部分剖开的，但此时剖面中间 应该是一个正方形，因此选项A不可能是截面；当从 正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好 D 通过四棱锥顶点，如图1，此时截面形状如选项B,故 B可能是该几何体的截面： 0 对于D,延长CD,BA,使CD与BA交于点F,连 接O2F, 图1 当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组 棱平行去剖开正方体时，如图2中截面PDGH位置， D 截面形状就会如选项C,故C可能是该儿何体的 02 截面； 01 易得F,O,0,共线，因为O,A=2OB,所以OA为 △FOB的中位线，所以FA=AB=2,FB=4,设圆锥 FO的侧面展开图的圆心角为a,则aX4=2πX2,解 G 得α=π，则圆台的侧面展开图如下图所示， 图2 如图3，按图中截面ABC的位置去剖开正方体，截 面就会如选项D,故D可能是该儿何体的截面.故 选BCD. ·59· ·数学· 参考答案及解析 ·CB·s如120=子×8×8×号-年，因为两个 4 直三棱柱相同，故h=CD=BC=3√，所以V= V三枚住EE-ADF十V三长维sB十V三故箱SNCD=Sh十 1 B1 M 图3 8.ACD【解析】对于A,根据圆锥的截面图可知：细沙 在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等 于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径 =号×4=号m体积，=··=× ×5=1024红m',A选项正确；对于B,沙漏的体积 四、解答题 3 81 1.解：1由题知，Vm=子×之×号×aXa=B V:=2X分×xX(合)×h=2×吉×x×华×8 (3分) 56rcm,B选项错误：对于C,设细沙流人下部后的 (2)因为正方体的棱长为a,E为DD1的中点， 高度为，根据细沙体积不变可知024红= 所以AE=CE=√a+牙-号。 4-2a. 81 3 因为AC=√2a, (会)XM,解得A=器≈237m,C选项正 4 确：对于D,因为细沙的体积为024cm',沙漏每秒 (5分) 81 设点D到平面AEC的距离为d, 1024π 由VD-cE=VA-DEc, 钟漏下0.02cm2的沙，所以一个沙时为0.02 81 1024X3.14×50≈1985秒，D选项正确.故选ACD. 得号×吧×d=告解得d= 4 6a, 81 三、填空题 则点D到平面AEC的距离为5a 6a. (8分) 9.2√3【解析】由题意知在直观图等腰梯形A'B'C'D (3)设球的半径为R, 中，A'B'=6,CD'=4,∠D'O'B′=45°，则A'D'= 则该球的直径为面对角线长，即2R=√2a, 6-4 解得R= cos4行=2，将直观图复原为原图，如图所示： 2 2a, 所以该球的表面积为4πR=2a2π. (13分) 12.解：(1)将圆锥SO的侧面自母线SA剪开展开在平 面内，得到扇形ASA', 则点B为弧AA'的中点，如图， O(A) 则AB=6,CD=4,AD=2√E,作CF⊥AB交AB于 点F,则FB=2,CF=2√E,所以BC=√/4+8=2√3. 10.27【解析】如图所示，该儿何体可视为直三棱柱 依题意，弧AA'的长为2π·OA=2π， BCE-ADF与两个三棱锥S-MAB,S-NCD拼接 而成.记直三棱柱BCE-ADF的底面BCE的面积 则∠ASA-资-5， 为S,高为A,所求几何体的体积为V,则S=子BE 则∠ASB-合∠ASA=号 ·60· 高三一轮复习A ·数学· 又D为SB的中点， 则在△ASD中，由余弦定理得AD 则子Rh=号π(2RM-)(R-A), 整理得R2-3Rh+h=0, =√SA+SD-2SA·SDos号 因为<R,所以合-3≥ 21 (10分) -V8+(学)-2x3××-32 221 所以A.D两点的距离的最小值为2， (7分) (2)依题意，得到的正方体新工件体积最大时，正方 体的一个面在圆锥的底面圆内，且为圆锥的内接正 方体， R-h 设正方体的棱长为x,沿正方体的对角面作圆锥SO 的轴截面，如图， (3)设正四面体P-ABC内接“球锥”，顶点P与球 心重合，棱长为a, 则△ABC的外接圆半径为号，正四面体的高为 3a, 显然a>R时不满足条件， G 当顶点A,B,C在圆锥底面圆周上时，a=R,R一h= 则EF=√2x,FG=x, 显然△SEFO△SAB,有器 SO-FG SO 而S0=√3-1下=22 3 因此-2，解得=22 (13分) 2V2 3 当完=1-时，作平行于圆维底面的平面我正四 则正方休工件的体积V=-(2号)'-15 面体P一ABC,所得棱长小于R的正四面体均可内 27· 接该“球锥” (15分) 因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该“球锥”， 13.解：(1)把“球锥”切割成无数个小锥体， 由题意得球冠面积为S=2πRh, 号，且顶点A,B,C在球冠上， 所有小锥体的底面积之和即球冠面积， 1 即a=R,且R-h<5R: 结合锥体体积公式得“球锥”的体积为V球=了× 3 2aRM·R=号RL (4分) 又因为A<R,所以1-否<食<1， (2)设圆锥的底面半径为r, 即会的取值花围为1一气)。 (20分) 则r2=R2-(R-h)2=2Rh-h2, 当球缺的体积与圆锥的体积相等时，V球维“=2V网维， 即号Rh=2X号r(R-), ·61·