(8)函数与导数的综合应用-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（B）

高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（八） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 利用导数求瞬时 1 选择题 易 0.82 速度 导数的极限定义与 2 选择题 导数几何意义的 易 0.75 综合 由函数的单调性求 3 选择题 5 中 0.60 参数的范围 利用导数识别函数 4 选择题 5 中 0.58 的图象 利用导数研究函数 选择题 5 中 0.55 的零点 6 三次函数的实际 选择题 难 0.25 应用 与导数有关的数学 选择题 中 0.40 文化题 利用导数研究抽象 8 选择题 6 难 0.28 函数的性质 由函数的极值点求 9 填空题 5 易 0.72 参数的值 利用导数解决几何 10 填空题 5 中 0.35 问题 利用导数求极值，证 明不等式，由函数极 11 解答题 13 中 0.50 值点个数求参数的 范围 函数奇偶性的证明， 12 解答题 15 利用导数研究零点 难 0.28 个数 13 解答题 20 极值点偏移问题 难 0.25 ·31· ·数学· 参考答案及解析 香考誉案及解析 一、选择题 =-sinx+3rln3>0,.f(x)在(0，十oo)上单调 1.C【解析】因为y(t)=十2，所以y(t)=2t,所以 递增，排除C.故选B. t=3时，y'(3)=6,即质点A在t=3s时的瞬时速度 5.A【解析】f(x)在(-∞，-2)上存在零点，即 为6m/s.故选C. f(x)=2-1+a2=0在(-o0,-2)上有解，即a= x 2.B【解析】依题意，lim f(3+2△x)-f(3) △x 2-上在(-，-2)上有解，令g(x)=2-子 ，则 21imf3+2x）-f3)=2f(3)=4,则f(3)=2. △.x 2△x g(x)=2h2+是>0.则g(x)在(-0，-2)上 即曲线y=f(x)在点(3，f(3)处的切线的斜率是2. 故选B. 单调递增g(-2)=是，当一-0时，g(x)→0，所 3.A【解析】由题得了(x)=2十子- x 以ae(0,是)故选A 2x一十3，依题意，∫(x)在(1,3)上有变号零点，即 6.C【解析】设三次函数为y=ax3十bz2+cx十d,可 得y=3a.x2+2bx十c,设f(x)=3ax2+2bx十c,可 2x2-tx十3=0在(1,3)上有根，设g(x)=2x2-tx 得f(x)=6a.x十2b,设三次函数y=ax3十bz2十cx +3,即g(x)在(1,3)上有零点，若g(1)=5-t=0, 则t=5,此时g(3)=6>0,满足题意；若g(3)=21 十d的两个极值点为x1,x2,所以x1十x?= 3a -3t=0,则t=7,此时g(1)=-2<0,不满足题意； =云令f(x)=ar十26=0，可得x=一名为 若g(1)≠0且g(3)≠0，g(x)在(1,3)上有1个零 「△>0 函数y=3ax+2bx十c的极值点，将x=一品代人 点，则 ,解得5<t<7;若g(1)≠0且 g(1)g(3)0 y=3ar+xc,可得名一答+e=-1,所以6 g(3)≠0，g(x)在(1,3)上有2个零点，则 △>0， 6 -1+3a,则M-=a(-)+6(-)+ g(1)>0, g(3)>0,解得26<1<5.综上，t∈(26,7).故 c(x1-x2)=40,即a(x1-x2)(x2十x1x2十x号)+ b(x1-x2)(1十x2)+c(x1-x2)=40,即 1<<3 -)[(路-云)装+]=0即 选A. 4.B【解析】f(x)的定义域为R.:f(-x)= (国-)[-器+号(-1+先)]=0，可得 cos(-x)+3-3=cosx+3-3=f(x), 3(x1一x2)=40,解得x2-x1=60.故选C. f(x)是偶函数，排除D;又f(1)=cos1+3-3= 二、选择题 cos1>0,排除A;当x>0时，f(x)=cosx十3-3， f(x)=-sinx+3·ln3,3·ln3>1,∴.f'(x) 7.ACD【解析】由函数S(x)=1十e,得S(x)= ·32· 高三一轮复习B ·数学· e aFe对于A,s(x)[1-S(x)门=1+e· 则圆锥体积V=子h=号元(3-公)A （1-中。)a-S),故A正确：对 3π(3h-h3),记f(h)=3h-3,h∈(0W5),则 于B,Hx∈R,S(x)= (1+e)p>0,则Sigmoid函 e f'(h)=3-3h,易得f(h)在(0,1)上单调递增， 在(1，√)上单调递减，∴(h)≤f(1)=2,故V≤ 数是单调递增函数，故B错误；对于C,S(x)= 1 1 1 X2=罗，则V=要 1+2e+e立=e+c+2≤2/e.e7+2 四、解答题 子，当且仅当心=e,即x=0时取等号，则S(x) 11,解：(1)(i)由题意可知，f(x)的定义域为(0，十∞)， 的最大值为子，故C正确：对于D因为S()十 fa)2-9-2 (1分) 又a>0, 1 1 e 1 S(-x)=1+e+1十e-1十e+1+e=1,所以 故当x>2时，f(x)>0,f(x)单调递增： 2021 [S)+s(-)]=2025,故D正确.故 当0<x<2时，f(x)<0,f(x)单调递减，(3分) 选ACD. 所以当x=2时，∫(x)取得唯一的极小值，且极小值 品AC【解折】令h()=得则N() 为f(2)=a十aln2+2,无极大值 (4分) (i)由(1)知，f(x)的最小值为f(2), f(x)g)-fx)g2,:f四>8巴且f(x) g(x) f(x)g(x) 又f(2)=a+aln2+2>0, 故f(x)≥f(x)min=f(2)>0, 与g(x)恒正，f(x)g(x)>f(x)g'(x),. 所以f(x)>0. (6分) h'(x)>0,h(x)单调递增，，.h(a)<h(b),即 2a 8合f6ga)>fago),故A正 (2)由题得g(x)= r?-aln x- x -2(x>0), 、确，B错误：h(x)=《号(a) f(a)>1, 所以g'()=x-2)(e-a.2 (8分) x g (a) 因为g(x)在(0,2)上有两个极值点， f(x)>g(x)成立，故C正确，D错误.故选AC 三、填空题 则e一ax=0,即a=二在(0,2)上有两个根， 9.2【解析】f(x)=(x-c)2十2x(x-c)=3x2 令p()=g 4cx十c2,且函数f(x)在x=2处有极小值，.f(2) =0,即c2-8c十12=0，解得c=6或2.经检验当c=6 则p'(x)=E(x-1) x2 时，f(x)在x=2处取得极大值，舍去；当c=2时， 当0x<1时，p'(x)<0,p(x)单调递减， f(x)在x=2处得极小值，符合题意，故c=2. 当1<x<2时，p'(x)>0,p(x)单调递增，(11分) 10.号【解析】设直角三角形的两条直角边分别为 又因为当x→0时，p(x)→十∞，p(1)=e,p(2) h,则2十h2=3,以h所在直线为旋转轴得到圆锥， 2 ·33· ·数学· 参考答案及解析 所以若g(x)在(0,2)上有2个极值点，则需满足e< 十∞)上各有一个交点， 因为9(x)= (e+1)P>0, 综上所述，若函数g(x)在(0,2)上有两个极值点，则 所以o(x)在R上单调递增， a的取值范围为(e,号). (13分) 又g-0=1”品1=g0 12.解：(1)由题设，令g(x)=f(x-1)=ax 2 所以p(x)为奇函数， e+1 令h(x)=e+1)' 2e 1,x∈R, 所以g(-x)=一ax十2 e+1-1 则h'(x)=2c(1-c) (e+1)3, 2 显然在(-o∞，0)上h'(x)>0,h(x)单调递增； =-a.x+1-1十e =一g(x), 在(0，十o∞)上h'(x)<0,h(x)单调递减， 又g(x)的定义域为R, 综上，(x)在R上单调递增，但递增速率先变快后 所以g(x)为奇函数， 变慢， 即y=f(x一1)为奇函数，得证. (4分) 则(x)的大致图象如下图所示： 2er+1 (2)由题设f(x)=a一（e+1+1) 2 -a y-ax e+1+ e+T十2 y 2 ≥a (7分) 2, e十2 当且仅当e1=品，即x=一1时取等号， 又y=ax与o(x)都过原点，且原点处o(x)的切线 所以f(x)的导函数的最小值为a一之 (8分) 斜率为9(0)=2： (13分) (3)因为f(x)恰有三个零点， 则结合图象知，当0<a<宁时y=a与x)=1 所以0=f(x1)=a+。子-1龄有三个 。十在（一∞，0）和(0，十∞)上各有一个交点， 2 零点， 显然g(0)=0,又g(x)为奇函数， 所以。的取值范围为(0，号)） (15分) 所以只需保证在(-∞，0)和(0，十∞)上各有一个零 13.解：(1)当a=1时，f(x)=1+ln ,x∈(0，十o∞)， 点即可， (11分) 令g(x）)=0,则ax=1-e中1 2 则f(x)=-lnx x21 由∫(x)=0,解得x=1. (2分) 即y=ax与g(x)=1一 e+在(-∞，0)和(0， 2 所以当0<x<1时，f(x)>0,f(x)单调递增； ·34· 高三一轮复习B ·数学· 当x>1时，f(x)<0,f(x)单调递减， 设h(x)=g(x) g(3） 所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区 间为(1，十∞). (5分) =1+lnx-x(1-lnx),x∈(0，+∞)， x (2)(1)由1+n=1,得1ln=a,a≠0， ax 则()=+n=hx,号≥0， 22 设g(x)=1+ln2, 所以h(x)在区间(0，十∞)内单调递增， x 又h(1)=0, 由(1)得g(x)在区间(0,1)内单调递增，在区间 1,十∞)内单调递减， 所以h(x)=g(x)-g()<0, 又g(日)=0，g(1)=1,当x>1时，g(x)>0, 即g()<g() (16分) 且当x→十o∞时，g(x)→0： 又g(x2)=g(x), 当x>0时，g(x)→-∞， (9分) 所以g()<g() (17分) 所以当0<a<1时，方程1+ln工=a有两个不同 x 又>1，六>1，g)在区间(，十)内单调 的根， 递减， 即方程十n工=1有两个不同的根， ax 所以>子即离>1 故a的取值范围是(0,1). (12分) 又x1≠x2, （ⅱ)不妨设x1<x2, 所以x片十x>2x1x2>2,得证. (20分) 则0<<1<，且n十1=ln十1 ·35·高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (八)函数与导数的综合应用 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.一质点A沿直线运动，其位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)=t十2，则质点 A在t=3s时的瞬时速度为 A.11 m/s B.8 m/s C.6 m/s D.号m/s 2.已知f为可导函数，且满足1im3+2△）-f3)=4,则曲线y=f()在点(3，f(3)处的切 △无 △x 线的斜率是 A.1 B.2 C.3 D.4 3.若函数f(x)=2一3-nc在1,3)上不单调，则实数1的取值范围为 A.(26,7) B.(7,+∞) C.[7,+∞) D.[2√6,7] 4.函数f(x)=cosx+3x-3的图象大致是 A D. 5.若函数fx)=2-1十a在（一∞，一2）上存在零点，则实数a的取值范围是 A.(o,) B.(-∞，0) C.（-∞，4) D.(是，+∞) 6.某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A点、B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直 方向的高度差为40.两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分 (该三次函数在A,B两点处取得极值)，考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成 45°的夹角，则A,B两点在水平方向的距离约为 A.30m B.40m C.60m B D.120m 数学第1页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高】 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.函数S(x)一1十e是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用 作神经网络的激活函数.记S(x)为Sigmoid函数的导函数，则 A.S'(x)=S(x)[1-S(x)] B.Sigmoid函数是单调递减函数 2024 C.函数S'(x)的最大值是是 D.∑[S(k)+S(-k)]=2025 8.已知定义在[a,b]上恒正且可导的函数f(x)与g(x)满足f(a)>g(a), 则 A.f(b)g(a)>f(a)g(b) B.f(b)g(a)<f(a)g(b) C.f(x)>g(x)恒成立 D.f(x)与g(x)的大小关系无法确定 班级 姓名 分数 题号 1 2 5 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知函数f(x)=x(x-c)2一2025在x=2处有极小值，则c= 10.人教A版《数学必修第二册》第102页指出，“以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， 其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥(circularcone).”若一个直角三角形的斜 边长为3，则按以上步骤所得到圆锥的体积的最大值为 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知函数f(.x)=2a+alnx+2. (1)若a>0. (i)求f(x)的极值； (iⅱ)求证：f(x)>0; (2)若函数g(x)-。-f()在区间(0,2)上恰有2个极值点，求a的取值范围。 三一轮复习40分钟周测卷八 数学第2页（共4页） B 12.(本小题满分15分) 2 已知函数f(x)=ax+e++十a-1(x∈R). (1)证明：y=f(x一1)为奇函数； (2)求f(x)的导函数的最小值； (3)若f(x)恰有三个零点，求a的取值范围. 数学第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 已知函数f(x)=1士n,其中e为自然对数的底数. ax (1)当a=1时，求f(x)的单调区间： (2)若方程f(x)=1有两个不同的根x1,x2. (1)求a的取值范围； (ⅱ)证明：x+x>2. 衡水金卷·先享题·高三一轮复习40分钟周测卷八 数学第4页（共4页）】 ®