(7)导数的应用(单调性、极值、最值)-【衡水金卷·先享题】2026年高考数学一轮复习40分钟周测卷（B）

高三一轮复习40分钟周测卷/数学 (七)导数的应用（单调性、极值、最值） (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知函数y=f(x),x∈R的导数是y=f'(x).对于如下两个命题：①“函数y=f(x)在R上是严 格增函数”是f'(x)≥0的充分不必要条件；②“函数y=f(x)在R上是严格增函数”是f'(x)>0 的必要不充分条件.下列判断正确的为 A.①与②均为真命题 B.①与②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 2.已知函数f(x)=2.x3一ax2十7的单调递减区间是(0,2)，则a= A.6 B.3 C.2 D.0 3.已知函数f(x)=lnx+二(a∈R)的最小值为1，则a= B.e c D.1 4.已知函数f(.x)=x2十aln(x-1)有极值点，则实数a的取值范围为 A.(-∞，0] B.(-∞，0) c.(0,2) D(-,] 5.已知函数fx)=x,则f)f(-)-)的大小关系为 A.f(ff2) .3) cf22)<f)f3） Df(3)<f()<f2 6.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数 运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数， 称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数f(x)=logx(a>0,且a≠ 1)的反函数为f-1(x)=a(a>0,且a≠1).已知函数g(x)=e,F(x)=x2十kg1(x),若对任意 4>>0,有F(x）-F(x)2026恒成立，则实数k的取值范围为 C2一x1 A.(4×506.52,+o∞) B.(2×506.5,+∞) C.[4×506.52,+∞) D.[2×506.52,+o∞) 数学第1页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知f'(x)是函数f(x)的导函数，f'(x)的图象如图，则 y=f(x) A.f(x)在(-∞，1)上单调递减 B.f(x)在x=1处取得极小值 C.f(-1)=0 D.f(x)在x=2处取得极小值 8.已知函数f(x)=2x3-ax,则 A.Va∈R,f(x)为奇函数 B.若f(x)在R上单调递增，则a≤0 C.门a∈R,使得f(x)恰有一个极值点 D.]a∈R,使得f(x)恰好有2个零点 班级 姓名」 分数」 题号 1 2 6 8 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.设函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的定义域为R,f(-x)=|f(x),当x>0时，f(x)>0,写 出一个满足上述条件的有序实数对(a,b)= 10.2025年春节期间，某小店的某款春联日销售量y(单位：套)与销售价格x(单位：元/套)满足的 函数关系式为y”写十3(x一8)，其中x∈(3,8)，m为常数.当销售价格为5元/套时，每日 可售出30套. (1)实数m= (2)若商店销售该商品的销售成本为每套3元（只考虑销售出的套数），当销售价格x= 元/套时，日销售该商品所获得的利润最大.（精确到0.1）（本题第一空2分，第二空 3分) 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知函数/)=+在点(1f(1)处的切线与直线x十4y2026=0垂直 (1)求a的值； (2)求f(x)的单调区间和极值； (3)求f(x)在区间(-1,5)上的最值. -轮复习40分钟周测卷七 数学第2页（共4页） ® 12.(本小题满分15分) 13.(本小题满分20分) 已知函数f(x)=2kx2-4lnx,g(x)=ln,其中x∈(0，e],k>0. 已知函数f(x)=e-k.x2,x∈R. (1)若f(x)在区间(0，十∞)上单调递增，求k的取值范围； 1)若y=)+铝：在x=1处取得极值，求及的值： (2)若=7，求证：当x∈(0，+∞)时，f()>1: (2)讨论函数f(x)的单调性； (3)若对任意x1,x2∈(0，e],当k>1时，不等式f(x1)>g(x2)十4恒成立，求k的取值范围. (3)求证：（层+1×（层+）×（层+1）小…（层+1<c(a∈N). 数学第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高三一轮复习40分钟周测卷七 数学第4页（共4页） 回高三一轮复习B ·数学· 高三一轮复习40分钟周测卷/数学（七） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 函数单调性与充要 1 选择题 易 0.82 性的综合 由函数的单调区间 选择题 5 易 0.75 求参 由函数的最值求参 3 选择题 5 中 0.65 数的值 由函数存在极值点 4 选择题 5 中 0.60 求参数范围 5 选择题 利用导数比较大小 中 0.50 导数新定义，双变量 6 选择题 5 问题 V 难 0.25 7 由导函数图象研究 选择题 6 易 0.75 函数的性质 利用导数研究三次 8 选择题 中 0.40 函数的性质 与导数有关的举 9 填空题 5 易 0.72 例题 利用导数解决利润 10 填空题 5 中 0.35 最大问题 求函数的单调区间 11 解答题 13 易 0.72 和极值、最值 由极值求参，讨论函 12 解答题 15 数的单调性，不等式 中 0.35 恒成立问题 13 解答题 20 导数的证明问题 难 0.28 叁考答案及解析 一、选择题 =1,有f(x)=0,符合f(x)≥0，但是不符合y= 1.A【解析】因为函数y=f(x)在R上是严格增函数， f(x)在R上是严格增函数，故命题①的必要性不满 所以f(x)≥0，所以命题①的充分性满足；取f(x) 足，所以①为真命题.因为函数y=(x)在R上是严 ·27· ·数学· 参考答案及解析 格增函数，所以f'(x)≥0，所以命题②的充分性不 ikln x2-2 026x>xikln x-2026x,h(x) 满足；由f(x)>0可得函数y=f(x)在R上是严格 =x2十klnx-2026x,于是对任意x2>x1>0,h(x2) 增函数，故命题②的必要性满足，所以②为真命题.故 >h(x1)恒成立，即函数h(x)在(0，十∞)上单调递 选A. 增，则1x∈(0，+∞)，h'(x)=2x+-2026≥0，即 x 2.A【解析】由f(x)=2x3-ax2十7，可得f(x)= k≥-2x2十2026x恒成立，则k≥(-2x十 6x2-2ax,由于f(x)的单调递减区间是(0,2)，故x 2026x)mx,又-2x2+2026x=-2(x-506.5)2十2 =0和x=2是f'(x)=6.x2-2ax=0的两个根，故 ×506.52≤2×506.52，当且仅当x=506.5时取等 24-4a=0,解得a=6,经检验，当a=6时满足题意. 号，则k≥2×506.5，所以实数k的取值范围为[2× 故选A. 506.52,十o∞).故选D. 3.D【解析】由题得f(x)的定义域为(0，十∞)，f(x) 二、选择题 =号-，当a0时，fx)>0在0+) 7,ACD【解析】显然C正确；由已知，x<1时，f(x) 内恒成立，所以函数f(x)在(0，十∞)上单调递增，此 ≤0，因此f(x)在(-∞，1)上单调递减，A正确： 时f(x)无最小值；当a>0时，由f(x)>0,得x>a, f(1)≠0，且x=1两侧的导数都是负数，所以f(1) 由f(x)<0,得0<x<a,所以函数f(x)在(0，a)上 不是极值，B错误；由f(2)=0,x<2时，f'(x)≤0， 单调递减，在(a,十∞)上单调递增，故当x=a时， f(x)单调递减，x>2时，f(x)>0,f(x)单调递增， f(x)取最小值，即f(x)im=f(a)=1na十1=1，解 所以f(2)是极小值，D正确.故选ACD. 得a=1.故选D. 8.AB【解析】对于A,f(x)的定义域为R,f(一x) 2(-x)3-a(-x)=-2x2十ax=-f(x),所以Ha∈ 4.A【解析】由题得了(x)=2x十“气 R,f(x)为奇函数，A正确；对于B,若f(x)在R上单 2x2-2x+a,x>1,f(x)有极值点，即f(x)=0有 调递增，则f(x)=6x2一a≥0恒成立，即a≤6x2恒 x-1 成立，故a≤0，B正确：对于C,若f(x)恰有一个极值 实数根，即2x2一2x+a=0有实数根，因为函数y 点，则(x)=6x2-a=0有一个解，可得a=0,此时 1 2x2-2x十a的对称轴为x=之，所以函数在区间 f(x)=6x≥0恒成立，f(x)单调递增，f(x)无极 值点，矛盾，故不存在a∈R,使得f(x)恰有一个极值 (1,十∞)有零点，只需满足2×12-2×1十a<0,解 点，C错误；对于D,f(x)=0即x(2x2-a)=0,当a 得a<0.当a=0时，f(x)=x2,有极值点，所以a ≤0时，f(x)恰有1个零点0；当a>0时，f(x)恰有3 0.故选A. 5,B【解析】由题得f(x)是偶函数，f(x)在 个零点，即0，士√受，故无论a为何值，)都不可 (0,是)上单调递增，令g(x)=D严，>e,则g(x) 能恰有2个零点，D错误.故选AB. 三、填空题 -1-ln工<0，函数g(x)在(e,十∞)上单调递减， 9.(2,0)(答案不唯一，b取0，a取大于1的实数即可) x 故ge)广g(3)>84)>g(5),即>03>h 【解析】由f(-x)=|f(x)|,得a1-1 abl,即a1+bl=albl,则|x十b=x-b|, ≥g>0,面=12，所以f()>f2〉 所以b=0.当x>0时，f'(x)>0,则f(x)在 (0,十∞)上为增函数，当x∈(0，十∞)时，f(x)= >f(),所以5(-)<5(2) a,则a>1,可取a=2,可得满足条件的一个函数为 f(x)=2,此时有序实数对(a,b)为(2,0)， f(-)故选B 10.64.7 【解折】设f(x)-”3+3(x-8),x∈ 6.D【解析】依题意，g1(x)=lnx,则F(x)=x2十 nx,当>>0时，不等式F）-F(z) (3,8),依题意f(5)=3+3X(5-8)”=30,解 x2-x1 6 2026等价于F(x2)-2026x2>F(x1)-2026x1,即 得m=6,则f(x)=°3+3(x-8)°，x∈(3,8). ·28· 高三一轮复习B ·数学· 设商店日销售该商品所获得的利润为g(x),则由 12,解：D令4(x)=f(x)+号 题可得g(x)=f(x)(x-3)=6十3(x-8)· (x-3)=3x3-57x2+336x-570,x∈(3,8).则 由题意∫(x)=4hx一4 g(x)=9x2-114x+336=3(x-8)(3x-14),当 3<x<号时，g()>0,当号<r<8时g(x)< 则1(x)=∫(x)+ 9 9 0,所以g(x)在(3，号)上单调递增，在（告，8）上 由已知得r1)=铁-4+号-0， 单调递减，所以当x= 兰时，g(x)取最大值，故当销 解得k=9, (3分) 售价格=号≈4.7时，日销售该商品所获得的利 此时1(x)=Ax-4+32=4(x-1)(x+9) g- x 9 9x 易知在区间(0,1)上f(x)单调递减，在(1，e)上 润最大 四、解答题 f(x)单调递增， 则函数f(x)在x=1处取得极小值，符合题意， 11,解：(1)因为f(x)=x十e e-T 因此及=弓 (5分) 所以f(x)=2el-(x+a)e= 2x-x'-a (e-1)2 er-T 则f(1)=1-a, (2分) (2)由题意f(x)=4x- 4 (+)() 2 因为函数了x)=在点1，)处的切线 其中x∈(0，e],k>0, (6分) 与直线x十4y-2026=0垂直， 当<e,即>时， 故(1-a)×(-子)=-1， 解得a=-3. (4分) 了(x)在(o,誓)上单粥通减，在[]上单调递 (2)由(1)得f(x)=x二3 增. (8分) e-T f(x)=2红x+3=-(x-3)(+1) 当≥e,即0<k≤时， e-1 e- (5分) f(x)在(0，e]上单调递减. (9分) 令f(x)<0,得x>3或x<-1, 令f(x)>0,得-1<x<3, (7分) 综上，当0<≤时，(x)在(0]上单调递减： 列表如下： 当k>号时，f(x)在(0，)上单调递减，在 1) -1 -1,3) 3 (3,十0∞ (x) 0 0 []上单测增， (10分) (x) 极小值 极大值 故f(x)的单调递减区间为（一 (3)当>1>吉时，由(2)可知当x=时，函数 0,-1)和 (3,十∞)，单调递增区间为（一1,3）， (9分) ∫(x)取得最小值， f(x)的极大值为f(3)=令，极小值为f(一1) 即f()=() =2+21nk, (11分) -2e2. (10分) 由g(x)=ln若=n一nk: (3)由(2)知，f(x)在区间（一1,3）上单调递增，在 (3,5)上单调递减， 可得g(x)在(0，e]上单调递增， 即当x=e时，g(x)mx=g(e)=1-lnk,(13分) 所以：)的最大值为f3)-令，无最小值。 对任意x1,x2∈(0，e],当k>1时，不等式f(x1)> (13分) g(x2)十4恒成立， ·29· ·数学· 参考答案及解析 则必有f(x)m>g(x)mx十4， 则h'(x)=e-1>0, (9分) 即2+2lnk>1-lnk+4, 所以h(x)(即子(x)在(0，十o∞)上单调递增， 解得>e, 所以f(x)>f(0)=1>0, 所以k的取值范围是(e,十o∞). (15分) 所以f()=e- 2在(0，十0)上单调递增， 13.解：(1)因为f(x)=e-kx2, 所以f(x)=e-2kx, 故f(x)>f(0)=1,得证. (12分) 依题意(x)=e-2kx≥0在区间(0，十c∞)上恒 (3)由2)知对于x∈(0，十∞)，有e- 2x>1, 成立， 取x为2x有e>2x2+1, 即2k≤号在区间(0，十∞)上恒成立， (2分) 则1ln(2x2+1)<2x,x∈(0，+o∞)， (14分) 设g()=兰e0,+o) 取x=是(neN), 则g'(x)=C(x1 从面有（号+）<号a∈N) (15分) x 故当x∈(0,1)时g(x)<0,即g(x)在(0,1)上 于是1（层+1）+（层+）+in(保+)十…+ 单调递减； 当x∈(1，十∞)时g'(x)>0,即g(x)在 n(层+1)是+++…+ 2 (1,十∞)上单调递增， 2 2 所以g(x)≥g(1)=e, (5分) 故2k≤e,解得k≤受， =2+[(1-号)+（合）++（片月 即的取值范图为(0，受] (6分) =4一 （2当=专时f=e-合 所以（层+1）×（层+）×（景+1）·… 则∫(x)=e-x (是+1)<c(n∈N). (20分) 令h(x)=f'(x)=e-x,x∈(0，十∞)， ·30·