专题04 圆的方程及直线与圆，圆与圆的位置关系（考点清单+知识导图+ 21个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

清单04 圆的方程及直线与圆，圆与圆的位置关系 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【清单02】点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: 几何法:设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 【清单03】圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心， 点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 【清单04】圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心， 以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【清单05】直线与圆的位置关系:几何法 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 【清单06】直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 【清单07】直线与圆相切 （1）圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 （2）过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） （3）切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 切线长公式 【清单08】圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 【清单09】圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 【考点题型一】二元二次方程表示曲线与圆的关系 核心方法：当时，方程叫做圆的一般方程. 【例1】（24-25高二上·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）若方程表示圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．. D． 【变式1-2】（24-25高二上·福建漳州·期中）若方程表示圆，则（   ） A．1 B． C． D．或1 【考点题型二】求圆的方程 【例2】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）过点，且与直线相切于点的圆的方程为 ． 【变式2-1】（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·陕西·期中）过点，，三点的圆的标准方程为 【考点题型三】判断直线与圆的位置关系 核心方法：几何法或代数法 【例3】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知圆，直线，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 【变式3-1】（24-25高二上·江苏南京·期中）设k为实数，直线与圆交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【变式3-2】（23-24高二上·江西赣州·期中）已知直线与圆，则直线与圆相交． ． 【考点题型四】由直线与圆的位置关系求参数 核心方法：几何法 【例4】（24-25高二上·辽宁·期中）已知直线与圆相离，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·吉林通化·期中）若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·辽宁·期中）已知直线与圆相切，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型五】直线与圆交点坐标 核心方法：代数法联立 【例5】（23-24高三上·江苏南通）在平面直角坐标系中，已知圆过点，为圆上一点，且弧的中点为，则点的坐标为 . 【变式5-1】（24-25高二·全国·课后作业）设圆C：，直线l：x－y－5＝0，则圆C上到直线l距离最近的点的坐标和最远的点的坐标分别为 ． 【考点题型六】直线与圆相交（韦达定理应用） 核心方法：代数法联立，求韦达定理 【例6】（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知圆关于直线对称，且经过点和. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于两点，若（为坐标原点），求直线的方程. 【变式6-1】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知点，，动点满足，点为线段的中点. (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线交于两点，，设直线，的斜率分别为，，求的值. 【变式6-2】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆． (1)若满足，求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求的取值范围； 【变式6-3】（23-24高二上·山东烟台·期中）已知点，，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 【考点题型七】过圆上一点作圆的切线 核心方法：几何法（圆心到直线距离等于半径） 【例7】（24-25高二上·山西·期中）已知在中，，，，记的外接圆为圆. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 【变式7-1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·福建·期中）已知点，. (1)求直线MN的一般式方程； (2)求以线段MN为直径的圆的标准方程； (3)求（2）中的圆在点处的切线方程. 【考点题型八】过圆外一点作圆的切线 核心方法：几何法（圆心到直线距离等于半径） 【例8】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）平面直角坐标系中，曲线与两条坐标轴的三个交点都在圆上. (1)求圆的方程; (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【变式8-1】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知圆经过点，，. (1)求圆的方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【变式8-2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 【考点题型九】切线长 核心方法：勾股定理 【例9】（24-25高二上·广东深圳·期中）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 【变式9-1】（24-25高二上·重庆·期中）已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则 . 【变式9-2】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知圆，直线过点. (1)求圆的圆心坐标及半径长； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【考点题型十】已知切线求参数 核心方法：几何法（圆心到直线距离等于半径）+代数法 【例10】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）过点可以作圆的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知圆与x轴相切，则 . 【变式10-2】（24-25高二上·天津武清·期中）若直线与圆相切，则实数 ． 【考点题型十一】切点弦及其方程 【例11】（2024高三·全国·专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【变式11-2】（23-24高二上·全国·课后作业）过原点O作圆的两条切线，设切点分别为P，Q，求线段PQ的长． 【考点题型十二】直线与圆综合（圆的弦长） 核心方法： 【例12】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆经过点，，三点，直线的方程为. (1)求圆的标准方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当为何值时，直线被圆截得的弦长最短？并求出最短弦长. 【变式12-1】（24-25高二上·云南昭通·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【变式12-2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． (1)若弦长，求直线的方程； (2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 【考点题型十三】已知圆的弦长求方程或参数 核心方法： 【例13】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆C过点，，且圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)若过点的直线l被圆截得的线段长度为，求直线l的方程. 【变式13-1】（24-25高二上·上海·期中）已知圆M经过两点，且圆心M在直线上. (1)求圆M的标准方程； (2)若直线过点，且被圆M截得的弦长为，求直线的方程. 【变式13-2】（24-25高二上·北京顺义·期中）圆（圆心为整数点）经过，，且满足_________ ①与直线相切      ②经过点      ③圆心在直线上． 请从以上三个条件中选择一个条件填到横线上完成下列问题 (1)求圆的方程； (2)过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 【考点题型十四】直线与圆的实际应用 核心方法：建系法 【例14】（24-25高二上·广西南宁·期中）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； (2)试求经过三点的圆的标准方程； (3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 【变式14-1】（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【变式14-2】（24-25高二上·浙江·期中）一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（    ） A． B． C． D． 【考点题型十五】直线与圆的定点问题 核心方法：韦达定理 【例15】（24-25高二上·辽宁·期中）已知圆的圆心在以点为端点的线段的垂直平分线上，圆的所有过点的弦中最短弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点，并求出该定点的坐标. 【变式15-1】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【变式15-2】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线的方程； (2)若点是圆上两点， ①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程； ②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点． 【考点题型十七】直线与圆的位置关系中的最值问题 核心方法：几何法 【例16】（24-25高二上·宁夏银川·期中）已知关于直线对称，且圆心在轴上. (1)求的标准方程； (2)已知动点在直线上，过点引的切线MA，求的最小值. 【变式16-1】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 【变式16-2】（24-25高二上·江西抚州·阶段练习）（1）若直线的一个方向向量为，且在轴上的截距为，求直线的方程； （2）已知直线恒过定点P，直线恒过定点Q，已知和交于点M． ①求出定点P，Q的坐标； ②求面积的最大值． 【考点题型十七】判断圆与圆的位置关系 核心方法：几何法 【例17】（24-25高二上·河南郑州·期中）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【变式17-1】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）圆与的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 【变式17-2】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．内切 D．内含 【考点题型十八】由圆与圆的位置关系求参数 核心方法：几何法 【例18】（24-25高二上·重庆·期中）若圆与圆有公切线，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式18-1】（24-25高二上·重庆荣昌·期中）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．2或-1 D．3或 【变式18-2】（24-25高二上·上海·期中）已知圆：和圆：外切，则的值为 . 【考点题型十九】圆的公切线条数 核心方法：几何法 【例19】（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式19-1】（24-25高二上·江苏·期中）已知圆，圆，则圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式19-2】（24-25高二上·重庆·期中）已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是 . 【考点题型二十】相交圆的公共弦方程 核心方法：作差 【例20】（24-25高二上·江西新余·阶段练习）过点作圆的两条切线，与圆相切于，则直线的方程为 . 【变式20-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆：，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是 ． 【变式20-2】（24-25高二上·天津河北·期中）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ：公共弦长为 . 【考点题型二十一】相交圆的公共弦长 核心方法： 【例21】（23-24高三上·广东汕尾）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则 【变式21-1】（23-24高二下·浙江·开学考试）若圆：与圆：相交于、两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长是 ． 【变式21-2】（24-25高二上·全国·课后作业）若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则直线AB的方程为 ；线段AB的长为 ．    提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·四川成都·期中）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 2．（24-25高三上·天津·期中）经过三点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 3．（24-25高二上·湖北·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建福州·期中）已知实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·福建福州·期中）过点的直线与圆交于A，B两点，当弦AB最短时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线为切点，当的最大值为，则的值为（    ） A．4 B． C．1 D． 二、多选题 9．（23-24高三上·海南儋州·开学考试）若方程表示圆，则实数a的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D． 10．（24-25高二上·重庆开州·阶段练习）已知圆C：，直线l：.则以下几个命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 三、填空题 11．（2024高三·全国·专题练习）已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 . 12．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知圆，若圆与圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是 . 四、解答题 13．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，某海面上有，，三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，，三点.    (1)求圆的方程； (2)若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 14．（湖北省部分省级示范高中2024-2025学年高二上学期期中测试数学试题）已知圆，直线 (1)求证：直线与圆恒有两个交点 (2)设直线与圆交于两点，当为何值时，三角形的面积有最大值，并求出该最大值 15．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知圆（为常数）． (1)当时，求直线被圆截得的弦长． (2)证明：圆经过两个定点． (3)设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程． 16．（24-25高二上·北京·期中）已知圆过点和点，且圆心在直线上，直线过点. (1)求圆的方程； (2)若与圆相切，求的方程； (3)若与圆相交于，两点，线段的中点为，与：的交点为，求证：为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 圆的方程及直线与圆，圆与圆的位置关系 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【清单02】点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: 几何法:设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 【清单03】圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心， 点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 【清单04】圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心， 以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【清单05】直线与圆的位置关系:几何法 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 【清单06】直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 【清单07】直线与圆相切 （1）圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 （2）过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） （3）切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 切线长公式 【清单08】圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 【清单09】圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 【考点题型一】二元二次方程表示曲线与圆的关系 核心方法：当时，方程叫做圆的一般方程. 【例1】（24-25高二上·吉林通化·期中）若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】将方程化为圆的一般方程，利用列式即可求. 【详解】若方程表示一个圆，则， 方程可化为， 所以，解得，且不等于0， 所以或. 故选：D 【变式1-1】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）若方程表示圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．. D． 【答案】A 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】圆的一般式中，由得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】表示圆， 则，解得. 故选：A 【变式1-2】（24-25高二上·福建漳州·期中）若方程表示圆，则（   ） A．1 B． C． D．或1 【答案】A 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般式方程，建立方程，分别检验方程的解，可得答案. 【详解】由题意可得，化简可得，则，解得或， 当时，可得方程， 整理可得，显然不合题意； 当时，可得，整理可得，符合题意. 故选：A. 【考点题型二】求圆的方程 【例2】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）过点，且与直线相切于点的圆的方程为 ． 【答案】 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】设圆的标准方程为，结合题意，求出过点与直线 垂直的直线方程及线段的垂直平分线的方程，联立可得圆心坐标，继而可求出半径，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆与直线相切于点， 可得过点与直线垂直的直线方程为． 又由、，可得线段的垂直平分线的方程， 联立方程组，解得，，即圆心坐标为． 又由，即圆的半径为， 所以圆的方程为． 故答案为：. 【变式2-1】（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求圆的一般方程 【分析】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可. 【详解】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高二上·陕西·期中）过点，，三点的圆的标准方程为 【答案】 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设圆的标准方程为，根据条件建立方程组，联立方程求解出，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆过点，，三点， 所以①，②，③， 由①②得到④，由②③得到⑤， 由④⑤解得，代入①，得， 所以圆的标准方程为， 故答案为：. 【考点题型三】判断直线与圆的位置关系 核心方法：几何法或代数法 【例3】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知圆，直线，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 【答案】C 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】确定直线所过定点在圆内，从而得直线与圆位置关系． 【详解】由已知直线过定点， 圆标准方程为，圆心为，半径为， ，即定点在圆内，因此直线与圆相交． 故选：C． 【变式3-1】（24-25高二上·江苏南京·期中）设k为实数，直线与圆交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【知识点】直线过定点问题、判断点与圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系 【分析】找到直线所过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可确定交点数. 【详解】由，即直线恒过，而圆可化为， 所以，即点在圆内，则直线与圆恒有2个交点. 故选：C 【变式3-2】（23-24高二上·江西赣州·期中）已知直线与圆，则直线与圆相交． ． 【答案】正确 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、判断直线与圆的位置关系 【分析】求出圆的圆心及半径，再利用点到直线距离公式计算判断即可. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为3， 点到直线的距离为，因此直线与圆相交. 故答案为：正确 【考点题型四】由直线与圆的位置关系求参数 核心方法：几何法 【例4】（24-25高二上·辽宁·期中）已知直线与圆相离，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据方程表示圆以及直线与圆的位置关系得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】将圆的方程化为标准方程可为， 则，解得或，圆心为，半径为， 因为直线与圆相离，则， 整理可得，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【变式4-1】（24-25高二上·吉林通化·期中）若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线过定点问题、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解. 【详解】由得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴）， 直线过定点， 当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 直线斜率为， 结合图形可得实数的取值范围是. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·辽宁·期中）已知直线与圆相切，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据圆心到直线的距离等于半径求解即可 【详解】由题意，得圆心坐标为，因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径， 所以，解得. 故选：B 【考点题型五】直线与圆交点坐标 核心方法：代数法联立 【例5】（23-24高三上·江苏南通）在平面直角坐标系中，已知圆过点，为圆上一点，且弧的中点为，则点的坐标为 . 【答案】 【知识点】求直线与圆交点的坐标 【分析】设的中点为，则，即可取出直线的方程，联立直线与圆的方程，解得即可. 【详解】解：设的中点为，即，所以，又， 所以， 所以直线为，又圆：， 所以，解得或， 所以. 故答案为： 【变式5-1】（24-25高二·全国·课后作业）设圆C：，直线l：x－y－5＝0，则圆C上到直线l距离最近的点的坐标和最远的点的坐标分别为 ． 【答案】最近点；最远点 【知识点】求直线与圆交点的坐标 【分析】先判断直线和圆的位置关系，然后求得过圆的圆心且与直线垂直的直线方程，通过联立方程来求得最近点和最远点的坐标. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离. 直线的斜率为， 所以过且与直线垂直的直线方程为， 由解得或， 结合图象可知：最近点；最远点. 故答案为：最近点；最远点 【考点题型六】直线与圆相交（韦达定理应用） 核心方法：代数法联立，求韦达定理 【例6】（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知圆关于直线对称，且经过点和. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于两点，若（为坐标原点），求直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】（1）圆心在直线上，且在的垂直平分线上，联立两直线方程求得圆心，半径，即可得圆的标准方程； （2）由题意点在圆上，求出，则得切线斜率，由点斜式方程求出切线方程； （3）由题意可知直线的斜率一定存在，故可设直线，与圆的方程联立，根据韦达定理，结合数量积的运算求出即可. 【详解】（1）因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 因为圆经过点，所以圆心在的垂直平分线上， 因为，中点为， 所以的垂直平分线方程为，即， 则，所以圆心为， 半径，所以圆的标准方程为. （2）因为，所以点在圆上， 又，则切线斜率为， 所以切线方程为，即为， 所以过点且与圆相切的直线方程为. （3）由题意可知直线的斜率一定存在，故可设直线， 设， 则， 则①， 故，， 因为 ， 则，解得或（舍去）， 所以直线的方程为. 【变式6-1】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知点，，动点满足，点为线段的中点. (1)求点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线交于两点，，设直线，的斜率分别为，，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】轨迹问题——圆、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）设，代入，化简得，设，由中点坐标公式可得，代入，化简即得轨迹的方程； （2）由题知直线的斜率存在，设直线的方程为，与轨迹的方程联立，结合韦达定理及斜率公式求解即可. 【详解】（1）解：设，因为， 所以， 等号两边分别平方，得， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 设， 因为点为线段的中点， 所以点的坐标为. 将点的坐标代入， 化简得， 所以点的轨迹的方程为. （2）解：由题知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 点，. 由方程组，消去， 化简得. 由，解得. 由一元二次方程根与系数的关系得，， 则 ， 即. 【点睛】方法点睛：在解决直线与圆锥曲线问题的题目时，常将直线方程和圆锥曲线方程联立起来，结合韦达定理求解. 【变式6-2】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆． (1)若满足，求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】（1）将所求代数式转换为直线方程，利用直线与圆有交点来建立不等关系，得到范围. （2）联立直线方程与圆的方程得到关于的二次方程，利用韦达定理得出和的值，已知夹角为锐角，借助向量数量积为正数建立不等关系，得出范围. 【详解】（1），令，即 直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离小于等于半径，即 解得或．即 （2）设的坐标分别为，， 将直线代入，整理，得， ，， ，即， 当为锐角时， ，解得， 又，或． 故的取值范围为． 【变式6-3】（23-24高二上·山东烟台·期中）已知点，，动点P满足，设P的轨迹为C． (1)求C的轨迹方程； (2)若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】轨迹问题——圆、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】（1）设出点坐标，根据距离公式以及得到的等量关系即为轨迹方程； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，斜率不存在时直接计算即可，斜率存在时联立直线与轨迹方程，利用坐标法结合不等式完成计算. 【详解】（1）设，因为， 所以，所以， 化简得：， 所以的轨迹方程为：； （2）当直线斜率不存在时，直线方程为，代入的轨迹方程可得， 不妨令，所以， 所以； 当直线斜率存在时，设，， 联立，可得， 所以， 又， 所以， 所以， 因为，所以，所以，所以； 综上可知，的取值范围为. 【考点题型七】过圆上一点作圆的切线 核心方法：几何法（圆心到直线距离等于半径） 【例7】（24-25高二上·山西·期中）已知在中，，，，记的外接圆为圆. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】（1）方法一，求两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定半径，从而得到圆的方程； 方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程. （2）先求圆心与点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解切线方程. 【详解】（1）（方法一）直线的方程为，、的中点为， 所以线段的中垂线方程为， 直线的方程为，、的中点为， 线段的中垂线方程为. 直线与直线的交点为，即圆的圆心为. 点与点的距离为， 即圆的半径为，所以圆的标准方程为. （方法二）设圆的标准方程为， 则， 解得 故圆的标准方程为 （2）圆的圆心为，，直线的斜率为， 所以切线斜率为，所求切线方程为， 整理得. 【变式7-1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程. 【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二上·福建·期中）已知点，. (1)求直线MN的一般式方程； (2)求以线段MN为直径的圆的标准方程； (3)求（2）中的圆在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】直线的一般式方程及辨析、由圆心（或半径）求圆的方程、过圆上一点的圆的切线方程 【分析】（1）利用两点式求出直线斜率，然后利用点斜式方程求解即可； （2）由中点坐标公式求出圆心坐标，再求出半径，即可得到圆的方程； （3）先求得切线的斜率，代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】（1）直线MN的斜率为， 则直线MN的方程为，即. （2）由题意可知圆心C为线段MN的中点，即， 半径， 故所求圆的标准方程为. （3）直线CP的斜率为，则所求切线的斜率为， 故所求的切线方程为，即. 【考点题型八】过圆外一点作圆的切线 核心方法：几何法（圆心到直线距离等于半径） 【例8】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）平面直角坐标系中，曲线与两条坐标轴的三个交点都在圆上. (1)求圆的方程; (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）求出曲线与坐标轴的交点坐标，设出圆的一般方程，代入求解即可； （2）分类讨论，当斜率不存在时，直接验证即可；当斜率存在时，设直线方程，再由圆心到直线的距离解出即可. 【详解】（1）由题意，令，则， 令，则， 所以曲线与坐标轴的三个交点为, 设圆的一般方程为, 则,解得, 所以圆的方程为. （2）由（1）可知，圆的标准方程为,圆心为,半径， 当过点的直线斜率不存在时， 即直线的方程为， 则圆心到直线的距离，满足条件； 当过点的直线斜率存在时， 设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 解得，故直线的方程为，即. 综上所示，切线的方程为或. 【变式8-1】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知圆经过点，，. (1)求圆的方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）利用待定系数法设出圆的一般式方程，代入已知点建立方程组，可得答案； （2）利用分类讨论思想，结合圆的切线性质建立方程，可得答案. 【小题1】设所求圆的方程为， 因为点，，在所求的圆上，所以 解得 故所求圆的方程是 . 【小题2】当直线垂直于轴时，直线：与圆相切，满足条件； 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为 即， 所以圆心到直线的距离等于圆的半径， 从而，解得， 因此，所求切线方程是或 【变式8-2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】数量积的坐标表示、过圆外一点的圆的切线方程、求平面轨迹方程 【分析】（1）设，由，得动点的轨迹方程； （2）利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程. 【详解】（1）设，则，， 由，得， 所以曲线的标准方程为. （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切； 过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即， 有圆心到直线距离，解得， 则方程为. 过点且与曲线相切的直线的方程为或. 【考点题型九】切线长 核心方法：勾股定理 【例9】（24-25高二上·广东深圳·期中）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 【答案】 【知识点】切线长 【分析】由题意得当最小时，连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案． 【详解】圆的圆心，半径， 设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 因为圆心到直线的距离， 所以切线长的最小值为：． 故答案为：． 【变式9-1】（24-25高二上·重庆·期中）已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则 . 【答案】 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、切线长 【分析】由题设知圆心在直线上，得，再由两点距离公式、圆的切线性质求切线长. 【详解】由圆，圆心坐标为，半径为2， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上，则， 因为过点向圆作切线，切点为，且， 所以. 故答案为： 【变式9-2】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知圆，直线过点. (1)求圆的圆心坐标及半径长； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【答案】(1)圆的圆心坐标为，半径长为； (2)或； (3). 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、切线长、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】（1）把圆的一般方程化为标准方程，求圆心坐标和半径； （2）对切线分斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，设直线点斜式方程，根据圆心到直线的距离等于半径建立等量关系，当斜率不存在时，根据切线过点可求切线方程； （3）根据圆心与切点的连线垂直于切线，结合勾股定理求解. 【详解】（1）圆方程可化为:，圆心坐标为，半径长为. （2）①当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线距离为，满足题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程是，即. 由圆心到直线的距离等于半径得，，解得， 此时直线的方程为. 综上，直线的方程为或. （3） ∵圆的圆心坐标为，， ∴. 如图，由相切得，，， ∴. 【考点题型十】已知切线求参数 核心方法：几何法（圆心到直线距离等于半径）+代数法 【例10】（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）过点可以作圆的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】根据方程表示圆以及点与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由圆的一般式方程知：， 所以，，即，解得或， 又知过点可作两条切线，得点在圆外， 即，即，综上可知：. 故选：A 【变式10-1】（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知圆与x轴相切，则 . 【答案】 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、已知切线求参数 【分析】整理圆的方程为标准式，明确圆心与半径，由切线建立方程，可得答案. 【详解】由圆的方程整理可得圆，则圆心，半径， 由圆与轴相切，则，解得. 故答案为：. 【变式10-2】（24-25高二上·天津武清·期中）若直线与圆相切，则实数 ． 【答案】0或 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知切线求参数 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，根据圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果. 【详解】由可得：， 所以圆心为，半径为2， 由题意可得：， 解得：或， 故答案为：0或 【考点题型十一】切点弦及其方程 【例11】（2024高三·全国·专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、切点弦及其方程、圆的弦长与中点弦、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案． 【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径， 过点作圆的两条切线，设切点分别为、， 而，则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 所以为两圆的公共弦所在的直线，则有， 作差变形可得：； 即直线的方程为. 故选：B. 【变式11-1】（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【知识点】切点弦及其方程 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为（圆的方程为），代入即可的直线的方程. 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为: ， 化简得：. 故答案为：. 【变式11-2】（23-24高二上·全国·课后作业）过原点O作圆的两条切线，设切点分别为P，Q，求线段PQ的长． 【答案】 【知识点】切线长、切点弦及其方程 【分析】由圆的方程确定圆心C、半径r，根据切线段长与半径r、OC的几何关系，求切线段长，利用等面积法求切点弦的长即可. 【详解】   由题意，可化为， ∴圆心，半径，则有，故切线段长， 若线段的长为，则，得. 【考点题型十二】直线与圆综合（圆的弦长） 核心方法： 【例12】（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆经过点，，三点，直线的方程为. (1)求圆的标准方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当为何值时，直线被圆截得的弦长最短？并求出最短弦长. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【知识点】直线过定点问题、求圆的一般方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）将直线方程化为关于的多项式等于0，联立方程组即可求解； （3）当直线时，直线被圆截得的弦长最短，求出此时圆心到直线的距离，结合弦长公式即可求解. 【详解】（1）设圆的方程为，， 则，解得， 则圆的方程为， 即； （2）直线的方程可化为， 联立，解得， 故直线恒过定点； （3）设，，当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 则直线的斜率为， 由得直线的斜率为，解得， 此时的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 最短弦长. 【变式12-1】（24-25高二上·云南昭通·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）设出圆心坐标，根据求解出圆心和半径，由此求得圆的标准方程； （2）分别考虑切线的斜率存在和不存在，斜率不存在时直接分析，斜率存在时根据圆心到直线的距离等于半径完成计算； （3）先计算出圆心到的距离，然后根据弦长公式求解出被圆所截得的弦长即可. 【详解】（1）由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即， 半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得， 此时切线的方程为：， 即， 综上所述：过的切线方程为或. （3）圆心到直线的距离为， 所以弦长. .【变式12-2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． (1)若弦长，求直线的方程； (2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 【答案】(1)或； (2)最大，此时. 【知识点】圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数、坐标法的应用——直线与圆的位置关系 【分析】（1）根据已知，令直线，利用几何法求点线距离，再应用坐标法列方程求参数，即可得直线方程； （2）令直线，应用点线距离公式、弦长公式及三角形面积求法列方程，利用基本不等式求面积最大值，注意取值条件即可得答案. 【详解】（1）若直线斜率不存在，则，此时，不符题设， 由，则圆心，半径为3，又， 所以到直线的距离， 令直线，则，可得，故或， 所以直线的方程为或； （2）由（1）直线斜率不存在，有， 又到直线的距离，则； 若直线斜率存在，令， 此时到直线的距离，， 所以，令， 则，当且仅当，即或时等号成立， 所以，此时最大. 【考点题型十三】已知圆的弦长求方程或参数 核心方法： 【例13】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆C过点，，且圆心C在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)若过点的直线l被圆截得的线段长度为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）易知圆心在的中垂线上，求得中垂线方程，联立两直线，可得圆心坐标，进而可得圆的方程； （2）根据圆心与直线方程，结合垂径定理可列方程，解方程即可. 【详解】（1）由，，则中点为，， 易知圆心在的中垂线上，且中垂线斜率， 则中垂线方程为，即， 联立，解得，即圆心， 半径， 所以圆的方程为； （2）直线l被圆截得的线段长度为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线斜率存在时，设直线，即， 圆心到直线的距离， 解得，即直线； 当直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意， 综上所述，直线的方程为或. 【变式13-1】（24-25高二上·上海·期中）已知圆M经过两点，且圆心M在直线上. (1)求圆M的标准方程； (2)若直线过点，且被圆M截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）设圆方程，代入已知点坐标到方程以及圆心的关系，解得参数，写出圆的方程； （2）讨论斜率是否存在：斜率不存在时直接得到直线方程，验证交点弦长满足题意；当斜率不存在时，设用点斜式设直线，求出圆心到直线距离，由垂径定理建立等式，求得斜率值，写出直线方程. 【详解】（1）设圆M的方程为：， 由题意得，解得， 圆M的标准方程为； （2）由（1）可知圆的圆心为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离， 被圆截得的弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线， 由被圆截得的弦长为，可得，则， 解得，所以直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或. 【变式13-2】（24-25高二上·北京顺义·期中）圆（圆心为整数点）经过，，且满足_________ ①与直线相切      ②经过点      ③圆心在直线上． 请从以上三个条件中选择一个条件填到横线上完成下列问题 (1)求圆的方程； (2)过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、已知切线求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）根据题意可得线段的中垂线方程为，设圆心.若选①：结合相切关系列式求解即可；若选②：根据圆的定义列式求解即可；若选③：将代入直线运算即可； （2）求出圆的标准方程得圆心坐标和半径，由弦长求得圆心到直线的距离，分类讨论，斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数值得直线方程，斜率不存在时检验． 【详解】（1）因为，的中点为，且， 则线段的中垂线方程为，即， 可设圆心，则. 若选①：因为圆与直线相切， 注意到位于直线的同侧， 则，解得， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 即圆心，半径， 所以圆的方程为； 若选②：因为圆经过点， 则，解得， 即圆心，半径， 所以圆的方程为； 若选③：因为圆心在直线上， 则，解得， 即圆心，半径， 所以圆的方程为. （2）因为直线l被圆C截得的弦长为6， 则圆心到所求直线的距离为. 当直线l斜率不存在时，直线l方程为，满足题意； 当直线l斜率存在时，设直线l为：，即， 则，解得，此时直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 【考点题型十四】直线与圆的实际应用 核心方法：建系法 【例14】（24-25高二上·广西南宁·期中）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； (2)试求经过三点的圆的标准方程； (3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 【答案】(1)，， (2) (3)轮船会进入安全预警区，在安全预警区内会行驶小时 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦、直线与圆的实际应用 【分析】（1）根据实际意义可得坐标，利用两点间距离公式可得； （2）假设圆的一般方程，代入三点坐标可求得方程，进而整理得到标准方程； （3）根据直线与圆位置关系的判定可知直线与圆相交，由此得到轮船会进入该区域；根据垂径定理可得弦长，由此可求得行驶时长. 【详解】（1）由题意知：，，， ，，. （2）设经过三点的圆的方程为：， ，解得：， 所求圆的一般方程为：， 则经过三点的圆的标准方程为：. （3）由题意知：，则轮船航向所在直线方程为：，即， 由（2）知：经过三点的圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相交，即轮船会进入安全预警区； 设直线与圆的交点为，则， 则轮船在安全预警区内会行驶小时. 【变式14-1】（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【答案】C 【知识点】直线与圆的实际应用 【分析】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【详解】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C 【变式14-2】（24-25高二上·浙江·期中）一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线与圆的实际应用 【分析】根据题意作出示意图计算从地解除一级警戒到地进入一级警戒台风的路程，然后计算时间即可. 【详解】    作与，作与， 直线的方程为， 故 又可得，， ， 从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间为小时. 故选：A 【考点题型十五】直线与圆的定点问题 核心方法：韦达定理 【例15】（24-25高二上·辽宁·期中）已知圆的圆心在以点为端点的线段的垂直平分线上，圆的所有过点的弦中最短弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）根据点坐标分别求得和线段的中点坐标，设线段的垂直平分线斜率为，则，求得，再应用点斜式即可求得线段垂直平分线的方程，从而得.易知当弦垂直于时，弦长最短，代入弦长公式即可求得，从而得到圆的方程. （2）根据题意知直线的斜率存在，设其方程为，将直线与圆的方程联立并化简，设，列出韦达定理.通过点坐标可得直线的方程，令，可得点，同理得，再利用中点公式求的中点纵坐标并化简即可. 【详解】（1）设线段的垂直平分线斜率为，则，所以. 又线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为，即， 则圆心的坐标在上，所以. 因为，圆的所有过点的弦中最短弦长为， 易知最短弦垂直于，所以,所以， 则圆的方程为. （2）证明：显然直线的斜率存在，设其方程为， 与圆的方程联立并消去得， 设，则， 直线的方程为，令，得，所以. 同理得， 所以线段的中点纵坐标为 ， 所以线段的中点坐标为，是一个定点. 【变式15-1】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）直线过定点 【知识点】轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）设，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得圆的方程； （2）（i）分析可知，可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆；（ii）分类讨论直线l的斜率是否存在，根据斜率公式以及韦达定理分析求解即可. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设， 且点，均在圆上，则， 可得，解得， 即圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. （2）（i）因为，由题意可得：， 可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆， 所以的方程为； （ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，， 联立方程，消去y可得， 则，且， 因为， 整理可得， 则 可得，即或， 当，直线过定点； 当，直线过定点，不合题意； 可知直线过定点； 若直线l的斜率不存在，设， 则，即， 且在圆上，则， 即，解得，不合题意； 综上所述：直线过定点. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 1.动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将b用k表示为，得，故动直线过定点； 2.动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点 【变式15-2】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线的方程； (2)若点是圆上两点， ①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程； ②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点． 【答案】(1)； (2)①3，；②证明见解析. 【知识点】直线与圆中的定点定值问题、过圆上一点的圆的切线方程、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、已知点到直线距离求参数 【分析】（1）判断给定点在圆上，求出经过切点的半径所在直线的斜率即可求解出切线方程. （2）①利用三角形面积公式可得时，三角形面积最大，再结合点到直线距离公式求出直线方程；②设出直线方程，与圆的方程联立，结合韦达定理及斜率坐标公式计算推理即得. 【详解】（1）由，得点在圆上，则过点的圆半径所在直线斜率为 因此所求切线斜率为，方程为，即. （2）①显然直线的斜率存在且不为0，设方程为，而圆半径为， 则的面积， 当且仅当时取等号，此时圆心到直线的距离， 因此，解得，直线：，即， 所以的面积最大值为3，直线的方程为. ②设直线方程为，， 由消去得，则， 直线斜率，直线的斜率， 依题意，，整理得， 即有，化简得，经验证的， 因此直线：恒过定点， 所以直线经过定点. 【考点题型十七】直线与圆的位置关系中的最值问题 核心方法：几何法 【例16】（24-25高二上·宁夏银川·期中）已知关于直线对称，且圆心在轴上. (1)求的标准方程； (2)已知动点在直线上，过点引的切线MA，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】（1）利用给定条件求出参数，写出一般方程，再转化为标准方程即可. （2）结合题意及勾股定理将切线长用圆心到直线的距离进行表示，再利用点到直线的距离公式求解最值即可. 【详解】（1）因为圆的方程为， 所以圆心坐标为，由题意得圆关于直线对称， 故是圆的直径，即在直线上， 得到，而圆心在轴上，故，解得， 代入到中，得到，解得， 故圆的一般方程为， 我们把它换为标准方程，得到圆的标准方程为， （2）首先，可化为， 如图，作，且记直线为， 由勾股定理得，故， 当最小时，一定最小，也一定最小， 由平面几何性质得当时，取得最小值， 由点到直线的距离公式得， 故. 【变式16-1】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】（1）根据垂径定理得圆心到直线距离，再利用点到直线距离公式求解； （2）将四边形的面积的最小值转化为求的面积最小值，根据求其最小值即可. 【详解】（1）当时，由垂径定理得圆心到直线的距离为， 则， 解得； （2）当时，直线，即 由已知得 又， 所以的最小值为， 又因为四边形的面积的为，所以其最小值为 【变式16-2】（24-25高二上·江西抚州·阶段练习）（1）若直线的一个方向向量为，且在轴上的截距为，求直线的方程； （2）已知直线恒过定点P，直线恒过定点Q，已知和交于点M． ①求出定点P，Q的坐标； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2）①    ② 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线过定点问题、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】（1）由直线方向向量即可得到斜率，用点斜式写出直线方程； （2）①含参项合并整理直线方程，令参数前系数为0即可解得定点； ②联立方程组消掉参数即可得到交点的轨迹，利用圆上的点到直线距离最大值为圆心到直线距离加上半径即可找到距离最大的点，此时面积最大. 【详解】（1）由题意得斜率，与轴交点为， 由点斜式可得直线：，即. （2）①整理方程得，当时方程恒成立，∴ 同理可得，当时方程恒成立，∴ ②联立方程组即，则， ∴，即， ∴点圆心为半径的圆上 直线：，即， 圆心到直线的距离， ∴圆上的点到线段的最大距离为， 此时 则面积的最大值为：. 【考点题型十七】判断圆与圆的位置关系 核心方法：几何法 【例17】（24-25高二上·河南郑州·期中）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】C 【知识点】求平面两点间的距离、由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系 【分析】化一般方程为标准方程，分别求出两圆的圆心与半径，通过比较圆心距与半径和差的大小关系即可位置关系. 【详解】圆，化为， 圆心为，半径为； 圆，化为， 圆心为，半径为． 则两圆心距离为， 因为， 所以圆与圆相交． 故选：C． 【变式17-1】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）圆与的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 【答案】D 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】计算两圆圆心距，利用几何法可判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径． 两圆圆心距为，所以圆与圆内切． 故选：D. 【变式17-2】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．内切 D．内含 【答案】B 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由圆心距与半径和差关系判断位置关系. 【详解】由的圆心为，半径为， 由的圆心为，半径为3， 所以圆心距为，即两圆外切. 故选：B 【考点题型十八】由圆与圆的位置关系求参数 核心方法：几何法 【例18】（24-25高二上·重庆·期中）若圆与圆有公切线，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】根据公切线的数量判断两圆位置关系，结合圆心距和半径列出不等式，求解即可. 【详解】由题意知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 假设圆与圆没有公切线， 此时两圆内含，所以圆心距，即，解得， 所以当圆与圆有公切线时，实数的范围是， 故选：B. 【变式18-1】（24-25高二上·重庆荣昌·期中）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．2或-1 D．3或 【答案】D 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】根据给定条件，可得圆内切于圆，进而求出的值 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆与圆有且仅有一条公共切线，得圆内切于圆， 则，而，因此，所以或. 故选：D 【变式18-2】（24-25高二上·上海·期中）已知圆：和圆：外切，则的值为 . 【答案】 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由圆：和圆：可知， 两圆的圆心坐标分别为，，两圆的半径分别为，， 因为两圆相外切，可得，解得. 故答案为：. 【考点题型十九】圆的公切线条数 核心方法：几何法 【例19】（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系 【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距判断两圆相交，即可求出两圆的公切线的条数． 【详解】解：圆化为标准形式是， 圆心是，半径是； 圆化为标准形式是， 圆心是，半径是； 则， 两圆相交，公切线有2条． 故选：B. 【变式19-1】（24-25高二上·江苏·期中）已知圆，圆，则圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线条数 【分析】根据两圆的位置关系，即可判断公切线条数. 【详解】由圆，可得， 故圆心，半径， 由圆，可得， 故故圆心，半径， 因为，所以， 即两圆相交，所以圆与圆的公切线条数为2. 故选：B 【变式19-2】（24-25高二上·重庆·期中）已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是 . 【答案】 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】根据条件得到圆与圆外切，再利用圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】因为圆与圆有条公切线，所以圆与圆外切， 又圆的圆心为，半径为，的圆心为，半径为， 所以，得到，又，所以， 故答案为：. 【考点题型二十】相交圆的公共弦方程 核心方法：作差 【例20】（24-25高二上·江西新余·阶段练习）过点作圆的两条切线，与圆相切于，则直线的方程为 . 【答案】 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】由圆的标准方程可得圆心与半径，求得以为直径的圆的方程，两圆整理为一般式方程，相减可得答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为1， ，的中点为， ，，，在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程为，即， 圆的一般方程为，两圆方程相减得：， 直线的方程为. 故答案为：. 【变式20-1】（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆：，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是 ． 【答案】 【知识点】相交圆的公共弦方程 【分析】设，根据题意确定出四点共圆并求解出圆的方程，然后根据两圆相交弦所在直线方程的求法求解出结果. 【详解】设，如下图， 因为为圆的切线， 所以，所以， 所以四点共圆，且为圆的直径，记的中点为， 因为，所以， 所以经过四点的圆的方程为， 显然与的相交弦为， 所以所在直线的方程为， 即为， 故答案为：. 【变式20-2】（24-25高二上·天津河北·期中）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ：公共弦长为 . 【答案】 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】由两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再由弦长公式计算可得公共弦长为. 【详解】易知两圆相交，将两圆方程相减可得，即； 所以两圆公共弦所在直线的方程为； 易知圆的圆心为，半径为； 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：； 【考点题型二十一】相交圆的公共弦长 核心方法： 【例21】（23-24高三上·广东汕尾）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则 【答案】/ 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】求得以为直径的圆的方程，根据圆与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】圆即， 所以圆心为，半径为，，所以在圆外. 线段中点坐标为，， 以为直径的圆的方程为， 即， 由、两式相减并化简得：， 到直线的距离为， 所以. 故答案为： 【变式21-1】（23-24高二下·浙江·开学考试）若圆：与圆：相交于、两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长是 ． 【答案】/ 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时，满足过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解. 【详解】如图，    由两圆在点处的切线互相垂直可知，两条切线分别过两圆的圆心， 由相交圆公共弦的性质可知， 由切线性质可知，在中，， 所以， 又斜边上的高为， 由等面积法可知，， 即，解得. 故答案为： 【变式21-2】（24-25高二上·全国·课后作业）若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则直线AB的方程为 ；线段AB的长为 ．    【答案】 x＝±1 4 【知识点】相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】连接OO1，记AB与OO1的交点为C，利用勾股定理和等面积法，求出，进而求出，根据，求出，进而联立求出直线的方程. 【详解】连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝， ∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4． 由|OO1|＝5，得，所以，联立可得 ，解得 直线AB的方程为x＝±1． 故答案为：①；②4. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·四川成都·期中）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意过的圆心为，则，再根据“1”的妙用，即可得解. 【详解】整理圆的方程得，可知圆心坐标为 由题意可知：直线过圆心，即，可得， 则 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为16. 故选：C. 2．（24-25高三上·天津·期中）经过三点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】求得线段与的垂直平分线交点可得圆心，再求得半径即可. 【详解】由可知， 的中点坐标为，因此可知圆心在线段的垂直平分线上， 又可知，的中点坐标为， 所以的垂直平分线为，即； 联立，解得，因此圆心坐标为， 圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 故选：B 3．（24-25高二上·湖北·期中）圆与圆的公共弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长 【分析】将两圆方程做差可得公共弦方程，再求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离，利用公共弦长为求解即可． 【详解】圆①与圆②， ①－②得，即公共弦方程为， 又圆的半径为，圆心为， 圆心到直线距离， 所以公共弦长为. 故选：C. 4．（24-25高二上·福建福州·期中）已知实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线斜率的定义、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】确定圆心和半径，将题目转化为过点和点直线的斜率，画出图像，求得角度，计算斜率得到答案. 【详解】表示圆心为，半径为2的圆， 表示过点和点直线的斜率， 如图所示：直角中，，，, 故，同理可得. 所以. 故选：B. 5．（24-25高二上·福建福州·期中）过点的直线与圆交于A，B两点，当弦AB最短时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】根据题意，由条件可知，当最短时，直线，即可得到，从而可求直线的方程. 【详解】当最短时，直线，所以， 又，所以， 所以直线的方程为，即.. 故选：A. 6．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线过定点问题、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据题意得直线分别过定点和且垂直，可得交点的轨迹是以为直径的圆（挖去点），利用数形结合即可求解. 【详解】因为，所以两直线垂直， 又直线过定点，直线过定点， 所以， 故交点的轨迹是以为直径的圆（挖去点）， 如图所示，其中圆心，半径为1， 所以线段的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题是隐形圆问题，根据题意得到直线分别过定点和且垂直，推断出的轨迹是以为直径的圆（挖去点）是解决本题的关键. 7．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用点到直线的距离公式结合勾股定理建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径为， 直线可化为，且设圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得， 因为，所以由勾股定理得， 解得或，故B正确. 故选：B 8．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线为切点，当的最大值为，则的值为（    ） A．4 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】利用直线与圆的位置关系先确定的最大时，P的位置，根据点到线的距离公式计算即可. 【详解】由圆，可知其圆心，半径为r， 由切线的性质易知，则取最大时，最小，即， 所以， 又的最大值为，所以此时，则的值为. 故选：D 二、多选题 9．（23-24高三上·海南儋州·开学考试）若方程表示圆，则实数a的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】AB 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的一般方程列式求得，结合选项即可得结果. 【详解】若方程表示圆， 则，解得， 结合选项可知：AB正确，CD错误. 故选：AB. 10．（24-25高二上·重庆开州·阶段练习）已知圆C：，直线l：.则以下几个命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为 【答案】ABC 【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最短时，直线与过圆心的直线垂直，从而判断选项D. 【详解】选项A中，直线方程整理得，由，解得， ∴直线过定点，A正确； 选项B中，在圆方程中令，得，， ∴轴上的弦长为，B正确； 选项C中，，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确； 选项D中，直线被圆截得弦最短时，直线且， ∴，则直线方程为，即，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 11．（2024高三·全国·专题练习）已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】设，当当时取到最小值2，结合平面向量数量积的定义计算即可求解. 【详解】设，则，， 当时，最小，此时， 从而 ， 当且仅当时，等号成立． 所以的最小值为. 故答案为： 12．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知圆，若圆与圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是 . 【答案】 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由两圆有三条公切线可得两圆外切，利用半径之和为圆心距可求实数的值. 【详解】因为两圆有三条公切线，故圆与圆相外切， 又圆的圆心为，半径为， 由，得到，则， 且圆的圆心为，半径为， 由题有，得到，解得， 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，某海面上有，，三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，，三点.    (1)求圆的方程； (2)若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、判断直线与圆的位置关系 【分析】（1）依据平面直角坐标系得出三点坐标，再设出圆心坐标即可得出圆的方程； （2）求出行驶轨迹所在直线方程，利用点到直线距离公式判断出该直线与圆的位置关系可得结论. 【详解】（1）根据题意可知， 易知圆的圆心在线段的垂直平分线上，可设圆心， 又可得， 解得，所以半径， 因此圆的方程为. （2）由在岛的北偏西方向距岛千米处，可得； 由行驶方向为北偏东可知行驶直线所在直线斜率为， 因此行驶直线方程为， 圆心到直线的距离为， 即行驶直线与暗礁区域圆相离，因此该船没有触礁的危险. 14．（湖北省部分省级示范高中2024-2025学年高二上学期期中测试数学试题）已知圆，直线 (1)求证：直线与圆恒有两个交点 (2)设直线与圆交于两点，当为何值时，三角形的面积有最大值，并求出该最大值 【答案】(1)证明见详解 (2)，最大值为 【知识点】直线过定点问题、判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）先证明直线过定点，再说明定点在圆内即可； （2）设圆心到直线的距离为，注意到，又，可以求出面积的最大值，注意验证取等条件，进一步由斜率关系可以求出参数，由此即可得解. 【详解】（1）因为直线，可得， 所以，解得， 所以直线过定点， 将点代入圆方程可得， 所以点在圆的内部，所以直线与圆恒有两交点. （2）设圆心到直线的距离为， 则， ， 因为，所以当时，三角形的面积最大，最大值为. 此时，且，则，即，解得. 所以当时，三角形的面积最大，最大值为. 15．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知圆（为常数）． (1)当时，求直线被圆截得的弦长． (2)证明：圆经过两个定点． (3)设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、圆过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）当时利用配方求出圆的圆心、半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由可得答案； （2）由令与联立解方程组可得答案； （3）（方法一）设的中点为，由得求出可得答案．（方法二）由利用两点间的距离公式求出可得答案． 【详解】（1）当时，圆， 此时，圆的圆心为，半径． 则圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长 为； （2）由，得， 令，因为为常数 所以得，由 解得或， 所以圆经过两个定点，且这两个定点的坐标为； （3）（方法一）设的中点为， 不妨设，则点的坐标为． 因为，所以， 所以， 解得， 所以圆的标准方程为． （方法二）不妨设，因为， 所以， 解得， 所以圆的标准方程为． 16．（24-25高二上·北京·期中）已知圆过点和点，且圆心在直线上，直线过点. (1)求圆的方程； (2)若与圆相切，求的方程； (3)若与圆相交于，两点，线段的中点为，与：的交点为，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析. 【知识点】求直线交点坐标、由圆心（或半径）求圆的方程、过圆外一点的圆的切线方程、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）设出圆心坐标，借助两点间距离公式求出圆心和半径即可得圆的方程. （1）按直线l1的斜率存在与否分类，借助点到直线的距离公式求解即可. （2）设出直线的方程，求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算即得. 【详解】（1）设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆上， 得，即，解得，即， 所以圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，点到直线的距离为2，直线与圆相切，方程为； 当直线的斜率存在，设直线为，即， 圆心到直线的距离等于半径2，即 ，解得，方程为， 所以直线方程是或. （3）由（2）知，直线的斜率必定存在，且不为0，其方程为：， 由，解得，即， 又直线与垂直，则直线所在的直线方程为， 由，解得， 即， 因此 . 所以为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$