专题07整式的加减期末复习冲刺必备讲义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版七年级数学上册

该初中数学整式加减期末复习讲义通过表格系统梳理知识体系，涵盖整式概念、合并同类项、去括号法则、加减步骤、规律探索及易错点警示，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层设计12种常考题型，从同类项判定到规律探索，结合典例与跟踪专练，通过图形规律推导培养抽象能力，实际应用问题提升模型意识。每个题型附易错点提醒，助力基础薄弱学生掌握方法，压轴题供优秀学生拓展，为教师实施分层教学提供精准支持。

专题07整式的加减期末复习冲刺必备讲义 1.掌握整式的相关概念，能准确区分单项式、多项式、同类项。 2.运用合并同类项法则和去括号法则，进行整式的加减运算。 3.学会观察、分析数量或图形的变化规律，能用代数式表示规律并验证规律。 4.能运用整式加减和规律探索解决实际问题。 期末必备 知识点梳理 1.整式的相关概念 2.合并同类项及去括号法则 3.整式加减的一般步骤 4.探索与表达规律 5.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.同类项的判定方法 2.利用同类项定义求字母或代数式的值 3.同类项的合并运算 4.整式运算中的去括号法则应用 5.整式变形中的添括号技巧 6.整式的加减混合运算 7.整式加减中的化简与求值 8.整式加减中的无关型问题 9.整式加减的实际应用问题 10.含字母的绝对值化简问题 11.数字类规律的探索与归纳 12.图形类规律的探索与推导 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.整式的相关概念】 1.代数式 用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2.单项式 *定义：数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 *系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（注意系数包含符号）。 *次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。 3.多项式 *定义：几个单项式的和叫做多项式。 *项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 *次数：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 4.整式 单项式和多项式统称为整式。 注意：分母中含有字母的式子不是整式 4.同类项 *定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 *注意： ① 同类项与系数无关； ② 同类项与字母的排列顺序无关； ③ 所有常数项都是同类项。 【知识点02.合并同类项及去括号法则】 1.合并同类项法则 合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 2.去括号法则 括号前是 “+” 号，把括号和它前面的 “+” 号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。 括号前是 “−” 号，把括号和它前面的 “−” 号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。 【知识点03.整式加减的一般步骤】 1.去括号：根据去括号法则去掉括号； 2.合并同类项：将同类项合并成一项，结果中不能再有同类项。 例：计算 (2x2+3x−1)−(x2−2x+3) 解：原式 =2x2+3x−1−x2+2x−3 =(2x2−x2)+(3x+2x)+(−1−3) =x2+5x−4 【知识点04.探索与表达规律】 规律探索的常见类型 1.数字规律：分析一组数的变化特征，包括相邻数的差、商、倍数关系，或与序数n的关系。 例：数列 1,3,5,7,9,… 的规律是第n项为2n−1（n为正整数）。 2.图形规律：通过观察图形的个数、形状、大小的变化，找出图形的变化与序数n的对应关系。 例：用火柴棒摆正方形，摆1个正方形需要4根，摆2个需要7根，摆 3 个需要10根…… 规律为第n个正方形需要3n+1根火柴棒。 3.规律探索的一般步骤 (1)观察：观察已知的数或图形，找出其中的变化规律； (2)猜想：根据观察到的规律，用含序数n的代数式表示第n个对象的数量； (3)验证：代入n的值验证猜想的代数式是否正确； (4)应用：利用猜想的规律解决问题。 【知识点05.易错点警示】 1.单项式的系数和次数易错 *忽略系数的符号，如把−2xy的系数误认为2； *混淆π是常数，如把πr2的系数误认为1； *计算次数时漏加字母的指数，如把x2y的次数误认为2。 2.去括号易错 *括号前是 “−” 号时，去括号后部分项的符号未改变， 如−(x2−2x)=−x2−2x（错误），正确应为−x2+2x。 3.同类项判断易错 误认为字母顺序不同或系数不同的项不是同类项，如把3xy与3yx误认为不是同类项。 5.规律探索易错 只观察前几项的表面规律，未验证后续项是否符合，导致规律总结错误。 【题型1.同类项的判定方法.】 【典例】下列各组中的两项，不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【跟踪专练1】请写出一个与为同类项的整式： ． 【跟踪专练2】下列说法中正确的是（    ） A．是单项式 B．的系数是 C．是二次二项式 D．与是同类项 【题型2.利用同类项定义求字母或代数式的值】 【典例】若单项式与的和仍是单项式则 ． 【跟踪专练1】若单项式与的差是单项式，那么的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【跟踪专练2】如果单项式与的和是单项式，那么的值为 ． 【题型3.同类项的合并运算】 【典例】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】单项式与的和仍为单项式，则 ． 【跟踪专练2】化简多项式后不含项和项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【题型4.整式运算中的去括号法则应用】 【典例】代数式去括号后得 ． 【跟踪专练1】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算： ， ， ． 【题型5.整式变形中的添括号技巧】 【典例】下列各式添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值为___________． 【跟踪专练2】将多项式添括号后正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6.整式加减的混合运算】 【典例】如图，两个正方形边长分别是和，图中阴影部分为重叠部分．则两个正方形的空白部分的面积相差 cm2． 【跟踪专练1】小明在计算时，把算式抄成，这样计算的结果与原来的正确答案相差（   ） A．50 B．48 C．25 D．23 【跟踪专练2】有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简： ． 【题型7.整式加减中的化简与求值】 【典例】已知，，则（    ） A． B． C．34 D．无法计算 【跟踪专练1】如图，两个正方形的边长分别为，如果，则阴影部分面积是 ． 【跟踪专练2】对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（    ） A． B． C．2 D．3 【题型8.整式加减中的无关型问题】 【典例】如果关于x的代数式的值与x无关，则的值为 ． 【跟踪专练1】若多项式与的和不含x项和常数项，则的值为（） A． B．1 C． D．5 【跟踪专练2】已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则 ． 【题型9.整式加减的实际应用问题】 【典例】现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片（大长方形的宽与小长方形的长相等），按如图所示的两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，一个大长方形中放入长为a、宽为b的长方形和边长为c的正方形，分成5块区域．（下列答案均用含a，b，c的式子表示） （1） ． （2）图形③与图形④的周长之差为 ． 【跟踪专练2】将一个三位数的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新三位数，那么这个新数与原数的差能被以下哪个数整除？（   ） A．11 B．90 C．99 D．100 【题型10.含字母的绝对值化简问题】 【典例】已知，，如果，那么 ． 【跟踪专练1】已知，则式子：（  ） A．3 B．或1 C．或3 D．1 【跟踪专练2】已知，若，则 ． 【题型11.数字类规律的探索与归纳】 【典例】幻方是一种古老的数学游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和都相等．图1是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则是（     ）    A．20 B．21 C．22 D．23 【跟踪专练1】如图，圆的周长为4个单位长度，数轴每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合． 【跟踪专练2】以下是一组有规律按顺序排列的数：①，②，③，④，……其中第个数是（    ）． A． B． C． D． 【题型12.图形类规律的探索与推导】 【典例】某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案.如图，第1个图案由4个组成，第2个图案由7个组成，第3个图案由10个组成，⋯，按此规律排列下去，第个图案中的个数为 ．（用含的代数式表示） 【跟踪专练1】如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图1需要11根小棒，图2需要18根小棒，图3需要25根小棒，按此规律摆下去，第8个图案需要小棒的根数为（   ） A．67 B．53 C．52 D．60 【跟踪专练2】如图，用小木棒摆“金鱼”，按照图中规律，摆第n个“金鱼”需要 根小木棒． 1．早晨，小明帮妈妈将圆形鸡蛋饼切成块，分给弟弟和妹妹吃爱动脑的小明思考：如果每次都沿直线切割，而且切块大小不要求相同，那么切刀最多可以将鸡蛋饼分成 块 2．现有一列数，，，，，，，其中，，，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则 ． 3．已知，则代数式的值是 ． 4．已知m是有理数，代数式与的和是单项式，则代数式的值是 ． 5．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“准同类项”，例如：与是“准同类项”．已知、均为关于a，b的单项式，如果、是“准同类项”，那么可能的结果共有 种． 6．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”．例如，对于1，2，3进行“绝对运算”，得到：．①对1，3，5，7进行“绝对运算”的结果是20；②对，，5进行“绝对运算”的结果为，则的最小值是7；③对进行“绝对运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式；以上说法中正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包含括号外的符号）称为一个数，如：，其中称为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，称这个过程为“换位思考”．例如：对上述代数式的“数1”和“数4”进行“换位思考”，得到：，则下列说法中正确的个数是（    ） ①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果 ②代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 ③代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 ④代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到5种结果 A．1 B．2 C．3 D．4 8．在多项式：中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如：选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第（）轮“加括号操作”． 下列相关说法错误的个数是：（    ） ①选择d，e进行“加括号操作”，化简后得到结果：； ②存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； ③不存在第（）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； ④对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．已知关于x的多项式A和B如下：，，则下列三个说法中正确的有（　　） ①；②若无论x取何值，的值恒大于0，则；③若多项式，其中C为整式，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．已知3个多项式分别为：，，，下列结论正确的个数是（ ） ①若整式的取值与x无关，则； ②的最小值为4； ③的最大值为4； ④关于的方程的解为； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)__________0，__________（填“”或“”） (2)用“”将 a，，b，连接起来：__________． (3)化简 12．先化简，再求值： ，其中． 13．日常生活中每星期都有7天，所以我们定义：若，则称与为“完美星期数”，例如：因为，我们就说6和1是“完美星期数”，请根据以上材料，回答下列问题： (1)与_____是“完美星期数”， 与_____是“完美星期数”；（用含的代数式表示） (2)若，请你通过计算判断与是否为“完美星期数”； (3)已知，且与为“完美星期数”，求与的值． 14．已知关于的多项式、，其中，． (1)化简； (2)若的结果与的取值无关，求、的值． 15．给定有理数，，对整式，，定义新运算“”：；对正整数和整式，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，． 例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则_____，_____． (2)对每一个正整数和整式，均有，直接写出，满足的关系； (3)当，时，若，，，是正整数，令，，且不含项，直接写出和的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07整式的加减期末复习冲刺必备讲义 1.掌握整式的相关概念，能准确区分单项式、多项式、同类项。 2.运用合并同类项法则和去括号法则，进行整式的加减运算。 3.学会观察、分析数量或图形的变化规律，能用代数式表示规律并验证规律。 4.能运用整式加减和规律探索解决实际问题。 期末必备 知识点梳理 1.整式的相关概念 2.合并同类项及去括号法则 3.整式加减的一般步骤 4.探索与表达规律 5.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.同类项的判定方法 2.利用同类项定义求字母或代数式的值 3.同类项的合并运算 4.整式运算中的去括号法则应用 5.整式变形中的添括号技巧 6.整式的加减混合运算 7.整式加减中的化简与求值 8.整式加减中的无关型问题 9.整式加减的实际应用问题 10.含字母的绝对值化简问题 11.数字类规律的探索与归纳 12.图形类规律的探索与推导 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.整式的相关概念】 1.代数式 用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2.单项式 *定义：数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 *系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（注意系数包含符号）。 *次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。 3.多项式 *定义：几个单项式的和叫做多项式。 *项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 *次数：多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 4.整式 单项式和多项式统称为整式。 注意：分母中含有字母的式子不是整式 4.同类项 *定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 *注意： ① 同类项与系数无关； ② 同类项与字母的排列顺序无关； ③ 所有常数项都是同类项。 【知识点02.合并同类项及去括号法则】 1.合并同类项法则 合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 2.去括号法则 括号前是 “+” 号，把括号和它前面的 “+” 号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。 括号前是 “−” 号，把括号和它前面的 “−” 号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。 【知识点03.整式加减的一般步骤】 1.去括号：根据去括号法则去掉括号； 2.合并同类项：将同类项合并成一项，结果中不能再有同类项。 例：计算 (2x2+3x−1)−(x2−2x+3) 解：原式 =2x2+3x−1−x2+2x−3 =(2x2−x2)+(3x+2x)+(−1−3) =x2+5x−4 【知识点04.探索与表达规律】 规律探索的常见类型 1.数字规律：分析一组数的变化特征，包括相邻数的差、商、倍数关系，或与序数n的关系。 例：数列 1,3,5,7,9,… 的规律是第n项为2n−1（n为正整数）。 2.图形规律：通过观察图形的个数、形状、大小的变化，找出图形的变化与序数n的对应关系。 例：用火柴棒摆正方形，摆1个正方形需要4根，摆2个需要7根，摆 3 个需要10根…… 规律为第n个正方形需要3n+1根火柴棒。 3.规律探索的一般步骤 (1)观察：观察已知的数或图形，找出其中的变化规律； (2)猜想：根据观察到的规律，用含序数n的代数式表示第n个对象的数量； (3)验证：代入n的值验证猜想的代数式是否正确； (4)应用：利用猜想的规律解决问题。 【知识点05.易错点警示】 1.单项式的系数和次数易错 *忽略系数的符号，如把−2xy的系数误认为2； *混淆π是常数，如把πr2的系数误认为1； *计算次数时漏加字母的指数，如把x2y的次数误认为2。 2.去括号易错 *括号前是 “−” 号时，去括号后部分项的符号未改变， 如−(x2−2x)=−x2−2x（错误），正确应为−x2+2x。 3.同类项判断易错 误认为字母顺序不同或系数不同的项不是同类项，如把3xy与3yx误认为不是同类项。 5.规律探索易错 只观察前几项的表面规律，未验证后续项是否符合，导致规律总结错误。 【题型1.同类项的判定方法.】 【典例】下列各组中的两项，不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，理解“同类项需所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同”是解题关键． 根据同类项的定义，对选项依次进行判断即可，需注意常数项都是同类项． 【详解】解：选项：与均为常数项，是同类项； 选项：与字母均为和，指数均为，是同类项； 选项：字母为，字母为和，字母不同，不是同类项； 选项：与字母均为和，且指数均为，指数均为，是同类项． 不是同类项的是． 故选：． 【跟踪专练1】请写出一个与为同类项的整式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项的知识．熟练掌握同类项的定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”，是解题的关键． 根据同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，书写即可，注意同类项与字母的顺序无关． 【详解】解：如，答案不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】下列说法中正确的是（    ） A．是单项式 B．的系数是 C．是二次二项式 D．与是同类项 【答案】D 【分析】本题考查了单项式、多项式、同类项的定义．根据单项式和多项式、同类项的定义进行判断． 【详解】解：A．是多项式，原说法错误，不符合题意； B．的系数是，原说法错误，不符合题意； C．是二次三项式，原说法错误，不符合题意； D．与是同类项，原说法正确，符合题意． 故选：D． 【题型2.利用同类项定义求字母或代数式的值】 【典例】若单项式与的和仍是单项式则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类项：字母相同，且相同字母的指数分别相同的几个单项式，理解同类项的概念是解题的关键；根据两个单项式的和仍是单项式，可知它们是同类项，从而根据指数相同列出方程求解． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴它们为同类项， ∴且， 解得，， ∴． 故答案为：3． 【跟踪专练1】若单项式与的差是单项式，那么的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查同类项的概念，只有同类项才能合并成单项式．由于两个单项式的差是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等． 【详解】解：两个单项式的差是单项式， 它们是同类项， x的指数相等：， 解得 ； y的指数相等：， 解得 ； ， ， 故选：A． 【跟踪专练2】如果单项式与的和是单项式，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，有理数的乘方，熟知同类项的定义是解题的关键． 两个单项式的和是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等，由此求出 和 的值，再代入 计算． 【详解】解：因为单项式 与 的和是单项式， 所以它们是同类项， 因此相同字母的指数相等， 即 ，， 所以 ． 故答案为：． 【题型3.同类项的合并运算】 【典例】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项、去括号法则、整式的加减运算等知识点，掌握整式加减运算法则是解题的关键． 根据同类项定义和运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A．和不是同类项（指数不同），不能合并，故该选项错误，不符合题意； B．，但右边为，故该选项错误，不符合题意； C．，但右边为，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意． 故选D． 【跟踪专练1】单项式与的和仍为单项式，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，单项式的系数、次数，已知同类项求指数中字母或代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 两个单项式的和仍为单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等，由此列出方程求解，求得，，再代入求值． 【详解】解：∵单项式与的和仍为单项式， ∴和． 解得：，． 所以． 故答案为：9． 【跟踪专练2】化简多项式后不含项和项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式加减的无关问题，关键是无关的某项的系数为； 先化简多项式，再根据不含项和 项，令其系数为零，求出和的值，最后计算． 【详解】解：原式 ∵上式不含项， ∴ 解得，， ∴． 故答案选：D． 【题型4.整式运算中的去括号法则应用】 【典例】代数式去括号后得 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式运算去括号法则，熟练掌握代数式运算去括号法则是解题的关键． 根据去括号法则，括号前是正号时，括号内各项符号不变，括号前是负号时，括号内各项符号改变，据此解答即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的去括号运算，熟练掌握去括号法则及合并同类项是解题的关键．根据去括号的运算法则，逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、等号的左边，等号的右边是， 左边右边，故A选项计算错误； B、等号的右边=，等号的左边是， 左边右边，故B选项计算错误； C、等号的左边=，等号的右边是， 左边右边，故C选项计算错误； D、等号的右边=，等号的左边是， 左边右边，故D选项计算正确； 故选：D． 【跟踪专练2】计算： ， ， ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了去括号法则、有理数的乘方运算等知识点，熟记相关运算法则是解题的关键． 根据去括号法则、有理数的乘方运算进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：，4，．. 【题型5.整式变形中的添括号技巧】 【典例】下列各式添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添括号的规则：括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都变号． 根据规则逐一判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误； B．，原计算错误； C．，原计算错误； D．，原计算正确； 故选：D． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的化简求值是解题的关键．将整理得，再将运用分配律的逆运算转化成，最后将代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】将多项式添括号后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了添括号的方法：添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则进行判断即可． 【详解】解：A、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； B、根据添括号的法则可知，，故本选项正确，符合题意； C、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； D、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【题型6.整式加减的混合运算】 【典例】如图，两个正方形边长分别是和，图中阴影部分为重叠部分．则两个正方形的空白部分的面积相差 cm2． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的面积公式、整式的加减，设阴影部分的面积为，根据两个正方形的边长求出两个正方形的面积，正方形的面积减去阴影部分的面积就是空白部分的面积，两部分相减即可得到空白部分的面积差． 【详解】解：设阴影部分的面积为， 两个正方形边长分别是和， 这两个正方形的面积分别是，， 两个正方形的空白部分的面积分别为，， ， 两个正方形的空白部分的面积相差． 故答案为：． 【跟踪专练1】小明在计算时，把算式抄成，这样计算的结果与原来的正确答案相差（   ） A．50 B．48 C．25 D．23 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 设方框中的数为，把两个算式相减即可求解． 【详解】解：设方框中的数为， 正确结果：， 错误结果：， 差值． 故相差48， 故选：B． 【跟踪专练2】有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 根据a、b、c在数轴上的位置，进行绝对值的化简，然后合并． 【详解】解：由数轴可知，，， 则，，， ∴ ． 故答案为：． 【题型7.整式加减中的化简与求值】 【典例】已知，，则（    ） A． B． C．34 D．无法计算 【答案】B 【分析】这道题考查了整式的化简求值，解题关键是先对整式去括号、合并同类项，再将已知条件整体代入计算． 先化简代数表达式，再利用已知条件代入计算． 【详解】解：，， ． 故选B． 【跟踪专练1】如图，两个正方形的边长分别为，如果，则阴影部分面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减运算中的化简求值，解题的关键是正确表示出阴影部分的面积． 利用阴影部分的面积等于两个正方形面积之和减去和的面积求解即可． 【详解】， 故答案为：． 【跟踪专练2】对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，由题意得，整理得，即，然后将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， 则， ， 故选：A． 【题型8.整式加减中的无关型问题】 【典例】如果关于x的代数式的值与x无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，正确理解的系数为零是解题的关键． 代数式的值与x无关，则所有含x的项的系数必须为零，据此解答即可． 【详解】解：原式， 令和的系数为零，得，即， 令，即， 代入得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】若多项式与的和不含x项和常数项，则的值为（） A． B．1 C． D．5 【答案】B 【分析】此题考查了整式的加减运算－化简求值，掌握知识点是解题的关键． 将两个多项式相加，合并同类项后，根据和不含x项和常数项的条件，令x项系数和常数项系数均为0，求解m和n的值，再计算即可． 【详解】解： ， ∵多项式与的和不含x项和常数项， ∴且， 解得， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了整式的加减中无关型问题，先求两个多项式的差，根据差不含二次项，得出二次项系数为零，解出m和n，再计算即可． 【详解】解： ∵多项式与的差不含二次项， ∴和， 解得， ∴， 故答案为：1． 【题型9.整式加减的实际应用问题】 【典例】现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片（大长方形的宽与小长方形的长相等），按如图所示的两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解题意；设小长方形的长为，宽为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由方式一可知大长方形的长为； 由方式二可知大长方形的长为； ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【跟踪专练1】如图，一个大长方形中放入长为a、宽为b的长方形和边长为c的正方形，分成5块区域．（下列答案均用含a，b，c的式子表示） （1） ． （2）图形③与图形④的周长之差为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查的是列代数式及整式加减的应用，根据长方形及正方形面积公式直接求出；设大长方形的长为x，宽为y，则图形③的长为，宽为，图形④的长为，宽为，进而列式求出图形③与图形④的周长之差即可． 【详解】解：（1）由题意得：长为a、宽为b的长方形和边长为c的正方形重叠部分为长方形⑤， ， （2）设大长方形的长为x，宽为y， 则图形③的长为，宽为， 则其周长为； 则图形④的长为，宽为， 则其周长为； ∴图形③与图形④的周长之差 ； 故答案为：；． 【跟踪专练2】将一个三位数的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新三位数，那么这个新数与原数的差能被以下哪个数整除？（   ） A．11 B．90 C．99 D．100 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，设原数为：，则新数为，计算差后，发现差是90的倍数，因此一定能被90整除． 【详解】解：设原数为：， 则新数为：， ∴差新数原数， ∴差是90的倍数，故能被90整除． 故选：B 【题型10.含字母的绝对值化简问题】 【典例】已知，，如果，那么 ． 【答案】3或1 【分析】此题考查了绝对值的化简，有理数的计算，熟练掌握计算法则和性质是解题关键． 根据绝对值的性质及有理数的减法计算解答即可． 【详解】解：由于， ， ， ， ， ，， ，或． 故答案为：3或1． 【跟踪专练1】已知，则式子：（  ） A．3 B．或1 C．或3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了乘法法则，绝对值的定义，分类讨论是解题的关键； 由可知a、b、c全为正数或两个负数一个正数，根据分类讨论的思想以及绝对值分别计算式子值即可． 【详解】∵， ∴a、b、c同为正或两负一正． 当，，时， ，，， ∴原式． 当a、b、c中有两个负数一个正数时，不妨设, 则，，， ∴原式． 其他两负一正情况同理，和均为． ∴式子的值为3或． 故选：C． 【跟踪专练2】已知，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质及整式的加减，由绝对值的性质确定a的取值范围，再推导a与c的关系，最后代入所求表达式计算． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵，且绝对值非负， ∴． 若，则，代入得，解得，与矛盾， 故． ∴，即， 整理得，即． 此时，符合条件． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴原式． 故答案为：． 【题型11.数字类规律的探索与归纳】 【典例】幻方是一种古老的数学游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和都相等．图1是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则是（     ）    A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】C 【分析】本题考查了整式加减的应用，发现数字的规律是解答本题的关键． 先根据题意计算出左下方方框数是17和最中间方框是20，再根据对角线和为60计算值即可． 【详解】解：每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和都相等， 左下方空格数， 正中间空格数， 每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和是， ， ， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，圆的周长为4个单位长度，数轴每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合． 【答案】2 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可得数轴负半轴上的数字（整数）从开始（按从大到小的顺序），每4个数字为一个循环，分别对应圆周上的数轴0，3，2，1，据此求出2011除以4的余数即可得到答案． 【详解】解：∵圆的周长为4个单位长度， ∴把数轴绕圆一圈需要4个单位长度， ∴数轴负半轴上的数字（整数）从开始（按从大到小的顺序），每4个数字为一个循环，分别对应圆周上的数字0，3，2，1， ∵， ∴数轴上表示的点与圆周上表示数字2的点重合， 故答案为：2． 【跟踪专练2】以下是一组有规律按顺序排列的数：①，②，③，④，……其中第个数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据规律分别找到分子、分母及符号的规律即可解答． 【详解】解：∵ 第1个数：，第2个数：，第3个数：，第4个数：， ∴ 分子依次为，即绝对值为奇数序列，符号为； 分母依次为4, 8, 16, 32，即； ∴ 第n个数为， 故选：D． 【题型12.图形类规律的探索与推导】 【典例】某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案.如图，第1个图案由4个组成，第2个图案由7个组成，第3个图案由10个组成，⋯，按此规律排列下去，第个图案中的个数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查的是图形类的规律探究，掌握探究的方法是解本题的关键，先计算前面3个图形中基础图形的数量，发现规律，再总结规律即可． 【详解】解：因为第1个图案由4个基础图形组成， 第2个图案由7个基础图形组成，即， 第3个图案由10个基础图形组成，， 所以第个图案中基础图形的个数为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图1需要11根小棒，图2需要18根小棒，图3需要25根小棒，按此规律摆下去，第8个图案需要小棒的根数为（   ） A．67 B．53 C．52 D．60 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知后面一个图形比前面一个图形多7根小棒（前后相邻的两个图形），据此总结规律求解即可． 【详解】解：图案①需要根小棒， 图案②需要根小棒， 图案③需要根小棒， ……， 以此类推可知，第n个图案需要根小棒， ∴第8个图案需要小棒的根数为， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，用小木棒摆“金鱼”，按照图中规律，摆第n个“金鱼”需要 根小木棒． 【答案】 【分析】本题考查了图形的规律探究，解题的关键是找出图形变化的规律；通过图形之间的变化，由特殊规律推出一般性的规律，即可得解． 【详解】解：观察图形可知， 第1个图案中小木棒有（根）； 第2个图案中小木棒有（根）； 第3个图案中小木棒有（根）； …… ， 所以第n个图案中小木棒有根， 故答案为：． 1．早晨，小明帮妈妈将圆形鸡蛋饼切成块，分给弟弟和妹妹吃爱动脑的小明思考：如果每次都沿直线切割，而且切块大小不要求相同，那么切刀最多可以将鸡蛋饼分成 块 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出鸡蛋饼被分成最多块数的变化规律是解题的关键． 根据题意依次求出每次鸡蛋饼可分成的最多块数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 切1刀最多可以将鸡蛋饼分成的块数为：， 切2刀最多可以将鸡蛋饼分成的块数为：， 切3刀最多可以将鸡蛋饼分成的块数为：， …， 所以切n刀最多可以将鸡蛋饼分成的块数为：， 当时， （块）， 即切10刀最多可以将鸡蛋饼分成的块数为56块． 故答案为：56． 2．现有一列数，，，，，，，其中，，，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律．根据任意相邻三个数的和相等，可推导出数列具有周期性，周期为，利用已知项的值确定各类项的值，再计算每类项的个数，最后求和． 【详解】解：由于任意相邻三个数的和相等，由，得， 同理，，，依此类推，数列呈周期性，周期为， 已知，故所有下标除以余的项均为， 已知，且，故所有下标除以余的项均为， 已知，且，故所有下标除以余的项均为， 总项数为，下标除以余的项有个，余的项有个，余的项有个， 因此，总和为 ． 3．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式的值，整体代入是解题的关键． 由得到，再把变形为，即可整体代入求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 4．已知m是有理数，代数式与的和是单项式，则代数式的值是 ． 【答案】16 【分析】将与相加并计算，根据题意求得m的值，然后将其代入中计算即可． 本题考查整式的加减，代数式求值，单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 代数式与的和是单项式， ， 解得：， 则， 故答案为： 5．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“准同类项”，例如：与是“准同类项”．已知、均为关于a，b的单项式，如果、是“准同类项”，那么可能的结果共有 种． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项的概念，绝对值方程，有理数加法运算等知识点，准确理解“准同类项”的新定义并正确列出方程是解题的关键． 根据“准同类项”的新定义列出方程，解方程即可求出、的值，然后将、相加，即可得出所有可能的结果，于是得解． 【详解】解：由“准同类项”的定义可得： 或，或， 解得：、、，、、， 、、、、，共有种可能的结果， 故答案为：． 6．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值相加，这样的运算称为对这若干个数进行“绝对运算”．例如，对于1，2，3进行“绝对运算”，得到：．①对1，3，5，7进行“绝对运算”的结果是20；②对，，5进行“绝对运算”的结果为，则的最小值是7；③对进行“绝对运算”，化简的结果可能存在6种不同的表达式；以上说法中正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算，涉及绝对值运算、绝对值的意义等知识，读懂题意，严格按照“绝对运算”定义逐项验证即可得到答案，理解定义，掌握绝对值意义是解决问题的关键． 【详解】解：①对1，3，5，7进行“绝对运算”，则，①正确，符合题意； ②对，，5进行“绝对运算”的结果为，则，由绝对值的几何意义可知指表示数的点到表示数和的距离和，则当时，的最小值为，则的最小值是，②错，不符合题意； ③对进行“绝对运算”，则令， 若，则，即； 若，则，即； 若，则，即； 若，则，即； 若，则，即； 若，则，即； 化简的结果可能存在6种不同的表达式，③正确，符合题意； 故选：C． 7．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包含括号外的符号）称为一个数，如：，其中称为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，称这个过程为“换位思考”．例如：对上述代数式的“数1”和“数4”进行“换位思考”，得到：，则下列说法中正确的个数是（    ） ①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果 ②代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 ③代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果 ④代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到5种结果 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了去括号，属于新定义题型，关键是熟练掌握新定义的运算法则．根据括号外面是“”，去括号不改变括号里面式子的符号；括号外面是“”，去括号改变括号里面式子的符号；依此即可求解． 【详解】解：在代数式中，将任意两个数交换位置，均不会改变每个数的符号， 故化简后只能得到一种结果，均为，故①正确； 代数式中，有两种情况： 括号内三个数任意两个交换位置，化简后的结果不变，故只有一种结果，为； 当分别与括号内的三个数换位思考，化简后得到3种结果分别为： ， ， ， 故该代数式共得到4种结果，故②正确； 代数式中， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ； 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 最后3种结果相同，故该代数式共得到4种结果，故③正确； 代数式中， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ； 当与进行换位思考化简后为： ， 当与进行换位思考化简后为： ， 第1种与最后1种化简结果相同，故该代数式共得到5种结果，故④正确； 故选：D． 8．在多项式：中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如：选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第（）轮“加括号操作”． 下列相关说法错误的个数是：（    ） ①选择d，e进行“加括号操作”，化简后得到结果：； ②存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； ③不存在第（）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； ④对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了推理能力，整式加减混合运算，根据说法举出例子论证，以证明其正确与否即可解答，解题的关键是能根据其说法举出相应的正例或反例． 【详解】解：∵ 原多项式为， ① 选择d，e进行“加括号操作”，，故说法正确； ② 选择 进行“加括号操作”，，与原式相等，故说法正确； ③ 因为无论哪轮操作，的符号始终不变，所以操作结果与原式之和不可能为，故说法正确； ④ 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 结果数大于4种，故说法错误； ∴ 错误说法为④，共 个． 故选：B． 9．已知关于x的多项式A和B如下：，，则下列三个说法中正确的有（　　） ①；②若无论x取何值，的值恒大于0，则；③若多项式，其中C为整式，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算与性质，掌握知识点是解题的关键． 对于说法①，通过展开多项式A并比较系数求出a、b、c、d的值，代入计算即可判断；对于说法②，计算并配方，根据恒正条件得出p的范围，与说法对比；对于说法③，由B可被整除，求出p值，再根据B的另一种表达式求出e、f、m、n，代入计算验证即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 解得， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵恒成立， ， ∴，即，但不一定成立，故②错误； ∵，且， 设，则， ∴， 解得， 又， 令，则， ∴， ∴，故③正确． ∴ 正确的有①和③，共2个． 故选C． 10．已知3个多项式分别为：，，，下列结论正确的个数是（ ） ①若整式的取值与x无关，则； ②的最小值为4； ③的最大值为4； ④关于的方程的解为； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解绝对值方程，非负整数的概念，熟练掌握解方程的步骤与方法是解题关键，注意0是非负整数．分别代入多项式化简求解判断即可． 【详解】①： ， 由于整式的取值与x无关， 则，即， ，即， ，故①错误； ②： ， 当时，， 当时，， 当时，， 由此可知最小值为4，故②正确； ③： ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由此可知最大值为4，故③正确； ④：即， 化简得：， 当时， 解得：，不符合条件， 当时，， 解得：，符合条件， 当时，， 解得：，符合条件； 则的方程的解为或，故④错误； 综上，正确的为：②③，共2个． 故选：B． 11．已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)__________0，__________（填“”或“”） (2)用“”将 a，，b，连接起来：__________． (3)化简 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解绝对值、相反数的意义是正确解答的关键． （1）根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置，得出，且进而解答即可； （2）根据，且，进而解答即可； （3）根据绝对值，相反数的意义解答即可． 【详解】（1）解：根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，，且， ， 故答案为：． （2）解：，且， ． （3）解：，且， ， ． 12．先化简，再求值： ，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式加减中的化简与求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． 根据整式加减的运算法则化简，再根据非负数的性质求出的值，再代入到化简后的式子即可求值． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴，， 代入，，原式． 13．日常生活中每星期都有7天，所以我们定义：若，则称与为“完美星期数”，例如：因为，我们就说6和1是“完美星期数”，请根据以上材料，回答下列问题： (1)与_____是“完美星期数”， 与_____是“完美星期数”；（用含的代数式表示） (2)若，请你通过计算判断与是否为“完美星期数”； (3)已知，且与为“完美星期数”，求与的值． 【答案】(1)9； (2)p与q不是“完美星期数” (3)， 【分析】本题考查了新定义，整式的加减混合运算的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“完美星期数”进行列式计算，即可作答． （2）根据“完美星期数”进行列式计算，得出，即可作答． （3）根据“完美星期数”进行列式计算，先整理，则，，即可作答． 【详解】（1）解：，， 故答案为：9；； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴p与q不是“完美星期数”． （3）解：∵， ∴ ∵与为“完美星期数”， ∴， ∴，， ∴，． 14．已知关于的多项式、，其中，． (1)化简； (2)若的结果与的取值无关，求、的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了整体思想在多项式化简与求值中的应用，正确计算是解题的关键． （1）将多项式代入到中，再去括号，合并同类项； （2）根据（1）中的化简结果与值无关，即含的项的系数为0，求出的值． 【详解】（1）解：， ， ； （2）由（1）得：的结果为， 因为的结果与的取值无关， 所以，， 解得，． 15．给定有理数，，对整式，，定义新运算“”：；对正整数和整式，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，． 例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则_____，_____． (2)对每一个正整数和整式，均有，直接写出，满足的关系； (3)当，时，若，，，是正整数，令，，且不含项，直接写出和的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新运算的定义、指数运算、数字规律、整式运算等知识点，熟练掌握新运算的理解和相关运算法则是解题的关键． （1）根据新定义直接代入化简即可； （2）将根据不同的n值运算展开发现规律，据此确定，满足的关系； （3）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为0，然后列举验证，找出正整数的解即可． 【详解】（1）解：当，时，若，， ∴， ∴ ． 故答案为：，． （2）解：要使对每一个正整数n和整式A，均有，我们先分析的规律： 当时，（符合要求）； 当时，， 由，得； 当时， ，代入，得，即 ； 以此类推，可得． （3）解：分析， 当时，； ． 观察规律可得， ，即 同理，． ∴ 将代入， 得： ， ∵不含项， ∴， ∴， 试，则，不是整数； 试，则，不是整数； 试，则，则； 验证时： ，符合要求． 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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