精品解析：浙江省宁波市慈溪实验中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年浙江省宁波市慈溪实验中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形的对称性，用除以6计算即可得解． 【详解】∵， ∴旋转角是的整数倍， ∴这个角的度数可以是， 故选：C 【点睛】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 2. 下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 汗滴禾下土 D. 手可摘星辰 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可． 【详解】解：A．“黄河入海流”是必然事件，因此选项A不符合题意； B．“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项B不符合题意； C．“汗滴禾下土”是随机能事件，因此选项C不符合题意； D．“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是解题关键． 3. 如图是一个由6个相同的小立方块组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了小正方体堆砌成的几何体的三视图，根据主视图是从正面看看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看，看到他图形分为上下两层，共4列，从左数，下面一层每一列都有一个小正方形，上面一层第三列有一个小正方形，即看到的图形如下： ， 故选：D． 4. 已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：l=． 故选D． 【点睛】本题考查了求弧长，掌握弧长公式是解题的关键． 5. 如图，是直径，点，在半圆上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角及圆内接四边形的性质，连接BC并运用这两个性质是解题的关键． 连接，由直径所对的圆周角是直角可求得的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得的度数． 【详解】解：连接， 是直径， ， ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， 故选：C． 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理一一判断即可． 【详解】解：A、任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，错误，不符合题意； C、平分弦的直径垂直于弦，错误，此弦不是直径，不符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7. 如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是 （     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解： 当时，， 当时，， 当时，． 故选：． 8. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（ ） A. 小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B. 小球从飞出到落地要用4s C. 小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 D. 小球的飞行高度可以达到25m 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间；求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答． 【详解】解：的两根，，即时所用的时间， 小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误； ， 对称轴为直线，最大值为20，故D错误； 时，，此时小球继续下降，故C错误； 当时，，， ， 小球从飞出到落地要用4s，故B正确． 故选：B． 9. 二次函数过点，且，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．根据抛物线的解析式求得开口方向和对称轴，结合抛物线的增减性即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴， ∴点离抛物线的对称轴距离大于点离抛物线的对称轴距离， ∵， ∴点离抛物线的对称轴距离最远，点离抛物线的对称轴最近， ∴． 故选：B． 10. 顶角等于的等腰三角形也叫黄金三角形，黄金三角形的底边与腰长的比等于黄金比．如图①，在中，，动点P从点A出发，沿拆线匀速运动至点C，若点P的运动速度为，设点P的运动时间为长度为与t函数图象如图②所示，当恰好平分时，点P运动的路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． 作的平分线交于点P，先证，再证，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，作的平分线交于点P， 由题意中的函数图象得：， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴点P运动的路程是． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在中，．若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求角的正弦值．根据正切值，设，勾股定理得到、利用正弦值的定义，进行求解即可．掌握三角函数的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设，则：， ∴； 故答案为：． 12. 某圆锥底面圆的半径为，母线为，则该圆锥的侧面积等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】已知圆锥的底面半径和母线长，直接利用圆锥侧面积公式计算即可. 【详解】解：依题意知母线长 ，底面半径 ， 则由圆锥的侧面积公式得： . 13. 已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查圆的切线，掌握相关知识是解决问题的关键．直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得，或， 把直线l向上平移或才能使l与相切； 故答案为：2或 14. 如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接并延长交的延长线于点F．连接，过点A作交于点G，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，先证，再由比例计算可推出结论，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 15. 苏州古典园林以其古、秀、精、雅，多而享有“江南园林甲天下之美，如图是一苏州园林中的窗饰特写，四个水平放置正方形木框的边长都为20cm，顶点A，B，C是圆形窗上的点，则这个圆形窗的半径为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作三角形的外心，垂径定理的应用．连接，作，的垂直平分线，交点为点，连接，，根据垂直平分线可得，，，设，则，再根据即可列出方程求得，代入，进一步解答即可得解． 【详解】解：如图， 连接，作，的垂直平分线，交点为点，连接，， ，，，， 设，则， ， ， ， 解得， ， 故答案为：． 16. 已知抛物线与直线只有一个公共点，且过点，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，则四边形的周长为 _______． 【答案】44 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 依据题意，抛物线与直线只有一个公共点，可知该抛物线顶点的纵坐标是，由和，可得抛物线的对称轴和的长度，从而可以得到关于b，c的关系式，通过转化即可求得n的值，从而可以求得四边形的周长． 【详解】解：由题意，∵抛物线经过点和点， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 又抛物线与直线只有一个公共点， ∴抛物线的顶点在直线上． ∴， 即 又 ∴四边形的周长为是： 故答案为：44． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知线段满足，且． （1）求的值； （2）若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 18. 如图，三个顶点坐标分别为、、． （1）如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心______；和位似比为______； （2）请在平面直角坐标系中画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的． 【答案】（1）点；． （2）画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的． 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． （1）由位似变换定义∶位似中心为对应顶点连线所在直线的交点，可确定位似中心．有对应边长比可求出和位似比； （2）位似变换有两种∶正向位似，反向位似．题给为反向位似，还存在满足（1）中条件的正向位似，即位似中心，画出另一个位似变换得到的． 【小问1详解】 解：作图连接，，交与点， 故位似中心为点． 和位似 位似比为对应边长之比，即和位似比． 由勾股定理得∶，． 故位似比． 故答案为：点，． 【小问2详解】 解：位似中心点，与位似比为，绘图如图（连接，，．取其中点为，，，连接得到） 19. 下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 （1）在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； （2）图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； （3）图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了由频率估计概率，几何概率，列表法或树状图求概率等知识点，熟练掌握各概率的求法是解题的关键． （1）根据折线统计图，用频率估计概率即可； （2）用丁区域的圆心角度数除360度即可； （3）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，然后找出两名同学选中同一名著的结果数，最后根据概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在上下波动，逐渐稳定在， ∴； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：设西游记为A，红楼梦为B，水浒传为C，三国演义为D， 根据题意可列表如下： 甲 乙 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有4种， ∴． 20. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与地面垂直的两栋楼与的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图，无人机悬停在，两楼之间上方的点O处，此时测出到楼顶部点A处的俯角为，，测出到楼顶部点C处的俯角为，已知两栋楼之间的距离（点A，B，C，D，O在同一平面内）． （1）求点O到楼的距离的长； （2）求两栋楼与的高度之差.（结果精确到） （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰三角形的判定： （1）根据直角三角形的性质求得； （2）过C作于H，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 答：点O到楼的距离的长为； 【小问2详解】 解：过C作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，， ∴两栋楼与的高度之差为． 21. 如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点， 且F为弧 的中点， 连接． （1）求证： 是的切线； （2）若，，求的半径的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴ ， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定， 等弧所对的圆心角相等，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）如图所示，连接，由切线的性质得到，再由得到，证明，得到，据此可证明结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 22. 如图，已知、分别是四边形对边、上的点，，直线分别交和的延长线于点、． （1）当时，求的值； （2）联结交于点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即； ∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，三角形相似的判定与性质是解题的关键； （1）由平行条件可得，由面积的比等于相似比的平方可求得相似比，从而求得结果； （2）由平行得，得；再由得，从而得，则，故有，从而得；再由已知即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 23. 已知二次函数． （1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）． （2）点在该二次函数图象上，其中． ①当时，求的取值范围． ②请探究的最大值与最小值之差是否会随着的变化而变化．若不变，请求出这个差；若变化，请用含的代数式表示这个差． 【答案】（1） （2）①；②不变，定值为4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）把解析式化成顶点时，即可求出二次函数图象的顶点坐标； （2）①当时，则二次函数，，即可求得的取值范围是； ②由题意可知的最小值为，最大值为时的值，即的最大值为，可得的最大值与最小值之差． 【小问1详解】 解：， 该二次函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①当时，则二次函数，． ， 抛物线开口向上，时有最小值， 当时，， 的取值范围是； ②不变，理由如下： 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 点在该二次函数图象上，其中． 的最小值为，最大值为时的值， 即的最大值为， 的最大值与最小值之差， 的最大值与最小值之差不会随着的变化而变化，的最大值与最小值之差为． 24. 如图1，已知点M在x轴上，与x轴交于A、D两点，与y轴正半轴交于B点，C是上一点，且，，． （1）求圆心M的坐标； （2）求四边形的面积； （3）如图2，过点C作弦交于点E，当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）四边形ABCD的面积为 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设半径为r，由，得到，设，在中，由得到，即可得到点M的坐标； （2）连接交于点N，分别求得，，即可得到； （3）连接，先证明是等腰直角三角形，进一步得到，作于点T，得到，，即可得到答案． 【小问1详解】 连接，设半径为r， ∵，， ∴， ∴ ∵在中，， ∴， ， ∴圆心M的坐标为； 【小问2详解】 连接交于点N， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵M、N分别是和中点， ∴， ∵为的直径 ∴， ∴， ∴， 答：四边形的面积为32． 【小问3详解】 连接， ∵， ∴， 又, ,且， ∴， ∴，则是等腰直角三角形，， 作于点T，则，， ∴． 【点睛】此题是圆与四边形综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、中位线定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省宁波市慈溪实验中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（ ） A. B. C. D. 2. 下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 汗滴禾下土 D. 手可摘星辰 3. 如图是一个由6个相同的小立方块组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，是直径，点，在半圆上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 7. 如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是 （     ） A. B. C. D. 8. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（ ） A. 小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B. 小球从飞出到落地要用4s C. 小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 D. 小球的飞行高度可以达到25m 9. 二次函数过点，且，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 顶角等于的等腰三角形也叫黄金三角形，黄金三角形的底边与腰长的比等于黄金比．如图①，在中，，动点P从点A出发，沿拆线匀速运动至点C，若点P的运动速度为，设点P的运动时间为长度为与t函数图象如图②所示，当恰好平分时，点P运动的路程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在中，．若，则的值是______． 12. 某圆锥底面圆的半径为，母线为，则该圆锥的侧面积等于_____． 13. 已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 14. 如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接并延长交的延长线于点F．连接，过点A作交于点G，若，则的长为______． 15. 苏州古典园林以其古、秀、精、雅，多而享有“江南园林甲天下之美，如图是一苏州园林中的窗饰特写，四个水平放置正方形木框的边长都为20cm，顶点A，B，C是圆形窗上的点，则这个圆形窗的半径为______cm． 16. 已知抛物线与直线只有一个公共点，且过点，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，则四边形的周长为 _______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知线段满足，且． （1）求的值； （2）若线段是线段的比例中项，求的值； 18. 如图，三个顶点坐标分别为、、． （1）如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心______；和位似比为______； （2）请在平面直角坐标系中画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的． 19. 下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 （1）在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； （2）图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； （3）图③是中国的《四大名著》，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． 20. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与地面垂直的两栋楼与的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图，无人机悬停在，两楼之间上方的点O处，此时测出到楼顶部点A处的俯角为，，测出到楼顶部点C处的俯角为，已知两栋楼之间的距离（点A，B，C，D，O在同一平面内）． （1）求点O到楼的距离的长； （2）求两栋楼与的高度之差.（结果精确到） （参考数据：，，，） 21. 如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点， 且F为弧 的中点， 连接． （1）求证： 是的切线； （2）若，，求的半径的长． 22. 如图，已知、分别是四边形对边、上的点，，直线分别交和的延长线于点、． （1）当时，求的值； （2）联结交于点，且，求证：四边形是平行四边形． 23. 已知二次函数． （1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）． （2）点在该二次函数图象上，其中． ①当时，求的取值范围． ②请探究的最大值与最小值之差是否会随着的变化而变化．若不变，请求出这个差；若变化，请用含的代数式表示这个差． 24. 如图1，已知点M在x轴上，与x轴交于A、D两点，与y轴正半轴交于B点，C是上一点，且，，． （1）求圆心M的坐标； （2）求四边形的面积； （3）如图2，过点C作弦交于点E，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $