专题4.6-4.7 相似多边形与图形的位似（知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

本讲义聚焦相似多边形与图形的位似核心知识点，系统梳理相似多边形的概念（对应角相等、对应边成比例）及性质（周长比等于相似比、面积比等于相似比平方），进而延伸到位似图形的概念（特殊相似，对应点连线交于位似中心）、性质与画法，构建从基础概念到坐标变换应用的递进式学习支架。 该资料以13个细分考点（如相似多边形识别、位似中心判断、坐标系中位似变换等）为脉络，通过典例精讲与变式训练结合，融入中考真题及基础夯实、培优拔高分层练习，培养学生几何直观与推理意识，课中助力教师精准教学，课后帮助学生查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

专题4.6-4.7 相似多边形与图形的位似 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：相似多边形的概念: 2 知识点梳理02：相似多边形的性质 2 知识点梳理03：位似图形的概念 2 知识点梳理04：位似多边形的性质和画法 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：相似多边形 3 考点2：相似图形 4 考点3：相似多边形的性质 4 考点4：求位似图形的对应坐标 5 考点5：位似图形的识别 6 考点6：判断位似中心 7 考点7：位似图形相关概念辨析 8 考点8：求两个位似图形的相似比 8 考点9：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 9 考点10：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 10 考点11：在坐标系中画位似图形 11 考点12：在坐标系中画位似中心 12 考点13：坐标与图形综合 13 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 15 基础夯实 15 培优拔高 18 知识点梳理01：相似多边形的概念: 相似多边形：一般地，对应角相等，对应边成比例两个多边形叫做相似多边形，相似多边形的比也叫相似比。 知识点梳理02：相似多边形的性质 1. 相似多边形对应角相等，对应边的长度成比例 2.相似多边形周长比等于相似比,相似多边形面积的比等于相似比的平方。 知识点梳理03：位似图形的概念 1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 相似图形与位似图形的区别与联系： 1、 区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 2、联系：位似图形是特殊的相似图形。 2）相似图形与位似图形的区别与联系： 区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有； ②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 知识点梳理04：位似多边形的性质和画法 1.位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 【易错点拨】 （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 2.位似图形的画法 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 【易错点拨】 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 考点1：相似多边形 【典例精讲】（25-26九年级上·山西晋中·期中）下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【变式训练】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 考点2：相似图形 【典例精讲】（25-26九年级上·四川内江·月考）下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（25-26九年级上·安徽六安·期中）下列图形一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个正方形 D．两个矩形 考点3：相似多边形的性质 【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古·期中）如图，四边形四边形，若，，，则 . 【变式训练】（25-26九年级上·陕西渭南·月考）若四边形四边形，，，则四边形与四边形的面积比为 ． 考点4：求位似图形的对应坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知O是坐标原点，M，N的坐标分别为，． (1)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似，所作新图形与原图形的相似比为； (2)分别写出M，N的对应点P，Q的坐标； (3)求的面积． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，点E、A、B、C都在小正方形的顶点上． (1)以点E为位似中心，画，使它与的相似比为2； (2)若建立平面直角坐标系，使点A在坐标系中的坐标为，请画出平面直角坐标系，则点的坐标是____________； (3)与的面积比为________． 考点5：位似图形的识别 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）下列相似图形不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图所示： (1)写出“小鱼”与“大鱼”的位置关系； (2)已知“小鱼”上一个“顶点”的坐标为，写出“大鱼”上对应“顶点”的坐标． 考点6：判断位似中心 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式训练】（25-26九年级上·安徽马鞍山·月考）如图，三个顶点坐标分别为、、． (1)如图，已知是通过位似变换得到的，则位似中心为________；和位似比为________； (2)作图：请在线段上找一点使得． 考点7：位似图形相关概念辨析 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长为12．则的周长为 ． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 考点8：求两个位似图形的相似比 【典例精讲】（24-25九年级上·山西晋城·期中）如图，与是位似图形，点是位似中心，；若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ． 考点9：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【典例精讲】（25-26九年级上·江西九江·月考）下图都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） (1)如图1，在边上找一点，连接，使将分成面积相等的两部分． (2)如图2，以点为位似中心画出，使得与位似，且相似比为． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽滁州·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)以M点为位似中心，相似比为2，在第一象限中画出放大后的； (3)利用网格和无刻度的直尺作出的中线（保留作图痕迹）． 考点10：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，点A，B，C的对应点分别为D，E，F； (2)与的面积比为______． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知是坐标原点，，的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，且点，的对应点分别为，； (2)与的面积之比为______． 考点11：在坐标系中画位似图形 【典例精讲】（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，在点的下方画出，使与位似，且相似比为，点A，的对应点分别为，； (2)直接写出点和点的坐标：（____，____），（____，____）． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为2，其中，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F； (2)在（1）的条件下，若是线段上一点，则点M的对应点的坐标为______． 考点12：在坐标系中画位似中心 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点P为位似中心的位似图形． (1)直接写出点P的坐标； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为； (3)若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________． 【变式训练】（25-26九年级上·福建泉州·期中）在如图的方格纸中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置，并写出点的坐标； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为2：1． 考点13：坐标与图形综合 【典例精讲】（2025·四川绵阳·一模）在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与x轴平行，且对角线在直线上，则称矩形为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点的坐标为，且直线平分该矩形的面积，则点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为1∶2，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)求的面积． 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，演出场地的平面图是直角三角形，已知，现规划两个全等的矩形区域作为表演区．工作人员先划出（1）号矩形，然后在剩余的大三角形AFD中划出（2）号矩形，则（1）号矩形的宽为 ． 2．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，则线段的长为 ． 3．（2024·河南平顶山·中考真题）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·河北衡水·中考真题）下列命题： ①两个相似三角形面积之比等于相似比的平方； ②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比； ③在与中，，，那么； ④已知及位似中心O，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5，其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·安徽合肥·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． (1)和关于轴对称，画出； (2)若与是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限，画出； (3)已知，则点坐标为_____． 基础夯实 1．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）下列每个选项的两个图形，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北衡水·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，位似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25九年级上·河南郑州·期中）三个顶点坐标分别为，，，以为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点坐标为 ． 5．（2025·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点为，点为，直线轴，则 ． 6．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若，则的对应点的坐标是 ． 7．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）已知四边形四边形，且，若四边形的周长为4，则四边形的周长为 ． 8．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，四边形． (1)______°，______°． (2)求的值． 9．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的面积为． (1)写出一条有关相似三角形的性质______． (2)求的面积． 10．（25-26九年级上·河北衡水·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，在第四象限画一个，使与的相似比为，点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若的周长是，则的周长为________． 培优拔高 11．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）如图，已知两个四边形相似，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的周长为6，则的周长为（   ） A．9 B．15 C．12 D．18 13．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，与关于点O位似，若，，，则为（   ） A． B．3 C．4 D．6 14．（25-26九年级上·全国·期末）如图，矩形 在矩形 内， 与 ， 与 之间的距离都为 ， 与 ， 与 之间的距离都为 ，已知，，当 时，矩形矩形． 15．（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）如图，与位似，位似中心为点，若，的面积为3，则的面积为 ． 16．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，，点为的中点．以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，点为的中点，则的长为 ． 17．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是，点A的坐标是，且线段是由线段以位于y轴右侧的点P为位似中心放大3倍得到的，则点P的坐标是 ． 18．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形． (1)在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为 ； (2)以点A为位似中心，在现有网格图中作，使和位似，位似比为；并写出的坐标． (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为 ． 19．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)指出点的位置并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． (3)设点为边上一点，则依上述变换后点在边的对应点的坐标是_____． 20．（25-26九年级上·河北邢台·月考）一个不透明的口袋里装有四张卡片①②③④（如图），其中①③上的图形是大小不同的等腰直角三角形，②④上的图形是大小不同的正方形，四张卡片除了图形不同外，其他完全相同． (1)若从中任取一张卡片，卡片上的图形是中心对称图形的概率为______． (2)若从中任取两张卡片（不放回），请用画树状图法或列表法，求取出的两张卡片上的图形相似的概率． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.6-4.7 相似多边形与图形的位似 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：相似多边形的概念: 2 知识点梳理02：相似多边形的性质 2 知识点梳理03：位似图形的概念 2 知识点梳理04：位似多边形的性质和画法 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：相似多边形 3 考点2：相似图形 5 考点3：相似多边形的性质 6 考点4：求位似图形的对应坐标 7 考点5：位似图形的识别 9 考点6：判断位似中心 10 考点7：位似图形相关概念辨析 13 考点8：求两个位似图形的相似比 14 考点9：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 15 考点10：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 18 考点11：在坐标系中画位似图形 20 考点12：在坐标系中画位似中心 22 考点13：坐标与图形综合 24 中考真题 实战演练 26 难度分层 拔尖冲刺 31 基础夯实 31 培优拔高 37 知识点梳理01：相似多边形的概念: 相似多边形：一般地，对应角相等，对应边成比例两个多边形叫做相似多边形，相似多边形的比也叫相似比。 知识点梳理02：相似多边形的性质 1. 相似多边形对应角相等，对应边的长度成比例 2.相似多边形周长比等于相似比,相似多边形面积的比等于相似比的平方。 知识点梳理03：位似图形的概念 1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 相似图形与位似图形的区别与联系： 1、 区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 2、联系：位似图形是特殊的相似图形。 2）相似图形与位似图形的区别与联系： 区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有； ②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 知识点梳理04：位似多边形的性质和画法 1.位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 【易错点拨】 （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 2.位似图形的画法 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 【易错点拨】 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 考点1：相似多边形 【典例精讲】（25-26九年级上·山西晋中·期中）下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【规范解答】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选C 【变式训练】（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不相似，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似多边形的判定，熟练掌握矩形的面积公式和相似多边形的定义是解题的关键． （1）设花圃四周绿地的宽度为米，根据矩形面积公式，分别表示出花圃的长和宽，再结合花圃面积是原绿地面积的一半列出方程求解． （2）先求出矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，判断对应边的比例是否相等，对应角是否相等（矩形的内角都是直角，对应角相等）． 【规范解答】（1）解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； （2）解：矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似 考点2：相似图形 【典例精讲】（25-26九年级上·四川内江·月考）下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】根据相似图形的定义，对应角相等且对应边成比例的多边形相似．逐一判断每组图形是否满足条件． 【规范解答】解：∵ ①两个矩形对应角相等（均为），但对应边不一定成比例， ∴ 不一定相似； ∵ ②两个正方形对应角相等（均为），且对应边成比例（边长比相同）， ∴ 一定相似； ∵ ③两个等腰三角形对应角不一定相等（如顶角可能不同），对应边不一定成比例， ∴ 不一定相似； ∵ ④两个等边三角形对应角相等（均为），且对应边成比例（边长比相同）， ∴ 一定相似； ∵ ⑤两个菱形有一个角为，则所有对应角相等（均为、、、），且对应边成比例（四边相等，边长比相同）， ∴ 一定相似． ∴ 一定相似的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽六安·期中）下列图形一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个正方形 D．两个矩形 【答案】C 【思路点拨】本题考查了相似图形的定义，相似图形需对应角相等且对应边成比例，由相似图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握相似图形的定义是解此题的关键． 【规范解答】解：A、两个等腰三角形的顶角或底角可能不相等，故不一定相似； B、两个直角三角形的锐角可能不相等，故不一定相似； C、两个正方形的所有内角均为，对应角相等，且任意两边长之比为常数，故对应边成比例，一定相似； D、两个矩形的邻边之比可能不同，故对应边不一定成比例，不一定相似； 故选：C． 考点3：相似多边形的性质 【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古·期中）如图，四边形四边形，若，，，则 . 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等是解题的关键．根据相似多边形的对应角相等，以及四边形内角和为度求解即可． 【规范解答】解：四边形四边形， ， 又，， ， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西渭南·月考）若四边形四边形，，，则四边形与四边形的面积比为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查相似多边形的性质，解决本题的关键是利用相似多边形的面积比等于相似比的平方．根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【规范解答】解：四边形四边形， 相似比， ， 即四边形与四边形的面积比为． 故答案为：． 考点4：求位似图形的对应坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知O是坐标原点，M，N的坐标分别为，． (1)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似，所作新图形与原图形的相似比为； (2)分别写出M，N的对应点P，Q的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【思路点拨】本题考查位似图形的作图，位似变换的坐标规律，三角形面积的计算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）以为位似中心，在轴左侧，连接并延长至、，使，，确定、位置后连接得到； （2）根据位似中心在原点，相似比且在轴左侧，将、的坐标分别乘以得到、的坐标； （3）利用割补法计算的面积． 【规范解答】（1）解：连接并延长至、，使，，连接得到，则即为所求； （2）解：∵位似中心在原点，与的相似比，且在轴左侧， ∴将、的坐标分别乘以得到、的坐标， ∴，； （3）解： ． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，点E、A、B、C都在小正方形的顶点上． (1)以点E为位似中心，画，使它与的相似比为2； (2)若建立平面直角坐标系，使点A在坐标系中的坐标为，请画出平面直角坐标系，则点的坐标是____________； (3)与的面积比为________． 【答案】(1)见解析 (2)平面直角坐标系见解析；和 (3) 【思路点拨】本题考查了画位似图形，相似三角形的性质，写出位似点的坐标等知识，掌握位似与相似的性质是关键； （1）根据位似的知识点作图即可； （2）建立平面直角坐标系，求出点的坐标即可； （3）根据相似图形的性质即可得出结果； 【规范解答】（1）解：所画位似图如下： （2）解：坐标系见上图，点的坐标是和， 故答案为：和； （3）解：由于与的相似比为，则面积比为， 故答案为：． 考点5：位似图形的识别 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）下列相似图形不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 根据对应边是否平行判断即可． 【规范解答】解：由各选项图形可知，，，选项的相似图形是位似图形，选项的相似图形不是位似图形． 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图所示： (1)写出“小鱼”与“大鱼”的位置关系； (2)已知“小鱼”上一个“顶点”的坐标为，写出“大鱼”上对应“顶点”的坐标． 【答案】(1)位似变换 (2) 【思路点拨】本题考查的是位似变换的性质，解决本题的关键是找到所给图形中象限内的一对对应点的变化规律． （1）根据坐标系中，图形的位置即可解答； （2）先找一对对应点，观察所找对应点的变化规律，那么所求点也按照这个变化规律进行变化即可． 【规范解答】（1）解：“小鱼”与“大鱼”位置关系属于位似变换； （2）解：“小鱼”最大鱼翅的顶端坐标为，“大鱼”对应点坐标为； “小鱼”上一个“顶点”的坐标为，那么“大鱼”上对应“顶点”的坐标为． 考点6：判断位似中心 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【思路点拨】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【规范解答】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽马鞍山·月考）如图，三个顶点坐标分别为、、． (1)如图，已知是通过位似变换得到的，则位似中心为________；和位似比为________； (2)作图：请在线段上找一点使得． 【答案】(1)点， (2)作图见解析 【思路点拨】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似定义，连接、、交于点，可确定位似中心，由对应边长之比求出和位似比即可； （2）根据相似三角形的判定和性质作图即可． 【规范解答】（1）解：连接、、交于点， 则位似中心为点； 和位似 位似比为对应边长之比，即 因此位似比为， 故答案为：点，； （2）解：作图如下： 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点7：位似图形相关概念辨析 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长为12．则的周长为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查位似图形，根据位似图形一定相似，相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【规范解答】解：∵与位似， ∴与相似， ∵相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为12， ∴的周长为6； 故答案为：6． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质可得，则可证明，得到，据此可得答案． 【规范解答】解：∵与是位似图形，是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 考点8：求两个位似图形的相似比 【典例精讲】（24-25九年级上·山西晋城·期中）如图，与是位似图形，点是位似中心，；若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据位似图形的性质解题即可． 【规范解答】解：， ． 与是位似图形， ， ， ． 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 先证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【规范解答】解：与是位似图形，点O是位似中心， ， ， ， ． 故答案为：． 考点9：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【典例精讲】（25-26九年级上·江西九江·月考）下图都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） (1)如图1，在边上找一点，连接，使将分成面积相等的两部分． (2)如图2，以点为位似中心画出，使得与位似，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了三角形中线的性质，画位似图形． （1）根据网格的特点找到的中点，连接，即可求解； （2）根据题意找到上的靠近点的三等分点，连接即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 如图，取格点，连接交于点，根据网格作 ∵ ∴ ∴ ∴， 同理可得，则 ∴ 又∵， ∴． ∴与位似，且相似比为． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽滁州·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)以M点为位似中心，相似比为2，在第一象限中画出放大后的； (3)利用网格和无刻度的直尺作出的中线（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【思路点拨】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）取格点E、F，连接与相交于点D，则即为所求作的中线． 【规范解答】（1）解：如图，为所作三角形； （2）解：如图，为所作三角形； （3）如图，为的中线． 考点10：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，点A，B，C的对应点分别为D，E，F； (2)与的面积比为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查作图-位似变换，相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意得，与的相似比为， ∴与的面积比为， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知是坐标原点，，的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，且点，的对应点分别为，； (2)与的面积之比为______． 【答案】(1)图见解析 (2) 【思路点拨】本题考查位似图形的作图与相似三角形的性质，掌握好位似作图的方法是关键． （1）将点，的坐标在第一象限内放大3倍后得到点，，依次连接点，，即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）如图所示， （2）由相似三角形的性质可知，与的面积比为相似比的平方， ∴． 考点11：在坐标系中画位似图形 【典例精讲】（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，在点的下方画出，使与位似，且相似比为，点A，的对应点分别为，； (2)直接写出点和点的坐标：（____，____），（____，____）． 【答案】(1)图见解析 (2)， 【思路点拨】本题主要考查了位似作图、图形与坐标等知识点，掌握位似的性质是解题的关键． （1）先在网格中作出A、C的对应点、，然后顺次连接即可解答； （2）根据（1）作图中点、的位置，直接写出坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由图可得，，． 故答案为：. 【变式训练】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为2，其中，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F； (2)在（1）的条件下，若是线段上一点，则点M的对应点的坐标为______． 【答案】(1)见详解； (2)． 【思路点拨】本题考查了作图—位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键． （1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A，B，C的横纵坐标都乘以得到点D，E，F，再顺次连接即可得出答案； （2）利用（1）中可得把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：点是线段上一点，则点的对应点的坐标为， 故答案为：． 考点12：在坐标系中画位似中心 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点P为位似中心的位似图形． (1)直接写出点P的坐标； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为； (3)若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查位似变换，坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用位似图形的性质得到位似中心的位置即可求解； （2）根据点O为位似中心，相似比为作图即可； （3）利用位似图形的性质求解即可； 【规范解答】（1）解：如图，连接，并延长相交于点P， ∴； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由题意得，点M在内的对应点的坐标为； 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·福建泉州·期中）在如图的方格纸中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置，并写出点的坐标； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为2：1． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【思路点拨】本题考查坐标与位似图形，掌握位似图形的性质，是解题的关键． （1）连接各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的对应坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可． 【规范解答】（1）解：点的位置，如图所示，由图可知：； （2）如图，即为所求． 考点13：坐标与图形综合 【典例精讲】（2025·四川绵阳·一模）在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与x轴平行，且对角线在直线上，则称矩形为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点的坐标为，且直线平分该矩形的面积，则点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了中心对称、一次函数图象上点的特征以及坐标与图形的性质．根据矩形为“率矩形”， 可设，因为直线平分该矩形的面积，所以直线经过点，从而求出点的坐标，由轴，，可得点的坐标，最后根据求得点坐标． 【规范解答】矩形为“率矩形”， 设， 直线平分该矩形的面积， 直线经过点， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 故选：． 【变式训练】（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为1∶2，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【思路点拨】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）利用割补法求三角形面积即可． 本题考查了平移作图，位似作图，坐标与图形，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （2）解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （3）解：∵、、． ． 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，演出场地的平面图是直角三角形，已知，现规划两个全等的矩形区域作为表演区．工作人员先划出（1）号矩形，然后在剩余的大三角形AFD中划出（2）号矩形，则（1）号矩形的宽为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先求出，设，得到，推导出，得到，，继而证明，得到，，推导出得到，则，即可解答． 【规范解答】解：已知在中，，由勾股定理得： ， 设， ∵矩形与矩形全等， ∴． ∵， ∴， ∴． 代入得 ， 解得， ∵， ∴，即． ∵矩形对边平行且相等，，且，得， ∴， 因此． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ∴． 代入，得： ， 解得， ∴． 2．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，则线段的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质． 由矩形的性质可得，，由矩形矩形，可得，再进一步求解即可． 【规范解答】解：∵矩形矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·河南平顶山·中考真题）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了位似的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 由位似图形的性质逐一判断即可求解． 【规范解答】解： A、由位似图形可知，，，故选项A正确，不符合题目要求， B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求， C、由位似图形可知，相似比为，，又三点共线，，故选项C错误，符合题目要求， D、由位似图形可知，相似比为，，故选项D正确，不符合题目要求． 故选：C． 4．（2024·河北衡水·中考真题）下列命题： ①两个相似三角形面积之比等于相似比的平方； ②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比； ③在与中，，，那么； ④已知及位似中心O，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5，其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】主要考查命题的真假判断和相似三角形，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据相似三角形的性质及位似变换的概念判断各命题的真假． 【规范解答】解：①两个相似三角形面积之比等于相似比的平方，正确； ②两个相似三角形的对应高之比等于相似比，正确； ③在与中，，，满足两边成比例且夹角相等，故，正确； ④已知及位似中心O，位似比为0.5时，可作两个三角形（同侧或异侧），故“只能作一个”错误； ∴ 真命题有①②③，一共3个． 故选：C． 5．（2024·安徽合肥·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． (1)和关于轴对称，画出； (2)若与是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限，画出； (3)已知，则点坐标为_____． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【思路点拨】本题考查了作图——位似变换、轴对称变换，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别作点关于轴的对称点，然后连线即可； （）由（）及位似的性质进行作图即可； 根据平面直角坐标系写出坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由平面直角坐标系可得：点坐标为 故答案为：． 基础夯实 1．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）下列每个选项的两个图形，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据相似图形的概念即可作出判断． 本题考查了相似图形的概念：形状相同，大小不同的两个图形是相似图形． 【规范解答】解：由相似图形的概念知，选项C中的两个图形相似 故选：C 2．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查位似图形的性质．本题核心是理解位似图形与相似图形的关系（位似是特殊的相似），以及相似三角形面积比与相似比的数量关系（面积比为相似比的平方）．通过明确相似比，进而求出面积比是解题关键．位似图形属于相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离比；而相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此可逐步推导． 【规范解答】解： 与是以点为位似中心的位似图形，， 与的相似比为， 与的面积之比为，对应选项A．   故选：A． 3．（25-26九年级上·河北衡水·月考）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，位似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，根据位似变换的性质，以原点为位似中心时，点的对应坐标等于原坐标乘以位似比或其相反数， 位似比为，把缩小，即缩小倍或倍． 【规范解答】解：∵ 点，位似中心为原点，位似比为，把缩小， ∴ 点B的对应点的坐标为或 ， 即或． 故选：C． 4．（24-25九年级上·河南郑州·期中）三个顶点坐标分别为，，，以为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点坐标为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质，以原点为位似中心时，对应点的坐标等于原坐标乘以相似比或负相似比即可解答． 【规范解答】解：以原点为位似中心，相似比为，将缩小， 因为点的坐标为， 所以点的对应点坐标为或， 即或， 故答案为：或． 5．（2025·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点为，点为，直线轴，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查平面直角坐标系中平行于轴的直线的点的坐标特征，涉及知识点：平行于轴的直线上的点纵坐标相等．解题方法是利用“平行于轴的直线上点的纵坐标相同”列方程求解；解题关键是识别直线平行轴的坐标规律，易错点是混淆轴、轴平行时的坐标特征． 【规范解答】∵直线轴， ∴点和点的纵坐标相等，即， 解得，， 故答案为． 6．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若，则的对应点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了位似变换，由与位似，，得与的相似比为，，再根据位似变换的性质即可求解，正确求出相似比是解题的关键． 【规范解答】解：∵与位似，， ∴与的相似比为， ∵， ∴，即， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）已知四边形四边形，且，若四边形的周长为4，则四边形的周长为 ． 【答案】14 【思路点拨】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是利用相似多边形的周长比等于对应边的比． 根据相似多边形的周长比等于对应边的比，结合已知的对应边比例与其中一个多边形的周长，计算另一个多边形的周长． 【规范解答】解：∵ 四边形四边形， ∴ 四边形与四边形的周长比等于对应边的比 设四边形的周长为，则， 解得． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，四边形． (1)______°，______°． (2)求的值． 【答案】(1)144；83 (2) 【思路点拨】本题考查相似图形的性质，多边形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）根据相似图形的性质与多边形的内角和求解即可； （2）根据相似图形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：∵四边形， ∴． 故答案为：144；83． （2）∵四边形， ∴， 即， 解得． 9．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的面积为． (1)写出一条有关相似三角形的性质______． (2)求的面积． 【答案】(1)相似三角形的面积比等于相似比的平方 (2) 【思路点拨】根据相似三角形的性质解答； 根据位似图形的定义得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 本题考查的是位似变换，熟记位似图形的定义、相似三角形的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方， 故答案为：相似三角形的面积比等于相似比的平方答案不唯一； （2）解：与位似，相似比为， ∴，相似比为， 与的面积比为， 的面积为8， 的面积为2． 10．（25-26九年级上·河北衡水·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)以原点O为位似中心，在第四象限画一个，使与的相似比为，点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若的周长是，则的周长为________． 【答案】(1)见解析，，， (2) 【思路点拨】本题主要考查了在坐标系中画位似图形，求位似图形对应点坐标，位似图形的性质，正确找到对应点位置从而画出对应的位似图形是解题的关键． （1）把A、B、C的横纵坐标都分别乘以得到、、的横纵坐标，再描出、、，并顺次连接、、即可； （2）根据位似图形的周长之比等于位似比进行求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，，； （2）解：与关于原点位似，且相似比为，的周长是， 的周长为， 故答案为：． 培优拔高 11．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）如图，已知两个四边形相似，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形对应边成比例、对应角相等．理解多边形相似的性质是解题的关键．根据相似多边形的性质回答即可． 【规范解答】解：两个四边形相似， ， ， 选项正确，选项不正确． 故选：C． 12．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的周长为6，则的周长为（   ） A．9 B．15 C．12 D．18 【答案】B 【思路点拨】此题主要考查了位似变换，正确得出和的周长比是解题关键． 直接利用位似图形的性质得出和的周长比，进而求出答案． 【规范解答】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， 和的周长比等于位似比是， 的周长为6， 的周长为15． 故选：B． 13．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，与关于点O位似，若，，，则为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据位似图形的性质得出的长，进而得出，求出的长即可． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴， ∵与位似，原点O是位似中心， ∴， ∵， ∴, 故选：A． 14．（25-26九年级上·全国·期末）如图，矩形 在矩形 内， 与 ， 与 之间的距离都为 ， 与 ， 与 之间的距离都为 ，已知，，当 时，矩形矩形． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似多边形对应边成比例． 先根据题意得出，，再根据相似的性质得出，即可解答． 【规范解答】解：∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ∴， ∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ， ∴， ∵矩形矩形， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）如图，与位似，位似中心为点，若，的面积为3，则的面积为 ． 【答案】27 【思路点拨】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的性质与判定，掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似的性质可得，则有，得到，再利用相似三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵与位似，位似中心为点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：27． 16．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，，点为的中点．以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，点为的中点，则的长为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了坐标与图形、两点间距离公式、位似图形的性质，解本题的关键是熟练掌握位似图形的性质．根据中点坐标公式求出点，根据位似图形的性质得出点的坐标为或，根据两点间距离公式分别求出的长即可． 【规范解答】解：∵，，点为的中点， ∴点M的坐标为，即， ∵以点为位似中心，把缩小为原来的，得到，点为的中点， ∴点的坐标为或， 即点的坐标为或， ∴的长为：； 或； 故答案为：或． 17．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是，点A的坐标是，且线段是由线段以位于y轴右侧的点P为位似中心放大3倍得到的，则点P的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据位似图形的性质可得，据此可得，即点的坐标是． 【规范解答】解：∵线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形． (1)在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，则点B的坐标为 ； (2)以点A为位似中心，在现有网格图中作，使和位似，位似比为；并写出的坐标． (3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为 ． 【答案】(1) (2)图见解析； (3)图见解析，点P的坐标为． 【思路点拨】本题考查了位似变换，正确利用位似图形的性质分析是解题的关键． （1）直接利用已知点位置得出点坐标即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用位似图形的性质得出对应点连线的交点即为位似中心，并得出点的坐标． 【规范解答】（1）解：如图，点的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求，则； （3）解：如图，分别连接，，交于点，则点即为与的位似中心P， 由网格可知，点P的坐标为． 19．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图在平面直角坐标系中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)指出点的位置并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，在轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为． (3)设点为边上一点，则依上述变换后点在边的对应点的坐标是_____． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题主要考查了位似的作图、坐标与图形等知识． (1)连接、并延长，交于点，点即为位似中心，借助网格可知点的坐标是； (2)延长到，使，延长到，使，连接点、、得到，即为所求； (3)根据点的坐标是，点的坐标是，可知与的位似比是，设点的坐标是，根据位似三角形的性质可得，解方程求出、即可得到点的坐标． 【规范解答】（1）解：如下图所示， 连接、并延长，交于点， 点即为位似中心， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，延长到，使， 延长到，使， 连接点、、得到， 即为所求； （3）解：如下图所示，点的坐标是，点的坐标是， 位似中心点的坐标是， 位似比是， 点为边上一点， 设点的坐标是， 则有， 解得：，， 点的坐标是． 故答案为：． 20．（25-26九年级上·河北邢台·月考）一个不透明的口袋里装有四张卡片①②③④（如图），其中①③上的图形是大小不同的等腰直角三角形，②④上的图形是大小不同的正方形，四张卡片除了图形不同外，其他完全相同． (1)若从中任取一张卡片，卡片上的图形是中心对称图形的概率为______． (2)若从中任取两张卡片（不放回），请用画树状图法或列表法，求取出的两张卡片上的图形相似的概率． 【答案】(1) (2)画图见解析，取出的两张卡片上的图形相似概率为 【思路点拨】本题考查中心对称图形，相似图形，运用概率公式求概率，列举法求概率，掌握相关知识是解题的关键． （1）先找出图形是中心对称图形的卡片，再根据概率公式求解即可； （2）图形相似的卡片是①与③，②与④，用画树状图法或列表法找出所有等可能的情况，再找出满足要求的条件，即可求解． 【规范解答】（1）解：图形是中心对称图形的卡片是②④， 所以从中任取一张卡片，卡片上的图形是中心对称图形的概率为． 故答案为：． （2）解：图形相似的卡片是①与③，②与④， 画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中取出的两张卡片上的图形相似的结果有4种， 则P（取出的两张卡片上的图形相似）． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $