专题4.1-4.2 比例线段与由平行截得的线段比例（知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

本讲义聚焦比例线段与由平行截得的线段比例核心知识点，系统梳理从四个数成比例、比例基本性质（含合比、等比），到线段的比、比例线段、比例中项、黄金分割，再到平行线截线段成比例基本事实的知识链，构建从概念到应用的学习支架。 资料特色在于知识梳理含易错点拨（如比例线段顺序、黄金分割两点）与重点剖析，助学生用数学眼光识别关键，考点讲练通过典例与变式训练推理能力，中考真题和分层练习（基础夯实、培优拔高）让学生用数学语言解决问题，课中辅助分层教学，课后便于查漏补缺。

专题4.1-4.2 比例线段与由平行截得的线段比例 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：四个数成比例 1 知识点梳理02：比例的基本性质 2 知识点梳理03：两条线段的比 2 知识点梳理04：比例线段（重点） 3 知识点梳理05：比例中项（重点） 3 知识点梳理06：黄金分割 3 知识点梳理07：由平行线截得的比例线段的基本事实 3 知识点梳理08：把已知线段等分或作比例线段 4 优选题型 考点讲练 5 考点1：比例线段 5 考点2：比例的性质 5 考点3：成比例线段 6 考点4：黄金分割 6 考点5：由平行判断成比例的线段 7 考点6：由平行截线求相关线段的长或比值 7 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 11 知识点梳理01：四个数成比例 1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么我们说这四个数成比例． 2.a : b＝c : d或称a，d为比例外项，称b，c为比例内项 3.比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若，则ad＝bc 知识点梳理02：比例的基本性质 （1）基本性质： 如果，那么； 如果，那么，，． （2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么． （3）等比性质： 如果，那么． 重点剖析： （1）利用比例的基本性质可以在比例式和等积式之间互相转化。将比例式化为等积式是有条件的，并不是比例式中的四个字母中的任意两个字母的乘积就等于另外两个字母的乘积，而是比例的外项之积等于内项之积。 （2）使用等比性质时，要注意b+d≠0这个条件，否则这个性质不成立。 知识点梳理03：两条线段的比 1. 两条线段的比： 【易错点拨】 （1） 在计算两条线段的比时，这两条线段的长度单位必须要统一。 （2） 两条线段的比是一个没有单位的正实数，该比值与线段的长度无关。 （3） 在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比通常称为比例尺，因此比例尺也是两条线段的比的一种形式。 知识点梳理04：比例线段（重点） 对于四条线段、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 注意！！！ 比例线段是有顺序的，即比例线段、b、c、d与比例线段、c、b、d是不同的。 知识点梳理05：比例中项（重点） 比例中项：如果三个数满足比例式（或），则叫做的比例中项. 知识点梳理06：黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 【易错点拨】 一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P是线段AB的黄金分割点时，需加注 或AP＜ BP，否则在已知AB的长度求AP（或BP）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论。 知识点梳理07：由平行线截得的比例线段的基本事实 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 【知识要点】 上图的变式图形：分A型和X型； A型 X型 则常用的比例式：依然成立. 平行线分线段成比例速记口诀！！！ 平行线分线段，成比例是关键。 先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。 知识点梳理08：把已知线段等分或作比例线段 已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分. 作法 1. 以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5. 2. 连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点. 依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式 ∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5， ∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B, ∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分. 【知识要点】 在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线. 考点1：比例线段 【典例精讲】（25-26九年级上·上海·月考）在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是 ． 【变式训练1】（24-25九年级上·上海宝山·月考）已知线段厘米，厘米，b是线段a和c的比例中项， 厘米． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江温州·月考）在比例尺的地图上量得温州与杭州的距离约为，则温州与杭州的实际距离约为 ． 考点2：比例的性质 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）若，则 ． 【变式训练1】（25-26九年级上·广西梧州·期中）如果，那么 ． 【变式训练2】（25-26九年级上·北京·期中）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 考点3：成比例线段 【典例精讲】（25-26九年级上·四川达州·期中）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·河南周口·月考）现有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．若这四条线段是成比例线段，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【变式训练2】（25-26九年级上·山西晋中·期中）是成比例线段，其中，则线段的长为 ． 考点4：黄金分割 【典例精讲】（25-26九年级上·四川成都·期中）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比（），那么我们称这个矩形为黄金矩形，若一个黄金矩形一条较长的边为4，则这个矩形较短的一条边长为 ． 【变式训练1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比（约为），已知蝴蝶展开的双翅的长度是，则蝴蝶身体的长度约为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·四川成都·期中）已知的面积为4，点D是边上的黄金分割点，那么的面积是 ． 考点5：由平行判断成比例的线段 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A． B．4 C．10 D． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·四川·期中）如图，直角梯形为上一点，连、和，若平分，已知 ． 考点6：由平行截线求相关线段的长或比值 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，，，则等于（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【变式训练1】（25-26九年级上·上海浦东新·月考）如图，点、分别在直线、上，，如果，，，那么的长为 ． 【变式训练2】（25-26九年级上·江西萍乡·期中）如图，，与相交于点G，且，，，则 ． 1．（2024·陕西西安·中考真题）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 2．（2024·山西晋中·中考真题）手机作为现代生活的必需品，更新换代越来越快，外观设计吸引人的手机往往会更加畅销．某款手机以的黄金比例将较短的摄像区和较长的握持区进行明确的划分，已知该手机总长为，那么摄像区的长度为 ． 3．（2024·上海·中考真题）在线段上取C、D两点，已知，，且四条线段、、、是成比例线段，则线段的长为（    ）． A．4 B．3 C．2或3 D．4或3 4．（2024·山东枣庄·中考真题）如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，；第二步，过，两点作直线分别交，于点，；第三步，连接，．若，，，则的长是（   ） A．11 B．12 C．13 D．18 5．（2024·全国·中考真题）如图，已知和是的中点，是的中点，，求的值．    基础夯实 1．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）已知，如果是的比例中项，那么的值为（　　） A．16 B． C．4 D．-4 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如果，那么的值为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京顺义·期中）如图，中，，分别交边、于、两点，若，，则的值为（ ） A．6 B．4 C．10 D．3 4．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，不同竖格线上的三点A，B，C在同一直线上，若线段，则线段的长为 ． 5．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，，若，则 ． 6．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）若，则的值为 ． 7．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，且可以发出“”的音符，则水面高度为 ．（精确到） 8．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）解方程或计算： (1) (2)已知 ，求的值 9．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）已知a、b满足，且，求a、b的值． 10．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 培优拔高 11．（25-26九年级上·山西晋中·期中）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期中）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段，是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，中，为中点，在的延长线上取一点E，使得与交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，在中，点在线段上，，，，，则的长为 ． 15．（25-26九年级上·全国·月考）如图，已知直线，如果，，则线段的长是 ． 16．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）点在线段上，且．设，则 ． 17．（25-26九年级上·四川成都·期中）矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形的长边，则它的周长为 ． 18．（25-26九年级上·江西吉安·月考）解下列各题 (1)． (2)若且，求的值； 19．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫作线段的黄金分割点． (1)如图1，已知点C为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； (2)如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点．（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 20．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，，直线与分别相交于点和点．若，求的长．    第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1-4.2 比例线段与由平行截得的线段比例 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：四个数成比例 1 知识点梳理02：比例的基本性质 2 知识点梳理03：两条线段的比 2 知识点梳理04：比例线段（重点） 3 知识点梳理05：比例中项（重点） 3 知识点梳理06：黄金分割 3 知识点梳理07：由平行线截得的比例线段的基本事实 3 知识点梳理08：把已知线段等分或作比例线段 4 优选题型 考点讲练 5 考点1：比例线段 5 考点2：比例的性质 6 考点3：成比例线段 7 考点4：黄金分割 8 考点5：由平行判断成比例的线段 10 考点6：由平行截线求相关线段的长或比值 13 中考真题 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 19 基础夯实 19 培优拔高 23 知识点梳理01：四个数成比例 1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么我们说这四个数成比例． 2.a : b＝c : d或称a，d为比例外项，称b，c为比例内项 3.比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若，则ad＝bc 知识点梳理02：比例的基本性质 （1）基本性质： 如果，那么； 如果，那么，，． （2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么． （3）等比性质： 如果，那么． 重点剖析： （1）利用比例的基本性质可以在比例式和等积式之间互相转化。将比例式化为等积式是有条件的，并不是比例式中的四个字母中的任意两个字母的乘积就等于另外两个字母的乘积，而是比例的外项之积等于内项之积。 （2）使用等比性质时，要注意b+d≠0这个条件，否则这个性质不成立。 知识点梳理03：两条线段的比 1. 两条线段的比： 【易错点拨】 （1） 在计算两条线段的比时，这两条线段的长度单位必须要统一。 （2） 两条线段的比是一个没有单位的正实数，该比值与线段的长度无关。 （3） 在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比通常称为比例尺，因此比例尺也是两条线段的比的一种形式。 知识点梳理04：比例线段（重点） 对于四条线段、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 注意！！！ 比例线段是有顺序的，即比例线段、b、c、d与比例线段、c、b、d是不同的。 知识点梳理05：比例中项（重点） 比例中项：如果三个数满足比例式（或），则叫做的比例中项. 知识点梳理06：黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 【易错点拨】 一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P是线段AB的黄金分割点时，需加注 或AP＜ BP，否则在已知AB的长度求AP（或BP）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论。 知识点梳理07：由平行线截得的比例线段的基本事实 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 【知识要点】 上图的变式图形：分A型和X型； A型 X型 则常用的比例式：依然成立. 平行线分线段成比例速记口诀！！！ 平行线分线段，成比例是关键。 先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。 知识点梳理08：把已知线段等分或作比例线段 已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分. 作法 1. 以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5. 2. 连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点. 依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式 ∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5， ∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B, ∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分. 【知识要点】 在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线. 考点1：比例线段 【典例精讲】（25-26九年级上·上海·月考）在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离是 ． 【答案】400 【思路点拨】本题主要考查比的性质，熟练掌握比例尺是解题的关键；根据比例尺的定义，地图上的距离与实际距离成比例，通过比例关系计算实际距离，然后进行单位换算． 【规范解答】解：设这两地的实际距离是，根据题意得， 解得， ∵， ∴这两地的实际距离是， 故答案为400． 【变式训练1】（24-25九年级上·上海宝山·月考）已知线段厘米，厘米，b是线段a和c的比例中项， 厘米． 【答案】324 【思路点拨】本题考查了比例线段． 根据比例中项的定义，若b是a和c的比例中项，则． 【规范解答】解：由题意，b是a和c的比例中项， 因此． ∵厘米，厘米， ∴， 即， 解得． 故答案为：324． 【变式训练2】（25-26九年级上·浙江温州·月考）在比例尺的地图上量得温州与杭州的距离约为，则温州与杭州的实际距离约为 ． 【答案】300 【思路点拨】本题主要考查了比例尺的应用，解题关键是能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．根据比例尺图上距离实际距离，进行计算即可求解． 【规范解答】解：∵比例尺图上距离实际距离， ∴温州与杭州的实际距离约为． 故答案为：300． 考点2：比例的性质 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）若，则 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了比例的性质． 由已知比例关系设参数表示变量，代入所求表达式化简． 【规范解答】解：由，设，（）， 则， 所以． 故答案为：5． 【变式训练1】（25-26九年级上·广西梧州·期中）如果，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的知识点是比例的性质，解题关键是熟练掌握比例的性质． 由已知等式变形，求出与的比值． 【规范解答】由，得， ，两边同时除以，得， ． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26九年级上·北京·期中）若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了比例的性质，根据，设，，再代入进行计算，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴设，， ∴， ∴， 故选：D． 考点3：成比例线段 【典例精讲】（25-26九年级上·四川达州·期中）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了比例线段，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【规范解答】解：A．，不是成比例线段，不合题意； B．，不是成比例线段，不合题意； C．，不是成比例线段，不合题意； D．，是成比例线段，符合题意； 故选：D． 【变式训练1】（25-26九年级上·河南周口·月考）现有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．若这四条线段是成比例线段，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了成比例线段的定义，四条线段成比例，那么一定满足最短的线段的长与第二短的线段的长的比值等于第三短的线段的长与最长的线段的长的比值，据此列式求解即可． 【规范解答】解：∵有四条线段，长度按从短到长的顺序分别为．且这四条线段是成比例线段， ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练2】（25-26九年级上·山西晋中·期中）是成比例线段，其中，则线段的长为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查线段成比例的问题，解方程等知识点，根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可． 【规范解答】解：∵线段、、、成比例线段， ， ， ， 解得． 故答案为：6． 考点4：黄金分割 【典例精讲】（25-26九年级上·四川成都·期中）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比（），那么我们称这个矩形为黄金矩形，若一个黄金矩形一条较长的边为4，则这个矩形较短的一条边长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了黄金分割，根据黄金矩形的定义，宽与长的比等于黄金比（即），已知较长边（长）为4，通过比例关系可求出较短边（宽）． 【规范解答】解：设较短边为x， 由题意得， 解得． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比（约为），已知蝴蝶展开的双翅的长度是，则蝴蝶身体的长度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查黄金分割比，读懂题意，由黄金分割比列式求解是解决问题的关键． 设蝴蝶身体的长度为，由蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比（约为），列式计算即可得到答案． 【规范解答】解：蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比（约为），已知蝴蝶展开的双翅的长度是， 设蝴蝶身体的长度为， ， 则， 蝴蝶身体的长度约为， 故选：C． 【变式训练2】（25-26九年级上·四川成都·期中）已知的面积为4，点D是边上的黄金分割点，那么的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是 根据黄金分割的定义作答即可． 【规范解答】解：∵的面积为4，点D是边上的黄金分割点， ∴， ∴． 故答案为：． 考点5：由平行判断成比例的线段 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（　） A． B．4 C．10 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的知识点包括直角三角形的勾股定理、三角形中位线的判定与性质．运用勾股定理是解题的关键．先通过勾股定理求出的长度，再结合是中点、的条件，判定为的中位线，进而利用中位线性质求出的长度． 【规范解答】解：在中，由勾股定理： ， ， , ∴， 点是的中点，即： ， ，即：点是的中点， 是的中位线 故选：B． 【变式训练1】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴，A错误，不符合题意； ∵， ∴，B正确，符合题意； ∵， ∴，C错误，不符合题意； ∵， ∴，D错误，不符合题意， 故选：B． 【变式训练2】（25-26九年级上·四川·期中）如图，直角梯形为上一点，连、和，若平分，已知 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例；过点作于点，过点作于点，延长交于点，过点作于点，根据已知得出，是等腰直角三角形，进而求得，同理可得是等腰直角三角形，则，设，则，则，根据，，分别求得，进而在中，根据勾股定理，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，延长交于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴，是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设，则，则， ∵，则 ∴，即 ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴，即 解得： ∴ 在中， 故答案为：． 考点6：由平行截线求相关线段的长或比值 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，，，则等于（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】A 【思路点拨】本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值，由题意得，即可求解； 【规范解答】解：由题意得：， ∵ ∴， 故选：A 【变式训练1】（25-26九年级上·上海浦东新·月考）如图，点、分别在直线、上，，如果，，，那么的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握该定理并准确找出对应线段的比例关系．根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（25-26九年级上·江西萍乡·期中）如图，，与相交于点G，且，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查平行线分线段成比例定理．掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理，，通过已知线段长度求出该比例． 【规范解答】解：∵ ∴， ∵，，     ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 1．（2024·陕西西安·中考真题）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 设，作，交的延长线于点，由，得，由，，，可证明，得，则，由得，则，所以，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：设，作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 2．（2024·山西晋中·中考真题）手机作为现代生活的必需品，更新换代越来越快，外观设计吸引人的手机往往会更加畅销．某款手机以的黄金比例将较短的摄像区和较长的握持区进行明确的划分，已知该手机总长为，那么摄像区的长度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了黄金分割的概念与应用，熟练掌握黄金分割的概念与应用是解题的关键. 把线段分两段，较长段与全段比较短段与较长段比，比值为，称黄金分割. 根据黄金分割的概念，已知全段长为，则较长段（握持区）为，然后用全段长减去握持区即可得到摄像区的长度 【规范解答】解： ， 故答案为 . 3．（2024·上海·中考真题）在线段上取C、D两点，已知，，且四条线段、、、是成比例线段，则线段的长为（    ）． A．4 B．3 C．2或3 D．4或3 【答案】C 【规范解答】此题考查了成比例线段，解分式方程，解一元二次方程，设长为，则，根据四条线段、、、成比例，列出比例方程，转化为一元二次方程求解． 【思路点拨】设长为， ∵，， ∴， ∵四条线段、、、是成比例线段， ∴，即 解得或3， ∴的长为2或． 故选：C． 4．（2024·山东枣庄·中考真题）如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，；第二步，过，两点作直线分别交，于点，；第三步，连接，．若，，，则的长是（   ） A．11 B．12 C．13 D．18 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，判定四边形是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．根据已知得出是线段的垂直平分线，推出，，求出，，得出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可． 【规范解答】解：∵根据作法可知：是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2024·全国·中考真题）如图，已知和是的中点，是的中点，，求的值．    【答案】 【思路点拨】本题主要考查解平行线分线段成比例，掌平行线分线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据，是的中点，得到，再证，即可求解． 【规范解答】解：，， ， ， ，是的中点， ， ， ， ． 基础夯实 1．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）已知，如果是的比例中项，那么的值为（　　） A．16 B． C．4 D．-4 【答案】B 【思路点拨】本题考查比例的性质，根据比例中项的定义得，代入，计算即可． 【规范解答】解：∵是的比例中项， ∴ ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如果，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了比例的性质，由已知比例，设，（其中），再代入所求表达式计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴设，（其中）， 则． 故选：A． 3．（25-26九年级上·北京顺义·期中）如图，中，，分别交边、于、两点，若，，则的值为（ ） A．6 B．4 C．10 D．3 【答案】A 【思路点拨】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，列出比例式是本题的关键．根据，得出，再根据的长求出即可得的长． 【规范解答】解：， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 4．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，不同竖格线上的三点A，B，C在同一直线上，若线段，则线段的长为 ． 【答案】6 【思路点拨】利用平行线分线段成比例定理进行求解即可． 本题主要考查平行线所截线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 【规范解答】解：由题意， ， ， 故答案为：6． 5．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例，得到，先求出的长度，再求的长度． 【规范解答】解： ， ， 又， ， ． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）若，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查比例的基本性质，将拆分为，再结合已知条件求解． 【规范解答】解：∵， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，且可以发出“”的音符，则水面高度为 ．（精确到） 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了比例的实际应用，熟练掌握根据已知比例关系进行计算是解题的关键．根据题目中给出的黄金比关系（水面高度与瓶高的比约为），结合已知的长度，通过乘法计算得出的长度． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）解方程或计算： (1) (2)已知 ，求的值 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题考查了解一元二次方程，比例的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先根据，整理得，故，则，然后分别代入进行计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， 即 设，则， ∴ ． 9．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）已知a、b满足，且，求a、b的值． 【答案】，． 【思路点拨】利用设k法进行计算，即可解答． 本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【规范解答】解：∵ 设，， ， ， 解得：， ，． 10．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是平行线分线段成比例，根据条件可得，再进一步求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴． 把，，代入， 得， 解得：． 培优拔高 11．（25-26九年级上·山西晋中·期中）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是利用黄金分割点的比例关系求出较长线段，再计算． 根据黄金分割点的定义（时，），代入求出，再用得到的长度． 【规范解答】解：黄金分割点的定义是“若点是的黄金分割点（），则． 已知，根据黄金分割的比例关系： 因此，． 故选D． 12．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期中）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段，是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出和的长是解题的关键．作于点F，根据等腰三角形的性质求出的长，再根据黄金分割点的定义求出、的长度，得到中的长，利用三角形面积公式即可解题． 【规范解答】解：过点A作于点F，如图所示： ∵， ∴， 在，， ∵D和E是边的两个“黄金分割”点， ∴即， 解得， 同理， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 13．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，中，为中点，在的延长线上取一点E，使得与交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】过点作，交于点， 连接， 得出是的中位线，由三角形中位线定理得出，由等腰三角形和三角形的外角性质证出， 由证明， 得出，由等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得出得出，由平行线分线段成比例定理得出 ， 因此， 即可求解. 【规范解答】过点作， 交于点， 连接， 如图所示：    ∵为中点 ， ∴为的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 为中点， ∴ ∴， ， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ， 故选：. 14．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，在中，点在线段上，，，，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、平行线等分线段定理等知识点，掌握平行线等分线段定理是解答本题的关键．过点作交于点．由平行线的性质可得，进而可得，由等边对等角的性质可得，由平行线等分线段定理可得，再结合可得，最后将代入即可解答． 【规范解答】证明：过点作交于点．    ，　 ； 又 ， ，   ，    ． ，   ．　 又 ，    ． ． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·全国·月考）如图，已知直线，如果，，则线段的长是 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段定理列出比例式是解题的关键． 先根据平行线分线段成比例列出比例式求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴（平行线分线段成比例定理）． ∵，， ∴，解得：． 故答案为：6． 16．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）点在线段上，且．设，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了用公式法解一元二次方程和黄金分割，设，则，根据比例关系列出方程，解一元二次方程，取正根即可． 【规范解答】解：设，则， 由题意得：， ， ， 解得：， 线段长度取正值，故， 故答案为：． 17．（25-26九年级上·四川成都·期中）矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形的长边，则它的周长为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了黄金比，矩形的周长，由题意可得，即得，进而根据矩形的周长公式计算即可求解，掌握黄金比是解题的关键． 【规范解答】解：∵矩形为黄金矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的周长为， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·江西吉安·月考）解下列各题 (1)． (2)若且，求的值； 【答案】(1) (2)5 【思路点拨】本题考查解一元二次方程，比例性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用因式分解法解方程即可； （2）用设参数法求代数式的值，设 ，则，代入所求式子化简即可． 【规范解答】（1）解： （2）解：设 ， 则， 代入所求式子： ． 19．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫作线段的黄金分割点． (1)如图1，已知点C为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； (2)如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点．（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）代入数据，再解一元二次方程即可； （2）以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点 【规范解答】（1）解：设，，则． ∵， ∴， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解。 ∵线段的长度不能为负数， ∴， ∴， ∴黄金比为． （2）如图，点P即为的黄金分割点． 20．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，，直线与分别相交于点和点．若，求的长．    【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， 解得，． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $