滚动检测（7）（必修第二册第六、七、八、九章）-2025-2026学年高一数学滚动检测卷

高一年级第二学期数学滚动检测（七） 考试说明： 1.考查范围：必修第二册第六章，第七章，第八章，第九章。 2.试卷结构：分第1卷（选择题）和第‖卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 3,所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。 第1卷（选择题，共58分) 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.复数z在复平面内对应的点为(-2,1)，则|z+3=( A.8 B.4 C.2W2 D.V2 2.为调查参加考试的高二级1200名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列 说法正确的是( A.1200名学生是总体 B.每个学生是个体 C.样本容量是100 D.抽取的100名学生是样本 3.已知平面向量a=(1,2),五=(-2，m),且a/乃，则2a+3i等于( A.(-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4-8) D.(-5,-10) 4.某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、800人、1200人，用分层抽样的方法从全体学生中 抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm、168cm、171cm,估 计该校学生的平均身高是( A.166.4cm B.168.2cm C.169.1cm D.170.0cm 5.已知某圆锥的侧面积为4红，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为( A盟 B.23 C.√3 D.3 3 3 6.正三角形ABC边长为3，M、N为线段BC的三等分点，则AM·AN=( A空 B.2 c号 D.9 7.如图所示，为测量河对岸的塔高AB,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量 基点C与D,现测得tamn-ACB=-?CD=50m,cos/BCD-号，cos∠BDC=号则 塔高AB为( A.15v3m B.20v3m C.15v5m D.20V5m 8.如图，在四棱锥0-ABCD中，侧棱长均为V2,正方形ABCD的边长为v3-1,E,F分别是线段OB,OC上 的一点，则AE+EF+FD的最小值为( H A.2 B.4 C.22 D.4W2 二、多选题（本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求) 9.己知a,β是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是( A.若m//m,mla,则n1c B.若m//a,anB=n,则m//m C.若m1,m1B,则a//B D.若m1,m//m,n//B,则a//B 10.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,则下列说法正确的是( A.斜三角形ABC中，tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC B.若A=30°，b=4,Q=3,则△ABC有两解 C.若acosB-bcosA=c,则△ABC一定为直角三角形 D.若a=4b=5,c=6,则ABC外接圆半径为6 7 11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题中正确的是( D 9 A直线BC与平面ABC1D1所成的角等于 B.点C到平面ABC1D1的距离为马 C.异面直线D1C和BC1所成的角为 D.二面角C-BC1-D的平面角的余弦值为-3 3 第1川卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知d=2,=3,与b夹角为135°，则a在方向上的投影向量为 (用b表示) 2 13.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，当E,F,G分别是B1C1,C1D1,B1B的中点时，平面EFG截正方体 所得截面的周长为 0 G 14.水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切.若用一个半球形容器（容器厚度 忽略不计)罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是 四、解答题（本题共5小题，共0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分) 已知向=1，=2，a与的夹角是60°， (1)计算a·万，+l: (2)求a+b和的夹角的余弦值， 16.(本小题15分) C 6 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=2,BC=2V3,AC1BC,D是线 段AB上的动点. (1)当D是AB的中点时，证明：AC1/平面B1CD: (2)若CD1AB,证明：平面ABB1A11平面B1CD. B D 17.(本小题15分) 某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，推动学校体育运 动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通 过问卷调查，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据（单位：小时），并根据 这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 为[0,2]，(2,4，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12] 3 频率/组距 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 24681012时间（小时） (1)求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数； (2)求样本数据的平均数与方差. 18.(本小题17分) 在①V3bsim=csin:@V3CA,BC=2 SAADC;③V3simA+cosA-2a也，这三个条件中任选一个，补充 在下面的问题中，并解答问题在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 (1)求角C: (2)若b2+c2=Q2+V3bc,b=2,M,N在线段AB上且与A,B都不重合，∠MCW=,求△CMN面积的取值 范围. 19.(本小题17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面PADI平面ABCD,PA1CD,∠ABC=60°， PA=1,点E,F分别为棱PD,BC的中点，点G在线段AF上. D D G B F (1)证明：PA⊥平面ABCD; (2)求点F到平面PCD的距离： (3)设直线EG与平面ABCD,平面PAD,平面PAF所成的角分别为01,02,03，求sin01+sin02+sin83的最 大值。高一年级第二学期数学滚动检测（七) 考试说明：1.考查范围：必修第二册第六章，第七章，第八章，第九章。 2.试卷结构：分第〡卷（选择题）和第川卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。 第I卷（选择题，共58分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数z在复平面内对应的点为(-2,1)，则z+3川=() A.8 B.4 C.2W2 D.V2 【答案】C 【分析】本题考查共轭复数的概念，复数的模，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题. 根据共轭复数的定义可得z=一2一i,再根据复数的运算法则化简，然后结合模长公式即可求解. 【解析】由复数z在复平面内对应的点为(-2,1)，得z=-2+i,所以z=-2-i, 所以z+3=|-2+2i=√(-2)2+22=2V2.故选G. 2.为调查参加考试的高二级1200名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列 说法正确的是() A.1200名学生是总体 B.每个学生是个体 C.样本容量是100 D.抽取的100名学生是样本 【答案】C 【分析】本题考查命题真假的判断，考查总体、个体、样本、样本容量的定义等基础知识，是基础题. 利用总体、个体、样本、样本容量的定义直接求解， 【解析】为调查参加考试的高二级1200名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩， 对于A,1200名学生的成绩是总体，故A错误： 对于B,每个学生的成绩是个体，故B错误 对于C,样本容量是100，故C正确： 对于D,抽取的100名学生的成绩是样本，故D错误.故选：C 3.己知平面向量=(1,2)，b=(-2,m),且a/b,则2a+3b等于() A.（-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4,-8) D.(-5,-10) 【答案】C 1 【分析】本题考查向量平行的坐标表示，向量加法的坐标表示，属于基础题. 根据平行向量的坐标表示，先求出，再利用向量加法的坐标表示计算即可. 【解析】平面向量a=(1,2),b=(-2,m)且a/b,所以1×m=2×(-2),解得m=-4, 则2a+37=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8),故选C. 4.某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、800人、1200人，用分层抽样的方法从全体学生中抽 取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm、168cm、171cm,估计 该校学生的平均身高是() A.166.4cm B.168.2cm C.169.1cm D.170.0cm 【答案】B 【分析】本题考查分层抽样，平均数，属于基础题，先根据分层抽样求出样本中高一、高二、高三学生人数， 再根据平均数求解. 【解析】由题意知，抽取的样本中高一、高二、高三学生分别有30×0 1200 000=10人30X0=8人30×3000 12人，所以估计该校学生的平均身高是165×+168×品+171× =168.2cm. 5.已知某圆锥的侧面积为4红，其侧面展开图是一个圆心角为红的扇形，则该圆锥的底面半径为() A号 B.23 3 C.√3 DN 【答案】B 【分析】本题考查圆锥的侧面积，属于基础题.设圆锥的底面半径为r,母线长为L,列方程求解r 【解析】设国维的底西半径为，母线长为，剥l=4,平-织，解得r=2 .故选：B 6.正△ABC边长为3，M、N为线段BC的三等分点，则AM·AN=() A号 B.2 c号 D.9 【答案】C 【分析】本题考查平面向量数量积运算，属于基础题， 法一：用AB、AC表示向量AM、AN,再利用平面向量数量积运算性质可求得AM·AN的值： 法二：以BC所在直线为x轴，以BC垂直平分线AD为y轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算 可求得AM·AN的值， 【解析】已知△ABC是边长为3的等边三角形，不妨设M为线段BC上靠近B的三等分点， (法一)由题意，AM=AB+BM=AB+BC=AB+(4C-AB=子AB+3AC, AN=AB+BN=AB+BC=AB+(AC-AB=子AB+号AC, 由平面向量数量积的定义可得AB.AC-|A·AC]cose60°=32×2-多 所以，AM:丽=（传A正+号AC)(传A店+号AC)=号AB+哥A丽AC+号AC -×9+×+×9- (法二)以BC所在直线为x轴，以BC垂直平分线AD为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， B MDN C 则A(0,号)w(0)w(G,),则aM=（-号)，4N=(传-3) 所以，丽丽=（-图（侵-3Y=-+=号：故选：C 7.如图所示，为测量河对岸的塔高AB,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得tanACB= 圣CD=50m,c0 S4BCD=气，cos∠BDC=子则塔高AB为() A.15v3m B.20v3m C.15v5m D.20v5m 【答案】C 【分析】本题考查了正弦定理及解三角形的实际应用，考查同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式，属 于中档题 根据同角三角函数的基本关系求出sin∠BCD,sin∠BDC,利用两角和的正弦公式求出sin∠CBD,根据正弦定 理求出BC,在Rt△ABC中求解即可 【解析】因为cos∠BCD= 5 3 ,cos∠BDC=G 所以sin∠BCD= 1- 5 3 所以sin∠CBD=sim(∠BCD+∠BDC) =sin∠BCDcos∠BDC+coS∠BCDsin∠BDC -5×号+晋×g 5 在△BCD中，由正弦定理可得，CD BC sin∠CBD sin∠BDc' 是零释8C=206. 5 在Rt△ABC中，AB=BC-tan∠ACB=20V5×3=15√5m.故选C. 8.如图，在四棱锥0-ABCD中，侧棱长均为V2,正方形ABCD的边长为V3-1,E,F分别是线段OB,OC上的 一点，则AE+EF+FD的最小值为() A.2 B.4 C.2W2 D.4v2 【答案】A 【分析】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，属于基础题，· 利用四棱锥的侧面展开图，由余弦定理推论可得∠AOB=30°，即可得∠AOD=90°，进而可求解. 【解析】如图，将正四棱锥的侧面展开，则AE+EF+FD的最小值为AD, B 在△0AD中，0A=OD=V2, c0s∠40B=-0a2+092A02=2+23=1=5 20A·0B 2XW2X√22’ 所以∠A0B=30°，故∠A0D=90°，则AD=√20A=2.故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.己知a,B是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是() A.若m//m,m1a,则n1a B.若m//a,anB=n,则m//m C.若m1a,m1B,则a//B D.若m1a,m//m,n//B,则a//B 【答案】AC 【分析】本题考查面面平行的判定、线面平行的性质、线面垂直的判定，属于中档题， 利用线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、空间直线与直线的位置关系，逐项判 断即可得到答案. 【解析】对于A,若m//n,m1a,则nla,故A正确： 对于B,若m//a,nB=n,则m与n的位置关系不确定，故B不正确： 对于C,若m1a,m1B,则a//B,故C正确； 对于D,若m1a,m//m,n//B,则&1B,故D不正确.故选：AC, 10.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,则下列说法正确的是() A.斜三角形ABC中，tanAtanBtanC=tanA+tanB+taC B.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解 C.若acosB-bcosA=c,则aABC一定为直角三角形 D.若a=4b=5c=6,则ABC外接圆半径为1 【答案】ABC 【分析】本题考查三角形内容：正切公式，正余弦定理的灵活使用，属于中档题. 利用两角和的正切公式以及三角形的内角和性质可判断A:利用余弦定理可判断B;利用正弦定理的边角互化可 判断C:利用余弦定理以及正弦定理可判断D 【解析】A,斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanC=tan(A+B)·(1-tan Atan B)+tanC =tan(r-C)·(1-tan Atan B)+tanC=tan Ctan Atan B,故A正确； B,由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos A,所以9=16+c2-4W3c, 整理可得c2-4V3c+7=0,△=(43)-4×7=20>0，此方程有两个解，故B正确； C,acos B-bcos A=c=sin Acos B-sin Bcos A=sin C →sin(A-B)=sinC,所以A-B=C或A-B+C=π（舍）， 整理可得A=三所以△ABC一定为直角三角形，故C正确： D,由余孩定理可得c0sC=4-磊-台 2ab 所以sinC=1-64=8, 13V7 正弦定理可得C=2R,解得R=8,故D错误.故选：ABC. 11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题中正确的是() D C A.直线BC与平面ABC,D1所成的角等于 B点C到平面A8C,D1的距离为号 C.异面直线D1C和BC1所成的角 D.二面角C-BC1-D的平面角的余弦值为-3 3 【答案】AB 【分析】本题考查空间中的角（线线角、线面角、面面角）和距离问题，属于综合性题目. 【解析】如图，取BC1的中，点H,连接CH,易证CHI平面ABC1D1,所以∠C1BC是直线BC与平面ABC1D1所成的 角，为平，故A正确。 D Bi C 点C倒平面ABCD,的距商即为CH的长度，为号，故B正确 易证BC1/AD1,所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C(或其补角)，连接AC,易知△ACD1为等边三角形， 所以∠AD1C=写，所以异面直线D1C和BC1所成的角为胥，故C错误. 连接DH,易知BD=DC1,所以DH⊥BC1, 又CH L BC1,CH∩DH=H,平面BCC1n平面BC1D=BC1, 所以<GD为二面角C-BC,-D的平面角，易求得DH=受，又CD=1,CH-号 2 所以由余弦定理的推论可得cos∠CHD=DH2+CH2-CD= 21=3 2DH·CH 2x6元 =3 故D错误.故选AB, 22 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知=2，b=3,与b夹角为135°，则a在b方向上的投影向量为.（用b表示） 【塔】-6 【分析】本题考查投影向量，属于基础题 利用投影的变形公式间c0s<d,方>=计算出授影，再求得投影向量即可 【解折】园cs≤元石-恶-2a盟-V2 可 3 在5方向上的报影向量为回0sa万>筒V2号-号8，故容案为：一号五。 b 3 3 13.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，当E,F,G分别是B1C1,C1D1,B1B的中点时，平面EFG截正方体所 得截面的周长为 D A B1 E G D 【答案】3√2 【分析】本题考查正方体截面周长的求法，是基础题.作出图形，得到截面图形为正六边形，计算周长得到答 案 【解析】如图所示：平面EFG战面图形为正六边形，EF=号所以截面周长为号×6=3VZ.故答案为：32， 2 D F B G 1,D C B 14.水平桌面上放置了3个半径为2的小球，它们两两相切，并均与桌面相切若用一个半球形容器（容器厚度忽 略不计)罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是 【答案】2+22 3 【分析】本题考查了球的切，接问题，属于一般题 首先确定半球形容器的半径最小时，三个小球与半球、及三个小球之间的位置关系，进而确定球心、切点的位 置关系，根据已知求容器半径 【解析】当半球形容器的半径最小，即三个小球与半球球面都相切，且各切点与对应小球球心、半球球心共线， 各小球两两也相切， 此时三个小球球心在桌面上投影所成正三角形的中心，即为半球最大圆的圆心（也为球心）， 如下图示：A,B,C为三个小球球心，D,E,F分别为它们在桌面上的投影，O为半球球心， 所以ABC,DBF为边长为4的等边三角形，故D0=号×号DF-等， 2 3 B 而AD=2,故A0=VD02+AD2= +4-， 3 所以半球最小半径为40十2=2+2区.故答案为：2+四 20 3 3 D 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤。 15.(本小题13分)已知d=1,=2,a与的夹角是60°， (1)计算a.万，a+: (2)求a+b和的夹角的余弦值. 【答案】 (1)a.6=1,d+b=7: 【解析】 (2)夹角的余弦值为2y气 7 第(1)小题 (1)向量点积公式：d.b=a b cos0(a为夹角)。 代入已知a=1,b=2,0=60°，得 d.6=1×2×cos60°=1. (2)向量和的模长公式： d+b=Va2+b2+2a.b。代入数值得 √12+22+2×1=√7。 2 第(2)小题 (1)设a+b与的夹角为a,则余弦值 cosa= (d+b.a a+bal (2)计算分子：(d+可.d=a2+a.b=12+1=2 (3)分母：a+b=√7，ad=1,故 s@三2一2√7（有理化后） 7 16.(本小题15分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=2,BC=2V3,AC1BC,D是线段AB上的动点. C B A (1)当D是AB的中点时，证明：AC1/平面B1CD: (2)若CD1AB,证明：平面ABB1A1⊥平面B1CD. 【答案】【解析】(1)证明：如图，连接BC1,交B1C于E,连接DE,则E是BC1的中点， D是AB的中点， 2.DE//AC1, 又DEC平面B1CD,AC1平面B1CD, ·AC1/平面B1CD. C B 不 A 1 E 升、 B D (2)AA11平面ABC,CDC平面ABC, ..AA 1 CD, 又CD1AB,AA1∩AB=A,AB,AA1C平面ABB1A1, .CD1平面ABB1A1, 又CDC平面B1CD, ∴平面ABB1A11平面B1CD. 【分析】本题主要考查证明线面平行，证明面面垂直，熟记判定定理即可，属于基础题. (I)连接BC1,交B1C于E,连接DE,根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立： (2)先由线面垂直的判定定理，证明CD1平面ABB1A1,进而可得面面垂直. 17.(本小题15分) 9 某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，推动学校体育运动 发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长.学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通过问 卷调查，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据（单位：小时），并根据这300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[0,2]， (2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12]. 频率/组距 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 0 24681012时间（小时） (1)求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数： (2)求样本数据的平均数与方差。 【答案】（①）这300个样本数据中女生人数为700 1500 ×300=140人， 因为样本数据中在8小时以下的学生所占比例为0.05+0.2+0.3+0.25=0.8， 所以85%分位数为：0.8+0850.8-26 0.075-3 (2)样本的平均数为： (1×0.025+3×0.1+5×0.15+7×0.125+9×0.075+11×0.025)×2=5.8, 方差为： [1-5.8)2×0.025+(3-5.8)2×0.1+(5-5.8)2×0.15+(7-5.8)2×0.125+(9-5.82×0.075 +(11-5.8)2×0.025]×2=6.16. 【解析】本题考查频率分布直方图，方差与标准差，众数、中位数、平均数，属于中档题 (1)根据频率直方图，结合分层抽样的性质、85%分位数的定义进行求解即可； (②)根据平均数和方差的定义进行求解即可. 18.(本小题17分) 在①V3bsin4牛=csinB;②3CA.BC=2 SMARC,③/3sinA+cosA=2a,这三个条件中任选一个，补充 在下面的问题中，并解答问题.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 (1)求角C (2)若b2+c2=Q2+V3bc,b=2,M,N在线段AB上且与A,B都不重合，LMCW=行，求△CMN面积的取值 范围 10