滚动检测（5）（必修第二册第六、七章，第八章8.1-8.5）-2025-2026学年高一数学滚动检测卷

高一年级第二学期数学滚动检测（五） 考试说明： 1.考查范围：必修第二册第六章，第七章，第八章8.1-8.5。 2.试卷结构：分第1卷（选择题）和第川卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。 第1卷（选择题，共58分) 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.欧拉公式e=cosx+isinx(其中i为虚数单位，x∈R),是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数 函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉 为数学中的天桥.依据欧拉公式，©6的共轭复数为(). 31. -+1 &51. 1 c5+ D-5 22 22 22 221 2.设m,n是不同的直线，，B是不同的平面，则下列命题正确的是() A.若//n,nC,则m//a B.若//a,n//,则n//o C若//o,n//a,则ml/n D.若m//,mCB,a∩B=n,则m/∥n △4BC中，ADAB,点E是CD的中点，设C=a,CB=五，则 E A D 2a- 2 21 1 A 6 D. 3 4.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形AB'CD',己知AO=O'B'=1,BC=1,则四 边形ABCD的周长为( D C' A B'c A.62 B.122 C.8 D.10 1 5.在正方体ABCD-AB,CD中，E,F分别是线段BC,CD的中点，则异面直线AB,F所成角余弦值是 () A. c.6 3 2 6.如图，正三棱台ABC-AB,C,的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的体积为() B A A.108√2 B.144W2 C.126√2 D.378√2 7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin2Bco34=sinCcosB,则△ABC的形状为() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形 8.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD中，点E,F分别是棱BC,CC1的中点，P是侧面BCC,B, 内一点，若AP∥平面AEF,则线段AP长度的取值范围是() D 3W2V5 B A. 42 C, D「反，] B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.己知21,22是复数且对应的点分别为Z,Z2,则以下结论错误的是(). A.若21+2=0，则31=0，且22=0 B.若+2=0，则31=0，且32=0 C.若=，则向量oz和0z,相等或相反向量D.若5-2=0，则OZ,=OZ 10.△ABC的内角ABC的对边分别为ab、c,则下列说法正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若a:b:c=4:5:6,则△ABC是钝角三角形 C.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形D.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解 2 11.已知正八边形ABCDEFGH,O为正八边形的中心，其中OA=2,则下列命题正确的是(). A.OB.Oi=-√2 B.OA+OC=-√2OF 鸟OA在08上的投影向量为25 D.若点P为正八边形边上的一个动点，则AP.AB的最大值为4 第川卷（非选择题，共92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与 D.现测得∠BCD=,∠BDC=B,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为O,则 塔高AB为 13.设是复数且占-1+21=1，则2的最大值为一一 D 14如图，正方体ABCD-AB,CD,的棱长为1，点M是正方体侧面ADDA上的一 个动点（含边界），P是棱CC的中点，若PM=√2，则点M在侧面ADDA内运动 .M D 路径的长度 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分) 己知向量a=(2,3),b=(1,2),c=a+b(kR) (1)若向量c与a-3五共线，求实数k的值： (2)若向量c与b的夹角为锐角，求实数k的取值范围. 16.(本小题15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且acos B+bsin A =C (1)求A: (2)若△ABC的重心为0，且340=V5a,求如B sinC 17.（本小题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，F为AB上的点，且AF=2FB,E为PD中点， (1)证明：PB//平面AEC: (2)过F点作平面FHG//平面ACE交PA于H点，交PC于G点， (i)证明：HG//AC;（ii)求 H的值 HA 18.(本小题17分) 如图，在△ABC中，已知AB=6,AC=9,∠BAC=60°，BM=2MC,点N为AC边的中点，AM,BN相交 于点P. B (1)求BM:(2)求cos∠MPW;(3)求AF 19.(本小题17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,c$imB+V3 b.cosC=V5a,b=√5. (1)求角B; (2)若a+c=2,求边AC上的角平分线BD长； (3)若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围. 4高一年级第二学期数学滚动检测（五） 考试说明：1.考查范围：必修第二册第六章，第七章，第八章8.1-85。 2.试卷结构：分第1卷（选择题）和第川卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.欧拉公式ei=cosr+isinx(其中i为虚数单位，x∈R),是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指 数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位， 被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，。6的共轭复数为(). A5 B.31. c-3,1. 2 2 22 2+ D.5 22 【答案】A 【分析】根据欧拉公式及共轭复数的定义即可求解。 【解析】e6=cos 31: 221 2.设，n是不同的直线，，B是不同的平面，则下列命题正确的是() A.若m//n,nC,则m//c B.若m//a,n//m,则n// C.若m//o,n//oc,则m∥n D.若m//o,mcB,⌒B=n,则m∥n 【答案】D 【分析】利用线面位置关系，逐项判断即得 【解析】对于A,m//n,nC,则mCC或m//a,A错误； 对于B,m//a,n//l,则nC0或n/1a,B错误； 对于C,m/I,n/I,则直线m,n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，C错误； 对于D,由线面平行的性质知，D正确.故选D 3.如图，在△ABC中，AD=AB,点E是CD的中点.设CA=a,CB=6,则A=〈) 3 C E D B B. c1a-26 D. 6 1a 2 6 6 3 3 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算即可求得答案 【解析】由题意在△ABC中，AD=AB,点E是CD的中点，故 3 函-A8-c0-a0-a-君丽-ci-c0 2 2 6 2 6 =2-1CB-2a-五，故选A 3 636 4.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形AB'CD',已知A'O'=O'B'=1,BC=1, 则四边形ABCD的周长为() D' B A.6√2 B.122 C.8 D.10 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的原则进行求解即可 【解析】由题设知：原四边形中AB=CD=AB'=C'D'=2且AB/ICD, 所以原四边形ABCD为平行四边形，而O'C'=√5，则原四边形中OC=2√5，故 AD=BC=√OC2+OB2=3,综上，四边形ABCD的周长为AB+CD+AD+BC=10.故选D 5.在正方体ABCD-ABCD1中，E,F分别是线段BC,C,D的中点，则异面直线AB,EF所成角余 弦值是() A.② B.V3 c vG 2 3 3 【答案】C 【分析】如图所示，连接CD,确定∠CFE或其补角是异面直线EF与AB所成角，在直角△CFE中，计 算得到答案 【解析】如图所示：F是线段CD的中，点，连接CD交CD于F,由正方体的性质知CD/IBA,知异面 直线AB,EF所成角即为直线CD,EF所成角，故∠CFE或其补角是异面直线EF与AB所成角. 设正方体边长为2，在直角△CE中，CF=,Cg-1,四=5.故os∠CFE=5-6 故选 D C A B D E 6.如图，正三棱台ABC-AB,C,的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6，则棱台的体积为() A A.108√2 B.144W2 C.126√2 D.378√2 【答案】C 【分析】求出正三棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解. 【解析】设上下底面的外心分别为D,E,过B,作底面的垂线交BE于点F, 上、下底面三角形的高分别为56-9=3V5,44-36=6N5,所以EF=BD=2×35=25, BE=号x65=45,所以B即=25，又聪=6，将以正三棱台的高为56-5可=26，上底 西积为分6x35=95,下底西积为分12x65=365,所以工三棱台的体积为 r=5+5Bx36万+3652W6=126V5.故选C. A 6 B 7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin2 Bcos4=sinCcosB,则△ABC的形状为() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得C0sB[s(B-)]=0,从而可以判断三 角形的形状， 【解析】.'sin2 Bcos4=sinCcosB,∴.2 sin B cos B cosA=sin(A+B)cosB, .2sin B cos B cosA=(sin Acos B+cos Asin B)cos B, 化简得，sin B cos B cos A=sin Acos2B, .'.cos B(sin B cos A-cos Bsin A)=0,Ep cos B sin(B-4)=0, :coSB=0或i(BA)=0,:4.B∈(0，D,.B=T或B-A=0,即B=7或B=A, ∴，△ABC是直角三角形或等腰三角形.故选D. 8.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD,中，点E,F分别是棱BC,CC的中点，P是侧面 BCC,B,内一点，若AP∥平面AEF,则线段AP长度的取值范围是() D A E A B 325 B c. 2 42 sa D.「V2,5 【答案】B 【分析】根据线面平行的条件构造面面平行从而得到P,点的轨迹，在根据平面几何知识求出AP的范围.。 【解析】如图，取B,C的中点M,BB,的中点N,连接AM,AN,N,显然AA//ME,且AA=ME, 4 所以四边形AEMA为平行四边形，所以AE/1AM,又因为AME平面AEF, AEC平面AEF,所以AM/I平面AEF,因为MN/IBC,/EF,MNt平面AEF, EFC平面AEF,所以NI/平面AEF,又因为AM∩MN=M,所以平面AMN/1平面AEF, 因为APC平面AMN,所以AP/平面AEF,点P在侧面BCCB,上，所以点P位于线段N上， 因为AM=AW 所以当点P位于M,N点时，AP最 大，当点P位于MN的中点O时，AP最小，此时AO 3v2 2 、4 4 所以3V 空<4≤5，所以线段4P长度的取值范圆足 32V5 4 42 D C D 33- 故选B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知21,22是复数且对应的点分别为Z,Z,,则以下结论错误的是(). A.若21+22=0，则21=0，且22=0 B.若z+22=0,则31=0，且22=0 C若=2，则向量0Z,和0Z,相等或相反向量 D.若-2=0，则0Z=0Z, 【答案】AC 【分析】举反例即可说明A,C错误：对于B,只有三1=0,22=0，才有+52=0：对于D,只有三1=二2， 才有-52=0，由比判断D. 【解析】对于A,若21=1,22=-1，则满足21十22=0，但此时21≠0,22≠0，故A错误： 对于B,≥0，≥0，若5+5=0，则=0,2=0,5=0,52=0，故B正确： 对于C,若=1+V3i2=1-V3i,则满足=，此时乙1,5)，0Z=山，V5), 同理OZ=(1,-V5),此时OZ和OZ,即不是相等何量，也不是相反向量，故C错误： 对于D,5-=0故1-22=0，此时1=2，故OZ=OZ,故D正确.故选AC. 10.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,则下列说法正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若a:b:c=4:5:6,则△ABC是钝角三角形 C.若sin2A=Sin2B,则△ABC为等腰三角形D.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解 【答案】AD 【分析】利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解. 【解析】对于A,A>B,所以a>b,由正弦定理得sinA>sinB,故A正确； 对于B,a:b:c=4:5:6,故c边最长，角C最大. 设a=4k,b=5k,c=6k,则cosC=+b-c2_16k2+25k2-36k:1 >0. 2ab 2×4k×5k 8 所以角C为锐角，故△ABC是锐角三角形，故B错误： 对于C,sin2A=sin2B,则2A+2B=元或2A=2B,即A+B=元或A=B,则△ABC为直角三角形 或等腰三角形，故C错误； 对于0，A=30°，b=4,a=3,根据正弦定理a=b 34 sin A sin B sin30°sinB →simB=2 3 2 sinB=二>sinA= 所以B有两解，所以△ABC有两解，故D正确.故选AD. 11.已知正八边形ABCDEFGH,O为正八边形的中心，其中OA=2,则下列命题正确的是(). F E G A.OB.OE=-√5 B.OA+OC=-√2OF 6 c.OA在OB上的投影向量为5O丽 2 D.若点P为正八边形边上的一个动点，则AP.AB的最大值为4 【答案】BCD 【分析】根据题意，正八边形的每条边所对的角均为45°，且中心到各个顶点的距离都是2，由向量的数量 积的运算公式，可得判定A错误；连接AC交OB于点N,得到OB=√2ON,集合向量的线性运算法则， 可得判定B正确：根据投影向量的计算方法，可判定C正确：设向量P与AB的夹角为日，得到 APAB=AP 4B co0s日，由DC⊥AB,得到点P在线段DC上运动时，AP.AB取得最大值，利用向 量的数量积的运算法则，结合正弦的倍角公式，可判定D正确. 【解析】由题意知，正八边形的每条边所对的中心角均为45°，且中心到各个顶点的距离都是2， 对于A中，由OB.OE=OB OE c0∠B0E=2×2×cos135°=-2V5,所以A错误： 对于B中，连接AC交OB于点N,则N为AC的中点，且OB=√2ON, 由OA+OC=2ON=√2OB=-√2OF,所以B正确； 对于C中，向量OA在OB上的投影向量为 A.05.Oi-220e450死-50形，所以0E 22 2 对于D中，设向量AP与AB的夹角为0，则APAB=AP AB c0s日， 其中AP cos表示P在AB方向上的投影，在正八边形中，可得DC⊥AB,延长DC交AB与点M, 当点P在线段DC上运动时，向量AP在AB方向上的投影取得最大值，又由△OAC为等腰直角三角形，且 ∠0AB=18045=67.5,在直角△C4M中， 2 AM=AC·cos∠CAM=AC.cos(67.5°-45)=AC.cos22.5°，在等腰△OAB中，AB=2 Q4sin22.5°， 则(a亚.AB）=AC-c0s2.5°×204：in2.5°=AC-04sim45=2V2×2× =4,所以D正确 2 故选BCD. > F E G B M 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得 ∠BCD=a,∠BDC=B,CD=S,并在点C测得塔顶A的仰角为O,则塔高AB为 s.tamθsinB 【答案】 sin(a+B) 【解析】试题分析：在△BCD中，∠CBD=元-a-B,由正弦定理得 BC CD sin∠BDC in∠CBD,所以 BC=CDsin∠BDC_ssinB sin∠CBD sin(a+B) 在Rt4BC中，AB=BC tan.∠ACB=s:tan8sinE sin(a+B) 考点：1、正弦定理：2、三角形中的边角关系. 13.设是复数且-1+21=1，则z的最大值为 【答案】5+1 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解」 【解析】根据复数模的几何意义可知，：-1+21=1表示复平面内以(1，-2)为圆心，1为半径的圆，而2表 示复数二到原点的距离. 由图可知， 日mm=V12+(-2)2+1=V5+1.故答案为：√5+1. 14.如图，正方体ABCD-AB,C,D的棱长为1，点M是正方体侧面ADDA上的一个动点（含边界），P 是棱CC的中点，若PM=V2,则点M在侧面ADDA内运动路径的长度 D C A B M B 【s1骨 【分析】确定点M在侧面内的运动轨迹是圆孤，再求孤长即可 【解析】取DD中点E,连EM,PE,如图，因P是正方体ABCD-AB,CD的棱CC中点， D C B A E M D B 则PEI/CD,而CDL平面ADDA1,则有PE⊥面ADDA,EMC平面ADDA, 于是得PEL EM,由PM2=PE2+EM=2,PE1得，E作1，因此，点M在侧面ADDA内运动路径是以 为半径的圆在正方形4D心4内的圆孤，如图，国孤所对圆心角为， A D E D 故答案为、？ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知向量=(2,3)，b=(1,2),c=ka+b(k∈R) (1)若向量c与a-3b共线，求实数k的值： (2)若向量与b的夹角为锐角，求实数k的取值范围. 【答案】（1)k=- (2) 3 30u0,+o】 【分析】(1)利用向量共线的坐标运算可知X2-x2乃=0，即可求出参数值： (2)利用两向量夹角为锐角的充要条件是·b>0且c与b不共线，从而可得不等式组求解即可. 【解析】(1)由题意可得c=a+b=(2k+1,3k+2),a-3b=(2,3)-3(1,2)=（-1,-3), 若向量云与五-3b共线，可得-3(2k+1)+3k+2=0,解得k=- (2k+1)+2(3k+2)>0 (2)若向量与b的夹角为锐角可得ab>0,且6与b不共线，即可得 2(2k+)≠3+2，解得 且k≠0，即实数k的取值范围为{k1k>3且k≠0} 8 8 16.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且acos B+bsn。 =C, (1)求A; (2)若△ABC的重心为0，且3A0=V2a,求B sinC 【答案】(1)A= (2)inB3±V5 3 sin C 2 【分析】(1)根据正弦定理边角互化，再结合和差公式及二倍角公式即可求解； (2〕)根据重心的性质可得A0=,所以0西+AC,两边平方后结合余孩定理可得万 2 3±V5 C 2 最后由正弦定理化简可得答案。 10