滚动检测（4）（必修第二册第六、七章，第八章8.1-8.5）-2025-2026学年高一数学滚动检测卷

高一年级第二学期数学滚动检测（四） 考试说明：1.考查范围：必修第二册第六章，第七章，第八章8.1-8.5。 2.试卷结构：分第〡卷（选择题）和第川卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知平面向量a=(3,-2),b=(1,+1),若a1i,则2=（) A.月 c D. 2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式求出入 【解析】向量a=(3,-2),b=（1,+1),由a⊥b,得a.b=3-2(2+1)=0,所以1= 2 .故选 A 2.已知ab为不共线向量，AB=a+5b,BC=-2a+85,CD=3(a-b),则() A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 【答案】B 【分析】运用向量的加法运算，求得BD=正，从而得出结论 【解析】因为BD=BC+CD=-2a+8b+3a-3b=a+5i=AB,所以A,B,D三点共线， 故选B, 3若复数二满足三= 4-i +2i,则二的虚部为() 1-i > A.-2 B. > 【答案】A 4.已知正三枝锥的体积为8V3 其底面三角形的斜二测直观图面积为√6，则三棱锥的高 为() A. B.1 C. D. 2 【答案】D 1 【分析】利用直观图和原图面积关系求出底面积，结合正三棱锥体积公式建立方程，求解高 即可 【解析】设底面三角形面积为5，三技维的高为，由直观图的性得6_5，解得S=4N5, 因为正三棱锥的体积为，，所以，X4V3xh8B】 3,解得h=2,故D正确.故选D 3 3 5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,且△ABC的面积S4Bc=V5, 9a+c-则配（) A.5 B.-3 C.2 D.-2 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解. 【解折】a4BC的面报Sc=5-方cnB,esn8=25,S-5(a-e2-b), 4 利9女e-b)-,5t-coa8=m, 2ac 1 、.tamR_S1nB=3,B∈(0，)，.B=3，C0SD.2’sm方-3 2 .ac=4,.AB.BC=acc0s(π-B)=-2.故选D. 6.下列命题正确的是() A.若直线ab，,a∥平面a,则b/M平面 B.若直线a与b异面，则过空间任意一点与a和b都平行的平面有且仅有一个 C.三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域 D.已知直线a与b异面，不同的两点P∈a,Q∈a,不同的两点M∈b,N∈b,则直线PM 与QN可能相交 【答案】C 【分析】根据空间线面的位置关系判断A,根据异面直线的定义判断B、D,画出图形即可判 断C. 【解析】对于A:若直线alb,a∥平面a,则b∥平面a或bc平面a,故A错误； 对于B:若直线a与b异面，则过空间任意一点（不妨设为A)与a和b都平行的平面可以 没有，如果有只有一个，事实上，过直线a上任一点P作b的平行线c,则4c相交，a,C确 定的平面为Y,若A∈y,则过A点作不出平面与a,b都平行，故B错误； 对于C:当三个平面两两相交且3条交线平行时，可以把空间分为7个部分： 当三个平面两两相交且3条交线共点时，可以把空间分为8个部分，故C正确： y 对于D:已知直线a与b异面，不同的两点P∈a,2∈a,不同的两点M∈b,N∈b, 则直线PM与QN不可能相交，若PM与QN相交，则PM与QN确定一个平面（不妨记作t), 则P∈t,Q∈t,所以aCr,同理bct,则a与b共面，矛盾，故D错误.故选C 7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、五c,若c=3,b=2,∠BAC的平分线AD的长 为4W6,则BC边上的高线AH的长等于() 5 A:3 4 B. 4W2 3 C.2 D. 45 3 【答案】B 【分析】由S4Bc=S。AD+S。4cD可得c0sa的值，进而可求得cos2a、sin2a的值，结合余弦 定理可得a,由等面积法SAc= c血如a可求得4 【解析】由题意知，设∠BAD=∠CAD=a,则∠BAC=2a,如图所示， 4 D 由S.ABc=S.BD+S.AoD可得号X3x2sin2a=- 3x6 1 1 4W6 -sina, 5 ina+×2 5 整理得3sin2a=2W6sima,即sina(3cosa-√6)=0，又因为sinx≠0，所以cosa= 3 所以co2a=2csa-1-,所以n2a=cos2a-22 在△ABC中，由余弦定理得 3 a2=32+22-2x3x2c0s2a=13-4=9,所以a=3,由SAc= be sin 2a 1 AH川可得 3x2x251 1 x3到4H1,解得1AH42 32 故选B. 8.记△ABC的内角AB,C所对的边分别为a,b,c,若 c=2√6，ccos(A-B)+2√3 asinBcosC=-ccosC,则AB边上的中线CD长度的最小值为() A.月 B. c.√2 D.2√2 【答案】0 【分析】利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得C,结合余弦定理、向量 运算、基本不等式等知识来求得正确答案。 【解析】由ccos(A-B)+2W3 asinBcosC=-ccosC,得ccos(A-B)+ccosC=-2√3 asinBcosC, 所以c[cos(A-B)-cos(A+B)]=-2V3 asinBcosC,即2csin4sinB=-2√3 asinBcosC,则由正 弦定理得2 sinCsinAsinB=-23 sinAsinBcosC,因为A,B∈(0，π)，所以sinA≠0，sinB≠0，所 以C=-5cmC,即mC=-5,又CeQ利，所以C=.因为c=26,所以由余弦 定理得(2W6=a2+b-2bc0c,即a+b=24-ab.由题可得CD=(@+CB),所以 cD-+20.c丽+C丽)4b-b+a)=4(24-2ab),因为a+b2=24-ab≥2ab, 所以b≤8，当且仅当a=b时等号成立，所以CD≥(24-10=2，剥C可≥V万，所以A 边上的中线CD长度的最小值为√2.故选C. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数5，二2，三3，则下列结论正确的是（) A.若+2=0，则= B.若片+=-，则，2至少一个为0 c. D.若=52，则= 【答案】AD 【解析】对于A,若二+52=0，则名=-，所以=2=2，所以A正确， 对于B,对于D项，取1=1+i,2=1-i,满足5+2=5-，但1,22均不为0，所 以B错误， 对于C,设=x+ix,eR),则2=(x+yi=x2-y2+2i,=Vx2+y,所以=x2+y2, 所以子≠，所以C错误， 对于D,设1=x+yi(x,yeR),52=a-bi(a,beR),则 三2=(x+yi)(a-bi)=(ar+by)+(ay-bx)i,所以 a=Var+b2+(-bm2-Vx2+y)a2+b),l非，=Ve2+y(d+b),所以当 三3=三2时，=z2,所以D正确，故选AD 10.如图，正方体ABCD-AB,C,D的棱长为2，E,F分别是AD,DD的中点，点P是底 面ABCD内一动点，则下列结论正确的为() D B D C P B A.不存在点P,使得FP11平面ABCD B.过B,E,F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C.三棱锥G-AB,P的体积为 D.三棱锥F-ACD的外接球表面积为9π 【答案】BCD 【分析】对于A,当P为BD中点时，利用中位线的性质可证得FP/BD,再证得线面平行： 对于B,利用中位线的性质可证得EF//BC,对边平行且不相等，可得到截面是梯形：对于 C,利用等体积法可求得三棱锥的体积；对于D,三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接 球，先求半径再求表面积即可. 【解析】 J D B B 对于A,当P为BD中点时，由中位线可得FP/IBD,因为FPa平面ABC,D,BDC平面 ABC,D,所以FPI1平面ABCD.故A错误； 对于B,由中位线可得EF∥AD,在正方体中，易证AD //BC,所以EFI1BC, 又因为EF≠BC,所以截面EBCF为梯形，故B正确； 时于0,4吉分2x2x2-,故C正确： 11 对于D,三棱维F-ACD的外接球可以补形为长方体外接球，半径R=V4+4+l_3 2 所以表面积S=4πR2=9元，故D正确.故选BCD 11.在△ABC中，点D,M分别满足AB=3AD,BC=2MC,AM与CD相交于点F,则下列说 法中正确的是() M B.若AB=44C=2∠BAC-号则AM=5+2万 C.S.ARD:S.MRC=1:3 D.若△ABC外接圆的半径为2，且BC=2,则AB.AC的取值范围为(0,6+4V5 【答案】AC 【分析】对于A,设AF=AM,以向量ABAC为基底表示向量DF,FC,根据DF,FC共 6 线求出只即可判断A正确：对于B,由C-2证，得-（正+A),再利用数量积求模 即可判断B不正确：对于C,由西=而，C-2MC,亚-亚知分点D,M,P的住置求 出SDS=1:3即可判断C正确：对于D,由题意利用正弦定理求得得A=匹或A=5π 6 61 当A=钙计丽C<0,由此荆新D不正境 【解析】对于A,设AF=AM,因为AB=3AD,BC=2MC,则 丽=-而=-沥=传沥-号和丽-（径丽+子c c=4c-4F=d-4=ac-4店-4c受4+-到4C, 由D正，FC共线， 得2-三，解得=，所以A-,故A正： 子1 对于8，由C-2派得丽=丽+4C,所以 Ma+2.Ac=hc）4+2x4x2x分27所以=万，故8不正病： 对于C,由A正=知P是AM的中点，所以8mSeu,及=号 1 对于D,设△ABC的三边分别为a,b,c,依题意得a=2,由外接圆的半径为2，根据正弦定 理得a sinA 4,所以m4分由4(0，得4或4- 6 ,当4=时， 6 6 1C-cca4=-百a<0,故D不正绮.做这A 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，在正方体ABCD-AB,CD中，AB=2,E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥ 平面AB,C,则EF= D E D > 【答案】√2 【分析】根据线面平行的性质定理，可得到EF∥AC,即可求EF的长. 【解析】根据题意，因为EF/平面AB,C,EFC平面ABCD,且平面ABCD∩平面AB,C=AC 所以EF//AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点.因为在Rt△DEF中，DE=DF=1, 故EF=√2.故答案为：√2 13.如图，在△ABC中，E为边AC上一点，且AC=3A正，P为BE上一点，且满足 P=mAB+n4Cm>0,n>0,则+3+3的最小值为 A B 【答案】15 【解析】根据题意有AP=mAB+nAC=mAB+3AE,因为B,P,E三点共线，所以有 m+3=1,从而有+3-0m+30+多=3+3+00之6+25=12，所以三+3的 n n nn 最小值是12+3=15. 考点：向量的运算，基本不等式 【方法点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，属于中档题目，在解题的过 程中，关键步骤在于对题中条件的转化AP=mAB+nAC=mAB+3A正，根据B,P,E三点共 线，结合向量的性质可知+3=1，从而等价于已知两个正数的整式形式和为定值，求分 式形式和的最值的问题，两式乘积，最后应用基本不等式求得结果，最后再加3，得出最后 的答案 14.在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=B+bc,则+ 2 b cos2B 的最 小值为 【答案】4W2-1 【分析】根据a2=b2+bc结合余弦定理可得A=2B,再将所求利用正弦定理化边为角，再根 据二倍角公式化简，结合基本不等式即可得解. 【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA,又a2=b+bc, 所以b2+bC=b2+c2-2 bc cos A,即bc=c2-2 bc cosA,所以b=c-2bc0SA,由正弦定理得 sin B=sinC-2sin BCosA, Ep sin B=sin(A+B)-2sin B cos A=sin Acos B-cos Asin B=sin(A-B), 因为A,B∈(0，T),所以A-B∈（-兀，π)，所以B=A-B或B+A-B=π（舍去)，所以A=2B, 2 sinC 2 sin(4+B) 2 cos'BsimB cosB sin B cos2B sin3B 2 sin B cos2B+cos B sin 2B 2 sin B cos2B sin B cos2B =cos'B-sin'B+2cos'Bsin B 2 c0s°B=4c0s2B+、2 c0sB-1≥24c0s2B.2 -1=4w2-1, sin B cos2B 当且仅当4c0s2B=2 OS2B即cosB=Y2时取等号 所以+2。的最小值为4W2-1.故答案为：4W万-1 b cos2B 【点睛】关键点点睛：根据a2=b2+bc结合余弦定理得出A=2B是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.设A,B,C,D为平面内的四点，且A1,3),B(2,-2),C(4,1). (1)若AB=CD,求D点的坐标： (2)设向量a=AB,i=BC,若向量ka-b与a+36平行，求实数k的值. 【s】D6:② 【分析】（1)求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答， (2)求出，b的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示，及共线向量的坐标表示求解作答. 【解析】（1)设D(x,),因为AB=CD,于是(2，-2)-1,3)=（化，y)-(4,1),整理得 4,-5)=(x-4,y-1), 「x-4=1 x=5 少-1=-5，解得 即有 y=4' 所以D(5,-4) (2)因为a=AB=L-5),b=BC=(4,1)-(2,-2)=(2,3), 所以ka-b=k1,-5)-(2,3)=(k-2,-5k-3),a+36=(1-5)+32,3)=(7,4),因为向量ka-b与a+36 平行，国此7(5k-3-4-2)=0,解得k=-了所以实数k的值为3 1 16.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 bsin A-√3a=0. 9 (I)求角B的大小： (IⅡ)求cosA+cosB+cosC的取值范围. 3:01) 【答案】(I)B= V3+13 22 【分析】()方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角 B的大小； (I川)方法二：结合（|)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式， 然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得 coSA+cOsB+coSC的取值范围， 【解折】（1)由2 bsinA=√Ba,结合正孩定理可得：2 sinBsinA=V5inA:mB=5 2 △ABC为锐角三角形，故B= 31 a)袋合)的袋论有：cos4cm秀+casC=o4+ca管-小 Cos 4-I cos A+3sind+v 1 1 1 sinA+- 2 2 -sin A+cosA+ 22 2 48 s咖+ |0<π-A<交 。2 3 0<A< 63, 2 ma-如} 即coSA+cosB+cOsC的取值范围是 V3+13 2’2 17.如图，在四棱柱ABCD-ABCD中，点M是线段B,D上的一个动点，E,F分别是BC, CM的中点. D (I)求证：EF/I平面BDDB: 10高一年级第二学期数学滚动检测（四) 考试说明： 1.考查范围：必修第二册第六章，第七章，第八章8.1-8.5。 2.试卷结构：分第1卷（选择题）和第川卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。 第1卷（选择题，共58分) 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知平面向量a=(3,-2),b=1,+1),若a1b,则2=( A. B. 3 2.已知a,b为不共线向量，AB=a+5历，BC=-2a+85,CD=3(a-),则( A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线 3若复数：满足：=4- +2i,则三的虚部为( ) 1-i A.一2 7 C. 7 D.21 4.已知正三棱锥的体积为8V ,其底面三角形的斜二测直观图面积为V6,则三棱锥的高为( ) 3 A 3 B.1 C.2 D.2 8在AMBC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a1BC的面积8e-5,8e-5女+c2-b) 4 则AB.BC=( A.5 B.-V5 C.2 D.-2 6.下列命题正确的是( A.若直线al∥b,a∥平面a,则b∥平面 B.若直线a与b异面，则过空间任意一点与a和b都平行的平面有且仅有一个 C.三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域 D.己知直线a与b异面，不同的两点P∈a,Q∈a,不同的两点M∈b,N∈b,则直线PM与QN可能相交 7.在△MBC中，角4B、C的对边分别为a、人c,若c=3,b=2,∠BAC的平分线AD的长为46，则BC 边上的高线AH的长等于( 4 A.3 8.4W2 C.2 D.43 3 3 8.(☆)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2W6,ccos(A-B)+2W3 asinBcosC=-ccosC,则AB边 试卷第1页，共4页 上的中线CD长度的最小值为( ) A分 B② C.√2 D.2√2 2 二、多选题（本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求) 9.（☆)己知复数1,22,23，则下列结论正确的是( ) A.若+2=0，则= B.若5+2=5-2，则，，至少一个为0 c.子= D.若53=2，则z=z 10.如图，正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，E,F分别是AD,DD的中点，点P是底面ABCD内一动 点，则下列结论正确的为( D C A F E P A.不存在点P,使得FP1I平面ABCD B.过B,E,F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C.三棱锥C-AB,P的体积为 D.三棱锥F-ACD的外接球表面积为9π 11.在△ABC中，点D,M分别满足AB=3AD,BC=2MC,AM与CD相交于点F,则下列说法中正确的是( A丽}丽 B.若AB=4AC=2∠BMC-写则AM=5+2万 C.S.S.M=1:3 D.若△ABC外接圆的半径为2，且BC=2,则ABAC的取值范围为(0,6+4V5 第川卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.在正方体ABCD-AB,CD中，AB=2,E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面ABC,则EF= 13.(☆☆)在△ABC中，E为边AC上一点，且AC=3A正，P为BE上一点，且满足AP=mAB+AC(m>0,n>0), 2 则上+3+3的最小值为 14.在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=b2+bc, 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(本小题13分) 设A,B,C,D为平面内的四点，且A1,3),B(2,-2),C(4,1) (1)若AB=CD,求D点的坐标： (2)设向量a=AB,=BC,若向量ka-b与a+3b平行，求实数k的值. 16.(本小题15分) 在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 bsin A-√3a=0. (1)求角B的大小： (2)求cos4什cosB+cosC的取值范围. 17.(本小题15分) D M 如图，在四棱柱ABCD-AB,CD中，点M是线段B,D,上的一个动点，E,F分 别是BC,CM的中点. (1)求证：EF/平面BDDB: (2)若四棱柱ABCD-AB,CD的体积为24，求三棱锥C-BDF的体积V的值. 试卷第3页，共4页 18.（本小题17分) S 如图所示正四棱锥S-ABCD,SA=SB=SC=SD=2,AB=√2，P为侧棱SD上的 点.且SP=3PD,求： (I)设平面SBC∩平面SAD=I,求证：I/BC; (2四侧棱sC上是否存在一点公使得BE/平面P4C若存在，求S A:---- 的值；若不 EC 存在，试说明理由. B 19.(（本小题17分) 如图，在平面四边形ABCD中，已知AD=1,CD=2,△ABC为等边三角形， 记∠ADC=a,∠DAC=B. π 四若a=3,求aMBD的面积： (2)证明：AC cos B=1-2cosa; 求△ABD的面积的取值范围. 4