滚动检测（3）（必修第二册第六、七章，第八章8.1 8.2）-2025-2026学年高一数学滚动检测卷

高一年级第二学期数学滚动检测（三) 考试说明： 1.考查范围：必修第二册第六章，第七章，第八章8.1,8.2。 2.试卷结构：分第1卷（选择题）和第川卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。 第|卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.下列向量中与=(2，-3)共线的是（ A.(2,3) B.（3,-2) C.(4,-6) D.（-2,-3) 2.设i是虚数单位，则复数 1-1 在复平面内所对应的点位于( 2+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.设e,、e,是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是( A.g和g+2e, B.e+2e,与3e-e c.e+2e,与-2e-4e, D.3e-e,与4e,-e 4.如图，△A'BC是△ABC的斜二测直观图，其中△AB'C”为正三角形，A'C'=2,则△ABC的面积 是( B O'C A A.5 B.2V5 C.2 D.2W6 5,在△4BC中，已知BC=2,B=亚，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是( A(V3,2) B.(V3,4) C.1,2) D.(2,4) 6.在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、C,若b=25,cosB+√3sinB-2=0,且sinC=2sinA, 则△ABC的面积为( 1 A.6+25 B.65 c.2V5 D.√5 7.(☆)△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知oC+s=2-,则A的最大值为 a ( A.君 B.3 C. D. 8.已知在△4BC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,2c=bsin2A+2 asin Acos B，,点D在△ABC内部， 且满是∠ADB=∠BDC-∠CD1=号，若a=-2∠ABC-背则4AD+BDCD=( A.3 B.6 C.7 D.√万 二、多选题（本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求) 9.下列说法不正确的是( A.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 B.有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C.圆柱的母线与它的轴可以不平行 D.一个多面体至少有4个侧面 10.已知、2都是复数，下列正确的是（ A.若=上，则=± B.32=l2 C.若51+2=51-2，则=52=0 D.5152=352 11.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，AD=AC,且点P在以AD的中点O为圆心，O4 3 为半径的半圆上，若BP=xBA+yBC,则下列说法正确的有( A. BD-1BA+2BC 3 8.而丽号 C.BP.BC存在最大值为9 D.t+y的最小值为25+1 第川卷（非选择题，共92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.设meR,复数=(m2+m-2)+(m-1)i,其中i为虚数单位，若=为纯虚数，则m= 13.将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积为 14.已知向量a,6夹角为号月-2，若对任意xeR,恒有6+d 的最小值为一， 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(本小题13分) 已知向量a=(-1,2),b=(3,-1) (1)求a+26的坐标与a-: (2)求向量a与a-b的夹角的余弦值. 16.(本小题15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2 asin C+bsin B+csinA=(a+c)(sinA+sinC) (1)求角B的大小： (2)若b=2W5,△ABC的面积为2√5，求△ABC的周长. 17.(☆)（本小题15分） 如图所示，在△ABC中，BE-BC,BF-A,网-4，BC-6,ABC-6,CR与AB相 交于点M E H (1)求BM: (2)过点M作直线GH分别交线段AB,BC于点G,H,记BG=BA,BF=uBC,当G,H在线段 BA,BC上移动时，求42+3u的最小值. 18.(本小题17分) 已知函数f(x)=V3 sinarcosax-cos2ax+1(o>0),最小正周期是元，在锐角△ABC中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c (1)求f(x)的单调递减区间； 3 (2)若f(,a2,D为BC边上的中线，求AD的取值范围 19.(本小题17分) A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P,Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对 PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记(C,Q:0=0 若点M在线段PQ外，记(P,Q;M)= APsinPAM在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,点D在射线BC上. AO sinzMAO (1)若AD是角A的平分线，且b=3C,由A点对BC施以视角运算，求(B,C,D)的值： (2)若A=60°，a=4,AB1AD,由A点对BC施以视角运算，(B,C;D)=2-2V3,求△ABC的周长： 3)若A=120°，AD=4,由A点对BC施以视角运算，(B,C,D)=求b+4c的最小值. 4高一年级第二学期数学滚动检测（三) 考试说明：1.考查范围：必修第二册第六章，第七章，第八章8.1,8.2。 2.试卷结构：分第1卷（选择题）和第川卷（非选择题）：试卷分值：150分，考试时间：120分钟。 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.下列向量中与a=(2,-3)共线的是() A.(2,3) B.(3,-2) C.(4,-6) D.(-2,-3) 【答案】C 【分析】根据共线向量定理判断即可. 【解析】因为(4，-6)=2(2，-3)，由共线向量定理可知向量(4，-6)与ā共线.故选C. 2.设1是虚数单位，则复数2十 .i-1 在复平面内所对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则求出复数即可判断 【解析】由题意知， i-1-(2-i00--+3i-13i 2+i(2-i)(2+i)5 号子，所以在复平而内所对应的点为 2+i (5》 位于第二象限.故选B. 3.设，、，是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是() A.e和e+2e, B.e+2e,与3e-e C.e+2e,与-2g-4e, D.3e-e2与4e2-e 【答案】C 【分析】判断出哪个选项的两个向量共线即可。 【解析】对于C,-22-4,=-2?+2e2)共线，不能作为基底，对于ABD,两组向量都不共线， 故选C. 4.如图，△A'B'C是△ABC的斜二测直观图，其中△A'B'C'为正三角形，A'C'=2,则△ABC的 1 面积是() /O'C A' A.5 B.2W5 C.2 D.2W6 【答案】D 【分析】在直观图中求出B'O=√BD=√6，画出原图形，求出边长和面积。 【解析】在直观图中，∠B'OA=45°，在三角形OBA'中，过点B'作B'D'⊥x'于点D心，则 A'D=C"D=1,B'D'=√3，故B'O=√2B'D=√6， 还原直观图得△ABC原图如下， AC=2,由B0=V6得OB=26,所以AMBC的面积为号4C-OB=号×2×26=2x6.故选D 5在a48C中，已知BC=2,B= 3 ,若该三角形有两个解，则AC的取值范围是() A.(W3,2) B.(3,4) C.4,2) D.(2,4) 【答案】A 【分析】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.根据三角形解的个数的结论可求出结果. 【解折】因为三角形有两个解，所以BC,sBAC<BC,所以2×sim写<b<2,所以 √3<b<2.故选A. 6.在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、C,若b=2V3,cosB+√5sinB-2=0,且 sinC=2sinA,则。ABc的面积为() 2 A.6+2W3 B.65 C.23 D.5 【答案】C 【解行1：wB+5m8-2m8周-2，m2)1,0<B<,吾B-名吾 6 66 则B+名三B=号，mC=2n4,c=2a,由余孩定理得6=d+-2ccB,即 3a2=12,a=2,c=2a=4,因此，△4BC的面积是2√5.故选C 7.(☆)△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,C,己知osC+os=2-3), b 则A的最大 值为(). A.若 B.3 C. D. 【答案】A 【分析】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，三角函数值的应用，主要考查学生的运算能 力和转换能力，属于较易题. 直接利用余弦定理的应用和三角函数的关系式的应用和函数值的应用求出结果. 【解析】△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,C,已知osC+osB=2-v5) 则22c2+242--,整理得a2=2-V5)bc.由余孩定理得cosA=+≥ 2abc 2abc 2bc 2c2)c-县当且仅当b=c时取等号，所以0SA≥号故0<A≤着即A的取位范围 是(0，]故答案为：A 8.己知在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,2c=bsin2A+2 asin Acos B,点D在△4BC内 部，且满足∠ADB=∠BDC=∠CD1=,若a=2乙ABC= 3,则AD+BD+CD=() A.3 B.6 C.7 D.√7 【答案】D 【解析】：2c=bsin2A+2 asin Acos B,∴.2sinC=sinB.2 sin AcosA+2 sin Asin Acos B, Epsin C=sin B.sin A cos A+sin2 Acos B=sin A(sin B cos A+sin A cos B)=sin A.sin C, m4=1,A5由a=2∠A5c-牙得c=1.设∠DB=0,则 ∠Da4-号&∠Dsc=∠ABc-(g-00, :AADBC∽ABDC, BD_CD_BC=2:.BD=2AD.CD=2BD=AAD AD BD AB 在△4BD中，利用余孩定理得：AD+(2AD2-2AD.2ADcs2=AB=1, 3 3 解gD-9南8D-2D-4,Dr0+D-厅.：D 7 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法不正确的是() A.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 B.有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱 C.圆柱的母线与它的轴可以不平行 D.一个多面体至少有4个侧面 【答案】BCD 【分析】根据多面体和旋转体的定义判断即可. 【解析】对于A,圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故选项A正确： 对于B,满足条件的几何体可能是组合体，故B错误： 对于C:圆柱的母线与它的轴平行，故C错误： 对于D,多面体至少有4个面，所以D错误.故选BCD. 10.己知、2都是复数，下列正确的是（) A.若=，则=±2 B.= C.若片+=占-，则=0 D.5152=52 【答案】BD 【分析】利用特殊值判断A、C,根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断B、D. 【解析】对于A:令3=2+i、二2=1+2i,则==V5,显然不满足=士七2，故A错误； 对于C:令5=1+i、52=1-i,则+52=2，二1-2=2i,所以5+=片-，但是 2=(1+i)1-i)=2,故0错误： 设1=a+bi,2=c+ci(a,b,c,deR),所以's2=(a+i)(c+)=ac-bd+(ad+bc)i,则 4 ac-bd+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+be)=(ac)+(bd)+(ad)+(bc), 又=V匠+BVc2+d=V(a四(bd(a2{b02,所以5==，故B正确： 2=ac-bd-(ad+bc)i,又·52=(a-bi)(c-dh)=ac-bd-(ad+bc)i,所以·52=·52， 故D正确.故选BD 11.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，AD=AC,且点P在以AD的中点O为圆 心，OA为半径的半圆上，若BP=xBA+yBC,则下列说法正确的有() A. B.BD.B0= 2 C.BP.BC存在最大值为9 D.+y的最小值为2 +1 9 【答案】ABC 【分析】对于A、B,将BD,BO分别用BA,BC表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于C、 D,以点O为原点建立平面直角坐标系，设P(c0Sx,sin),∈[π，2元]，根据平面向量的坐标表示 及坐标运算即可判断， 【解折】对A:国为4D-C,且点P在以4D的中点0为圆心，Q4为年径的半国上， 所以01=-0D=DC-4C,则BD-Bc+CD-C+a-Bc+a-BC)A+号BC,故 A正确； 对B:Bo-Bc+而=c+i=Bc+厨-8C列号+c,则 BD-Bo-Ga+8cGA+ac-ga+c+号ad-Bc =2+2+ 5×3×3× “2=兮，故B正确： 对c、D:知图，以点0为原点建立平面直角坐标系，则41,0.B;3c20, 22 因为点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，所以点P在单位圆上，且在x轴的下 半部分，设P(cosx,sina),u∈[兀，2元]， 5 则BP= wau}c-g厨- a+L∈4,7，所以当a+=2m时，BP8C取得最大值9，故C正确： 因南丽=函c.*ma号a)含5：到 22 (x+y),所以 2W3 x+y=- 血+1，因为u[元，2如，所以当u=3亚时，x+y取得最大值251，故D错误 2 故选ABC. 【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是建立合适平面直角坐标系，再P(c0S,sn),a∈[π，2π]， 从而写出相关向量，计算其数量积，并结合三角函数的性质得到其范围。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设meR,复数-=(m2+m-2)+(m-1)i,其中i为虚数单位，若=为纯虚数，则m=」 【答案】-2 【分析】根据纯虚数的定义列出方程求解即可. 2+m-2=0 【解析】因为复数二=（m2+m-2)+(m-1)i为纯虚数，所以 m-1≠0 ,解得m=-2 故答案为：-2 13.将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积为 【答案】4π 4,已知向量a,5夹角为F,=2,若对任意xeR,恒有5+5 则函数 1×1 b-24eR)的最小值为 6 【答案】 2 【分折】先根据向量的夫角、模长及恒成立求出日=2，将场)：eR)表示成关于t的商绿 根据二次函数最值即可求解 【解折】：b+网b,5+≥b-,整理可得x+2+同0≥0， :对任意xR,上式恒成立，4=4同-4同日s0:由题意知同0， 10 月2.齐9-m--号 故答案为： 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)已知向量a=(-1,2),五=(3，-1). (1)求a+25的坐标与a-: (2)求向量a与a-b的夹角的余弦值、 【答案】(1)(5,0)，52)25 【分析】(1)根据平面向量坐标运算公式和模的计算公式计算即可： (2)利用平面向量数量积的公式计算即可： 【解折】(1)a+25=(5,0),a6(4,3),-=4+3=5. 人个 ××a.a-b） (2)aa-b=10,园=+4=5，cos(aa-b= 10 2V5 a a-b 5x5 16.(本小题15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 2asin C+bsin B+csin A=(a+c)(sin A+sin C). (1)求角B的大小： (2)若b=2√3，△ABC的面积为2√5，求△ABC的周长. 【答案】(1)B=(2)6+2万 3 【分析】(1)利用正弦定理化简条件，利用余弦定理求出C0SB,即可得出答案： (2)利用余弦定理列出方程求解即可. 7 【解析】(1)由题意及正弦定理知2ac+b2+ac=(a+c)2, 6d+c-c,m8-6-月08，片A- 2ac 2 1 (2)由。ac sin B=2V5得ac=8,由余孩定理得b2=ad2+c2-2 ac cos B得a2+c2-ac=12, 所以什c=6,△ABC的周长为6+2√3 17.()(体小题15分)如图所示，在△ABC中，E-BC,B原-A,=4,BC-6, BA.BC=6,CF与AE相交于点M E H (1)求Bd: (2)过点M作直线GH分别交线段AB,BC于点G,H,记BG=1BA,BF=uBC,当G,H在线 段BA,BC上移动时，求42+34的最小值 【答案】(DBd=V6(2)9 【分析】(1)根据三点共线的推论用BA和BC表示出BM,即可求解； (2)利用三点共线的推论求出2和山关系，然后利用“1”的妙用，基本不等式求出最值. 【解析】(1)因为F,M,C三点共线， 所以存在实数m使得BM=mBF+-mBC=3弧aA+1-mBC, 又因为A,M,E三点共线， 所以存在实数n使得BM=nBA+(1-n)BE=nBA+ 3二 5 m= 6 根据平面向量基本定理可得 ，解得} 1-m=1-n 1 3 m=2 所以=厨+君c,M-+C+日C-6, 2 4 36 6 所以BM=√6 (2)BM=xBG+yBH=x BA+yu BC, 由（可得2-号①.以后②， 又G,M,H三点共线，所以x+y=1③， 由0②行得=京=品代人③式可得受6， 1 1 a-+0层司+婴+s+-号 入三，以=)时取等号，满足题中条件，可以取到， 当且仅当入= ，所以4+3业的最小值2 18.(本小题17分)已知函数f(x)=√3 sin@cosc-cos2ax+1(o>0),最小正周期是π，在锐角 △ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)求f(x)的单调递减区间： (2)若∫1)号2，AD为BC边上的中线，求AD的取值范围 【袋案】()单谓递减区间为[学n,誓+kn1,keZ(2)(,5] 3 【分】5 01-ma1+o2r-】nQm名月 1 6 :f6W的最小正周期为元，o=1f(》=sin(2x君)+分， 6 令号+2kn2r≤智+2n,keZ得写n≤≤晋+n,ke乙 3 f(0的单调地减区间为肾水m,话+k小，kE2 2》由D可如，f0=sin4名)+号子.则sin(24)=. 6 0水n君2装.2后子解得号 3 由2，本写及余孩定理-6+c-26c06A得6d-4针c, 国为AD-a+AC,所以a0-B+4Ac-6+2+c-2c+4 2 南压线品品品C民，女品n心 sinB.ainsinc sinA 3 sinA 3 16 8 .'.bc= 3 sin&sinc sin(2B-月)+3 3 3 网分-e5身号又e(g.208e爱 n),sin(2B元) 62 6'6 6 (,故0e(6],△Ac周长的取值范国呢(2 19.(本小题17分)A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P,Q任一点均不重合），我们称 如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记(P,Q:M)=0MQ AP]sin/PAM 若 9 点M在线段PQ外，记(C,Q,0=器在·ABC中，角AB,C的对边分别是a6c,点D 在射线BC上. (1)若AD是角A的平分线，且b=3C,由A点对BC施以视角运算，求(B,C:D)的值： (2)若A=60°，a=4,AB1AD,由A点对BC施以视角运算，(B,C;D)=2-2V3,求△ABC的周 长： (3)若A=120°，AD=4,由A点对BC施以视角运算，(B,C;D)=,求b+4c的最小值. 【答案】(1)因为AD是角A的平分线，所以LBAD=∠DAC且D在线段BC上， 所以(B,C,D)=ABIsinBAD=e AClsin∠DAC=b, 又b=3C,所以(B,C;D)=号= D (2)因为，点D在射线BC上，∠BAC=60°，且AB⊥AD,所以D在线段BC外，且∠DAC=30°， 所以(B,C;D)= ABIsinBAD ACIsinDAC m0=-号=2-2√3， bsin30° b 所以b=3+1 2c, 在△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccosA, 即42c2+2-e2=2=16,解得c=(负位已含去， 4 所以b=6N2+2W6 3 所以△ABC的周长为C4Bc=Q+b+c=4+2W2+2W6. ()因为(B.c:D)=后>0，所以20=后则∠BaD=∠DAC, 因为A=120°，所以∠BAD=∠DAC=60°， 又S.ABc=S.ABn+S.ADc,所以2 bcsin120°=b·ADsine60°+2c,ADsine60, 又AD=4,所以bc=46+0,所以+是=1， 所以b+4c=0+4o+月=g+9+20>2g+20=36, 当且仅当答=碧即6=12，c=6时等号成立，所以b十的最小值为36. 10