三 倍数与因数（知识精讲、易错导航、考点精练）-2025-2026学年数学五年级上册（北师大版）

该小学数学“倍数与因数”单元复习讲义通过知识框架系统梳理核心概念，涵盖因数与倍数的定义及相互依存关系，2/3/5的倍数特征，质数与合数的分类及区别，结合注意事项和关键数据呈现知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于情境化练习设计，如“月饼分装方案选择”等实际问题培养数学思维和应用意识，题型覆盖选择填空解决问题，参考答案解析详尽，帮助不同层次学生掌握方法，支持教师精准教学与学生自主复习提升。

倍数与因数 单元巩固讲练 知识精讲 因数、倍数 大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。 注意 （1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 （2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 （3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 2、3、5的倍数特征 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 个位上是0或5的数，是5的倍数。 能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。 同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。 如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。 质数、合数. 质数：只有1和它本身两个因数。 合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。 注意 最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。 每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。 20以内的质数有8个：2、3、5、7、11、13、17、19 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 易错导航 考点1：因倍数的认识 考点2：奇偶数的认识 考点3：2.5.3的倍数特征 考点4：因倍数的应用 考点5：质合数的应用 考点1：因倍数的认识 1．（    ）既是12的因数，又是27的因数。 A．3 B．4 C．6 D．9 2．下面说法正确的是（    ）。 A．因为4×6＝24，所以4和6是因数 B．一个数的因数一定比它的倍数小 C．一个数的倍数的个数是无限的 D．因为3÷0.5＝6，所以3是0.5的倍数 3．2025年中秋节期间，糕点铺推出“深港月韵”主题月饼礼盒，需将90块定制月饼分装至不同规格的礼盒中。以下哪种礼盒规格无法正好装完所有月饼？（    ） A．双喜临门款（每盒装2块） B．三阳开泰款（每盒装3块） C．四季平安款（每盒装4块） D．五福临门款（每盒装5块） 4．一个大于零的自然数，它既是3的倍数，又有因数4，下面的（    ）符合要求。 A．18 B．16 C．15 D．12 考点2：奇偶数的认识 5．投壶是我国古代的一种投掷游戏。乐乐和爸爸、妈妈体验投壶游戏，他们投中的数量刚好是三个连续的偶数，这三个偶数的和是36，他们投中的数量分别是( )，( )，( )。 6．学校要举办元旦晚会，同学们正在布置礼堂。礼堂后排有一盏装饰灯，初始状态是关闭的。为了调试灯光效果，小刚按动开关21次后，这盏灯处于( )状态（填“打开”或“关闭”）。 7．学校科技社团制作了三种航模机翼，它们的长度是三个连续的奇数，且总长度是45厘米。这三种机翼中最短的是( )厘米，最长的是( )厘米。 8．在一条河的两边分别有两个寨子，索道是在两个寨子间运送物资的唯一交通工具。某日，货物箱最初在甲寨，经过25次（往返算两次）后，货物箱停在( )寨。 考点3：2.5.3的倍数特征 9．从0、1、4、5这四个数字中选择三个不同的数字，组成既是3的倍数，又是5的倍数的三位数，共有( )种不同的组法。 10．613至少加上( )才是2的倍数，至少减去( )才是5的倍数，至少加上( )才是3的倍数，至少加上( )既是2的倍数又是5的倍数。 11．在2，3和5的倍数中，最大的三位数是( )，最小的两位数是( )。 12．在0，3，6，7中选三个数字，组成一个能同时被2，3，5整除的三位数。这个三位数最大是( )，最小是( )。 考点4：因倍数的应用 13．在2025年九三阅兵中，地面突击模块共列装54台装备。为确保受阅编队排列整齐，需要分组且每组台数一样多。下面的哪种分组方式正好分完无剩余？为什么？ 14．实验小学五年级72名学生要去社区参与绿植养护活动，需分成人数相等的小组，每组负责一片绿化带的杂草清除、浇水和修剪。为保证能快速完成一片区域的养护，每组不少于5人；又因社区绿化带面积有限，每组不多于15人。请问有几种不同的分组方式？每组最少几人，可以分几组？每组最多几人，可以分几组？ 15．被称为“中国魔方”的麦草方格，创造了世界治沙奇迹！用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法。现在计划在某铁路沿线设置42个“麦草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？有几种排法？ 16．周末超市开展“酸奶促销”活动，张阿姨要包装24盒酸奶，有多种包装规格，要求每箱装的盒数相同且不能单独一盒装一箱或所有的装一箱。请问：张阿姨有多少种不同的包装选择？每种包装每箱装几盒？ 考点5：质合数的应用 17．一个长方形的长和宽都是以米为单位的质数，且长和宽不相等。它的周长是60米，这个长方形的面积可能是多少平方米？ 18．饼干烤好了，散发着诱人的香气！淘气要把12块饼干分装到盒子里。 （1）如果要求每盒数量一样多（每盒至少2块，至少装2盒），可以有几种分装方法？请写出所有可能的每盒数量和盒数组合。 （2）在这些分装方案中，哪些方案里的盒数是质数？哪些是合数？ （3）淘气一共烤了36块饼干，哪些数是36的因数？写出来。 19．广东的龙舟竞渡是极具特色的传统民俗活动，实验小学五年级的同学们要以班级为单位排练龙舟操，需要将各班学生平均分成人数相等的小组（每个小组人数大于1），便于队列整齐。哪几个班可以？哪几个班不可以？为什么？ 班级 1班 2班 3班 4班 人数 37 41 39 40 20．学校开展以“喜迎国庆，情满中秋”为主题的校园文化挑战赛活动。 （1）插红旗游戏中，每插上一面红旗，记6分。小秦完成游戏后说：“我算了下，我插红旗共得了32分！”小秦算的对吗？为什么？ （2）闯关游戏中，明明需要破解一个六位数的密码，密码提示如图。这个密码可能是多少？写出一种即可。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】找出12和27的因数，再确定它们的公因数。12的因数有1、2、3、4、6、12，27的因数有1、3、9、27。公有的因数为1和3，选项中只有3符合条件。 【详解】12能被1、2、3、4、6、12整除，因此12的因数为1、2、3、4、6、12。 27能被1、3、9、27整除，因此27的因数为1、3、9、27。 12和27的公因数为1和3。选项中只有3（选项A）符合条件。 故答案为：A 2．C 【分析】倍数和因数是非0整数范围内的相互依存概念，不能脱离具体的数单独说某个数是因数，也不能用小数参与倍数因数的判断；一个数的因数个数有限（最大为自身），倍数个数无限（最小为自身），且存在“一个数的最大因数＝最小倍数”的情况，不存在“因数一定比倍数小”的结论。据此逐个判断。 【详解】A．因数是两个数之间的相互关系，不能孤立说某个数是因数，正确表述应该是“4和6是24的因数”，说法错误； B．一个数的最大因数和最小倍数都是它本身（比如数字8，最大因数是8，最小倍数也是8），二者是相等的，不是因数一定比倍数小，说法错误； C．一个数的倍数可以通过“这个数×1、×2、×3……”得到，能乘的自然数有无数个，所以倍数的个数是无限的，说法正确； D．倍数的定义要求参与运算的数都是整数，且除法没有余数，0.5是小数，不满足倍数的前提条件，所以不能说3是0.5的倍数，说法错误。 选项C中的说法是正确的。 故答案为：C 3．C 【分析】找到90的因数，每盒装的块数恰好为90的因数时，则礼盒规格正好装完所有月饼；若每盒装的块数不是90的因数时，则礼盒规格无法正好装完所有月饼。 【详解】90＝1×90＝2×45＝3×30＝5×18＝6×15＝9×10； A．90÷2＝45（盒），即90块月饼刚好能装45盒； B．90÷3＝30（盒），即90块月饼刚好能装30盒； C．90÷4＝22（盒）……2（块），即这种礼盒规格无法正好装完所有月饼； D．90÷5＝18（盒），即90块月饼刚好能装18盒。 故答案为：C 4．D 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。逐项分析各选项中的数字是否是3的倍数和有因数4即可。 【详解】A．18÷3＝6，18是3的倍数，18除以4有余数，18没有因数4，不符合题意； B．16除以3有余数，16不是3的倍数，16÷4＝4，16是4的倍数，不符合题意； C．15÷3＝5，15是3的倍数，15除以4有余数，15没有因数4，不符合题意； D．12÷3＝4，12是3的倍数，12有因数4，符合题意。 故答案为：D 5． 10 12 14 【分析】因为是三个连续偶数，它们之间相差 2，已知和为 36，可以利用平均数的方法来求解。因为三个连续偶数的和是36，那么它们的平均数就是36÷3＝12。这个平均数就是中间的那个偶数。前一个偶数比12少2，即12－2＝10。后一个偶数比12多2，即12＋2＝14。 【详解】36÷3＝12 12－2＝10 12＋2＝14 投壶是我国古代的一种投掷游戏。乐乐和爸爸、妈妈体验投壶游戏，他们投中的数量刚好是三个连续的偶数，这三个偶数的和是36，他们投中的数量分别是10，12，14。 6．打开 【分析】这盏灯初始是关闭状态，按开关的规律是：按奇数次会切换为打开，按偶数次会回到关闭。因为21是奇数，所以小刚按动开关21次后，这盏灯处于打开状态。 【详解】按奇数次会切换为打开，按偶数次会回到关闭。因为21是奇数，这盏灯处于打开状态。 7． 13 17 【分析】根据连续奇数的特点，两个相邻的奇数相差2；用这三个连续奇数的和除以3，求出平均数，即是中间的奇数，再用中间的奇数分别减2、加2，求出这三个奇数中最小和最大的奇数，据此解答。 【详解】中间的奇数：45÷3＝15（厘米） 最小的奇数：15－2＝13（厘米） 最大的奇数：15＋2＝17（厘米） 学校科技社团制作了三种航模机翼，它们的长度是三个连续的奇数，且总长度是45厘米。这三种机翼中最短的是13厘米，最长的是17厘米。 8．乙 【分析】货物箱最初在甲寨，经过1次则货物箱在乙寨，经过2次则货物箱在甲寨，经过3次则货物箱在乙寨，经过4次则货物箱在甲寨，……，则经过奇数次运输货物箱在乙寨，经过偶数次运输货物箱在甲寨，由此即可推定。 【详解】25次为奇数次，则经过25次后，货物箱停在乙寨。 9．6 【分析】5的倍数特征是数的个位是0或5；3的倍数特征是数的各位数字之和是3的倍数。首先列出所有可能的三数字组合：（0，1，4）、（0，1，5）、（0，4，5）、（1，4，5）。其中（0，1，4）和（1，4，5）的数字和分别为5和10，均不是3的倍数，因此排除。对于（0，1，5）（数字和为6）和（0，4，5）（数字和为9），分别考虑个位为0或5的情况，并确保百位不为0，从而得到所有满足条件的三位数。 【详解】根据分析，考虑数字组合0，1，5，因为1＋5＝6，6是3的倍数，且个位是0或5的三位数有：105、150、510；考虑数字组合0，4，5，因为4＋5＝9，9是3的倍数，且个位是0或5的组合有：405、450、540。 所以一共有6种不同的组法。 10． 1 3 2 7 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8；5的倍数特征：个位上是0或5；3的倍数的特征：各个数位之和能够被3整除；既是2的倍数又是5的倍数的数的特征：个位上是0，据此填空。 【详解】613的个位是3，3＋1＝4，所以至少加上1才是2的倍数； 3－3＝0，所以至少减去3才是5的倍数； 6＋1＋3＝10 10＋2＝12，12是3的倍数，所以至少加上2才是3的倍数； 3＋7＝10，所以至少加上7既是2的倍数又是5的倍数。 11． 990 30 【分析】同时是2、3、5的倍数的数需满足：个位为0（因为2和5的最小公倍数是10，所以同时是2和5的倍数个位一定是0），且各位数字之和是3的倍数。求最大三位数，百位和十位要尽可能大；求最小两位数，个位为0，十位要尽可能小；由此解答即可。 【详解】求最大三位数：百位和十位要尽可能大，百位、十位都取最大值9，个位为0，此时这个数是990 各位数字之和为9＋9＋0＝18，18是3的倍数，所以满足同时是2、3、5的倍数，所以最大三位数为990。 求最小两位数：个位为0，十位要尽可能小，十位最小取3，此时这个数是30，各位数字之和为3＋0＝3，3是3的倍数，所以满足同时是2、3、5的倍数，所以最小两位数为30。 因此，在2，3和5的倍数中，最大的三位数是990，最小的两位数是30。 12． 630 360 【分析】同时是2、3、5倍数的倍数特征：个位数字是0，各个位上数字相加的和是3的倍数，由此可知，这个三位数的个位数字是0，百位和十位的数字之和是3的倍数，在3，6，7中只有3＋6＝9是3的倍数，据此写出最大的三位数和最小的三位数。 【详解】分析可知，最大的三位数和最小的三位数的个位数字都是0。 3＋6＝9，9是3的倍数，则百位和十位上的数字可能是3或6，此时这个三位数最大是630，最小是360。 3＋7＝10，10不是3的倍数，不符合题意； 6＋7＝13，13不是3的倍数，不符合题意。 综上所述，在0，3，6，7中选三个数字，组成一个能同时被2，3，5整除的三位数。这个三位数最大是630，最小是360。 13．第①种和第④种；理由见详解 【分析】根据题意，要使54台能正好分完无剩余，那么每组的台数一定是54的因数。列举出54的所有因数，再看4种分组方式的每组台数是否是54的因数，据此解答。 【详解】54的因数：1，2，3，6，9，18，27，54； ①3台为一组：3是54的因数，能正好分完无剩余； ②4台为一组：4不是54的因数，不能正好分完； ③5台为一组：5不是54的因数，不能正好分完； ④6台为一组：6是54的因数，能正好分完无剩余。 答：第①种和第④种分组方式正好分完无剩余。因为3和6都是54的因数，4和5不是54的因数。所以3台一组和6台一组都能正好分完无剩余，而4台一组和5台一组不能正好分完。 14．4种；最少6人，分12组；最多12人，分6组 【分析】要求将72名学生分成人数相等的小组，每组人数在5到15人之间（包括5和15）。分组方式取决于72的因数，因为每组人数相等，且总人数固定。需要找出72的所有因数中，满足不小于5且不大于15的因数，这些因数对应不同的每组人数，进而确定组数。 【详解】72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72。 筛选出在5到15之间（包括5和15）的因数：6、8、9、12。 当每组6人时，组数为72÷6＝12（组） 当每组8人时，组数为72÷8＝9（组） 当每组9人时，组数为72÷9＝8（组） 当每组12人时，组数为72÷12＝6（组） 因此，有4种不同的分组方式。 答：有4种不同的分组方式；每组人数最少为6人，可以分12组；每组人数最多为12人，可以分6组。 15．1行、2行、3行、6行、7行、14行、21行、42行；8种 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此求出42的所有因数，有几个因数就有几种排法。 【详解】42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7 42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，共8个。 答：可以排1行、2行、3行、6行、7行、14行、21行、42行，有8种排法。 16．6种；2、3、4、6、8或12盒 【分析】每箱盒数相同，即每箱盒数是24的因数，且不能一盒装一箱、不能24盒装一箱。因数是指能整除24且无余数的整数，按“成对找因数”的方法，找出24的所有因数，再确定符合条件的因数即可。 【详解】1×24＝24 2×12＝24 3×8＝24 4×6＝24 排除“1”和“24”，剩余2、3、4、6、8、12，共6个。 答：张阿姨有6种不同的包装选择；每种包装每箱可以装2、3、4、6、8或12盒。 17．161平方米、209平方米或221平方米 【分析】已知长方形周长为60米，根据周长公式可算出长与宽的和是30米；又因为长和宽是不相等的质数，所以要找出和为30的质数对，符合条件的有“7和23”“11和19”“13和17”这三组；最后用长乘宽算出面积，对应的结果分别是7×23＝161平方米、11×19＝209平方米、13×17＝221平方米。因此这个长方形的面积可能是161平方米、209平方米或221平方米。 【详解】求长＋宽： 60÷2＝30（米） 当长＝23米、宽＝7米时： 23×7＝161（平方米） 当长＝19米、宽＝11米时： 19×11＝209（平方米） 当长＝17米、宽＝13米时： 17×13＝221（平方米） 答： 这个长方形的面积可能是161平方米、209平方米或221平方米。 【点睛】根据长方形周长公式，用60除以2算出长与宽的和是30米；再依据质数的定义，找出和为30且不相等的质数对，即7和23、11和19、13和17；最后用长乘宽的面积公式，分别算出三组组合对应的面积为161平方米、209平方米、221平方米，因此这个长方形的面积可能是这三个数值中的任意一个。 18．（1）4种；每盒2块，装6盒；每盒3块，装4盒；每盒4块，装3盒；每盒6块，装2盒。 （2）盒数是质数的方案：装3盒、装2盒； 盒数是合数的方案：装6盒、装4盒。 （3）1、2、3、4、6、9、12、18、36 【分析】（1）12＝1×12，12＝2×6，12＝3×4，所以12的因数有1、2、3、4、6、12，要求每盒数量一样多（每盒至少2块，至少装2盒），所以分装方法有4种。每盒2块，装6盒；每盒3块，装4盒；每盒4块，装3盒；每盒6块，装2盒。 （2）质数指除了1和自身外无其他因数的数；合数指除了1和自身外还有其他因数的数。盒数6、4、3、2中，3、2是质数，6、4是合数。 （3）如果a×b＝c（a、b、c均是非0自然数），那么a和b是c的因数，据此逐一写出36的因数。 【详解】（1）12＝2×6 12＝3×4 答：分装方法有4种。每盒2块，装6盒；每盒3块，装4盒；每盒4块，装3盒；每盒6块，装2盒。 （2）盒数是质数的方案：装3盒、装2盒； 盒数是合数的方案：装6盒、装4盒。 （3）36＝1×36 36＝2×18 36＝3×12 36＝4×9 36＝6×6 所以，36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。 19．3班、4班可以；1班、2班不可以；因为39和40是合数，37和41是质数。 【分析】如果人数是合数就能平均分成人数相等的小组，如果是质数就不能平均分成人数相等的小组。据此解答。 【详解】37＝1×37 41＝1×41 39＝1×39＝3×13 40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 答：3班、4班可以分成人数相等的小组，1班、2班不可以，因为39和40是合数，37和41是质数。 20．（1）不对；因为32不是6的倍数 （2）276264（答案不唯一） 【分析】（1）通过除法计算，判断总得分是否为6的倍数，来判断小秦的说法是否正确。 （2）依据数的基本概念，确定了五个数字：最小的质数2、7的最小倍数7、6的最大因数6、最小的合数4。接着，利用3的倍数特征，即各位数字之和是3的倍数，在五个数字和为25的基础上，选择第四位数字即可。 【详解】（1）32÷6＝5……2 答：小秦算的不对。因为32不是6的倍数。 （2）最小的质数是2； 7的最小倍数是7（一个数的最小倍数是它本身）； 6的最大因数是6（一个数的最大因数是它本身）； 最小的合数是4； 7＋2＋6＋6＋4＝25 25＋2＝27，27是3的倍数。 答：这个密码可能是276264。（答案不唯一） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $